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電束電流

電束電流

磁界電流密度電束密度として、
この中のの項を電束電流と言う。

磁界電流Iの経路を取り囲む閉曲線Cに沿って線積分する場合、
が成り立ちます。
①式は、電流密度,閉曲線Cで囲まれる任意の曲面をUとして、ストークスの定理を用いると、
より、
閉曲面を任意にとれるので、被積分関数自体が等しく、
 ・・・②
②を微分型のアンペールの法則と言います。電流が流れるとその周りに渦を巻くように磁界ができることを意味しています。
②両辺の
divを取ると、 (ベクトル解析の公式を参照)より、
マクスウェルは、電荷分布に変化が生じている場合、この式が、電荷保存則を意味する連続の方程式に矛盾していることに気付きました。を考慮して、マクスウェルは、②式の右辺にという項を付加して、
とすれば、両辺のdivを取って、
とすれば矛盾が起きないので、②式を、正しくは、
 ・・・③
となると考えました。電流密度と同様の意味を持つ、電束電流と言います。何もない空間を、導線で接続されているわけでもないのに、電流が流れるのです。③式は、理論上の矛盾を防ぐ意味から作られた式で、実験的事実から導かれたものではありませんが、電磁波の発見により、その正しさが証明されました。


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(C)2005, 2006,2007, 2008 (有)りるらるNewton e-Learning
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  1. 2008/01/30(水) 20:45:31|
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アンペール周回積分の法則

アンペール周回積分の法則

閉曲線Cで囲む面を電流Iが貫いているとき、C上の各点における磁界として、
これを、アンペール周回積分の法則と言う。

ビオ・サバールの法則を、電流の流れる経路Cに沿って線積分して得られる式:
 (ベクトル・ポテンシャルを参照) ・・・①
ここで、は、C上の電流素片の位置する点から、磁界を考えている点に向かうベクトルです。
ビオ・サバールの法則によれば、電流が流れると、電流の流れる向きを右ねじの進む向きとして、電流経路を磁力線が取り囲むように、右ねじの回る向きに磁界が発生します(この事実を「アンペール右ねじの法則」、単に「アンペールの法則」と呼ぶことがあります)

①の両辺を
1本の磁力線の経路となる閉曲線に沿って線積分してみます。Cに沿った線素と区別して、に沿った線素をとします(この辺の議論は、岩波講座・現代の物理学2「電磁力学」牟田泰三著の57ページにわかり易い解説があります)
 ・・・②
ここでは、は、の位置する点からの位置する点に向かうベクトルです。
ベクトルの公式:
(外積を参照)より、
ここで、曲線C上をが動き、閉曲線上をが動いてできる管状の閉曲面をUとすると、は閉曲面Uの面積素片 (向きは管状面から外に向かう向きになる)であって、2つの線積分を面積分に置き換えると、
右辺の積分は立体角を表していて、②で、磁力線経路に沿って線積分している場合には、閉曲面Uの始点を含んでいるので、となります(実は、磁力線に沿う経路でなくても、その経路で囲む面を電流が貫いていればよい)

①の両辺を、磁力線の経路ではなく、電流経路Cを取り囲まないような経路について線積分する場合には、上記の管状閉曲面がの始点を含まないので、面積分はゼロになります。の始点から曲面Uを見るとき、近い側と遠い側とで面積素片が逆を向き、立体角を表す面積分が消し合うからです。

こうして、改めて磁界の線積分の経路となる閉曲線をC,線素をと書くと、
閉曲線
Cの内部を貫くように電流Iが流れているときには、
 ・・・⑤
閉曲線Cの内部を貫く電流が存在しない場合には、
となります。⑤式をアンペール周回積分の法則と言います。


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(C)2005, 2006,2007, 2008 (有)りるらるNewton e-Learning
  1. 2008/01/30(水) 20:44:56|
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ベクトル・ポテンシャル

ベクトル・ポテンシャル

空間内の点Qにおけるベクトル・ポテンシャルを、領域V内の点P電流密度として、
として定義する。mは、領域Vに充満している物質の透磁率(磁性体における磁界、磁束密度を参照)。点Qにおける磁束密度について、


電気では、正電荷負電荷という基本的な単位を考えます。
磁気では、単一
磁荷が存在しない(磁気におけるクーロンの法則を参照)ので、磁気双極子を基本的な単位と考えます。円形電流は、磁気双極子と同等の効果を持つので、微小な円形電流を磁気の基礎的な単位と考えることができます(磁気双極子を参照)
微小な
円形電流は微小な渦の効果を持つので、磁界を微小な渦の効果を示すrot (回転)を用いて記述することを考えます。

Pにおける電流素片が、点Qに作る微小磁界は、として、
によって決まります。
この右辺を、
電流の経路Cに沿って点Pを動かすことにより、経路Cについて線積分すると、点Qにおける磁界は、
 (線積分はについて行います) ・・・①
電流経路が1本の道筋ではなく、電流が領域Vに渡って分布しているときは、電流素片の代わりに電流密度を用いて積分を線積分から体積分に変え(電流密度を各電流経路が貫く曲面で面積分したものが電流Iと直感的に考えてください)、①を、
 ・・・②
として一般化できます。被積分関数のは、領域V内の点Pにおける電流密度です。

ここで、点
Qにおいて、
 ・・・③
というベクトルを考え、rotを取ってみます。rotの微分はxyzについて行いますが、被積分関数については、xyz座標xhzとして、xhzについて積分する()ことになります。電流密度xhzの関数ですが、電流密度を考えている点Pからを考えている点Qに向かうベクトルで、だということに注意します。
ここで、rotに関する微分に合成関数の微分法を適用すると、rotxyzに関する微分なので、,また、 (ベクトル解析の公式を参照)より、
 (外積を参照)
透磁率mの磁性体中では、なので、②と比較すると、
 ・・・④
と書けることがわかります。③のベクトル・ポテンシャルと言います。
④のように表せるのは、
電界が、電位(静電ポテンシャル)fを用いて、と表せることに相当します。
(ベクトル解析の公式を参照)より、
これは、磁束密度ベクト磁界ベクトルがどこからも湧き出さず、どこにも吸い込まれないことを意味していて、単一磁荷が存在しないことを表しています(磁性体における磁界、磁束密度を参照)


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  1. 2008/01/30(水) 20:44:12|
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磁性体における磁界、磁束密度

磁性体における磁界、磁束密度

磁荷率磁性体中における磁界磁化として、
磁束密度として、
ここで、m透磁率と言い、真空の透磁率との間に、
という関係がある。

磁性体が持つ磁化を、電気における分極のように考えることができます(誘電体がある場合のガウスの法則を参照)
原点
Oに位置する半径aの微小な円周上を電流Iが流れるとき、充分に離れた位置P、即ち、円形電流から距離 ()だけ離れた位置Pにおける磁位Vは、z(円の中心を通り、円が乗っている平面に垂直な軸)となす角をq として、
で与えられます(磁気双極子を参照)。ここで、は磁気双極子モーメントの大きさです。
円筒座標で考えると
(座標系を参照)より、磁界のr成分q 成分は、

これらは、大きさpの電気双極子モーメントをもつ電気双極子位置(z軸とのなす角をq とする)に作る電界r方向成分q 方向成分が、
だったことに対応しています(電気双極子を参照)

磁化ベクトルは、磁気双極子モーメントの密度N、つまり、単位体積当たりの磁気双極子の密度Nと磁気双極子モーメント (大きさがuで、向きは円形電流が右ねじの回る向きに流れるとして、右ねじの進む向き)の積として定義されます。密度Nの単位は[],磁気双極子モーメントの単位は、の単位を考えて、[]I[A][]で、,より、磁化の単位は、となります。

ここで
の方向(z軸、つまり双極子モーメントの方向)の方向を考えると、より、磁界の方向と双極子モーメントの方向は一致します。常磁性体、強磁性体に磁界をかけると、磁化ベクトル磁界と同じ向きとなり、
と書けます。比例定数は磁化率で、常磁性体、強磁性体では、です。
反磁性体では双極子モーメントの向きと
磁界の向きは正反対の向きになり、において、です(磁性体を参照)
磁化率の単位は、
(真空の透磁率と同じ単位)

電荷QからQ本伸びるとして電束を考えた(ガウスの法則の一般化を参照)ように、磁気でも、磁荷mからm本の磁束が伸びると考えます。磁束の単位も磁荷磁気量と同じく[Wb]です。磁束を磁束が貫く面の面積で割ったものを磁束密度と言います。磁束密度の単位は、磁化と同じく、[]です。

真空中で、
磁界が存在する場所における磁束密度は、
となります。
ここに磁性体を置くと、磁性体の中では、磁性体内の
磁化の分だけ磁力線の本数が減り、磁界が弱まります。磁性体内部の磁界のとき、磁力線の本数分の磁束密度,これと磁化を合わせた磁束密度は、
となります。ここで、をこの磁性体の透磁率と言います。つまり、磁性体内では、
となります。透磁率の単位は[]です。ということがあり得る(反磁性体の場合)ので、透磁率は、誘電率とは異なり、とは限りません。

磁界に関する、真空中における微分型のガウスの法則:
は、磁性体中でも、やはり単一磁荷は存在せず、円形電流の作る磁気双極子が単位になっているので、磁束密度について、
となります。


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(C)2005, 2006,2007, 2008 (有)りるらるNewton e-Learning
  1. 2008/01/29(火) 19:39:55|
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磁気双極子

磁気双極子

電気では、正電荷負電荷という物理的実体が存在しました。
ですが、磁気では、単一
磁荷、つまり、N極だけの磁荷S極だけの磁荷というものは存在しません。磁石は、必ず、N極とS極がペアになって存在するのです(磁気におけるクーロンの法則を参照)
仮に単一磁荷が存在するとして、N 極とS極が組になって存在する基本単位となるものを考えます。右図のように、磁荷磁荷微小距離h隔てて置いたものを磁気双極子と言います。

真空中において、
磁荷mが、距離r離れた位置に作る磁界の大きさHは、
これより、電位と同じように磁荷mの作る磁位V(単位磁荷当たりの位置エネルギー)を考えると、
 ・・・①
磁気双極子が作る磁界を考えてみます。両磁荷が置かれている直線をz軸とし、磁荷磁荷に置かれているとして、両者が点Pに作る磁位は、①より、
両者を重ね合わせると、Pにおける磁位は、として、
 (分母の根号内のを無視)

z軸のなす角をq として、より、
 ・・・②

次に、原点に中心をもつ半径aの円周に沿って電流Iが流れる場合の磁位を考えてみます。
この円の中心を通って円に垂直に
z軸をとります。
円周上の点
Pにおける微小変位を考えると、点Pにおける電流素片が空間内の点Qに作る磁界は、として、ビオ・サバールの法則より、
これを電流の流れる経路Cに沿って積分すれば(つまり、経路に沿って並んでいる電流素片が点Qに作る磁界を足し合わせて)Qにおける磁界が求められます。
 ・・・③
ところで、Pにおける磁位Vとして、電位と同様に、 (偏微分を参照)なので、における磁位の変化は、
 (全微分を参照)
このに、③を代入すると、
 (線積分は、に関する積分です) ・・・④
この積分の中に出てくる、の絶対値は、3辺とする平行六面体の体積です(外積を参照)
④式は、
を、と変化させたときの磁位Vの変化を表す式ですが、ここで見方を変えて、Pを固定させてQを動かすことによりを動かすのではなく、逆に、Qを固定させて、を、と変化させたとして、つまり、④式を、電流経路の方を変化させたときの磁位の変化を与える式と見ることにします。電流経路を半径がほぼゼロの円から半径aの円まで変化させるときの、微小経路変化が与えると見ます。
すると、
半径0からaまで変化させて(このとき、で指定される点Pの経路をとします)、④式を線積分することにより、磁位Vを、
と書くことができます。ここで、Cに関する線積分はに関する積分、に関する線積分はに関する積分です。2つの線積分は、原点を中心とする半径aの円Uの面積分に変わります。の作る平行四辺形を先の平行六面体の底面と考え、この面積とし、面積素片として、
ここで、電流がz軸負方向から見て右回りに流れているとき(このときをとします)には、は電流の方向、は円の中心から外向きで、の向きはz軸負方向になります。より、
面積分は、Qから円Uを見たときの立体角です。よって、
z軸のなす角をq として、円の面積に垂直な方向への正射影の面積,立体角は
 ・・・⑤
、つまり、電流の流れる向きを右ねじの回る向きとして、z軸の方向が右ねじの進む向きになるとき、
であれば、で、Vrに関して単調減少、
であれば、で、Vrに関して単調増加、
となります。特に、を考えると、磁界z軸方向(右ねじの進む向き)を向きます。これより、円形電流では、右図のような磁界が生じていることがわかります。

⑤は、円形電流の作る
磁位で、②は、単一磁荷の存在を仮定した磁気双極子の作る磁位ですが、両者は、と見なせば、同じ形をしています。円形電流は単一磁荷の存在を仮定した磁気双極子と同じ効果を持っているのです。
ここで、大きさが
で、磁荷から磁荷に向くベクトルを磁気双極子モーメントと言います。
単一
磁荷が存在しないということは、磁気の基本単位が円形電流だからと考えることもできます。電磁気学では、単一磁荷の存在を仮定せず円形電流を基本として考えても、単一磁荷を想定したのと同じ結果が得られます。
このために、高校物理教科書では、単一
磁荷を想定しない取扱いになっています。


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(C)2005, 2006,2007, 2008 (有)りるらるNewton e-Learning
  1. 2008/01/28(月) 19:09:23|
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ビオ・サバールの法則

ビオ・サバールの法則

Pにおける電流素片,また、として、電流素片が点Qに作る微小磁界は、
ビオ・サバールの法則

電流の流れている導線の近くに磁針を置くと、磁針が振れます。電流の周囲には磁界が生じるのです。磁針の振れ方を調べることにより、電流磁界の関係を調べることができます。

ビオ・サバールの法則は、ビオとサバールが実験をして発見した法則です。
ビオ・サバールの法則は、点Pに位置する電流素片(電流の流れている経路の一微小部分)が点Qに作る磁界の大きさは、電流素片に垂直な成分に比例し、PQ距離2乗に反比例し、磁界の向きは、電流素片の向きからの向きへ右ねじを回すときに右ねじの進む向き、と、表現することができます。式で書くと、点Pにおける電流素片,また、として、電流素片が点Qに作る微小磁界は、
 (‘×'は、ベクトルの外積方向の単位ベクトル) ・・・②
となります。
電流が流れると磁界が発生すること、また、発生する磁界の向きについては、この宇宙が、波風を立てれば余波が右回りに起きるようにできている、と、思うしかありません。
生じる
磁界の大きさが電流の大きさに比例することは自然に納得がいきます。また、電流素片Pを中心とする球面上に磁界ベクトルを作ることを考えれば、磁界の大きさが球面の面積に反比例することにも納得がいきます。


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  1. 2008/01/26(土) 10:10:25|
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磁気に関するガウスの法則

磁気におけるガウスの法則

磁気における微分型のガウスの法則

電気と同様に、磁気においても、単一磁荷が存在すると仮定して、一般化されたガウスの法則を考えます。
基礎事項については、
磁界磁力線を参照してください。
真空中で原点
O磁荷mが置かれているとき、Oを中心とする半径rの球面上の磁界は、
と考えられます(磁気におけるクーロンの法則を参照)は、原点と球面上の点(位置ベクトル)を結ぶ方向の単位ベクトルです。
原点
Oを取り囲む任意の閉曲面Uについて、閉曲面上の各点における磁界面積分を考えると、
 (立体角を参照)
複数の単一磁荷,・・・,が存在する場合には、電気の場合と同様(複数の電荷が存在する場合のガウスの法則を参照)にして、
しかしながら、単一磁荷の存在は否定されているので、空間内には同じ大きさの磁荷が正負必ずペアで存在し、この右辺の和はゼロです。
よって、
ガウスの定理により、左辺の閉曲面U上の面積分を、閉曲面Uで囲まれた領域Vの体積分に変換すると、
閉曲面U,つまり、領域Vは空間内に任意に取れるので、
これが、磁気における微分型のガウスの法則となります。


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  1. 2008/01/25(金) 14:26:21|
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磁性体

磁性体

物質に磁界を加えたときに、物質が磁気的性質を持つことを磁化と言い、その結果生じた磁界と言うべき量をとすると、
反磁性体では、は逆向きでは大きくはない。
常磁性体では、は同じ向きでは大きくはない。
強磁性体では、は同じ向きでが大きい。

磁界中に置かれた物質が、磁界の影響を受けて磁気的性質を持つようになることを磁化と言います。また、磁界によって生じた新たな磁界と言うべき量についても磁化と呼び、磁化ベクトルとすると、
と書くことができます(磁界が強い場合など、の方向が食い違う場合もある)。このを磁化率と言います。

物質を構成している原子は、原子核の周囲を電子が公転運動しているモデルで考えると、
負電荷を持つ電子が回転運動するので、円形電流が流れて、磁界が発生します(電流の作る磁界を参照)。また、電子の自転(スピンと呼ばれます)によっても磁界が発生します。金属では、自由電子となった電子の運動や状態も考慮に入れる必要があります。

これらの、公転運動、自転運動は、同じ軌道上にいる複数の電子同志で同じ状態を占めることができない
(パウリの排他律と言います)ことが知られていて、全体として平均すると、磁気の効果を打ち消し合って、通常は、磁化はほぼゼロになります。

多くの物質では、
磁界中に置かれると、レンツの法則により、加えられた磁界と逆向きの磁界をつくる方向に、電子の公転運動、自転運動の状態が僅かに変化して、加えられた磁界と逆向きの弱い磁界を発生します。こうした物質を反磁性体と言います。反磁性体では、磁化率は、となります。反磁性の強い物質として、ビスマスが知られています。超伝導状態の物質では、加えられた磁界と正反対の磁化が内部に発生して、合わせて磁束密度がゼロになる(マイスナー効果)ことが知られています。

物質の中には、
磁界中に置くと僅かに磁界と同じ向きの磁化ベクトルが生じる物質があります。これを常磁性体と言います。磁化率は、ですが、非常に小さい値をとります。

原子の構造によっては、
磁界を加えられた状態でなくても、公転運動や自転運動によって生じる磁界の向きが揃いやすい物質もあり、こうした物質では、磁界を加えることによって大きな磁化となるだけでなく、磁界を取り去っても磁気的性質を保持するようになります。こうした物質を強磁性体と言います。強磁性体では、磁化率は、正の大きな値をとります。強磁性体は磁石に引き寄せられる物質です。鉄、コバルト、ニッケルが、強磁性体として知られています。また、化合物で大きな磁化率を得る研究も進んでいて、1983年には住友特殊金属の佐川真人氏が、ネオジム、鉄、ホウ素の化合物で世界最強の永久磁石(商品名「ネオマックス」)を発明しています。


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  1. 2008/01/25(金) 14:25:19|
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磁気に関するクーロンの法則

磁気におけるクーロンの法則

真空中で、磁気量mの磁極が距離r離れて位置しているときに働く磁気力は、を真空の透磁率として、

で与えられる。磁極が異種()のときは引力、磁極が同種()のときは斥力が働く。

磁気でも電気と同様に、磁極には磁荷があると考えます。ただし、電荷とは異なり、現実には単一磁荷という物理的実体は存在しません。つまり、N極しかない磁石、S極しかない磁石は存在しません。磁石は、必ず、N極とS極とがペアになっているのです。
ですが、仮に
磁気量mの磁荷が存在するとして、電気におけるガウスの法則と同様に考えてみます。この磁荷を取り囲む半径rの球面上にできる磁界の大きさHは、真空の透磁率:を用いて、

磁界の向きは、(磁荷がN)のとき、球面に垂直に外向きです。
磁気量mの磁荷が作る磁界中に、この磁荷から距離r離れた位置に置かれた磁気量の磁荷に働くFは、公式(磁界を参照)より、

これは、磁気に関するクーロンの法則です。,つまり、のときは、引力,つまり、のときは、斥力が働きます。
単一磁荷は存在しないのですが、クーロンの法則は実験的に検証されています。高校の教科書では、単一磁荷が存在しないので、「磁荷」と言う用語を避けて「磁極」と呼んでいるようです。
なお、磁石を
N極とS極の境界で切って2つに分けても、単一磁荷、つまり、N極だけの磁石、S極だけの磁石にはなりません。今までN極だった方の磁石のN極と反対側に新たにS極が生じ、今までS極だった方の磁石のS極と反対側に新たにN極が生じてしまうのです。磁石をどこまで細かく分けても、N極の逆にS極、S極の逆にN極が生じて、単一磁荷にはなりません。


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  1. 2008/01/25(金) 14:24:39|
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磁力線

磁力線

磁力線の性質
(1) N極から出発してS極に終端する。
(2) 磁力線接線の向き磁界の向き。
(3) 磁力線密度磁界の大きさ。
(4) 何もないところで消えたり、湧き出したりしない。
(5) 磁力線同士で交差したり、分岐したりしない。

磁気力電気力と同様に遠隔力で、離れた磁石の間に力が働きます。電気力線と同様に、磁石のN極から出発してS極に入るまで、磁針を並べ、各磁針の向きに沿って線を引きます。こうして磁気力の向きに沿って引ける曲線を磁力線と言います。
磁石の周りに砂鉄をまくと、
磁力線に沿って模様ができます。砂鉄が小さな磁石となって磁力線に沿って並ぶからです。
磁石や電流が流れている空間では、
磁界の状況を磁力線を使って表します。

(1) 磁石のN極の近くに別の磁石のN極を近づけると斥力が働きます。磁石のS極の近くに別の磁石のN極を近づけると引力が働きます。磁気力の正の向きをN極の受けるの向きとするので、磁力線は磁気量が正のN極から出て、磁気量が負のS極に入ります。

(2) 磁力線は曲線になりますが、その接線の方向は、その位置に磁石のN極を置いたときにN極が受ける磁気力の向き、つまり、磁界ベクトルの向きになります。また、磁界ベクトルは空間のあらゆる点に存在します。こうした意味で磁界磁場とも言います。

(3) 磁石の磁極から近いところに別の磁石を置くと強い磁気力が働き、磁石の磁極から遠いところに別の磁石を置くと磁気力弱くなります。これを表現するために、磁界の大きさに比例させた密度で磁力線を引きます。磁力線密度が大きいところでは磁界強く磁力線密度が小さいところでは磁界弱くなります。つまり、磁力線密度が磁界の大きさになります。

(4) 磁力線も電気力線と同様に、途中で途切れたり、急に湧き出たりしません。必ず、N極から出てS極に終端します。

(5) 磁力線も電気力線と同様に、交差したり、分岐したりしません。磁力線は、N極から出て、増えもせず減りもせずS極に終端します。


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(C)2005, 2006,2007 (有)りるらるNewton e-Learning

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  1. 2008/01/24(木) 12:03:25|
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磁界

磁界

磁界の位置に置かれている磁気量mの磁極に働くは、

磁針の近くに電流を流すと磁針が振れます。電流がその周囲の空間に磁界を作る(電流の作る磁界を参照)のです。また、導線をたどって一回りするように閉じた図形を作ったものをコイルと言いますが、コイルの近くで磁石を動かすと、コイルに電流が流れます。周囲の磁界の変化がコイルに起電力を発生させる(電磁誘導の法則を参照)のです。

磁石には、引きつけ合う部分と、退け合う部分のあることが知られています。地球自身にも磁気があって、磁針の北極を指す側を
N極、南極を指す側をS極とします。磁石では、いずれかがN極、その逆側がS極となります。
磁石と磁石の間には同種間には
斥力、異種間には引力が働きます。電流磁界を作るので、電流間にも力が働きます。
磁針の
N極が北極を指す、ということは、地球の北極はS極で南極はN極です。

電流が周囲に磁界を作るときに、エネルギーを持つのですが、エネルギー量は、電流の流れる経路の形状によります(自己誘導を参照)1[A]電流1[J]エネルギーを持つ磁界を作るとき、この電流の作る磁界と磁石の作る磁界を対応させて、1[A]電流の作る磁界に相当する磁界を作る磁極の磁気量1[Wb](ウェーバーと読みます)とします。です。

磁界の存在している空間に磁石を入れると磁石は磁気力を受けます。磁気力は磁極の磁気量に比例します。磁気量1[Wb]の磁極が受ける磁気力磁界と定義します。磁気量mの磁極が受ける磁気力磁界の間には、
という関係が成り立ちます。
磁気量mは正負とも考え、の場合をN極の磁気量の場合はS極の磁気量とします。つまり、磁界の向きは、N極では磁気力の方向に一致し、S極では磁気力の方向と正反対の向きです。
この関係式により、
磁界の単位はになります。


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  1. 2008/01/23(水) 13:26:04|
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センター数学IIB'08年第4問

 センター数学IIB '08年第4問 

四面体OABCにおいて、である。とおく。
(1) であり、である。
また、である。

(2) 直線AB上の点Pであるようにとると
   
となり、点Pは線分AB1に内分する。また、であり、である。
は三角形の各辺と垂直であるから、直線CPは三角形を含む平面に垂直である。ただし、については、当てはまるものを、次ののうちから一つ選べ。
ABC   OBC   OAC   OAB
三角形の面積はであるから、四面体OABCの体積はである。

解答 この問題の基礎事項は、空間ベクトルを参照してください。四面体の体積を求める問題ですが、特殊な技巧を使うことなく教科書レベルの知識で解答できるように工夫されている良い問題です。

(1) より、

() 3 () 1 () 2 ......[]
より、
() 3 () 2 ......[]
より、
() 1 ......[]

(2) Pは線分AB上の点だから、tを実数として、とおけます(共線条件を参照)

より、

() 1 () 3 () 2 () 3 ......[]
より、点Pは線分AB21,つまり、1に内分する点。
() 1 () 2 ......[]
() 0 ......[]

(セソ) 15 () 3 ......[]
より、で張られる平面に垂直です。つまり、直線CPは、三角形OABを含む平面に垂直です。
()  ......[]
(ツテ) 15 () 4 ......[]
四面体OABCの体積は、
() 5 (ニヌ) 12 ......[]


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  1. 2008/01/22(火) 23:36:24|
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センター数学IIB'08年第3問

 センター数学IIB '08年第3問 

(1) 数列は初項が7,公差がの等差数列とする。数列の一般項は
   
であり、初項から第n項までの和は
   
である。

(2) 数列は、第n項が
   
というn2次式で表され
    () ・・・①
を満たすとする。このとき
   
であり、である。
さらに、次の条件によって定まる数列を考えよう。
   
    () ・・・②
①と②より、とおくと
    ()
が成り立つ。これより、数列の一般項は
   
である。
数列の初項から第n項までの和となる。

解答 (1)  (等差数列を参照)
(アイ)  (ウエ) 11 ......[]
 (Σの公式を参照)
(オカ)  () 9 ......[]

(2)
これが、に等しいから、
 (恒等式を参照)
() 2 () 5 () 3 ......[]
(サシ)  ......[]
①,②より、

() 2 ......[]
これより、は、公比:2等比数列で、初項は、

() 7 () 2 ......[]

() 7 () 2 () 2 () 3 () 3 () 2 (ニヌ) 31 () 6 () 7 ......[]


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  1. 2008/01/22(火) 23:35:36|
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センター数学IIB'08年第2問

 センター数学IIB '08年第2問 

aを正の実数とし、x2次関数
   
   
とする。また、放物線およびをそれぞれとする。

(1) の共有点をPとすると、点Pの座標はである。また、点Pにおけるの接線の方程式は
   
である。

(2) x軸および直線で囲まれた図形の面積はである。また、x軸の交点のx座標はであり、x軸で囲まれた図形の面積はである。

(3) の範囲で、二つの放物線2直線で囲まれた図形をRとする。Rの中で、を満たすすべての部分の面積
のとき 
のとき
   
のとき 
である。したがって、aの範囲を動くとき、で最小値をとる。

解答 こういう問題は、私には賛成できません。いかに手抜きをして要領よく計算するかというずる賢さが問われているわけで、まるで、世渡り上手なお役人さんを奨励しているような問題です。以下の解答のように丁寧にやっていては、他の問題にかける時間がなくなります。

(1) を連立すると、


 (重解だということは、は接しているということです)
このとき、
の共有点(接点)Pの座標は、
() 4 () 3 () 2 () 9 ......[]
より、点Pにおける接線(実は、共通接線です)は、
() 1 () 3 () 2 () 9 ......[]

(2) x軸および直線で囲まれた図形F面積は、
() 1 () 3 ......[]
とすると、
() a (シス)  ......[]
x軸で囲まれた図形Gの面積は、
 (定積分の公式を参照)
() 1 () 6 ......[]

(3) の計算は、図形Gが、
(i) の中に入りきる(,つまり、)、か、
(ii) から右側が一部はみ出す()、か、
(iii) から全部が右側に出てしまう()
3つの場合に分けて行います。
() 1 () 2 ......[]
(i) の場合は、は、図形Fの面積から図形Gの面積を引いたものとなり、
 (問題文に書いてあります)
(iii) の場合は、は、図形Fの面積に等しく、
 (問題文に書いてあります)
(ii) の場合、は、図形Fの面積から、x軸と直線で囲む面積を引いたものになり、


() 5 () 6 () 4 () 6 () 3 ......[]
のとき、なので、で最小となることはありません。
における最小値は、です。
においては、
a12
00
増減表より、は、で最小値をとります(3次関数の最大最小を参照)
() 6 () 5 () 3 (ハヒ) 25 ......[]
注意 センター試験の会場では、最小は、引く方の面積:が最大のときと最初から決めつけて計算してください。最小値は、からの最大値(通分しないでおく)を引いて求めます。


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  1. 2008/01/22(火) 23:34:52|
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センター数学IIB'08年第1問

 センター数学IIB '08年第1問 

[1] 実数xyは、
    ・・・()
を満たしている。このとき
   
の最小値を求めよう。
真数の条件によりである。ただし、対数に対し、aを底といい、bを真数という。次に、()により
   
である。とおくと、であるから、zのとり得る値の範囲は
   
となる。さらに
   
となるから、Kのとき、最小値をとる。このとき、である。

解答 真数条件より、 (対数関数を参照)
(
) 0 ......[]
()より、
() 3 ......[]
とおくと、
 ・・・①
より、
() 1 () 3 ......[]
() 1 () 3 ......[]
z
は正だから、相加平均・相乗平均の関係より、
不等号の等号は、つまり ()のときに成り立ちます。
() 1 () 5 () 3 ......[]
このとき、より、だから、
() 1 ......[]
①より、
底が5の対数をとって、
() 5 () 2 ......[]


[2] aを正の定数とする。点Oを原点とする座標平面において、中心がOで、半径が1の円と半径2の円をそれぞれとする。を満たす実数q に対して、角の動径ととの交点をPとし、角の動径ととの交点をQとする。ここで、動径はOを中心とし、その始線はx軸の正の部分とする。

(1) のとき、Qの座標はである。

(2) 3OPQがこの順に一直線上にあるような最小のq の値は
   
である。q
   
の範囲を動くとき、円において点Qの軌跡を弧とする扇形の面積は
   
である。
(3) 線分PQの長さの2
   
である。
(4) xの関数
とおき、の正の周期のうち最小のものがであるとすると、である。

解答 (3)は、余弦定理でOKですが、出題者は、三角関数で計算させようとしているようなので、三角関数でやってみます。
Pは、半径1の円周上の点で、座標は、,点Qは、半径2の円周上の点で、座標は、です。

(1) のとき、Qの座標は、
() 3 () 1 ......[]

(2) 3OPQがこの順に一直線上にある場合、

(とします)
() 3 () 6 () 2 ......[]
のとき、なので、円において点Qの軌跡を弧とする扇形の頂角は、
この扇形の面積は、
 (一般角を参照)
() 1 () 3 () 1 ......[]

(3)



 (三角関数加法定理を参照)
() 5 () 4 () 3 () 1 () 3 ......[]

(4) の周期(三角関数のグラフを参照)の最小のものがということは、

() 1 () 6 ......[]


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  1. 2008/01/22(火) 23:34:06|
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センター数学IA'08年第4問

 センター数学IA '08年第4問 

さいころを3回投げ、次の規則にしたがって文字の列を作る。ただし、何も書かれていないときや文字が1つだけのときも文字の列と呼ぶことにする。

1回目は次のようにする。

・出た目の数が12のときは、文字Aを書く
・出た目の数が34のときは、文字Bを書く
・出た目の数が56のときは、何も書かない

2回目、3回目は次のようにする。

・出た目の数が12のときは、文字の列の右側に文字A1つ付け加える
・出た目の数が34のときは、文字の列の右側に文字B1つ付け加える
・出た目の数が56のときは、いちばん右側の文字を削除する。ただし、何も書かれていないときはそのままにする

以下の問いでは、さいころを3回投げ終わったときにできる文字の列について考える。

(1) 文字の列がAAAとなるさいころの目の出方は通りである。
文字の列がABとなるさいころの目の出方は通りである。

(2) 文字の列がAとなる確率はであり、何も書かれていない文字の列となる確率はである。

(3) 文字の列の字数が3となる確率はであり、字数が2となる確率はである。また、文字の列の字数の期待値はである。ただし、何も書かれていないときの字数は0とする。

解答 全事象の場合の数は、6×6×6216通りです(確率を参照)
(1) AAAとなるのは、3回とも12が出た場合で、その出方は、2×2×28通り。
() 8 ......[]
文字の列がABとなるのは、1回目に562回目に123回目に34が出た場合で、その出方は、2×2×28通り。
() 8 ......[]

(2) 文字の列がAとなるのは、2回目に563回目に12が出る(確率は、)か、あるいは、1回目に12が出て、2回目に14のどれかが出て、3回目に56が出る(確率は、)か、のいずれかの場合で、その確率は、
() 5 (エオ) 27 ......[]
何も書かれていない文字の列となるのは、2回目と3回目に56が出る(確率は、)か、1回目と3回目に56が出る(確率は)か、のいずれかの場合ですが、両者にはともに、3回とも56が出る場合(確率は、)が含まれるので、重複する場合を除いて、求める確率は、
() 5 (キク) 27 ......[]

(3) 文字数が3になるのは、3回とも14が出た場合で、その確率は、
() 8 (コサ) 27 ......[]
文字数が2になるのは、1回目に56が出て、2回目と3回目に14が出た場合で、その確率は、
() 4 (スセ) 27 ......[]
文字数が0になる確率は、(2)より
(2)より、文字列がAとなる確率がなので、Bとなる確率も
文字数が1になる確率は、
求める期待値は、
(ソタ) 14 () 9 ......[]


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  1. 2008/01/21(月) 22:56:41|
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センター数学IA'08年第3問

 センター数学IA '08年第3問 

ABCにおいて、とする。
また、△
ABCの外接円の中心をOとする。
このとき、
であり、外接円Oの半径はである。
外接円
O上の点Aを含まない弧BC上に点Dであるようにとる。であるから、とするとx2次方程式
   
を満たす。であるからとなる。
下の
には、次ののうちから当てはまるものを一つずつ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。

AC  AD  AE  BA  CD  ED

Aにおける外接円Oの接線と辺DCの延長との交点をEとする。このとき、であるから、△ACEと△は相似である。
これより、
   
である。また、である。したがって
   
であり、△ACEの面積はである。

解答 △ABCにおいて、余弦定理より、
() 5 ......[]
外接円の半径をRとして、正弦定理より、

() 5 () 2 () 2 ......[]
同一弧の上に立つ円周角は等しいから、
(オカ) 45 ......[]
とすると、△ADCにおいて、余弦定理より、
整理して、
() 2 () 5 (ケコ) 15 ......[]
これを解き、を考慮して、
() 3 ()5 ......[]
接弦角の定理より、 ・・・①
()  ......[]
ACEと△DAEは、が共通で、①より、2角が等しくなるから相似です。
()  ......[]
ECEACAAD5
より、
 ・・・②
() 3 () 5 () 5 ......[]
また、方べきの定理より、 ・・・③
()  ......[]
②より、
これと、とを③に代入して、
両辺をEAで割り、

(テト) 15 () 4 () 2 ......[]
ACEの面積は、
 (三角形の面積を参照)
(ヌネ) 75 () 8 ......[]


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  1. 2008/01/21(月) 22:55:55|
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センター数学IA'08年第2問

 センター数学IA '08年第2問 

abを定数とし、とする。2次関数
   
 ・・・①
のグラフが点
を通るとする。
このとき、
   
であり、グラフの原点の座標をaを用いて表すと
   
である。
さらに、
2次関数①のグラフの頂点のy座標がであるとする。
このとき、
a
   
を満たす。これより、aの値は
   
である。
以下、
であるとする。
このとき、
2次関数①のグラフの頂点のx座標はであり、①のグラフとx軸の2交点のx座標はである。
ただし、
は解答の順序を問わない。
また、関数①は
において
のとき、最小値をとり
のとき、最大値をとる。

解答 2次関数①が点を通ることから、

 ・・・②
() 2 ......[]
①右辺を平方完成して、
②を代入して、
よって、グラフの頂点の座標は、
() 2 () 2 () 3 () 2 () 4 ......[]
頂点のy座標がだから、
分母を払って整理すると、
() 9 (クケ) 20 () 4 ......[]

() 2 () 2 () 9 ......[]
のとき、頂点のx座標は、
() 4 ......[]
①は、
x軸との交点のx座標は、として、

()() 17 (順不同) ......[]
①の平方完成は、
となり、右図より、関数①は、において、
のとき、最小値をとり、
のとき、最大値をとる(2次関数の最大・最小を参照)
() 4 (ツテ)  () 9 (ナニ) 32 () 9 ......[]


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  1. 2008/01/21(月) 22:55:04|
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センター数学IA'08年第1問

 センター数学IA '08年第1問 

[1] 長方形ABCDにおいて、とする。辺AB上に点P,辺BC上に点Q,辺CD上に点R
   
となるようにとり、とおく()。このとき、台形PBCRの面積はである。また、△PQRの面積S
   
である。となるxの範囲は
   
である。

解答 上底:,下底:,高さ:12より、台形PBCRの面積は、
() 4 () 8 ......[]
BPQの面積:,△QCRの面積:より、△PQRの面積Sは、
() 1 () 0 () 4 () 8 ......[]
より、

() 4 () 6 ......[]


[2] 次のに当てはまるものを、下ののうちから一つずつ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。

自然数mnについて、条件pqrを次のように定める。

p2で割り切れる
qn4で割り切れる
rm2で割り切れ、かつn4で割り切れる

また、条件pの否定を,条件rの否定をで表す。このとき

prであるための
であるための
pかつq」はrであるための
pまたはq」はrであるための

 必要十分条件である
 必要条件であるが、十分条件でない
 十分条件であるが、必要条件でない
 必要条件でも十分条件でもない

解答 この程度の設定であれば、「必要条件」、「十分条件」、「かつ」、「または」、「否定」(条件・命題を参照)が理解できている方は、反例がすぐに浮かぶかどうかで、カンで答えてしまっても構わないと思います。
以下、
ijmnを整数とします。

p rは、という反例があるから不成立。
r pは、のとき、2で割り切れるから成立。よって、prであるための必要条件だが十分条件でない。
()  ......[]
ということは、対偶を考えて、は成立、は不成立。よって、であるための十分条件だが必要条件でない。
()  ......[]
pかつq」⇒ rは、,かつ、として、だから、m2で割り切れ、かつn4で割り切れるので成立。
r ⇒「pかつq」は、のとき、2で割り切れ、かつ、n4で割り切れるから成立。よって、「pかつq」はrであるための必要十分条件。
()  ......[]
pまたはq」⇒ rは、pが偽でqのみ真のとき、という反例があるから不成立。
r ⇒「pまたはq」は、r ⇒「pかつq」が成立するから、成立(注.「pかつq」⇒「pまたはq」は必ず真)。よって、「pまたはq」はrであるための必要条件だが十分条件でない。
()  ......[]


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  1. 2008/01/21(月) 13:15:56|
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電圧計・電流計

電圧計・電流計

(1) 電圧計は、被測定体に並列に接続し、内部抵抗は被測定体の抵抗よりも十分に大きくする。
電圧計の測定範囲をn倍に広げるためには、電圧計と直列に、抵抗値の抵抗を接続する。この抵抗倍率器と言う。
(2) 電流計は、被測定体に直列に接続し、内部抵抗は被測定体の抵抗よりも十分に小さくする。
電流計の測定範囲をn倍に広げるためには、電流計と並列に、抵抗値の抵抗を接続する。この抵抗分流器と言う。

電圧計、電流計は、それぞれ、回路内の電圧電流を測定する計測器です。
電圧計は、両端の電圧を測定しようとする電気部品と並列に接続します。また、右図のように、電圧計には、理想的な電圧計(内部抵抗が無限大)と並列に入る形での内部抵抗があります。
右図のように
起電力Vの電池、抵抗Rと直列接続された抵抗値rの抵抗両端の電圧を測定するとします。電圧計の内部抵抗として、合成抵抗は、
 (合成抵抗の公式を参照)
回路を流れる電流より、電圧計の示す値は、オームの法則より、
となりますが、正しい測定値は、です。
が正しい測定値に近づくためには、であれば良いわけです。つまり、であれば、
となります。つまり、精度の良い電圧計というのは、内部抵抗ができる限り大きい電圧計ということになります。
電圧計の測定範囲を広げるためには、右図のように、電圧計と直列に倍率器と呼ばれる抵抗を接続します。倍率器の抵抗値とすると、倍率器と電圧計の内部抵抗直列合成抵抗となり、電圧計にかかる電圧になるので、電圧計の目盛をn倍に読むことにより、電圧計の測定範囲をn倍に広げることができます。

電流計は、電流を測定しようとする分枝に電気部品と直列に接続します。また、右図のように、電流計には、理想的な電流計(内部抵抗がゼロ)と直列に入る形での内部抵抗があります。
右図のように
起電力Vの電池に接続された抵抗Rに流れる電流を測定する場合、電流計の内部抵抗として、合成抵抗は、電流計の示す値ですが、正しい測定値です。
が正しい測定値に近づくためには、であれば良いわけです。つまり、であれば、
となります。つまり、精度の良い電流計というのは、内部抵抗ができる限り小さい電流計ということになります。
電流計の測定範囲を広げるためには、右図のように、電流計と並列に分流器と呼ばれる抵抗を接続します。分流器の抵抗値とすると、分流器と電流計の内部抵抗並列合成抵抗となり、電流計に流れる電流になるので、電流計の目盛をn倍によむことにより、電流計の測定範囲をn倍に広げることができます。


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  1. 2008/01/19(土) 19:35:38|
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非直線抵抗

非直線抵抗

電流電圧の関係を表すグラフが直線にならない抵抗非直線抵抗と言う。

温度依存性を有する抵抗体の場合、抵抗自身の発熱のために、抵抗値電圧によって変化し、電圧電流に比例しなくなります。電流電圧1次式で表せない抵抗非直線抵抗と言います(注.「直線」というのは抵抗体の形状を言うのではなく、電流電圧の関係のグラフが直線にならない、という意味です)
非直線抵抗では
オームの法則は成立しません。
電球、サーミスタ、ダイオード、トランジスタなどの電気部品が非直線抵抗です。

非直線抵抗では、電流電圧の関数として表されず、そのグラフ(特性曲線と言います。普通、電流軸を縦軸、電圧軸を横軸に取ってグラフを書きます)だけが与えられていて、回路の計算を行う必要があります。あるいは、電流電圧の関係式が与えられていても、数式的に解くことが困難だったりします。ここでは、右図のような、電流電圧の関係である電球が与えられていたとします。

この電球に抵抗Rを直列に接続し、起電力の電池に接続したとします。
キルヒホッフ第2法則より、電球両端の電圧Vとして、
 ・・・①
仮に、電球の電流I電圧Vの関係が、のように式で与えられたとすれば、この式と①式を連立すれば電球を流れる電流I電圧Vを求めることができます。
連立方程式を解く、というのはどういうことかと言うと、
のグラフと①式のグラフの交点を求めるということです。のグラフは既に与えられているので、①式のグラフを書き込んで、交点を求めれば、連立方程式の解であるIVを求めることができるはずです。
①式のグラフは直線です。とすると、とすると、となるので、2点を通る直線で、すぐに直線を引くことができます。こうして、のグラフとの交点の値を読み取れば、連立方程式の解は、であり、電球を流れる電流,電球両端の電圧ということになります。

キルヒホッフの法則から出てくる電流電圧の関係は、抵抗と電池だけからなる回路では、1次式になるので、そのグラフは直線です。非直線抵抗周囲の回路が抵抗と電池だけでできていれば、非直線抵抗のグラフがどのようなものであっても、上記のようにして、グラフを用いて非直線抵抗を流れる電流電圧の値を求めることができます。


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  1. 2008/01/17(木) 12:42:33|
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コンデンサーの過渡現象の計算

コンデンサーの過渡現象の計算

右図のように、起電力Vの電池と抵抗R静電容量Cコンデンサーとスイッチを接続した回路を考えます。最初にコンデンサーの電荷0だとします。
時刻においてスイッチを閉じます。回路に流れる電流I,コンデンサーが蓄えている電荷Qとすると、抵抗における電圧降下,コンデンサーにおける電圧降下キルヒホッフ第2法則より、
より、
積分すると、
 (微分方程式を参照)
(D:積分定数)

はじめにコンデンサーの電荷0だったので、においてとすると、

回路を流れる電流と、コンデンサーが貯めこむ電荷の変化の状況を右図に示します。
のとき、ですが、これは、コンデンサーを抵抗ゼロの導線で置き換えた(これを短絡と言います)ときの電流です。スイッチ投入直後にコンデンサーは短絡されてしまったのと同様の動作をします。
また、
充分時間が経過して、とすると、となり、コンデンサーの充電が完了しますが、これは、電池を直接コンデンサーに接続した場合と同じ状態になります。電流が流れず抵抗両端の電圧がゼロなので、抵抗はあってもなくても同じことになります。

ここで、コンデンサーが貯めこむ
静電エネルギーを考えます。コンデンサー両端の電圧と変化する間に、コンデンサーの電荷と変化し、変化分はです。この間にコンデンサーが蓄えた静電エネルギーは、(電位fの位置における電荷q静電エネルギー電位を参照)電圧0からVまで変化する間に、コンデンサーが貯めこむ静電エネルギーUは、として、
 (区分求積法を参照)
最終的な電荷Qについて、より、コンデンサーが貯めこむ静電エネルギー
と、いろいろに表せます。
さて、コンデンサーの
電圧電荷Qの増大にともなって増大しますが、電池においては、電荷Qを送り出す間、電圧は一定値Vです。従って、電池が供給する静電エネルギー、つまり、電池のする仕事は、と考えられます。コンデンサーが貯めこむ静電エネルギとつじつまが合いません。
から充分時間が経過するまでに抵抗Rで消費されるジュール熱Hを求めてみます。

つまり、電池が供給する静電エネルギーのうち半分は、抵抗でジュール熱として消費されてしまうので、コンデンサーには半分のしか蓄えることができないのです。
超伝導のように
抵抗がゼロでない限り、コンデンサーには、電池のした仕事の半分しか静電エネルギーを蓄えることはできません


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  1. 2008/01/16(水) 14:47:56|
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コンデンサーの過渡現象

コンデンサーの過渡現象

(この項目の詳細な計算は、コンデンサーの過渡現象の計算を参照)
スイッチ投入直後コンデンサー抵抗ゼロの導線(短絡)として動作する。
充電完了後は、コンデンサーは電流を流さない。
静電容量Cのコンデンサー両端の電圧Vで、電荷を蓄えているとき、コンデンサーが蓄えている静電エネルギーUは、

右図のように、起電力Vの電池と抵抗R静電容量Cコンデンサーとスイッチを接続した回路を考えます。最初にコンデンサーの電荷0だとします。
スイッチを閉じたときに、回路に流れる
電流I,コンデンサーが蓄えている電荷Qとすると、抵抗における電圧降下,コンデンサーにおける電圧降下キルヒホッフ第2法則より、
 ・・・①
スイッチ投入直後、最初にコンデンサーの電荷0だったので、①でとすると、となりますが、これは、コンデンサーを抵抗ゼロの導線で置き換えた(これを短絡と言います)ときの電流です。
その後、コンデンサーに
電流が流れ込んで電荷Qが増大していきます。
スイッチ投入後、
充分に時間が経過(と言っても通常の電気部品程度のコンデンサーや抵抗ではあっという間です)して、コンデンサーが電荷を蓄えると、①より、となり、電流が流れなくなります。コンデンサーの両極板間は絶縁されているので、電荷を蓄えきってしまえば、電流の流れる経路はありません。この状態を、「コンデンサーは充電された」と表現します。この状況で、コンデンサーの両極板には、電荷が蓄えられています。抵抗には電流が流れていないので抵抗両端の電圧0となり、電池の電圧は全てコンデンサーにかかります。
この間の、
電流とコンデンサーが蓄える電荷の変化の状況を右図に示しました。

ここで、コンデンサーが貯めこむ
静電エネルギーを考えます。
コンデンサー両端の電圧と変化する間に、コンデンサーの電荷と変化し、電荷の変化分はです。
この間にコンデンサーが蓄えた
静電エネルギー、つまり、コンデンサーの受けた仕事は、電圧電荷が移動するので、(電位・電圧を参照)となります。
電圧0からVまで変化する間の状況を右図に示しました。一つ一つの長方形の面積がコンデンサーの受けた仕事を示しています。これらの総和がコンデンサーが貯めこむ静電エネルギーUになると考えられますが、とすると、右図の三角形OABの面積に近づくことがわかります。よって、静電容量Cのコンデンサー両端の電圧Vであるとき、このコンデンサーが貯めこむ静電エネルギーUは、
コンデンサーが蓄えている電荷を考えると、コンデンサーが貯めこむ静電エネルギー
と、いろいろに表せます。
この間、電池においては、
電荷Qを送り出す間、電圧は一定値Vです。従って、電池が供給する静電エネルギー、つまり、電池のする仕事なので、コンデンサーには半分のしか蓄えることができないことがわかります。残りの抵抗ジュール熱として消費されてしまいます。

充電されたコンデンサーの両端を導線でつなぐと、コンデンサーの両極板に蓄えられていた
電荷が導線を通して合体し、コンデンサーの電荷0となります。この状況を「コンデンサーは放電された」と表現します。

コンデンサーの両極板間に過大な
電圧を加えると、極板間の絶縁状態が破壊されて放電してしまうことがあります。加えても破壊されないと保証されている限界の電圧耐電圧と言います。


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  1. 2008/01/16(水) 14:47:05|
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メートル・ブリッジ

メートル・ブリッジ

生物体の神経組織に発生する電圧を測定するような場合、単に電圧計を接続すると電圧計に流れる電流が無視できず、被測定体の内部抵抗における電圧降下のために電圧が変化してしまって、正しい測定が行えなくなる場合があります。
被測定体に
電流を流すことなく正確な電圧を測定するために、右図のような、「メートル・ブリッジ」と呼ばれている回路を使います。
AC間は長さL抵抗値Rの抵抗体になっていて、端子Pは抵抗のどこかに接触させて移動可能だとし、AC間に電池を接続して、AC間に電流Iを流します。
まず、
AB間に電圧値のわかっている電池を接続し、Pの位置を動かして、検流計に電流が流れない状態のときのAP間の距離を測定します。検流計を電流が流れないので、AP間の電圧になります。抵抗値は抵抗体の長さに比例するので、AP間の抵抗で、オームの法則より、
 ・・・①
次にAB間に被測定体を接続し、Pの位置を動かして、検流計に電流が流れない状態のときのAP間の距離を測定します。このときのAP間の抵抗で、オームの法則より、被測定体の電圧は、
 ・・・②
②÷①より、

として、被測定体両端の電圧を正確に求めることができます。


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  1. 2008/01/16(水) 00:35:02|
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ホイートストン・ブリッジ

ホイートストン・ブリッジ

右図の回路は「ホイートストン・ブリッジ」と呼ばれている回路です。マルGは、検流計の記号です。検流計は微小な電流を計測するための測定器です。
ホイートストン・ブリッジは、未知の
抵抗の値を測定するための回路で、右図において、は既知の抵抗で、可変抵抗(抵抗値の値を変化させることの可能な抵抗)を調節して、検流計に電流が流れない状態のときのの値を計測します。
検流計に
電流が流れないということは、AB電位は等しいということです。このとき、を流れる電流は、検流計の側には回らず、全てに流れます。を流れる電流は全てに流れ込みます。AB電位が等しいので、両端の電圧両端の電圧は等しく、オームの法則より、
 ・・・①
両端の電圧両端の電圧も等しく、
 ・・・②
①÷②として、

これで、抵抗値を求めることができます。


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  1. 2008/01/16(水) 00:34:21|
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電池の内部抵抗

電池の内部抵抗

起電力V内部抵抗rの電池から電流Iを流すと、端子間電圧は、

乾電池のような電池では、起電力Vであっても、大きな電流を流すと、端子間電圧(+端子と-端子の間の電圧)起電力よりも小さくなってしまいます。
右図のように、電池内部に
起電力Vと直列に内部抵抗rを持つと考えると理解しやすくなります。
電池から
電流Iを流すとき、内部抵抗r電圧降下を生じるので、電池の端子間電圧は、
となります。電池の起電力とは、のときの端子間電圧です。
また、電池は使われるに従って、
起電力が小さくなるとともに、内部抵抗が大きくなることが知られています。


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  1. 2008/01/16(水) 00:33:38|
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キルヒホッフの法則

キルヒホッフの法則

1法則:回路中のある節点に流入する電流の和と流出する電流の和は等しい。
2法則:回路中の閉回路において、起電力の総和電圧降下の総和は等しい。

電気部品を接続してできるまとまりを回路と言います。回路の中で電気部品と電気部品を接続している点を節点、節点と節点の間の部分を電気部品を含めて分枝と言います。
電気回路の中で、ある部品から出発して途切れることなく回路の結線をたどってもとの部品に戻ってくるとき、この道すじを
閉回路と言います。

電気部品に電流が流れるとき、電流は電位の高い方から低い方に向かって流れます。分枝を電流の流れる方向に進むとき、下がった分の電位差電圧降下と言います。電圧降下電位が下がるときに正です。
電池のように、
電流を供給する能力をもつ電気部品両端の電圧起電力と言います。起電力が正のとき、電流の流れる方向に進むと、起電力分だけ電圧が上昇します。

閉回路中の
抵抗に、閉回路を回る向きに電流が流れるとき、電圧降下は正です。抵抗に、閉回路を回る向きと逆向きに電流が流れるとき、電圧降下は負です。
電圧降下の絶対値はオームの法則により電流の大きさと抵抗値をかけたものになります。

コンデンサーの場合は、正電荷を蓄えている極板が高電位で、負電荷を蓄えている極板が低電位なので、閉回路を回る向きが、正電荷を蓄えている極板から負電荷を蓄えている極板に向かうならば、電圧降下は正です。負電荷を蓄えている極板から正電荷を蓄えている極板に向かうならば、電圧降下は負です。

コイルの場合は、閉回路を回る向きに流れる電流増加するとき、これを妨げる向き(もとの電流と逆向きの電流を流そうとする)起電力が発生します。このとき、閉回路を回る向きに高電位から低電位となります。これを起電力と考えるなら電圧降下と考えるならです。
閉回路を回る向きに流れる
電流減少するとき、これを妨げる向き(もとの電流と同じ向きの電流を流そうとする)起電力が発生し、閉回路を回る向きに低電位から高電位となります。これを起電力と考えるなら電圧降下と考えるならです。

電気回路の中では、電流は蒸発したり消えてなくなったりせずに、どこまででも流れていきます。従って、ある分枝に沿って節点に流れ込んだ電流が、別の分枝からそのまま出て行くことになるので1法則が成立します。
なお、
電流が節点に流れ込み、電流が節点から流れ出す場合、と考えるときには、
という式を立てます。
流入する
電流を正、流出する電流を負として、と考えるときには、
という式を立てます。
節点に、流入あるいは流出する
電流,・・・,があって、電流流入するとき流出するときとする場合には、第1法則を、
と表すこともできます。この書き方をする場合には、第1法則は、「回路中のある節点に流入する電流の総和はゼロ」という言い方になります。

ある節点から出発して閉回路に沿って一周すると、途中で電位が高くなったり低くなったりしながらもとの電位に戻る、つまり、起電力どうし、電圧降下どうしを加え合わせると、双方の和が一致するというのが2法則です。

キルヒホッフ第
2法則では、閉回路を一周するとき、各分枝の電圧降下,・・・,起電力,・・・,として、
という式を立てます。

キルヒホッフの法則を用いて回路の問題を解く場合には、第
1法則と第2法則の式を電流、電圧などの未知数の個数分だけ書いて、連立方程式を解くことになります。
どの節点に着目するか、どの閉回路に着目するか、ということに工夫を要する入試問題も見受けます。
2法則の式を、考え得る閉回路全てについて書き下すと、未知数の個数を上回る式ができてしまうことがありますが、そのときは、式1と式2から式3が導けてしまう、というようなことになっているのです。着目する節点、閉回路をうまくとる必要があります。

 右図の回路で、抵抗はすべて抵抗値rの抵抗、回路に流れ込む電流iとして、AI間の合成抵抗を求めてみます。こうした回路では、分枝の一つずつに電流の値を設定せずに、回路の対称性をうまく活かして立式します。
ABADFIHI電流は、回路の対称性より等しいので、これをとします。
BEDEEFEH電流も、回路の対称性より等しく、これをとします。
BCFDGH電流も、回路の対称性より等しく、これをとします。
節点
Aにおいて、キルヒホッフ第1法則より、
 ・・・①
節点Bにおいて、キルヒホッフ第1法則より、
 ・・・②
BCFEBの閉回路にキルヒホッフの第2法則を適用すると、
 ・・・③
未知数3個で式が3本できたので連立して解きます。
①より、
③より、
②に代入して、
よって、ABCFIの電圧は、
AIを流れる電流iなので、AI合成抵抗は、オームの法則より、です。



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  1. 2008/01/16(水) 00:32:45|
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電力

電力

抵抗Rの両端の電圧V電流Iが流れているとして、抵抗が消費する電力Pは、
時間tの間に抵抗が消費したエネルギーの総量、つまり、電力量Qは、

定常的な電流が流れる導体中では、電荷は等速度運動をしていると考えられます。電荷をもつ電子1個が、一様な電界Eのかけられている長さdの導体棒中で、速度vに比例する抵抗力(比例定数をkとします)を受けて等速度運動しているとして、抵抗力クーロン力つり合いより、

 (電流・オームの法則を参照)
この電子が受ける大きさ抵抗力単位時間にする仕事は、単位時間当たり距離v進むので、となります。電子が単位体積中にn個あるとして、導体棒の体積はで、導体棒中には個の電子があり、導体棒中の全電子が単位時間抵抗力から受ける仕事Pは、導体棒を流れる電流(電流・オームの法則を参照),導体棒両端の電圧(電位・電圧を参照)より、
と書けます。このP抵抗Rが消費する電力と言います。電力の単位は、単位時間当たりの仕事なので、
(ワット)
です。電力の単位は仕事率の単位と同じです。
オームの法則より、電力は、
と、いろいろな形に表せます。

抵抗時間tの間に消費したエネルギーの総量
電力量と言います。電力量電力時間をかけたものなので、電力量の単位は、[J](ジュール)です。
実際には、
抵抗Rの導体に電流Iが流れると、単位時間当たり時間tの間にが出ます。このジュール熱と言います。


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  1. 2008/01/14(月) 14:49:24|
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合成抵抗の公式

合成抵抗の公式

抵抗,・・・,n並列接続したときの合成抵抗をRとして、
抵抗,・・・,n直列接続したときの合成抵抗Rは、

右図のように、抵抗,・・・,n個並列に接続すると、AB間の電圧Vは共通なので、各抵抗に流れる電流,・・・,として、
,・・・,
よって、
n個の抵抗1個の抵抗Rで置き換えると、
として、オームの法則が成立します。このR合成抵抗と言います。

右図のように、抵抗,・・・,n直列に接続すると、AB間を流れる電流Iは共通なので、各抵抗両端の電圧,・・・,として、
,・・・,
よって、
n個の抵抗1個の合成抵抗Rで置き換えると、
として、オームの法則が成立します。


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  1. 2008/01/14(月) 14:48:48|
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電流・オームの法則

電流・オームの法則

導体内のある断面を、時間の間に電荷が通過するとき、電流Iは、
電荷の電子が単位体積中にn個存在する断面積Sの導体棒中を、電子が速さvで移動するときの電流の大きさIは、
大きさI電流が流れる抵抗Rの導体両端の電位差(電圧)Vのとき、
これをオームの法則と言う。
長さ
l断面積Sの導体棒の抵抗Rは、抵抗率rとして、
抵抗率には温度依存性があり、00C1000C程度の温度範囲では摂氏温度をttCとして、ほぼ、
が成り立つ。ただし、 Cのときの抵抗率で、aを抵抗率の温度係数と言う。

物質には、電流が流れる物質(導体)と、電流を流さない物質(絶縁体)があることが知られています。導体は、銀、鉄、銅などの金属、絶縁体は、プラスチック、ガラス、木、布などです。
金属では、電荷
()をもつ電子が電気を伝える媒体になっていることが知られています。
導体内のある断面を、
時間の間に電荷が通過するとき、電流Iは、
となります。電流の単位は[A](アンペア)を使います。電流電荷を時間で割ったものなので、です。

定常的な
電流では、導体中で電荷は等速度運動をしていると考えられます。電荷をもつ電子1個が、一様な電界Eのかけられている長さdの導体棒中で、速度vに比例する抵抗力(比例定数をkとします)を受けて等速度運動しているとして、抵抗力クーロン力つり合いより、


断面積Sの導体中に単位体積当たりn個の電子があって、それがすべて速さvで等速度運動しているとして、導体を流れる電流を考えてみます。体積の中に存在する電子の個数は個ですが、この個の電子が単位時間1つの断面を通過していく電子の個数です。これらの電子の電気量です。
従って、
単位時間1つの断面を通過する電気量、つまり、電流Iの大きさは、

長さdの導体棒両端の電位差(電圧)Vとし、導体棒内の電界が一様だとすると、より、

とおくと、
これをオームの法則と言います。また、R抵抗と言います。のときは、とします。また、とおくと、
このr抵抗率と言います。抵抗は、導体棒の長さに比例し導体棒の断面積に反比例します。
抵抗の単位は[W]を使います。電圧電流の単位の間に、という関係があります。です。抵抗率の単位は、です。
実験を行うことにより、抵抗率
rが、00C1000C程度の温度範囲において、摂氏温度ttCとして、
となることがわかります。ただし、&Cのときの抵抗率で、aを抵抗率の温度係数と言います。


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