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京大数学'07年前期乙[6]

京大理系数学'07年前期乙[6]

すべての実数で定義され何回でも微分できる関数を満たし、さらに任意の実数abに対してであって、
   
を満たしている。
(1) 任意の実数aに対して、であることを証明せよ。
(2) のグラフはで上に凸であることを証明せよ。

解答 すべての実数で定義され何回でも微分できる関数というのは、も、も、2次以上の全ての導関数がすべての実数xにおいて連続である、ということです。この問題では、なかなか有効な条件です。

 ・・・①

(1) を満たす実数bが存在すると仮定します。①より、任意の実数aについて、
となるaについて、となりに反するので仮定は誤りであって、なる実数bは存在しません(背理法については、証明の技巧を参照)
また、を満たす実数bが存在すると仮定します。①より、任意の実数aについて、
となるaについて、となりに反するので仮定は誤りであって、なる実数bは存在しません。
以上より、任意の実数xに対して、かつかつであって、題意より関数がすべての実数において連続であることから、任意の実数aに対して、
(証明終)

(2) 導関数の定義を考えてみます。任意の実数aに対して、として、

なぜなら、
(においては連続)
だからです。
以上より、の導関数は、
 ・・・②
がすべての実数において何回でも微分可能なことから、②両辺をxで微分すると、
 ・・・③
(1)より、すべての実数xにおいて、だから、②より、であって、単調増加な関数です。
従って、においては、
よって、③より、において、
つまり、のグラフはで上に凸になります(関数の凹凸を参照)
(証明終)

追記 ②を使うとを求めることができます(微分方程式を参照)
より、



より、

( )


は、双曲線関数と呼ばれる関数の一つです。種々の関数のグラフ(4)の例7.を参照してください。


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  1. 2007/08/30(木) 12:49:42|
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京大数学'07年前期乙[5]

京大理系数学'07年前期乙[5]

A2次の正方行列とする。列ベクトルに対し、列ベクトル,・・・を
   
 ()
によって定める。あるゼロベクトルではないについて、3以上の自然数mで初めてと一致するとき、行列は単位行列であることを示せ。

解答 行列が出てくるので、ハミルトン・ケーリーの定理で次数下げを行うか、固有値・固有ベクトルを考えるかです。固有値では、という条件を扱いにくいので、次数下げを考えることにします。

まず、行列
Aのべき乗が、行列A1次式で表せること、つまり、k2以上の整数として、を、
 (E2次の単位行列、は実数)
という形に表わせる ・・・() ことを、数学的帰納法で示します。
() のとき、として、ハミルトン・ケーリーの定理により、
 (O2次の零行列)
よって、
として、 (は実数、高校の範囲では行列の成分は実数です)と表せます。
() のとき、 (は実数)と表せるとして、

()より、
よって、とすれば、は実数で、これより、

と表せます。
()()より、2以上の整数kについて、と表せます。

()より、 ・・・① と表せます。
から、
 ・・・②

(i) のとき、
両辺にAをかけて、
 ・・・③
以後、くり返しAをかけることにより、

であり、は実数なので、
このとき③より、となり、という条件に矛盾します。よって、この場合は不適です。
(ii) のとき、②より、
より、
①より、

以上より、行列は単位行列です。


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  1. 2007/08/29(水) 10:05:40|
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京大数学'07年前期乙[4]

京大理系数学'07年前期乙[4]

Oを中心とする円に内接する3ABBCCAをそれぞれ23に内分する点をPQRとする。の外心がOと一致するとき、はどのような三角形か。

解答 が、点Oを中心とする円に内接するので、
 (円の半径) ・・・①
PQRは、ABBCCAをそれぞれ23に内分する点だから(ベクトルの内分・外分を参照)


の外心がOと一致するということは、
 (内積を参照)


①より、 ・・・②



①,②より、
よって、は正三角形 ......[]


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  1. 2007/08/28(火) 10:33:01|
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京大数学'07年前期乙[3]

京大理系数学'07年前期乙[3]は、京大理系数学'07年前期甲[3]と同一です。

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  1. 2007/08/28(火) 10:31:30|
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京大数学'07年前期乙[2]

京大理系数学'07年前期乙[2]は、京大理系数学'07年前期甲[2]と同一です。

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  1. 2007/08/28(火) 10:30:49|
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京大数学'07年前期乙[1]

京大理系数学'07年前期乙[1]

以下の各問にそれぞれ答えよ。
1.定積分 を求めよ。
21歩で1段または2段のいずれかで階段を昇るとき、1歩で2段昇ることは連続しないものとする。15段の階段を昇る昇り方は何通りあるか。

解答 問1.の定積分は簡単そうに見えますが、教科書レベルを越える技巧を必要とします。2つの積分に分けて、とおいてもできますが、とおくのが最も簡単です(置換積分(その3)を参照)
2.うまい考え方があるようですが、ここでは、平凡に数えていくことにします。試験会場では、数分考えてうまい解法がひらめかない場合は、あまりに面倒というのでない限り、実直な解法が安全確実です。

1.まず、という置換を考えます(置換積分を参照)
2乗して、,両辺を微分して、

xのとき、t
この置換により、
ですが、の積分が残ります。
この積分は、とおく(置換積分(その3)を参照)と、両辺を微分して、

xのとき、u
以上より、
......[]

21歩で1段昇るのを①,1歩で2段昇るのを②で表すことにします。
題意より、②は連続しないので、‘②②'という並びはできません。②と②の間には必ず①が入ります
②が6個以上出てくると、6個の②の間に①が5個以上入ることになり、17段以上昇ることになるので、②の個数は0個~5個です。
(a) ②が5個のとき、まず、②が連続しないように、②と②の間に①を1個ずつ4個入れます。
②①②①②①②①②
これでは、14段しか昇らないので、もう1つ①をどこかに置かなければならないのですが、①を置く位置は、既に①が置かれている4カ所に2つのめの①を置くか、②の両端、合わせて6カ所のどこかになるので、6通り。
(b) ②が4個のとき、
②①②①②①②
これでは、11段なので、①4個を置きますが、既に①が置かれている3カ所、②の両端、合わせて5カ所の中から、重複を許して4カ所を選ぶ(重複組み合わせを参照)ので、
通り。
(c) ②が3個のとき、
②①②①②
これでは、8段なので、①7個を置きますが、既に①が置かれている2カ所、②の両端、合わせて4カ所の中から、重複を許して7カ所を選ぶので、
通り。
(d) ②が2個のとき、
②①②
これでは、5段なので、①10個を置きますが、既に①が置かれている1カ所、②の両端、合わせて3カ所の中から、重複を許して10カ所を選ぶので、
通り。
(e) ②が1個のとき、①13個を置きますが、②の両端2カ所の中から重複を許して13カ所を選ぶので、
通り。
(f) ②が0個のとき、①15個の置き方は、1通り。
以上より、通り ......[]

別解 上記で先に①を置いてしまうという考え方もできます。②の個数に応じて、①の個数は、5個、7個、9個、11個、13個、15個になります。
(a) ①が5個のとき、①と①の間、または両端、合わせて6カ所のどこかに②を5個置くので、6通り。
(b) ①が7個のとき、①と①の間、または両端、合わせて8カ所のどこかに②を4個置くので、通り。
(c) ①が9個のとき、①と①の間、または両端、合わせて10カ所のどこかに②を3個置くので、通り。
(d) ①が11個のとき、①と①の間、または両端、合わせて12カ所のどこかに②を2個置くので、通り。
(e) ①が13個のとき、①と①の間、または両端、合わせて14カ所のどこかに②を1個置くので、通り。
(f) ①が15個のとき、②は置かないので、1通り。
以上より、通り ......[]


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  1. 2007/08/27(月) 14:22:26|
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京大数学'07年前期甲[6]

京大理系数学'07年前期甲[6]

のグラフで囲まれた部分をx軸の回りに回転してできる立体の体積を求めよ。

解答 導関数は、 (微分の公式を参照)
増減表は、
x 1
0
y1

また、
より、
のとき、
のとき、
のグラフで囲まれた部分は右図黄緑色部分です。
これより、求める体積は以下の積分で与えられます
(x軸のまわりの回転体の体積を参照)
ここで、




......[]


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  1. 2007/08/26(日) 19:58:36|
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京大数学'07年前期甲[5]

京大理系数学'07年前期甲[5]

とする。座標平面上で原点の周りに回転する1次変換をfとし、直線について対称移動する1次変換をgとする。合成変換x軸について対称移動する1次変換と一致するとき、aの値を求めよ。

解答 回転移動の1次変換と対称移動の1次変換については、導出方法も含め、1次変換(その2)を参照してください。
座標平面上で原点の周りに角
q 回転する1次変換の表現行列は、です。
直線
について対称移動する1次変換の表現行列は、 ・・・() です。
x軸に関する対称移動する1次変換の表現行列は、 (()の場合になる)

f
の表現行列は、
gの表現行列は、
の表現行列は、
 (行列の積を参照)
 (加法定理を参照)
 (三角関数を含む方程式・不等式を参照)
より、
従って、
......[]


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  1. 2007/08/24(金) 10:55:51|
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京大数学'07年前期甲[4]

京大理系数学'07年前期甲[4]

において、の二等分線とこの三角形の外接円との交点でAと異なる点をとする。同様にの二等分線とこの外接円との交点をそれぞれとする。このとき3直線1Hで交わり、この点Hは三角形の垂心と一致することを証明せよ。

解答 ベクトルで解答することも考えられますが、円周角に目を付ければ、平凡に解決します。

の二等分線、の二等分線,の二等分線は、1点で交わり、交点は内心です。従って、3直線1Hで交わり、Hの内心に一致します。
また、同一弦の上に立つ円周角は等しいので、


の交点をDとすると、において、


よって、
同様にして、
よって、3直線の交点Hは、三角形垂心と一致します。
(証明終)

追記 の二等分線、の二等分線,の二等分線が1点で交わることについては、以下のようにして示します。
の二等分線,の二等分線の交点をIとし、IからABBCCAに垂線IPIQIRを下ろします。
において、IB共通、より、
 ・・・①
において、IC共通、より、
 ・・・②
①,②より、
これと、IA共通より、

よって、IAの二等分線であって、の二等分線、の二等分線,の二等分線は1Iで交わります。


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  1. 2007/08/23(木) 17:00:13|
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京大数学'07年前期甲[3]

京大理系数学'07年前期甲[3]

p3以上の素数とする。4個の整数abcdが次の3条件
   

を満たすとき、abcdpを用いて表せ。

整数の問題、という以前に、まずは、1文字消去から始めるべきでしょう。
dを消去します。
1式より、
 ・・・①

より、
 ・・・②
は整数、pは素数であることから、
(i)
(ii)
のいずれかに限られます。

(i)のとき、,①より、
より、
左から2番目の不等号より、
これは、に矛盾するので不適。

(ii)のとき、 ・・・③
①より、 ・・・④
より、

左側の不等号より、
 ・・・⑤
右側の不等号より、
 ・・・⑥
⑤,⑥より、
p3以上の素数なので奇数です。従って、この不等式を満たす整数aは、

に限られます。
③より、
④より、

以上より、 ......[]


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  1. 2007/08/22(水) 01:32:34|
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京大数学'07年前期甲[2]

京大理系数学'07年前期甲[2]

xyを相異なる正の実数とする。数列
   
()
によって定めるとき、が有限の値に収束するような座標平面上の点の範囲を図示せよ。

解答 2項間漸化式の問題ですが、「xyを相異なる正の実数とする」という制約がついているので、解き易いように配慮されています。

問題文の
2項間漸化式
の両辺をで割ります(です)
より、です。
とおくと、
 ・・・①
aに置き換えた式
 ・・・②
②を解くと、
①-②より、
これより、は、初項:,公比:等比数列

より、


,つまりのとき、より(等比数列の極限を参照)
これが有限な値に収束するために、
,つまりのとき、
より、
これが有限な値に収束するために、

逆に、 かつ かつ のとき、が有限の値に収束します。
よって、
の存在範囲は右図斜線部(境界線は、太線上を含み、点線上、白マルを除く)

注意 のとき、は言えますが、とは限らないので注意してください(数列の極限を参照)
の反例を挙げておくと、
ですが、
です。


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  1. 2007/08/21(火) 21:30:29|
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京大数学'07年前期甲[1]

京大理系数学'07前期甲[1]

次の各問にそれぞれ答えよ。
1とするとき、
を求めよ。

2.得点12,・・・,nが等しい確率で得られるゲームを独立に3回繰り返す。このとき、2回目の得点が1回目の得点以上であり、さらに3回目の得点が2回目の得点以上となる確率を求めよ。

解答 問1.は、ハミルトン・ケーリーの定理多項式の除算を利用する典型問題です。問2.は、うまい考え方もあるようですが、ここでは実用的に、余事象を考えてみます。なお、重複組み合わせを利用する別解を付記しておきます。

 ・・・①
とおき、を①と同型の多項式で割る(多項式の除算を参照)と、商が,余りが,よって、
また、①を用いると、
......[]

2. 1回目,2回目,3回目の得点をxyzとすると、となる確率を求めたいわけです。
そのまま場合の数を数えても良いのですが、余事象を考えてみます。
',つまり‘かつ'の余事象は、‘または'です。
'という事象ではzは任意なので、xyについてのみ考えます。
xyの出方は、全部で通りあります。
'という事象と‘'という事象とは排反でありまた同様に確からしく、‘または'という事象の余事象は‘'です。
'という出方は、n通りあります。よって、‘'となる確率は、
'という確率も同様に
ところで、‘'かつ‘',つまり‘'となる場合の数は、n個の異なるものから3個を選ぶ組み合わせの数であって、通り。xyzの出方は、全部で通りあります。
'となる確率は、
よって、‘または'となる確率は、
求める確率は、
......[]

別解 xyzの出方は、全部で通りあります。
1からnまでn個の数字を並べて書いておき、n個の各数字の右側nカ所のどこかに3本の境界線を書き込み(1つの数字の右側に複数の境界線を書き込んでも構わない)、各境界線の左にある数字をxyzとすると、となる1つの場合を作ることができます。
'となる場合の数は、n個の数字と境界線の並べ方を数えれば良いのですが、1の左に境界線が来てはいけないので、2からnまでの個の数字と3本の境界線を置くべき個の位置から境界線を置く3カ所を選ぶ組み合わせの数に等しく、通りあります(重複組み合わせを参照)
求める確率は、 ......[]


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  1. 2007/08/20(月) 22:13:13|
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東工大物理'07年前期[3]

東工大物理'07年前期[3]

 電磁波は電場と磁場が振動しながら伝わる横波である。ある地点での電場の時間変化を図1に示す。波の最も高いところを山、最も低いところを谷と呼ぶ。また、電磁波の速さをとする。ある人工衛星が、波長の電磁波を発信している。この人工衛星の仰角q を測定する装置を開発する。仰角とは人工衛星を見上げる角度のことで、水平方向が,真上がである。まず図2に示すような2台の受信器ABと時間差計測器からなる装置を用意した。受信器Aの真下に受信器Bを置き、その間隔d3.0mにした。この装置は受信器Aが電場の山を検出してから受信器Bが電場の山を最初に検出するまでの時間差を計測する。次に装置をテストするため、人工衛星と同じ波長の電磁波を発信する発信器を装置から十分離れた位置に置いた。以下の問いに答えよ。
必要なら「
から角度q を求める表」を用いてもよい。
(a) この電磁波の周波数f[Hz]を求めよ。
(b) 発信器を仰角の場所に置いたところ、2台の受信器で同時刻に山が検出された。発信器を少しずつ高く上げてq を少しずつ大きくしていくと、2つの受信器の検出時刻に差が生じ、その差は徐々に大きくなっていった。この時間差q で表せ。
(c) 仰角q をさらに大きくすると、ある角度で再び時間差が0になってしまう。この時の角度を求めよ。
(d) 前問(c)で述べたことが起こるため、この装置ではq を一つに決めることができない。このことを考えに入れて時間差がのときのq の正弦()を小さい方から3つ求めよ。
(e) 角度を大きくするためには2台の受信器の間隔を小さくすればよい。2台の受信器の間隔d0.30mにした場合には、は何度になるか。
(f) この時間差計測器の測定精度には限界があり、0.1ns ()未満の時間差は切り捨てられてしまう。たとえば、0.2ns以上0.3ns未満の時間差は0.2nsと測定される。いま、間隔d3.0mの装置で時間差が0.5nsと検出されたとき、仰角q は何度から何度の範囲になるか。ただし、q d3.0mの装置でのより小さいとする。この同じ電磁波を間隔d0.30mの装置で計測すると時間差は何nsになるか。これから求められる仰角q の範囲は何度から何度になるか。
(g) このように受信器の間隔を小さくするとは大きくなるが、求められるq の精度は悪くなってしまう。を大きく保ちつつ高精度の計測を行うため、3台の受信器ABCを用いる。BAの真下に3.0m離して設置し、CAの真下に0.30m離して設置した。この装置で実際の人工衛星を観測したところ、受信器Aが電場の山を検出してから受信器B,受信器Cが最初に電場の山を検出するまでの時間はそれぞれ0.4ns0.7nsであった。人工衛星の仰角q は何度から何度の範囲にあるか。


解答 波動の公式を暗記しているだけの受験生には、何を言っているのか意味不明の問題文だと思いますが、波動についてよく理解できている受験生には簡単な問題です。有効数字の書き方に注意をしてください。
(a) 波の公式より、
......[]

(b) 発信器から受信器ABまでの経路差,受信器ABが検出した時刻の差による位相差(波の位相を参照)
 ・・・①
cdに値を代入して、
......[]

(c) 再び時間差0、ということは、仰角から仰角を大きくして行き、仰角になったときに、ちょうど位相差となった,つまり、経路差波長lに等しくなったということです。より、
,表より、 ......[]

(d) 仰角から仰角を大きくして行き、①において、のときに最初に時間差になるとして、
このときの経路差は、
として、この経路差増加したときにも同じ位相差となり、同じ時間差を生ずるので、時間差となる経路差は、

より、
 ・・・②
従って、時間差となる正弦の値は、小さい方から3つ書くと、②において、のときで、
......[]

(e) 仰角のときに経路差がちょうど波長lになるので、

......[]

(f) 時間差0.5nsということは、
①より、 ・・・③
のとき、より、
 ・・・④
表より、仰角の範囲は、 ......[] (これより大きな角度もあり得ますが、題意より、(d)n0の場合を答えます)
のとき、となりますが、これを④にかけて、
①より,よって、観測される時間差は、0[ns] ......[]
時間差0[ns]と観測されるとき、より、
表より、仰角の範囲は、 ......[]

(g) ACでは,①より、
 ・・・⑤
このとき、なので、経路差波長以下であり、経路差の中に1個を越える波が入ることはありません。
ABでは、で、より、②においてとして、
 ・・・⑥
⑤,⑥がともに満たされるようなnを探すと、のときで、このとき、
表より、仰角の範囲は、 ......[]


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  1. 2007/08/18(土) 22:44:48|
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東工大物理'07年前期[2]

東工大物理'07年前期[2]

 図1に示すように、断面積S[]の円筒状シリンダー密閉容器が、滑らかに動く質量m[kg]のピストンによりA室とB室に仕切られている。A室とB室にはそれぞれ気体を封入することができる。両室の気密性は高く、気体の漏れは無視できる。ピストンおよびシリンダーの側面と底面は熱を通さない。一方、シリンダーの上面は熱を通す。シリンダー各室内では温度と圧力は常に均一である。重力加速度を,シリンダーに封入される理想気体の定積モル比熱を,気体定数をとし、以下の問いに答えよ。ただし、シリンダーに封入される理想気体の質量はピストンの質量に対し十分に小さく無視できる。
[A] まず、A室のみに1モルの理想気体を封入したシリンダーを水平な床に垂直に立てた。B室は真空である。ピストンはシリンダー上面から糸によりつるされた状態で静止しており、このときのA室内の気体の体積、温度、圧力は、それぞれであった。B室の体積はであった。この状態を初期状態と呼ぶ。
(a) ピストンをつるしている糸を切断したところ、ピストンは気体の体積がになるまで下方に移動し、その後は上方に向かう運動に転じた。ピストンが最下点に達したときの気体の温度をとする。このときの気体の内部エネルギーの初期状態に対する変化量を用いて表せ。
(b) ピストンが最下点に達したときのピストンの位置エネルギーの初期状態に対する変化量m[kg]S[]を用いて表せ。
(c) 前問(a)(b)の結果を用いてを求めよ。

[B] 次に、B室にもA室と同じ理想気体を1モル封入した。このシリンダーを図2に示すように、水平面内で回転できる円盤上に固定した。シリンダーの中心軸は円盤の回転軸に直交し、A室が円盤の外側を向いている。B室側のシリンダー端面には熱源を接続し、B室の気体が圧力を常に一定に保ちながら状態変化するように熱を供給する。円盤が静止しているときのA室の気体の体積、温度、圧力は、それぞれであり、B室の気体の体積、温度、圧力は、それぞれであった。この状態を状態1と呼ぶ。円盤を静かに回転させ始めたところ、ピストンは静かに動き始め、その後、円盤の回転角速度を徐々に増し、ある回転角速度に達した後は等速回転させた。このとき、ピストンはA室とB室の気体の体積が、それぞれとなる位置で静止していた。これを状態2と呼ぶ。このA室とB室の気体の状態変化をシリンダーとともに回転する観測者が見るとして、以下の問いに答えよ。
(d) A室とB室の気体の状態変化の概略を、それぞれ解答欄のpV図上に描け。A室とB室の状態12をそれぞれA1A2B1B2として図中に示し、各状態における圧力と体積を明記すること。ただし、A室の気体の状態2における圧力としてを用いてよい。なお、解答欄の図には、1モルの理想気体の温度における等温変化の曲線が記入されている。これらの曲線との関係も考慮して記入すること。さらに、円盤の回転によりピストンにはたらく遠心力がA室の気体にした仕事に対応する領域を斜線で示せ。
(e) ピストンにはたらく遠心力がA室の気体にした仕事を求めよ。
ただし、[A]の結果を用いてもよい。

解答 難問ではありませんが、仕掛けが込み入っているので、符号をミスしないように、気体のした仕事なのか、された仕事なのか、変化の前と後でどう変わったのか、よく注意してください。
[A](a) 1モルの気体の温度からまで変化するので、内部エネルギーの式:より、
......[]

(b) ピストンの高さの変化は、体積からまで変化したので、
ピストンの位置エネルギーの変化量は、
......[]

(c) この間の変化で気体がした仕事は、(b)に等しく、断熱変化なので、熱の移動0,よって、熱力学第一法則より、
......[]

[B](d) B室は、定圧変化圧力で一定、体積と変化します。
A室は、断熱変化体積圧力と変化します。断熱変化pV曲線の傾きは、等温変化pV曲線の傾きよりも急傾斜であることに注意して図を描くと右図のようになります。

また、ピストンに働く遠心力がA室の気体にした仕事B室の気体がした仕事とすると、A室の気体がした仕事で、右図のの曲線(Vの大きい方から小さい方へ動くことに注意)V軸で囲む部分の面積()になります。
よって、
は、右図のの線分とV軸で囲む部分の面積です。従って、
 ・・・① は、右図斜線部の面積になります。

(e) を求める必要がありますが、断熱曲線の式(ポアッソンの関係式)を積分するのでは大変です。[A]の結果を用いてもよい、というヒントを考えると、[B]においても、A室の気体は、[A]と同様に断熱変化体積と変化しているので、A室の気体のした仕事は、(b)に等しく、です。
よって、①より、 ......[]

別解 [A]の結果を用いてもよい、というヒントは、用いなくてもよい、とも読めるので、以下のような解答も可能です。
は、断熱変化なので、気体の比熱比gとして、ポアッソンの関係式より、

また、gについて、
 ・・・② (マイヤーの関係式を参照)
A1状態方程式
 ・・・③
A2における温度として、
A2状態方程式
③より、
における内部エネルギーの変化は、
熱力学第一法則より、
②を用いて、
......[]
気体定数Rも与えられているので、③を用いて、
と解答することもできます。


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  1. 2007/08/14(火) 18:08:01|
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東工大物理'07年前期[1]

東工大物理'07年前期[1]

ばねと摩擦の力によって生じる振動現象に関連した以下の問いに答えよ。
[A] 図1のように、水平方向に一定の速度Vでゆっくりと動くベルトコンベヤーの上に、質量mの箱が置かれている。天井には梁(はり)があり、箱は、この梁とばね定数kの水平なばねでつながれている。ばねが自然の長さのときの箱の位置を原点として、水平方向右側が正になるように座標軸xをとる。ただし、この箱の底面はベルトから離れることがない。また、箱とベルトの間の静止摩擦係数をm,動摩擦係数をとし、重力加速をgとする。
(a) 時刻において箱は原点にあり、ベルトに付着して速度Vで移動している。その後、ある時刻に箱はベルトから滑り出した。この滑り出した時刻における箱の座標とばねの持つ弾性エネルギーを求めよ。
(b) 滑っているときの箱の運動は、ある座標を中心とした周期がの単振動の運動方程式によって表される。ただし、1周期分の振動をする前に、箱は速度がベルトの速度Vと同じになった時点で、静止摩擦力によって再びベルトに付着することになる。箱の加速度をaとして、この滑っている状態における箱の運動方程式を書け。また、上記のを求めよ。
(c) 前問において、箱がベルトに再び付着する座標を求めよ。
(d) この後、箱はベルトに付着したまま速度Vで座標まで移動し、そこで滑りはじめ、座標でベルトに再び付着するという振る舞いを繰り返す。を満たす場合について、mを用いてこのくり返しの周期Tを表せ。ただし、箱が滑っている間の時間は、箱がベルトに付着して移動している時間に比べて無視できるほど短いものとする。

[B] 今度は、前問[A]と同じ箱が2つあり、図2のように、天井の2つの梁とばね定数のばねでそれぞれつながれている。さらに、この2つの箱どうしは、ばね定数のばねによってつながれている。ベルトは一定の速さVでゆっくりと動いている。以下の問いでは、,およびの条件を満たす場合を考える。ただし、2つの箱をつなぐばねは梁に接触することはない。
(e) ある時刻で、2つの箱はベルトに付着しており、3つのばねは自然の長さであった。その後、左右どちらかの箱が最初に滑り出し、再びベルトに付着した。この間、もう一方の箱がベルトに付着したままであるとき、ばね定数が満たすべき条件をを用いて表せ。ただし、箱が滑り出してから付着するまでの時間は短く、その間のベルトの動きは無視できるものとする。
(f) 2の設定で2つの箱の運動を観察し続けたとき、どのような動きが見られるか。箱どうしをつなぐばねが、他のばねに比べて非常に弱い場合と非常に強い場合について予想されることを90文字以内で答えよ。

解答 [A]は、時々見かけるベルトコンベアの問題ですが、[B]は難しく、かなり考え込みます。
[A](a) 箱が滑り出す限界での摩擦力最大静止摩擦力 (右向き)です。これと弾性力 (左向き)との力のつり合いより、
......[]
弾性エネルギーは、
......[]

(b) 滑り出した後、箱に働く摩擦力は、動摩擦力 (右向き)です。箱の位置xのとき、ばねの伸びxで、弾性力 (なら左向き)です。
運動方程式は、 ......[]

この式は、角振動数単振動を表します。
振動中心は、 ......[]
単振動の周期は、 ......[]

(c) 滑り出した後、箱はさらに右に移動し、単振動の振動端に至ります。その後、ばねが縮み始めて、箱は左に移動し、逆側の振動端に至ります。再び、右に移動するようになった後、ベルトに追いついて速度Vになったところで、箱は再びベルトに付着します(このとき、箱に働く摩擦力静止摩擦力に変わります)
滑り出したとき()の箱の速度Vで、のときの箱の速度Vなので、単振動の運動の対称性より、
(右図参照)
......[]

(d) 箱が滑っている間の時間を無視するということは、くり返しの周期Tは、からまで、箱が速度V等速度運動する時間になります。のとき(c)よりです。従って、
......[]

[B](e) 左の箱を箱1,右の箱を箱2,箱1,箱2につながっているばねをばね1,ばね2 2つの箱の間のばねをばね0,と呼ぶことにします。また、箱1,箱2に働く静止摩擦力とします。
はじめのうちは、箱1,箱2ともにベルトに付着して動くので、ばね0はずっと自然長のままで、箱1,箱2は、ばね0から弾性力を受けません。
また、箱1,箱2等速度運動するので、力のつり合いが成立し、箱1の位置をxとして(従って、ばねの伸びもx)
1
2
1,箱2がベルトに対して滑らない条件(摩擦力を参照)
1
2
なので、x0から大きくなっていくとき、箱1の条件の方が先に限界に達します。ということは、先に滑り出すのは箱1です。
1において滑り出すとして、 (滑り出す限界)
 ・・・①
1がベルトに対して遅れはじめ、再びベルトに追いついてベルトに付着するまでのベルトの動き(即ち、箱2の動き)を無視するので、この間のばね0の伸び縮みは箱1の変位で決まることになります。
従って、箱1は、ばね0,ばね1伸び縮みに比例したを受けて運動することになり、箱1の運動を[A]と同様に単振動と考えることができます。
単振動の振動中心は、力のつり合いの位置になりますが、滑っている間、位置xにいる箱1に働くは、右図のように、ばね0,ばね1弾性力動摩擦力です。において、力のつり合いより、
 ・・・②
1が滑り出すと、箱2に働くに、ばね0弾性力が加わります。箱2に関して、力のつり合いの式は、
よって、箱2滑り出さない条件は、
 ・・・③
1が動いて(xが変化して)、この条件がもっとも厳しくなるのは、xが最小になるときです。これは、箱1が左側の振動端に来たときなのですが、振幅を考えるのが少々厄介です。
実は、ベルトの動きを無視するということは、単振動している箱1速さに比べて、ベルトの速さを無視するということです。箱1が滑り出して単振動に移るときの速さVなので、これを無視するということは、箱1が単振動に移るときの速さはほぼ0であった、つまり、滑り出すとき箱1は単振動の振動端にいたと考えて良いということです。
従って、単振動の振幅であり、③の条件が最も厳しくなるとき、ばね0伸び振幅2倍で、②とより、

これと、①より、③の条件は、
で割って、分母を払うと、

......[]

(f) (e)の条件が満たされているとき、1回ごとに、ばね0 (振幅2)ずつ伸びるので、いずれ、箱2もベルトに対して滑るようになります。
ベルトがゆっくり動いているので、箱1,箱2とも、ベルトに対して滑っているときの運動は、ほぼ単振動です。
ばね0が非常に強い(が大きい)ときは、(e)の条件が満たされないかも知れませんが、箱1と箱2がほとんど一体となって動くようになります。
ばね0が非常に弱いときは、箱1と箱2が連動しなくなり、勝手に動くようになります。

2つの箱はいずれ単振動と等速度運動を周期的に繰り返すようになる。2つの箱をつなぐばねが非常に強いときには、ほぼ一体となって運動し、非常に弱いときには、それぞれ勝手に運動する。 ......[]


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  1. 2007/08/04(土) 11:21:13|
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東工大数学'07年前期[4]

東工大数学'07年前期[4]

(1) 整数と正数に対して
   
とおく。2つの曲線が接するようなを求めよ。
(2) (1)で定めたものとする。y軸で囲まれる図形の面積をに対しで囲まれる図形の面積をとおく。このとき
   
を求めよ。

解答 最終解答はかなりゴタつきますが、考え込むようなところはなく、ただひたすら計算するだけです。最後の部分だけ、はさみうちでちょっと味付けする必要があります。
(1) 導関数は、
導関数は、
において、2つの曲線が接するとして、
y座標同士を等しいとおき、
 ・・・①
接線の傾きを等しいとおき、
 ・・・②
①,②より、を消去し、より、
展開して整理すると、
 ・・・③
②より、
(複号同順)
より、ここでは複号はマイナスをとります(③では、プラスをとる)
よって、
また、 ......[]

(2) 以後、簡単のため、とします。
(1)より、は、において、接します。
右図より、は、曲線y軸、x軸、直線で囲まれる部分の面積から、曲線,・・・,x軸で囲まれる部分の面積,及び、曲線x軸、直線で囲まれる部分の面積を引いたものになります。

 (定積分の公式を参照)
また、より、について、
従って、
として、
ここで、とすると、は定数であり、 (関数の極限を参照)より、

よって、はさみうちの原理により、
......[]


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  1. 2007/08/01(水) 14:38:13|
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