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センター数学IIB'07年第4問

 センター数学IIB '07年第4問 

Oを原点とする座標空間に4ABCDがある。とし、線分ABaに内分する点をE,線分CDaに内分する点をFとする。
(1) aを用いて
   
と表される。さらに、に垂直であるのはのときである。
(2) とする。として、線分EFbに内分する点をGとすると、bを用いて
   
と表される。
(3) (2)において、直線OGと直線BCが交わるときのbの値と、その交点Hの座標を求めよう。
Hは直線BC上にあるから、実数sを用いてと表される。また、ベクトルは実数tを用いてと表される。よって
   
である。したがって、点Hの座標は
   
である。また、点Hは線分BC1に外分する。

解答 見易くするために、ベクトルを縦ベクトルで書いて計算して行きます。

(1) 線分ABaに内分する点をEの位置ベクトルは(空間ベクトルを参照)

線分CDaに内分する点をFの位置ベクトルは、


(アイ) 2 (ウエ) 2 () 1 () 4 ......[]

より、

() 1 () 4 ......[]

(2) のとき、
線分EFbに内分する点をGの位置ベクトルは、

() 3 () 2 () 4 () 1 () 2 () 1 ......[]

(3) より、
より、

一方、


3式より、
1式のsを第2式に代入して


1式より、
() 3 () 4 () 3 () 2 () 4 ......[]
これより、
() 3 () 2 (ニヌ) 1 () 1 ......[]
より、HBC31に外分する点。
() 3 ......[]


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(C)2005, 2006,2007 (有)りるらるNewton e-Learning
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  1. 2007/09/24(月) 10:30:40|
  2. センター数学'07年
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センター数学IIB'07年第3問

 センター数学IIB '07年第3問 

三つの数列がある。
(1) 数列は、初項がで、漸化式
    ()
を満たすとする。このとき
   
である。数列の初項から第n項までの和
   
である。また、となる最小の自然数nである。

(2) n項がで与えられる数列は、初項が0で公差がdの等差数列になり、第n項がで与えられる数列は、初項がxで公比がrの等比数列になるとする。このとき
   
と表される。

(3) 数列(1)(2)を満たすとする。さらに、第n項がで与えられる数列の階差数列は、数列であるとする。このとき
   
であるから、(1)より
   
である。したがって、数列の第n項は、それぞれ
   
   
である。

 ・・・① ()
において、xに置き換え、
 ・・・②

①-②を作ると、
これは、が、初項:,公比:3等比数列であることを意味します。

 ・・・③
() 3 (イウ) 30 ......[]
数列の初項から第n項までの和(等比数列を参照)

() 3 () 2 () 3 () 1 ......[]

となる最小の自然数n5
() 5 ......[]

(2)  ・・・④ (等差数列を参照)
 ・・・⑤
④×2+⑤より、
 ・・・⑥
④-⑤×2より、
 ・・・⑥
⑤+⑥より、 ・・・⑦
() 3 () 5 () 1 () 5 ......[]

(3) 数列階差数列は、

これが、に等しいので、③より、

両辺を見比べて、




() 3 (セソタ) 15 () 2 (ツテト) 50 ......[]
⑥より、

⑦より、

() 3 () 2 (ヌネ) 20 () 3 (ハヒ) 10 ......[]


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(C)2005, 2006,2007 (有)りるらるNewton e-Learning

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  1. 2007/09/24(月) 10:29:30|
  2. センター数学'07年
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センター数学IIB'07年第2問

 センター数学IIB '07年第2問 

として、xの関数
   
   
とする。
(1) 二つの関数の差
   
と表され、xの方程式が異なる二つの実数解をもつようなaの範囲は
   
である。
また、のとき、最大値
   
をとる。
(2) (1)で得られた最大値を
   
と表す。aの関数と考えるとき、で最大値をとる。
(3) のとき、曲線と曲線の二つの交点PQの座標は
   PQ
であり、二つの曲線で囲まれた部分の面積S
   
である。
さらに、交点Pにおける曲線の接線と曲線の接線がなす角をq ()とすると
   
である。

解答 単なる計算問題ですが、ボリュームがあるので、計算速度が問われます。
()()をミスすると全滅になるので、ここを丁寧に何度も確認してください。の展開をミスしたばかりに、ペースを崩し、東大どころか、センター試験以降の入試を全て失敗してしまう、という悪夢が起こりうるのです。
途中で枠にはまらなくなったら、必ず、一番最初から見直すこと。

(1)

(アイ) 3 () 3 () 3
とすると、
これの判別式Dより(2次方程式の一般論を参照)

より、
() 2 () 3 ......[]

これは、のとき、最大値をとります(2次関数の最大最小を参照)
() a () 2 () 4 (コサ) 12 () 2 ......[]

(2)


a 2
0
4
増減表より、のとき、最大値は4 (3次関数の最大最小を参照)
() 2 () 4 ......[]

(3) のとき、


より、
交点は、PQ
() 0 () 3 () 2 () 3 ......[]
二つの曲線で囲まれた部分は、の範囲にあり、この範囲において、 (は、この範囲内で正の最大値をとります)であることから、求める面積は(定積分と面積を参照)
 (定積分の公式を参照)
() 9 () 2 ......[]
Pにおける、曲線接線の傾きを,曲線の接線の傾きをとして、


ここで、両接線のなす角の正接を、
 (正接の加法定理を参照)
として計算すると、になっているので、 ()として、

() 9 () 7 ......[]
ここで、不運にも、と計算した場合には、は鈍角なので、という条件に合わせて、補角の方を考え、を解答にします。


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(C)2005, 2006,2007 (有)りるらるNewton e-Learning

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  1. 2007/09/21(金) 12:13:59|
  2. センター数学'07年
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センター数学IIB'07年第1問

 センター数学IIB '07年第1問 

[1] 不等式
   
を満たすxの範囲を求めよう。ただし、とする。
とおくと、与えられた不等式は
   
となる。左辺の因数分解を利用してxの範囲を求めると
    または 
である。

解答  ・・・①
左辺は、
2倍角の公式より、
右辺は、加法定理により、

よって、とおくと、①は、


() 4 () 2 () 2 ......[]
左辺を因数分解して、

かつ ' ・・・② または ‘ かつ ' ・・・③
②のとき、 かつ
右図より、 (三角関数を含む方程式・不等式を参照)
③のとき、 かつ
右図より、
() 6 () 2 () 3 () 5 () 6 () 4 () 3 ......[]



[2] 不等式
   
の表す領域を求めよう。
yは対数の底であるからである。真数は正であるからである。ただし、対数に対し、aを底といい、bを真数という。
また、
   
であるから、与えられた不等式は
   
となる。よって、
    のとき、
    のとき、
となる。
求める領域を図示すると、次の図の影をつけた部分となる。ただし、境界(境界線)は含まない。に当てはまるものを、次ののうちから一つ選べ。

解答 y対数の底であるから、
() 0 () 1 ......[]
真数は正であるから、
 ・・・①
() 2 ......[]

() 2 () 4 ......[]
これより与えられた不等式は(対数を含む方程式・不等式を参照)


() 1 ......[]
分母を払うのですが、 () ()で場合分けして、
のとき、 ・・・②
のとき、 ・・・③
() 1 () 3 () 0 ......[]
②より、のとき、
③より、のとき、,但し、①より、
これを図示すると右図のようになります。
()  ......[]


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  1. 2007/09/21(金) 12:13:10|
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センター数学IA'07年第4問

 センター数学IA '07年第4問 

1辺の長さ1の正六角形があり、その頂点の一つをAとする。一つのさいころを3回投げ、点Pを次の(a)(b)(c)にしたがって、この正六角形の辺上を反時計回りに進める。
(a) 頂点Aから出発して、1回目に出た目の数の長さだけ点Pを進める。
(b) 1回目で点Pがとまった位置から出発して、2回目に出た目の数の長さだけ点Pを進める。
(c) 2回目で点Pがとまった位置から出発して、3回目に出た目の数の長さだけ点Pを進める。

(1) 3回進めたとき、点Pは正六角形の辺上を1周して、ちょうど頂点Aに到達する目の出方は通りである。
3回進める間に、点P1回も頂点Aにとまらない目の出方は通りである。

(2) 3回進める間に、点P3回とも頂点Aにとまる確率はであり、ちょうど2回だけ頂点Aにとまる確率はである。
3回進める間に、点Pがちょうど1回だけ頂点Aにとまる確率はである。

(3) 3回進める間に、点Pが頂点Aにとまる回数の期待値は回である。

解答 (アイ)は数えてしまう方が速いと思います。

(1) 3回で1周して、ちょうどA点に到達するのは、3回の目の和が6になるときで、
10通り。
(アイ) 10 ......[]
別解 3回各回に1ずつ振り分け、残り3を異なる3回各回から重複を許して3とると考えると(重複組み合わせを参照)
通り

各回とも、PがどこにいてもAに行く目の出方は1通りA以外に行く目の出方は5通りです。
3回とも、PAに来ないのは、通り。
(ウエオ) 125 ......[]

(2) さいころを3回振ったときの目の出方は、通りあります。
P3回ともAに来るのは、3回とも6が出る場合で1通り。その確率は、
() 1 (キクケ) 216
ちょうど2Aに来るのは、Aに来ないときが1回目なのか、2回目なのか、3回目なのか、3通りあり、その各1通りで、通りの目の出方があるので、合わせて、通り。
その確率は、
() 5 (サシ) 72 ......[]
ちょうど1Aに来るのは、Aに来るのが1回目なのか、2回目なのか、3回目なのか、3通りあり、その各1通りで、通りの目の出方があるので、合わせて、通り。
その確率は、
(スセ) 25 (ソタ) 72 ......[]

(3) PAに止まる回数の期待値は、
() 1 () 2 ......[]


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(C)2005, 2006,2007 (有)りるらるNewton e-Learning

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  1. 2007/09/20(木) 11:17:29|
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センター数学IA'07年第3問

 センター数学IA '07年第3問 

において、とする。また、の外接円の中心をOとする。
(1) このとき、であり、外接円Oの半径は
   
である。
(2) Oの円周上に点Dを、直線ACに関して点Bと反対側の弧の上にとる。の面積をの面積をとするとき
      ・・・①
であるとする。であるから
   
となる。このとき
   
である。
さらに、2ADBCの延長の交点をEとし、の面積をの面積をとする。このとき
      ・・・②
である。①と②より
   
となる。

解答 センター試験としては、難しい部類の問題ですが、さりとて難問ではないので、じっくり丁寧に見てゆけば完答できるはずです。

(1) 余弦定理より、


(アイ) 60 ......[]
正弦定理より、外接円の半径をRとして、


() 2 () 3 () 6 ......[]

(2) は、円に内接する四辺形の対向する角だから、

(カキク) 180 ......[]
 (三角形の面積を参照)

() 1 () 2 ......[]
三角形ACDにおいて、余弦定理より、
ここで、より、とおくと、で、



() 2 () 7 (スセ) 14 ......[]
より、
また、三角形ABEと三角形CDEとにおいて、は共通なので、
相似比は、ABCD = 2 =
よって、
() 7 () 2 ......[]
より、
①より、

() 5 () 2 ......[]


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(C)2005, 2006,2007 (有)りるらるNewton e-Learning

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  1. 2007/09/20(木) 11:16:16|
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センター数学IA'07年第2問

 センター数学IA '07年第2問 

aを定数とし、x2次関数
   
   ・・・①
のグラフを
Gとする。
(1) グラフGが表す放物線の頂点の座標は
   
である。グラフGx軸と異なる2点で交わるのは
   
のときである。さらに、この二つの交点がともにx軸の負の部分にあるのは
   
のときである。

(2) グラフGが表す放物線の頂点のx座標が3以上7以下の範囲にあるとする。
このとき、aの値の範囲は
   
であり、2次関数①のにおける最大値M
   のとき
   
   のとき
   
である。
したがって、2次関数①のにおける最小値が6であるならば
   
であり、最大値M
   
である。

解答 私には、こういう問題の意義がわかりません。受験生泣かせの悪問ですが、難関大を狙う受験生の場合、これくらいの問題を軽く蹴散らしてくれるのでなければ修行不足と言うべきです。

(1)  (2次関数を参照)

放物線の頂点の座標は、
() 1 () 6 () 3 ......[]
グラフGx軸と異なる2点で交わるのは、頂点のy座標が負のときで(2次方程式の一般論を参照)

を解くと、より、
 ・・・②
() 3 () 6 ......[]
この二つの交点がともにx軸の負の部分にあるために、②に加えて、軸がの部分に存在し、Gy軸との交点がの部分に来ることが必要十分です(2次方程式の解の配置を参照)
軸がの部分にあるために、
 ・・・③
Gy軸との交点がの部分に来るために、
 ・・・④
ここで、の大小関係が問題になります。

この分母は正で、分子は、

よって、です。
従って、②かつ③かつ④より、
() 3 () 6 () 2 () 2 ......[]

(2) 放物線の頂点のx座標が3以上7以下なので、
 ・・・⑤
() 4 () 8 ......[]
軸が、の範囲の左半分()にあるか右半分にあるか()で場合分けします(右図、2次関数の最大・最小を参照)
() 6 ......[]
(i) のとき、軸が範囲の左半分の側にあるので、①は、範囲の右端において最大値Mをとり、

() 2 (セソ) 22 (タチ) 67 ......[]
(ii) のとき、軸が範囲の右半分の側にあるので、①は、範囲の左端において最大値Mをとり、
 ・・・⑥
() 2 (テト) 14 (ナニ) 19 ......[]
①は、において、で最小値をとり、最小値が6なので、

 ・・・⑦

⑤より、
() 3 () 2 () 3 ......[]
このとき、より、上記(ii)の場合であって、⑥,⑦より、最大値Mは、
(ハヒ) 19 () 4 () 3 ......[]


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(C)2005, 2006,2007 (有)りるらるNewton e-Learning

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  1. 2007/09/19(水) 12:30:02|
  2. センター数学'07年
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センター数学IA'07年第1問

 センター数学IA '07年第1問 

[1] 方程式
   
   ・・・①
を考える。
(1) 方程式①の解のうち、を満たす解は
   
である。
(2) 方程式①の解は全部で個ある。その解のうちで最大のものをaとすると、を満たす整数mである。

解答 絶対値を含む方程式は、絶対値を外してから、というだけの問題です。「その解のうち最大のもの」という文句が見えるので、の場合も計算する必要があります。

(1) のとき、①は、

展開して整理すると、
 (ともに、をみたす)
() 1 () 3 () 2 ......[]
(2) のとき、①は、

展開して整理すると、
 (ともに、をみたす)
①の解は4個あります。そのうち最大のものは、
より、

() 4 () 3 ......[]


[2] 集合AB
  
   
とする。
(1) 次のに当てはまるものを、下ののうちから一つずつ選べ。
自然数がnAに属することは、n2で割り切れるための
自然数がnBに属することは、n20で割り切れるための
 必要十分条件である
 必要条件であるが、十分条件でない
 十分条件であるが、必要条件でない
 必要条件でも十分条件でもない
(2) 次のに当てはまるものを、下ののうちから一つずつ選べ。
とする。自然数全体の集合を全体集合とし、その部分集合Gの補集合をで表すとき
である。
     
     

解答 (1)は、「十分条件必要条件」、「十分条件を満たす集合⊂必要条件を満たす集合」ということ(条件・命題を参照)が理解されていればよいのです。(2)は、ベン図を書いて確かめましょう(集合を参照)

(1) 「自然数n10で割り切れる 自然数n2で割り切れる」より、
自然数がnAに属することは、n2で割り切れるための十分条件です。逆は成立しないので必要条件ではありません。
()  ......[]
「自然数n4で割り切れる 自然数n20で割り切れる」より、
自然数がnBに属することは、n20で割り切れるための必要条件です。逆は成立しないので十分条件ではありません。
()  ......[]

(2) 右図より、
()  ()  ()  ......[]


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(C)2005, 2006,2007 (有)りるらるNewton e-Learning

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  1. 2007/09/19(水) 12:29:09|
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慶大理工数学'07年[B1]

慶大理工数学'07[B1]

(1) を満たす3次式と、を満たす4次式を求めなさい。また、多項式で、
を満たすものを求めなさい。解答欄には答だけを書くこと。
(2) (1)で求めた多項式とする。とするとき、であるためには、またはまたはであることが必要十分であることを証明しなさい。
(3) の値を求めなさい。値だけでなく、なぜそうなるのかも書くこと。

 自然数nに対して、で与えられるn次多項式をチェビシェフの多項式と言います。の定義域、値域とも、となっていて、のグラフがの正方形の領域にすっぽりと収まるのでハンドリングし易く、入試でもよく採り上げられます。

(1) 3倍角の公式で構わないのですが、も求めるので、ともに、2倍角の公式を使って求めることにします。
 (2倍角の公式を参照)
......[]
で割る除算を実行することによって、
 ・・・①
......[]

(2) ①において、xに入れ替え、和を積に直す公式を用いると、
 ・・・②
これより、とすると、 または
より、
より、
よって、 (三角関数を含む方程式を参照)
②にこのq の値を代入すると、になるので、
①において、とすると、
は、互いに異なる値になります。
より、は、の解ではありません(因数定理を参照)
従って、は、3次方程式の異なる3個の解であり、3次方程式は高々3個の解しか持たないので、3次方程式の全ての解です。
以上より、とするとき、であるためには、またはまたはであることが必要十分です。 (証明終)

(3) とおくと、
の係数を比較することにより、
......[]


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(C)2005, 2006,2007, 2008 (有)りるらるNewton e-Learning
 雑誌「大学への数学」購入

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  1. 2007/09/18(火) 07:26:34|
  2. 慶大理工数学'07年
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慶大理工数学'07年[A4]

慶大理工数学'07[A4]

(1) 不定積分を計算して
 テ  (Cは積分定数)
を得る。
(2) 座標空間内で、各時刻t において2つの動点を結ぶ直線を考える。時刻t 0から2まで進むとき、この直線群が作る曲面とxy平面、yz平面、平面によって囲まれる立体をDとする。
平面 ()によるDの断面積をとするとき、
 ト ( ナ )
である。よって、Dの体積は ニ である。
次に、立体Dy軸のまわりに1回転させて得られる回転体Kの体積について考える。 ()とおいて、fの逆関数とする。このとき、回転体Kの体積V
と表せる。ここで、であることに注意して置換積分法を適用した上で、(1)の不定積分などを用いて、 ネ を得る。

解答 この問題は、なかなか手ごわいです。

(1) ()  (部分積分法を参照)

......[]
別解 「不定積分を計算して」と書いてあっても、
として、より、

として、部分積分法の計算をなるべく避ける方が無難です。

(2) () 点を結ぶ直線上の点について、この直線の方向ベクトルが、
であることから、kを実数として、
ここで、として、

のとき、
だから、
のとき、 (による断面はyz平面上の線分)
のとき、
平面によるDの断面は、y軸と直線,曲線 ()で囲まれる部分(右図黄緑色部分)であり、その面積は、
 ・・・①
 (定積分と面積を参照)
......[]
() 平面 ()によるDの断面をxy平面上までz軸に垂直に平行移動した図形は、y軸と直線,曲線 ()で囲まれる部分(右図黄色部分)であり、その面積は、
とおくと、xのとき、u (置換積分を参照)
①の積分と見比べて、
 ・・・②
のときもなので、②が成立。
......[]
() よって、Dの体積は、
 (定積分と体積を参照)
......[]
() 立体を回転と言っても、あるy座標のところで回転体を切ったときの断面の円を考えれば良いのです。立体Dy軸の周りに回転するのですが、直線群を回転しても同じことなので、2を結ぶ直線上の点をy軸の周りに回転すると考え、直線上の点 ()y軸との距離を考えます。
y座標がのとき、直線上の点とy軸との距離L2乗は、
より、において、は、 または のときに最大(y軸から最も遠い)となります(2次関数の最大最小を参照)
のとき、のとき、ですが、1のどちらが大きいかを考えます。
となるのは、のときです。
以上より、平面で回転体を切ったときの断面にできる円の面積は、
,つまり、のとき、
,つまり、のとき、
回転体の体積Vは、
逆関数を考えると、より、です。
これより、
 (y軸の周りの回転体を参照)
e ......[]
() 
は、とおくと、より、yのとき、x (置換積分を参照)
 (部分積分法を参照)
 ((1)の結果を用いた)
よって、
......[]


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(C)2005, 2006,2007, 2008 (有)りるらるNewton e-Learning
 雑誌「大学への数学」購入

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  1. 2007/09/17(月) 11:28:48|
  2. 慶大理工数学'07年
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慶大理工数学'07年[A3]

慶大理工数学'07[A3]

図のように、座標平面上に2ABが与えられている。また、原点Oを中心とした半径1の円周上に、0以上以下であるような点Pがある。
いま、動点
Xが、点Aを出発し、円周に沿って反時計回りに点Pに至り、その後線分PBに沿って点Bに移動する。ただし、円周上では速さ1で移動し、線分PB上では速さk ()で移動するものとする。 ()とし、動点XAからBへ至る所要時間をとする。
(1) 線分PBの長さをを用いて表すと、 セ となる。
(2) の導関数は
 ソ 
となる。
(3) のとき最小となるためには、 タ となることが必要十分である。
(4) とおくとき、q の式で表すと、 チ となる。
また、 タ とするとき、が最小となるようにq を選ぶと、akの間には、 ツ という関係が成立する。

解答 慶大理工のよくあるタイプの問題です。以前は、このタイプの問題でもよく練られたおもしろい問題があったんですけどね。
途中の
()が、ていねいに調べていると非常に面倒なのですが、空所補充問題なので、試験会場では、詳細な議論を省いて正答しておくのが賢明でしょう。

(1) () です。右上図より、,円弧APの長さは、,円弧APを動点Xが進むのに要する時間は、
より、三角形POB余弦定理を適用して、
......[]

(2) () PBを動点Xが進むのに要する時間は、


......[]

(3) () 

この分母は、においてです。
分子をに関する2次関数とみて、とおくと、
軸の位置で分類します。
のとき、なので、
(i) (ii) (iii)
という風に分類します。

(i) ,つまり、のとき、は、において、減少関数で、
より、は、の範囲に解 ()をもち、
,つまり、において、
,つまり、において、
従って、において極小値をもつ(関数の増減を参照)ので、において最小とはならず、不適。
注意 上記で、q→大、のとき、→小、であることに充分に注意してください。

(ii) ,つまり、のとき、において最大で、
より、
において、
従って、単調減少で、において最小になります。

(iii) ,つまり、のとき、は、において、の増加関数で、より、において、
従って、単調減少で、において最小になります。

以上より、のとき最小となるためには、となることが必要十分です。
......[]

(4) () 三角形POBにおいて、正弦定理より、
......[]
() を用いて、
のとき、つまり、(3)(i)のとき、において最小となりますが、このとき、
......[]


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  1. 2007/09/16(日) 08:25:24|
  2. 慶大理工数学'07年
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慶大理工数学'07年[A2]

慶大理工数学'07[A2]

(1) 2つの行列AP
とする。ただし、abkはいずれも実数で、であり、Pは逆行列をもつとする。このとき、ab を実数として
となるように定数kの値を定めると、 キ である。また、ab abを用いて表すと、 ク  ケ となる。したがって、行列An個の積
とすると、abnを用いて、 コ  サ と表すことができる。
(2) であるような実数tに対し、行列Aと、座標平面上の点 を、
と定義する。このとき、すべてのnについてを満たすtの値の範囲を不等式で表すと、 シ となる。この場合、としても点は原点には近づかない。のときに点が原点に限りなく近づくようなtの値の範囲を不等式で表すと、 ス となる。

解答 ab は、行列A固有値で、行列A対角化をベースにした問題ですが、等比数列の収束条件をからめた計算問題に過ぎません。基礎のしっかりした受験生なら手が止まるところはありません。
式が長くならないように、
abgdに結果を代入してしまわないで、abgdを使って、計算を進めていくのがコツです。

(1) () の左からPをかけると(行列の対角化を参照)
つまり、
 (行列の積を参照)
 ・・・①,  ・・・②,  ・・・③
②×k-③より、
より、
では、となり、より、が存在しなくなるので、 (逆行列を参照)
......[]
() ①より、
......[]
() ②より、
......[]
() ()より、
の両辺をn乗すると、
より、
 (行列の累乗を参照)
左からP,右からをかけて、
()()より、

......[]
()  ......[]

(2) () (1)Aにおいて、として考えます。
より、
すべてのnについてより、
......[]
このとき、より、のとき、となり、点は、原点に近づきません(等比数列の極限を参照)
() のとき、が原点に近づくことより、
よって、 かつ  (等比数列の極限を参照)
かつ
かつ
......[]


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  1. 2007/09/16(日) 08:23:44|
  2. 慶大理工数学'07年
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慶大理工数学'07年[A1]

慶大理工数学'07[A1]

(1) とする。実数aに対して、
を考える。を最小にするようなaとするとき、 ア  イ である。
次に、関数 と、実数bcに対して、
を考える。を最小にするようなbcをそれぞれとすれば、
 ウ  エ である。
(2) 9角形の3つの頂点でできる()個の三角形のうち、鈍角三角形の個数は オ 個である。一般に、正整数nに対して、正角形の3つの頂点でできる鈍角三角形は、全部で カ 個ある。

解答(1)() 
 (不定積分の公式を参照)
 (aについて2次関数なので平方完成する)
 (2次関数の最大最小を参照)
これを最小にするaは、
......[]
() のとき、 (極限の公式を参照)
1 ......[]

() となることに注意して、

は、bcに依存しない定数。




これを最小にするbcは、
のとき、
......[]
() 0 ......[]

(2)() 正9角形の頂点に順に、,・・・,と名前をつけます。
三角形が鈍角三角形になるのは、9角形の外接円の直径の片側に3頂点がくる場合です。
ここでは、最大辺に目をつけます。
重複して数えないように、最大辺で正9角形を2つに分けるとき、小さい方の多角形に含まれる三角形のみを考えることにします。
(i) 最大辺の両端が隣接2頂点になることはありません。
(ii) 最大辺の両端が1頂点おいた2頂点、例えば、のとき、三角形のもう一つの頂点はであって、三角形は鈍角三角形です。このタイプの鈍角三角形は、最大辺の選び方だけ9個あります。
(iii) 最大辺の両端が2頂点おいた2頂点、例えば、のとき、三角形のもう一つの頂点は、またはです。三角形,三角形は鈍角三角形です。最大辺の選び方が9通りあり、各々について残る頂点の選び方が2通りあるので、このタイプの鈍角三角形は個あります。
(iv) 最大辺の両端が3頂点おいた2頂点、例えば、のとき、三角形のもう一つの頂点は、またはまたはです。三角形,三角形,三角形は鈍角三角形です。最大辺の選び方が9通りあり、各々について残る頂点の選び方が3通りあるので、このタイプの鈍角三角形は個あります。
これですべての場合です。
鈍角三角形は、個あります。
54 ......[]

() 正角形の場合(9角形はの場合になります)、最大辺の両端の頂点は、1頂点おいた2頂点、から、頂点おいた2頂点までの可能性があります。
9角形のときと同様に考えて、最大辺で正角形を2つに分けるとき、小さい方の多角形に含まれる三角形のみを考えることにします。
最大辺がk頂点おいた2頂点となる場合()、このk個の頂点が三角形の残る頂点となる可能性があるのでk通りの三角形ができます。
いずれのkの値についても、最大辺の選び方は通りあり、鈍角三角形は、
あります。 (Σの公式を参照)
......[]


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  1. 2007/09/14(金) 11:24:32|
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早大理工数学'07年[5]

早大理工数学'07[5]

xy平面において、点を中心とする半径5の円をC,点を中心とする半径4の円をDとする。CDの共通接線のうち、CDが異なる側にあり傾きが正であるものを,傾きが負であるものをとし、CDが同じ側にあり傾きが正であるものをmとする。以下の問に答えよ。
(1) 直線の方程式を求めよ。
(2) 直線mの方程式を求めよ。
(3) 三直線mのすべてに接しCDと異なる円をEとする。二円Eの中心のx座標を求めよ。
(4) (3)の円Eの半径を求めよ。

解答 (1)(2)は相似を考えて図形的に処理する方がラクですが、ここではオーソドックスにやってみます。

CDの共通接線の方程式を ・・・① とおきます。
題意より、①と
との距離が5なので(円と直線の位置関係を参照)
 ・・・②
①ととの距離が4なので、
 ・・・③
②,③より、を消去して、絶対値を外すと、
 ・・・④

④の複号のプラスをとると、
 ・・・⑤
②より、
整理すると、
2乗して、

これと⑤を①に代入し、aで割る(なら直線を表さない)と、
 ・・・⑥

④の複号のマイナスをとると、 ・・・⑦
②より、
5で割り2乗すると、

これと⑦を①に代入し、aで割ると、
 ・・・⑧

(1) ⑥,⑧のうち、CDが異なる側にあり傾きが正であるものは、
......[]

(2) ⑥,⑧のうち、CDが同じ側にあり傾きが正であるものは、
m ......[]

(3)
を共通接線とする円の中心は、なす角の2等分線上に来ます。つまり、円Eの中心はy軸上にあるので、そのx座標は0 ......[]

(4) Eの半径をr,中心のy座標をdとする(題意より、)と、との距離がrなので、
() ・・・⑨
mとの距離がrなので、
分母を払い、⑨を代入して、
で割り、絶対値を外すと、
......[]


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  1. 2007/09/12(水) 17:53:58|
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早大理工数学'07年[4]

早大理工数学'07[4]

nを正の整数とするとき、以下の問に答えよ。
(1) kを正の整数とする。関数における最大値をとするとき、およびを求めよ。
(2) において定められた連続関数とする。関数における最大値をそれぞれとする。このとき0の大小を
         
の形式で答え、その理由をのべよ。
(3) を定数、とし、関数における最大値をとする。このときを求めよ。

解答 こういう問題は難問に見えてしまうのですが、難問だと思ってしまうと難問です。

(1)

とすると、においては、 ()
のとき、
x0 1
0
y00

増減表より、 ......[]
また、 ( )
......[]

(2) において、関数が、それぞれ、 ()において、最大になるとすると、
 ・・・①
 ・・・②
 ・・・③
①+②より、
 ・・・④
③の不等号の等号は、のときに成立します。
④の不等号の等号は、であれば、のときに成立しますが、それ以外の場合には、必ずしも成立するとは限ないことに注意してください。
④左辺で、のときを考えると、
 ・・・⑤
また、関数は、のときに、関数値0をとります。従って、その最大値 ・・・⑥
⑤,⑥より、 ......[]

(3) 関数における最大値をとすると、より、関数における最大値は、です。
また、において、より、 ()
関数における最大値は、のとき、rです。
関数における最大値について、(2)の結果より、
 ・・・⑦
において、より、関数:
における最大値は、関数の最大値r以上であって、
 ・・・⑧
⑦,⑧より、
(1)より、のとき、より、
よって、はさみうちの原理より、 ......[]


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  1. 2007/09/10(月) 14:11:11|
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早大理工数学'07年[3]

早大理工数学'07[3]

曲線で囲まれた図形のうち、をみたす部分の面積をとする()。以下の問に答えよ。
(1) をみたす定数pqを求めよ。ただし、Cは積分定数である。
(2) の値を求めよ。
(3) の値を求めよ。
(4) を求めよ。

解答 少々アレンジしてありますが、早大理工でも頻出の問題です。(1)がついているのは、部分積分させると、受験生が全滅状態になることを恐れてなのでしょうか?
面倒そうに見えますが、
等比数列です。

(1) の両辺をxで微分する(積の微分法微分の公式を参照)と、

で両辺を割って整理すると、
 ・・・①

ここで、ABを定数として、
 (三角関数の合成を参照)
ただし、d は、をみたす角。
これが、任意の実数xについて成り立つために、,つまり、であることが必要十分です。

従って、①が任意の実数xについて成り立つために、

......[]
これより、 ・・・②

(2) より、②を用いて、

ここで、
 ・・・③



 ・・・④

......[]

(3)
ここで、

について、とおくと、xのとき、t (置換積分減衰振動関数を参照)

さらに、であることに注意すると、
において、
において、
より、

 ( )
 ( ) ・・・⑤
......[]

(4) ⑤より、は、初項,公比の等比数列。
より、無限等比級数は、収束して和をもつので、
......[]


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  1. 2007/09/10(月) 14:10:16|
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早大理工数学'07年[2]

早大理工数学'07[2]

定数cに対して行列A
で定め、直線上の動点PAによって移動した点をQとする。すなわち、
に対応する点をQとする。定点Rとすべてのtの値に対して、Pを直角の頂点とする直角三角形となるという。以下の問に答えよ。
(1) 定点Rの座標および定数cの値を求めよ。
(2) 三角形PQRの外接円の面積の最小値と、そのときのtの値を求めよ。

解答 いろいろな解法が考えられますが、直線の傾きを考える(直線の方程式を参照)と場合分けが必要で面倒です。ここでは内積を考えることにします。
問題文が行列を使って書かれていますが、
行列の積の計算をするだけで、行列が本質的な問題ではありません。

見易くするために、ベクトル
を縦ベクトルで書きます。
(1) Qの位置ベクトルは、
Pを直角の頂点とする直角三角形となることから、,つまり、 (内積を参照)
Rとして、


これがすべてのtの値に対して成立するために、
 (恒等式を参照)
......[]
定点Rの座標は、 ......[]
このとき、です。

(2) Pを直角の頂点とする直角三角形であることから、直角三角形の直径はQR,半径は,外接円の面積は、になります。

 (2次関数の最大・最小を参照)
これは、のときに、最大値 ......[] をとります。


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  1. 2007/09/08(土) 08:13:03|
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早大理工数学'07年[1]

早大理工数学'07[1]

複素数ab ()に対して、を初項とする数列
 ()
で定める。以下の問に答えよ。
(1) のどちらかが成立することを示せ。
(2) 数列がさらに次の条件をみたすとする。
() 隣接する2項の積はすべて0となる。すなわち
 ()
このときab およびの値を求めよ。

解答 こういう問題の鉄則は、「必要条件から考える」(条件・命題を参照)、もっと、平たく言えば、「考え易いところから考える」ということです。
数列が題材になっていますが、数列としての要素はありません。

(1) だとします。です。

 ( )
よって、のどちらかが成立します。

(2) 一般項のままで考えていくのはきついです。こういうときは、すべての自然数nについて成り立つのだから、まず、のときはどうか、のときはどうか、という発想をします。具体的に簡単な数をあてはめて感じをつかむ、というように、言ってもよいし、考え易いところから手がかりを探っていく、というように、言っても良いし、固い言葉で、「必要条件から考える」と決めておくのも良いと思います。

のときは、になります。
のときは、ですが、なので、,つまり、 ・・・① です。
なので、(1)より、です。ということは、なので、
です。
 ・・・②
①,②より、ab は、x2次方程式
 (この方程式を見て、「13乗根」がテーマだと気づきたい)
2(解と係数の関係を参照)であって、より、
 ・・・③
(この時点では、まだ、条件()の場合しか確認していない、つまり、③はこの問題の必要条件にしかなっていない、ので解答にしてはいけません)

面倒なので、とおきます。であり、,また、
より、です。
wを用いて、
なので、n3で割った余りで場合分けします。
(i) ()のとき、
 ( より、)
(ii) ()のとき、
(iii) ()のとき、

このとき、 ()が成り立ちます。
これで③を解答にして良いこと、つまり、③がこの問題の十分条件にもなっていること、が確認されました。

......[]
......[]

蛇足 この問題のように、問題文が想定している全ての場合を考えないで、ある特殊な例だけ考えて行くときには、出てきた解答らしきもの(必要条件)が、本当に全ての場合について与えられた条件を満たすのかを確認(十分条件を確認)しなければいけません。
また、与えられた条件を満たす答(十分条件)がすぐに浮かぶような場合には、ほかにも条件を満たす答があるのではないかと疑わなければいけません。ほかには答がないこと(必要条件)が確認できて初めて解答にできるのです。


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  1. 2007/09/07(金) 10:22:05|
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京大物理'07年前期[3]

京大物理'07年前期[3]

次の文を読んで、  には適した式を、{  }には正しい番号を一つ選び、それぞれの解答欄に記入せよ。また問1,問2,問3には適切な説明を所定の枠内に記入すること。

熱力学は気体だけではなく、さまざまな対象にも適用することができる。本問ではひも状の物体の熱力学を考えてみよう。あるひも状の物体を引き伸ばし、長さが
からの範囲内で張力Xを測定したところ、Xは長さLに依存せず、絶対温度Tおよび正の定数Aを用いてと表された。この物体の変形としては、Lからの範囲内にある一次元的な伸縮のみを考え、また内部エネルギーUは正の定数Cを用いてとなるとして、以下の問いに答えよ。

(1) この物体に外から微小仕事を加えて微小量だけ伸ばしたときに、という関係式が成り立つ。吸熱量を,内部エネルギーの変化をとしたとき、熱力学第一法則よりは、ATを用いて あ と表される。一方より、物体を伸ばしたときの温度変化を用いて、内部エネルギーの変化は い とも書ける。
断熱的に物体をゆっくりと微小量伸ばしたときの温度変化は、CATを用いて表すと う となり、温度は{:① 下降する。 ② 変わらない。 ③ 上昇する。}ただし、とする。

(2) さて、この物体を断熱的にゆっくりと伸ばした。そのときが一定であった。ここで、Tの自然対数である。

1 この理由を述べよ。ただし、正の変数Tまでわずかに変化させたときのの変化量をと表すと、が成り立つことを用いてよい。

(3) 次に、同じ物体を温度Tに保ったまま、長さからLまでゆっくりと変化させたときに物体に外から加えられた仕事は お であり、その間の吸熱量は か である。ただし、 お および か ATLのみで表すこと。

(4) 1のように横軸を物体の長さLとし、縦軸を温度Tとしてこの物体の状態変化を表す。物体を温度に保ちゆっくりと等温変化をさせ、その後ゆっくりとまで断熱変化させ、さらに温度でゆっくりと等温変化をさせた後に、断熱的にゆっくりと温度の初めの状態に戻すサイクルを考えよう。高温熱源(温度)から熱を吸収して仕事をし、低温熱源(温度)に熱を放出するようなサイクルは、{:① (a)を時計回りに回る。 ② (a)を反時計回りに回る。 ③ (b)を時計回りに回る。 ④ (b)を反時計回りに回る。}

2 このサイクルでは、が等しくなる。その理由を述べよ。

(5) 一般にサイクルでの熱効率は、物体がサイクルを通じて外にする正味の仕事を、高温熱源から吸収する熱量で割った量として導入される。よって、サイクルを動かす間の熱効率は、とサイクルを動かす間に放出する熱量を用いて く と書ける。

3 これまでの結果を用いて、(4)のサイクルの熱効率がとなる理由を説明せよ。

解答 難しそうに見えますが、簡単です。

(1)   ・・・① は、外部から物体に加えられた仕事なので、物体が外部にした仕事です。熱力学第一法則より、
 ・・・②
......[]
 より、内部エネルギーの変化は、 ・・・③
......[]
 ②,③より、
断熱変化においては、
 ・・・④
......[]
 ④より、のとき、
温度は上昇するので、③ ......[]

(2) 1 ④より、,これと、とから、

これより、は一定です。

(3)  ①より、物体に外から加えられた仕事は、

......[]
 ③より、等温変化のとき、
②より、 ・・・⑤
吸熱量は、
......[]

(4)  高温等温変化においてを吸収したので、,⑤より、,よって、ここで長さが縮みます(右図で高温において右から左に移行する)
高温から低温断熱変化するとき、,④より、,よって、ここで長さが縮みます(右図のTLとも減少)
このとき1サイクルで(a)反時計回りに回る(右図参照)ので、② ......[]
補足 このサイクルをカルノー・サイクルと言います。

2 断熱変化においては、②でとして、
 ・・・⑥
右図において、BA(断熱変化)における内部エネルギーの変化は、⑥より、
DC(断熱変化) における内部エネルギーの変化は、⑥より、
等温変化ではなので、ADCBにおいては、内部エネルギーの変化はありません。
1サイクルでの内部エネルギーの変化(1サイクルでもとの温度に戻るので)0です。
よって、


(5)  1サイクルで、内部エネルギーの変化0,気体が吸収した
物体が1サイクルを通じて外にする正味の仕事として、熱力学第一法則より、
よって、熱効率hは、
 ・・・⑦
......[]
注.hはギリシャ文字で‘えーた'と読みます。

3 CB(等温変化)において、⑤より、 (は吸収する熱量)
AD(等温変化)において、⑤より、 (は放出する熱量)
2の結果を利用して、
⑦より、熱効率hは、
注.問2(5),問3において、CBで物体が吸収した熱はADで物体が吸収した熱はであることに注意してください。


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  1. 2007/09/06(木) 17:05:18|
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京大物理'07年前期[2]

京大物理'07年前期[2]

次の文を読んで、文中の  に適した式を、それぞれの解答欄に記入せよ。また、問1では指示にしたがって所定の解答欄に記入せよ。

磁石を傾斜したアルミニウム板の上で滑らせると、力学的摩擦が無視できる場合でも、磁石の滑り落ちる速さは短時間のうちにほぼ一定値に達する。これは、磁石の運動にともなってアルミニウム板の内部にうず電流が生じ、このうず電流から磁石が力を受けるために起こる現象である。以下の装置は、この現象をモデル化したものである。

1のように、水平面に対し角度q で傾斜させた滑り台上のプラスチックの板の上から、質量mの磁石を滑らせる。磁石の大きさは幅a,長さbで、厚みは薄いものとする。また磁石の真下には磁石の底面に垂直下向きの強い一様な磁束密度Bが生じており、その他の位置への磁束密度はここでは考慮しないことにする。板には磁石がなめらかに滑るような幅aの溝があり、溝の底面には幅a,長さb,電気抵抗Rの長方形の閉じた電線(一巻きのコイル),・・・,,・・・が、お互い電気的に絶縁されてすき間なく多数埋め込まれている。電線の太さは無視できるものとし、またコイル間の相互インダクタンスは無視でき、コイルの自己インダクタンスも十分に小さく、誘導起電力に応じて電流は十分早く変化するものとする。重力加速度をgとし、磁石と板との間の摩擦力および空気抵抗は無視できるものとする。

この状況では、滑り出して一定時間の後には、磁石の運動は、近似的に等速度運動になる。このときの速度を終端速度という。

(1) まず、磁石が速さVの終端速度で運動する場合を考える。
上からn番目のコイルの上端に磁石が達した時刻をとし、それを基準に測った時刻をtとする。このとき、コイルを貫く磁束は、のときのとき イ ,その他の時刻では0となる。コイルに誘導される電流は、上から見て時計回りを正方向にとると、のとき ロ となり、のとき ハ となる。したがって、磁石がコイルにおよぼす力は、傾斜した板の表面に沿って下向きを正にとると、のとき ニ であり、のとき ホ である。
このことから、すべてのコイルから磁石が受ける力Fは、斜面に平行に下向きを正に取ると、と表すことができ、 ヘ となる。磁石に働く重力も考慮すると、速さは ト と求められる。( ヘ  ト FCVを用いずに表せ。)

(2) 次に、磁石を静止状態からで静かに離した後、速度が終端速度(大きさV)に近づく様子を考える。((1)の場合とは時刻の原点が異なることに注意せよ。)
時刻tにおける磁石の速さをとすると、(1)の場合と同様に、コイルから磁石が受ける力Fは、 ヘ を用いて、と表すことができる。(Fおよびは、斜面に平行に下向きを正にとるものとする。)

したがって、微小時間を用いて、tからまでの平均加速度をで表すと、磁石に関する運動方程式は チ と書ける。( チ Cを含む式で表せ。)ここでVとの差に注目しとおくと、この運動方程式より、wに比例し、 リ wと書き表せる。( リ mCを用いて表せ。)

この方程式と同様の式で表される現象の一つに原子核の崩壊がある。原子核の崩壊においては、時刻tにおける原子核の個数をとすると、十分に短い時間の間の変化率に比例し、正の係数b を用いてと表せる。このようなは、と書けることが知られている。(は自然対数の底である。)

したがって、 リ wから、 ヌ と求められる。( ヌ Cを含む式で表せ。)次に、磁石がどのように終端速度に近づいていくかを考える。まず、,すなわち、となる時刻を考えると、mCを用いて、 ル と表される。このを緩和時間という。を用いると、ではではとなり、磁石の運動が速さVの等速度運動に近づいていくことがわかる。

1 の場合について、(a) 終端速度の大きさV,および、(b) 緩和時間を計算し、それらの値を、有効数字2けたで単位をつけて、それぞれ所定の解答欄(a)(b)に記入せよ。

解答 教育的配慮に富む問題で、問1の数値計算が付加されているのは、受験生に自分で実験をしてみたらどうかと示唆しているのでしょう。

(1)  における磁束Fは、コイルと磁石の重なっている部分の長方形は、幅a,長さなので、面積は,よって、 ・・・①
において、磁石はコイルと完全に重なり、重なる部分の面積は,よって、
において、磁石の下端がコイルの下端からだけ行き過ぎています。コイルと磁石の重なっている部分の長方形は、幅a,長さなので、面積は、よって、 ・・・②
......[]
磁束Fと時間tの関係は右図のようになります。
 電磁誘導の法則より誘導起電力,コイルを貫く磁束F増加するとき、コイルには、レンツの法則より上向き磁界を作る方向に起電力が発生するので、反時計回り電流が流れます。時計回りを正とするので、このときの電流です。従って、コイルに流れる電流は符号も含めて、
における誘導電流は、①より、
......[]
 における誘導電流は、②より、
......[]
 において、フレミング左手の法則より、コイルの上端の辺を流れる電流は、磁石から、斜面に沿って下向き(符号は)を受けます(右図(a))。この力は符号も含めて、,コイルの左辺、右辺に働くは等大逆向きでつり合います。
......[]
 において、コイル下端の辺を流れる電流は、磁石から、斜面に沿って下向き(符号は)を受けます(右図(b))。この力の大きさは、()と同じです。また、コイルの左辺、右辺に働くは等大逆向きでつり合います。
......[]
 磁石がをまたぐような位置にあるとき、磁石は()()で求めた反作用を受けます。の下端の辺との上端を流れる電流が受けると同じ大きさで逆向きのの合力は、符号も含めて、()()の結果より、

......[]
 磁石は等速度運動しているので、磁石に働く力のつり合い(右図(c))より、 ・・・③

......[]

(2)  磁石に働くは、()と同様に、 ......[]
 運動方程式は、 ・・・④
とおくと、
これらと③より、④は、

 ・・・⑤
......[]
 のときに、となることから、⑤でb と見て、

のとき、より、
 ・・・⑥
......[]
 のとき、⑥において、

......[]

1 ③より、と書けるので(b)を先に求める方がラクです。
()()の結果を用いて、


(a) ......[] (b) ......[]
1の結果より、ほぼ、あっという間に秒速30cm程度の等速度運動に移行してしまうことがわかります。


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  1. 2007/09/05(水) 13:56:51|
  2. 京大物理'07年
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京大物理'07年前期[1]

京大物理'07年前期[1]

次の文を読んで、  には適した式を、  には適切な語句を、{  }には図36つのグラフから適切なものを選びその番号を、それぞれの解答欄に記入せよ。また、問1,問2では指示にしたがって、解答をそれぞれの解答欄の枠内に記入せよ。

1のように、滑らかな面の上で静止している質量の物体1に向かって、質量の物体2を初速で打ち出したとき、衝突によって物体1が受ける衝撃が、緩衝装置によってどのように弱められるかを考える。物体の大きさは無視でき、運動は図の左右一方向のみとし、空気抵抗や面からの摩擦力はないものとする。緩衝装置のモデルとして、図2のような3種類を考える。モデル(a)は、ばね定数Kのばねである。モデル(b)では、自由に空気が出入りできる穴のあるピストンがシリンダー内を動き、シリンダーから一定の大きさFの動摩擦力を受けるものとする。モデル(c)では、穴のあるピストンが、油のつまったシリンダー内を動き、シリンダーに対する相対的な速さに定数Cを乗じた大きさの粘性力を受けるものとする。衝突の間、これらの緩衝装置が縮みきってしまうことはないとする。以下、緩衝装置の質量およびに比べて十分小さいものとし、力、速度、加速度などのベクトル量は、図の右方向を正として表す。

(1) 緩衝装置の右端と左端がそれぞれ物体1と物体2におよぼす力をとする。まず、緩衝装置の全質量に比べ十分に小さいときは、としてよいことを以下で確認しておこう。 ア の法則より、緩衝装置が物体1と物体2から受ける力はそれぞれである。よって緩衝装置が受ける外力の和はであり、それは緩衝装置の重心の加速度に イ をかけたものに等しい。緩衝装置の重心の加速度は物体1や物体2の加速度と同程度の大きさであるので、およびに比べて十分小さいとき、およびに比べて無視してよいのである。

(2) 次に、物体1と物体2の相対運動について考える。(1)で確認したことより、物体1と物体2の加速度をとし、fとおくと、運動方程式はそれぞれと書ける。この2つの式の両辺をそれぞれで割り、それらの差をとると、 ウ となる。この式は、が物体2に対する物体1の相対運動の加速度aであることに注意すると、という形に書ける。ここで、mは換算質量と呼ばれ、により エ と表される。すなわち、質量が2つの物体の相対運動は、質量がm1つの物体の運動と同じ方程式にしたがう。

(3) 以上のことから、モデル(a)(b)(c)の各場合に物体1が受ける力を時間の関数としてグラフに示すと、それぞれ図3{ オ }{ カ }{ キ }となる。モデル(a)(b)(c)の各場合に、物体1が力を受けている時間はそれぞれ ク  ケ ,無限大であり、力の最大値はそれぞれ コ  サ  シ である。( ク  シ ではmを用いてもよい。必要ならば、物体が速度に比例し速度と逆向きの力を受ける場合、速度の絶対値は時間とともに指数関数的に減少することを用いよ。)

1 モデル(a)の場合、衝突後十分な時間がたったあとの物体1の速度は、ばね定数Kに依存しない。その理由を簡潔に述べよ。

2 静止している自動車に別の自動車が追突した。乗客は幸い無事であったが、自動車は2台ともかなりつぶれてしまった。このとき、静止していた自動車の乗客が衝突によって感じる、水平方向の加速度の最大値はいくらか。解答にいたる過程を説明したうえで、有効数字2けたで解答せよ。自動車の質量はいずれもkg,追突した自動車の初速は時速18kmであり、2台の自動車は衝突部分がつぶれて25cmずつ短くなった。つぶれた部分を緩衝装置とみなし、モデル(b)で解析せよ。2台ともブレーキをかけておらず、地面との摩擦は無視でき、また、自動車のつぶれた部分および乗客の質量は無視できるとする。

解答 難しくはないのですが、正解するのはなかなか難しい問題です。

(1)  緩衝装置が物体1と物体2におよぼすとすると、作用反作用の法則より、緩衝装置が物体1と物体2から受けるです。
作用反作用 ......[]
 緩衝装置の重心の加速度として、緩衝装置の運動方程式
.......[]
従って、緩衝装置の全質量に比べ十分に小さいときは、に比べて無視することができます。
とすると、

(2)  物体1の運動方程式:

物体2の運動方程式:


......[]
 物体2に対する物体1相対加速度として(相対速度を参照)
 ・・・①
これより、換算質量mは、
......[]

(3) 右側の物体1座標速度,左側の物体2座標速度とします。緩衝装置の最初の長さをLとして、において、です。
物体2に対する物体1相対位置相対速度として(相対速度を参照)、物体1が受けるは、
モデル(a)では、 ・・・②
モデル(b)では、 ・・・③
モデル(c)では、 ・・・④
3で衝突して以降の力を正になるように描いているので、②において,つまり、,③において,④において,つまり、であることに注意してください。
 モデル(a)は、②より、周期単振動です。グラフは、④ ......[]
 モデル(b)は、③より、,これは、加速度等加速度運動です。は一定でグラフは、③ ......[]
 モデル(c)は、④より、
最初相対速度v ()ですが、正の加速度のために次第にvは増加して0に近づきます(vの絶対値は指数関数的に減少)。④より、力は正の値から指数関数的に0に近づいていくので、グラフは、② ......[]
 モデル(a)では、物体2から物体1の運動を見ると、ばねが一旦縮み自然長に戻るとき(半周期)、物体1が振動中心に戻り、速さが最大になります。ここまでは、物体1はばねの右端と接触しています。
以後、物体1がばねから離れ、物体1は緩衝装置からを受けなくなります。従って、物体1を受ける時間は、単振動半周期で、 ......[]
 モデル(b)では、③より、物体2から物体1を見て等加速度運動を行い、最初であった相対速度v0となった瞬間(物体1と物体2速度が等しくなる)に、ピストンがシリンダーに対して静止して動摩擦力0になります。
以後、物体2から見て物体1は静止し続け、系は、等速度運動を続けます。従って、物体1を受ける時間をtとして、等加速度運動の公式より、
 ∴
......[]
 モデル(a)において、単振動の角速度最大になるのは、ばねが最も縮んだとき(振動端)で、最初であったことから、振幅Aとすると、単振動の速さの最大値について、

よって、ばねが最も縮んだときのばねの縮み()は、で、②より、の最大値は、

......[]
 は一定で、の最大値も、F ......[]
 最初のときに、が最大となります。このとき、より、の最大値は、
......[]

1 最初にばねの縮み0,衝突後に物体1がばねから離れるときもばねの縮み0で、離れる瞬間の物体1,物体2速度として、力学的エネルギー保存より、
連立してについて解くと、として、であって、ばね定数Kに依存しません。
この状況は完全弾性衝突と同じです。反発係数を1として反発係数の式を立てても同じ結果になります。
「衝突の直前直後でばねの弾性エネルギーはいずれも0であって、系は他に外力も仕事も受けず、衝突後の物体1の速度にばね定数は寄与しない。」 ......[]

2 モデル(b)で考えるので、追突した自動車(物体2)から見て、静止していた自動車(物体1)は、衝突している最中は一定の相対加速度aで運動するとします。
初速= 18km/s = 300m/ = 5m/s
最初の相対速度です。
相対速度0になるまでの間に、2台の自動車は相対的に、s = 25cm×2 = 0.5m近づく(各自動車はもっと動いているはず)ので、等加速度運動の公式より、

であり、問題文が聞いているのは、乗客が感じる物体1加速度の最大値です。
(1)の問題文において、として、慣性質量は、()の結果より、
また①より物体2から見た運動方程式:
乗客から見た物体1の運動方程式:
よって、静止していた自動車(物体1)加速度の最大値は、有効数字2桁で、
......[]


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