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大学入試問題を考える - 数学・物理 -

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理工系受験生必見!! 2010-2007入試問題検討ページ(東大・東工大・京大・早慶) 
CFV21での学習の進め方

2次曲線

2次曲線

楕円、放物線、双曲線をまとめて、2次曲線と言います。直交座標系(xy座標系)での取り扱いだけでなく、極座標なども扱います。極方程式や媒介変数表示で表された、2次曲線以外のいろいろな曲線のグラフも調べます。

ここで学習する内容は、以下の通りです。各項目をクリックしてください。

楕円 標準形:,定義:2焦点からの距離の和が一定である点の集合
 標準形:,定義:2焦点からの距離の差が一定である点の集合
 標準形:,定義:焦点からの距離と準線からの距離が等しい点の集合
2次曲線の分:円錐を切断する平面の向きにより、断面に、楕円、放物線、双曲線ができる。離心率について、なら楕円、なら放物線、なら双曲線。
2次曲線の分類(その2) 一般形:に対して、とすると、なら楕円、なら放物線、なら双曲線。但し、直線を表したり、何も表さない場合もある。
2次曲線の媒介変数表 楕円:の媒介変数表示は、,双曲線:の媒介変数表示は、
 極Oを端点とする半直線を始線とし、極からの距離rと始線からの回転角q の組で位置を指定する。xy座標系との間に、の関係がある。
ろいろな曲 媒介変数表示されたいろいろな曲線、極方程式で現れたいろいろな曲線のグラフを調べます。
座標のグラ 極方程式で示された曲線のグラフの書き方を学びます。
2次曲線に関する問題(その1) 直交座標系で2次曲線の問題を考えます。2次方程式の技巧を活用します。
2次曲線に関する問題(その2) 2次曲線の定義を利用して問題を考えます。
2次曲線に関する問題(その3) 2次曲面で光が反射するときの有名性質を媒介変数表示を使って考えます。
2次曲線に関する問題(その4) 2次方程式を利用すると面倒な場合、極座標を利用して楕円の問題を考えます。
2次曲線に関する問題(その5) (その4)で扱わなかった極座標の応用例を考えます。


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(C)2005, 2006 (有)りるらるNewton e-Learning
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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2006/11/11(土) 06:32:59|
  2. 数学C
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2次曲線に関する問題(その5)

2次曲線に関する問題(その5)

離心率e (),焦点と準線の距離がh,焦点を極とする双曲線の極方程式は、です。
とすると、 ()となりますが、このとき、曲線上の点Cは、極(焦点)から、始線と反対側に距離のところに来ます。
とすると、となりますが、このとき、曲線上の点Dは、極から、始線と反対側に距離のところに来ます。
なので、左から、CDOの順に一直線上に並びます。
CDの中点M(双曲線の中心)は、DからC側に、距離のところにあります。
Mと焦点との距離をとすると、より、

Mと準線との距離は、()

以上では、Oを双曲線の焦点としていましたが、改めてOxy座標系の原点(双曲線の中心)にとると、双曲線:は、右図のようになっています。

2次曲線に関する問題(その4)で、楕円の問題を極座標で考える例を示しました。
ここでは、さらに、一般の2次曲線に関する問題について、で考える例を取り上げます。

1.極Oを焦点とする、極方程式: (離心率:,焦点Oと準線との距離:)で与えられる2次曲線と、焦点Oを通る直線との交点をABとするとき、を証明する。
[証明] Aの偏角をq とすると、Bの偏角はで与えられます。

よって、 (証明終)


2.極Oを焦点とする、極方程式: で与えられる2次曲線と、焦点Oを通る直線との交点をAB,この直線と焦点Oで直交する直線との交点をCDとするとき、を証明する。
[証明] 



よって、 (証明終)


極方程式:によって、楕円()と双曲線()と放物線()を、焦点を極とする極座標でまとめて扱うことができますが、標準形で表された楕円と双曲線については、中心(xy座標系の原点O)を極とする極方程式も考えられます。
楕円: ()では、
を代入すると、


 
 
分母、分子をで割り、 (cは焦点の座標) (eは離心率、2次曲線に関する問題(その4)を参照)を用いると、
 
双曲線: では、
を代入すると、


 
 
分母、分子をで割り、 (cは焦点の座標) (eは離心率、このページの上記を参照)を用いると、
 
中心を極とする極座標における極方程式は、
楕円では、
双曲線では、
となります。

3.中心をOとする、楕円: ()または、双曲線: ()上に2ABをとり、とすると、となることを証明する。
[証明] 楕円の場合、中心を極とする楕円の極方程式:を用いると、より、


 
となる双曲線の場合、同様にして、より、

  (証明終)
注.となる双曲線の場合、となるような2ABを双曲線上に取ることができません。

4.中心をOとする、楕円: ()上に3ABCをとり、とすると、となることを証明する。
[証明] 中心を極とする楕円の極方程式:を用いると、より、


 
 

 
 

  (証明終)
注.楕円上にn個の点を、 ()のようにとるとき、が言えます。


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(C)2005, 2006 (有)りるらるNewton e-Learning

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  1. 2006/11/10(金) 10:25:05|
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2次曲線に関する問題(その4)

2次曲線に関する問題(その4)

楕円の問題をを使って考えてみます。

以下の例を、xy座標系で普通にやってみます。
1.楕円: ()の焦点を通る直線lと楕円との交点をABとし、もう一つの焦点をFとするとき、三角形FABの面積の最大値を求める。但し、
[解答] 楕円の方程式の分母を払って、
 ・・・①
焦点を通る直線lは、x軸に垂直になるときを除いて、 ・・・② (楕円はx軸に関して対称なので、として十分です)
これを①に代入して、

整理すると、
 ・・・③
線分ABの長さdは、③の2解をとして、

但し、直線lx軸に垂直になるときには、楕円の方程式で、として、
このときは、 ・・・④
と考えます。
③の2解の差は、③の判別式をDとして、
 (2次方程式の一般を参照、2次方程式:の判別式をとして、2解の差は、)
ここで、
 
 
 
 

よって、
④は、ここでとしたときの極限になっています。
さて、Fと直線②との距離hは、
三角形FABの面積Sは、

 
根号内を ()とおいて、
この導関数は、
のときには、なので、は単調増加です。よって、
従って、Sの最大値は、としたとき、つまり、直線②がx軸に垂直なとき、
......[]
のときには、において、は極大となり、Sの最大値は、
......[]

xy座標系で考えても何とか解けますが、同じ問題を、極座標を使って考えてみます。

2方程 ()で与えられる楕円(Oに焦点があり、離心率はe,準線は始線に垂直で焦点との距離はh)とその焦点を通る直線との交点をABとし、極でない方の焦点をFとするとき、三角形FABの面積の最大値を求める。
[解答] ABは楕円上の点なので、楕円の方程式を満たします。Aの偏角(OAx軸のなす角)q (として考えれば十分です)とすると、Bの偏角はです。

楕円と始線との交点をC,始線の極側への延長線との交点をDとすると、


三角形FABの面積Sは、

 
 
 
  ・・・①
 
  (,つまり、のときには、相加平均、相乗平均の関係が使えます。等式の証を参照)
 
上記の不等号で、等号が成立するのは、,つまり、のときですが、のときには、これを満たすq が存在するので、Sの最大値は、 ......[]
のときは、①において、とおくと、

より、 ()
よって、は、において、単調増加です。

このときには、①より、Sの最大値は、 ......[]

2の中で、ついでに、楕円の長軸の長さを求めると、

これより、楕円: ()において、
として、

焦点のx座標を ()として、
より、

準線と楕円の中心との距離は、
()
また、
2Oは、極(楕円の焦点)でしたが、改めて、xy座標系の原点をO (楕円の中心)にとると、楕円: ()は、右図のようになっています。



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(C)2005, 2006 (有)りるらるNewton e-Learning

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  1. 2006/11/09(木) 11:13:27|
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2次曲線の問題(その3)

2次曲線に関する問題(その3)

には、その焦点をFとし、放物線の軸に平行な直線lと放物線との交点をPとすると、Pにおける接線がlとなす角、及び、直線FPとなす角は等しい、という有名な性質があります。教科書にも出ていると思います。
パラボラ・アンテナや、遠方の野鳥や虫の鳴き声を録音するときに使う集音器の動作原理です。
パラボラ・アンテナも集音器も、遠方から来る微弱な電波や音を受けるときに、一点で受けずに、平面的に受けて感度を上げる工夫をしています。
遠方から来る、微弱な電波や音は、ほぼ、放物線の軸と平行に到来します。これがパラボラ・アンテナや集音器の放物面に当たって反射すると、上記の性質により、電波や音は放物面の焦点に集まってきます。焦点で電波や音を受けると、結果的に広い面で電波や音を受けているのと同様の効果が得られるのです。
上記の性質を証明してみます。
放物線をとすると、焦点Fです。放物線上の点Pにおける接線は、

として、x軸との交点Qx座標は、

一方、放物線の定義より、放物線上の点Pと焦点までの距離FPは、Pと準線までの距離に等しく、


従って、三角形FPQは二等辺三角形であって、
lx軸と平行なので、lと接線PQのなす角はに等しく、Pにおける接線がlとなす角、及び、直線FPとなす角は等しくなります。

これと類似の性質は、楕円、双曲線にもあります。

楕円では、一方の焦点から出た光が楕円面に当たって反射すると、もう一方の焦点に向かうように反射します。
双曲線では、一方の焦点から出た光が双曲面に当たって反射すると、もう一方の焦点から出たかのように反射します。

これを証明してみます。まず、楕円。
楕円: ()を考えると、焦点Fの座標をとして、 ・・・①
楕円上の1点をPとして、証明すべきことは、Pにおける接線と直線FPのなす角、接線と直線のなす角が等しいこと ・・・() ですが、このとき、Pにおける法線が2等分するので、Pにおける法線がx軸と交わる点をQとして、,すなわち、FPFQを示すことにします。
Pの座標を、円の媒介変数表を用いて、とすると、
Pにおける接線は、
つまり、
Pにおける法線は、これと直交する直線で、dを定数として、
・・・②
と表されます。
法線は、点Pを通るので、が成り立ちます。

法線とx軸との交点のx座標は、②でとして、

のとき、Pは楕円の長軸両端の位置にありますが、このときは、()は明らかに成り立つので、として、
 ( )

 
 
  ( )
 
 
同様に、

 


以上より、FPFQ
よって、()が成り立ちます。

双曲線の場合です。
双曲線: ()を考えると、焦点Fの座標をとして、 ・・・③
双曲線上の1点をPとして、証明すべきことは、Pにおける接線と直線FPのなす角、接線と直線のなす角が等しいこと ・・・(**) ですが、このとき、接線がx軸と交わる点をQとして、接線が2等分するので、FPFQを示すことにします。
Pの座標を、曲線の媒介変数表を用いて、とすると、
Pにおける接線は、
これがx軸と交わる点のx座標は、として、


 
 
  ( )
 
 
同様に、

 


以上より、FPFQ
よって、()が成り立ちます。


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(C)2005, 2006 (有)りるらるNewton e-Learning

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  1. 2006/11/08(水) 13:32:55|
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2次曲線に関する問題(その2)

2次曲線に関する問題(その2)

2次曲線に関する問題(その1)からのつづきです。
2次曲線の問題を2次方程式の問題として扱うと、計算が複雑になりがちです。
ここでは、2次曲線の定義の利用を考えます。

1.定直線l上を動く1Hにおいてlと直交する直線と、定点FHを結ぶ線分の垂直二等分線の交点Pの軌跡を求める。
[解答] 線分PFと線分PHは、垂直二等分線に関して対称なので、
Pは、定点Fまでの距離と、定直線lまでの距離とが等しい点なので、の定義より、Pの軌跡は、Fを焦点とし、lを準線とする放物線(右図赤線) ......[]

2.定直線lに接する円が定点Fを通るとき、この円の中心Cの軌跡を求める。
[解答] 定直線lと円との接点をHとすると、CFCHは円の半径で等しい。
よって、点Cは、定点Fまでの距離と、定直線lまでの距離とが等しい点なので、放物線の定義より、Cの軌跡は、Fを焦点とし、lを準線とする放物線(右図赤線) ......[]

3.定点Cを中心とする円周上の動点Bと円の内部の定点A (中心Cとは異なる)とを結ぶ線分の垂直二等分線と、線分CBとの交点Pの軌跡を求める。
[解答] 線分PBと線分PAは、垂直二等分線に関して対称なので、
円の半径をとして、より、
よって、P2定点CAまでの距離の和がrで一定である点なので、楕円の定義より、Pの軌跡は、2定点CAを焦点とし、この円の半径を長軸の長さとする楕円(右図赤線) ......[]

4.定点Aを中心とする一定の円周Cに内接し、かつ、円C内のAと異なる定点Bを通る円の中心Pの軌跡を求める。
[解答] 内接円と円Cとの接点をQとする。APQは同一直線上の点。PQPBはともに内接円の半径であって、
Cの半径をとして、より、
よって、P2定点ABまでの距離の和がrで一定である点なので、楕円の定義より、Pの軌跡は、2定点ABを焦点とし、円Cの半径を長軸の長さとする楕円(右図赤線) ......[]

5.定点Cを中心とする円周上の動点Bと円の外部の定点Aとを結ぶ線分の垂直二等分線と、直線CBとの交点Pの軌跡を求める。但し、直線ABが円の接線となる場合を除く。
[解答]  直線ABが円の接線となる場合には、垂直二等分線が直線CBと平行になり、交点Pが存在しません。
線分PBと線分PAは、垂直二等分線に関して対称なので、
円の半径をとして、より、
よって、P2定点CAまでの距離の差がrで一定である点なので、の定義より、Pの軌跡は、2定点CAを焦点とし、この円の半径を双曲線の2つの枝の頂点間の距離とする双曲線 ......[]

6.定点Aを中心とする一定の円周Cに外接し、かつ、円C外の定点Bを通る円(が存在すれば)の中心Pの軌跡を求める。
[解答] 外接する円と円Cとの接点をQとする。例5と同様に直線BQが円Cの接線になる場合には、外接する円が存在しません。
外接する円が存在すれば、APQは同一直線上の点。PQPBはともに外接する円の半径であって、
Cの半径をとして、より、
よって、P2定点ABまでの距離の差がrで一定である点なので、双曲線の定義より、Pの軌跡は、2定点ABを焦点とし、円Cの半径を双曲線の2つの枝の頂点間の距離とする双曲線 ......[]




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  1. 2006/11/07(火) 17:37:29|
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2次曲線に関する問題(その1)

2次曲線に関する問題(その1)

2次曲線の問題を素直に2次方程を用いて解く場合、2次方程式の判別2次方程式の解と係数の関の技巧を考えます。

1楕円と直線:2PQで交わっているとき、abm ()を定数として、nの値を動かすときのPQの中点M軌跡、また、nに対してPQの長さを求める。
[解答] 楕円の方程式の分母を払うと、

と連立して、

整理すると、
 ・・・①
楕円と直線が2点で交わるので、①は、異なる2実数解をもちます。
判別式:
  (2次方程を参照)

①の2解をab とすると、PQの中点Mx座標はです。
①において、と係数の関より、

よって、Mx座標は、 ・・・②
PQの中点Mは、直線上の点ゆえ、My座標は、
 ・・・③
②,③からnを消去すると、

これが軌跡の方程式です。
②において、nの範囲を考慮すると、


Mの軌跡は、直線:の部分で、右図赤線部分(両端白マルを除く) ......[]
線分PQの長さは、PQx座標の差にをかけたものになります。また、PQx座標の差は、
 (2次方程式の一般を参照、2次方程式:の判別式をとして、2解の差は、)
 
よって、PQの長さは、
......[]

2.楕円: ()外の点Pから楕円に引いた2接線が直交するようにPが動くとき、Pの軌跡を求める。
[解答]  のとき、点Pを通る傾きmの直線は、

 ・・・①
以下、1文字のように扱うのがコツです。
楕円の方程式の分母を払うと、

①を代入すると、

整理して、

直線①と楕円は接するので、この2次方程式は重解をもち、判別式: (2次方程を参照)

 

より、これをmに関する2次方程式と見ると、2は、Pから楕円に引いた2接線の傾きです。
2接線が直交するので、傾きの積 (2直線の平行と垂を参照)
と係数の関より、

分母を払って整理すると、 ・・・②
のとき、とすれば、Pから楕円に引いた2接線は、のいずれかとのいずれかであって、直交します。
は、4通りの符号のどの組み合わせについても、②を満たすので、②で、と書き換えて、
Pの軌跡は、円: ......[]
注.円:は、楕円:の準円と呼ばれます。

3 ()上にない点Pから放物線に引いた2接線が直交するようにPが動くとき、Pの軌跡を求める。
[解答] 例2と同様に、点Pを通る傾きmの直線は、
 ・・・①
放物線の方程式に代入して、

直線①と放物線が接するので、この2次方程式は重解を持ち、判別式:

整理して、
2接線は直交するので、この2次方程式の2の積は、
解と係数の関係より、

と置き換えて、Pの軌跡は、直線: ......[]
直線:は、放物線:の準線です。

4 ()に関して、以下を証明する。
(1) 直線: ()と、双曲線との交点をPQ,直線と漸近線との交点をRSとして、
(2) 原点をOとする。双曲線上の1Pにおける接線と、漸近線との交点をABとすると、点PABの中点であり、三角形OABの面積は一定,また、双曲線の焦点をFとして、
[証明](1) 双曲線の漸近線:を連立し、
 (複号同順)
よって、RSの中点のx座標は、
一方、双曲線の方程式の分母を払うと、
を代入して、
整理して、
この2次方程式の2ab が、PQx座標になります。
PQの中点のx座標は、と係数の関より、

PQRSの中点が一致するので、 (証明終)

(2) 接点Pの座標をだとして、接線:
分母を払って、
漸近線の方程式:を代入して、
 (複号同順)
よって、ABの中点のx座標は、

  ( Pは双曲線上の点だから、)
Pは直線AB上の点であり、ABの中点のx座標がPx座標に一致するので、PABの中点です。
ABy座標は、x座標の値を漸近線の式に代入することにより、
 (複号同順)
三角形OABの面積は、






より、 (証明終)

(2次曲線に関する問題(その2)へつづく)


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  1. 2006/11/05(日) 10:30:10|
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極座標のグラフ

極座標のグラフ

ろいろな曲という項目の中で、方程で表された曲線をコンピューターに書かせたものを示しました。
ここでは、大学入試会場で、方程で表された曲線の概形を図示する方法を、リマソン:を例にとって、書いておきます。
まず、q 軸をx軸、r軸をy軸のように(直交座標系のように)とって、

のグラフを右図のように書きます。
これは、角関数のグラ(正弦曲線)なのですぐ書けます。においては、なので、グラフがq 軸の下に来ます。
正葉曲線:のような場合、aの値によっては、の範囲だけでは不足する可能性があり、とかなどの範囲で書く必要が出てくる場合があります。

あるいは、下表のような表を作ります。
q0p
r32100123
座標でグラフを書く場合には、右図のように、極Oを中心とする同心円をなど、必要に応じて書いておきます。
また、極を通る直線など、必要に応じて書いておきます。
リマソン:では、においてはです。グラフ、あるいは、表を参考に、q の値で定まる極を通る直線上の極からの距離がrのところに点をプロットして行きます。右図では、①~⑥で示しました。
のときに、プロットする点は極Oに来ます()
のときには、となります。このときには、であれば、ですが、極から左上にマイナス進んだところと考えて、右下の方向(の方向)進んだところに点をプロットします()
このように、の場合には、極Oから逆方向に距離のところに点をプロットします。右図では、3点、⑦,⑧,⑨をプロットしました。
の範囲のグラフは、以上でプロットした点を滑らかにつないで行けばグラフが書けます。曲線によっては、尖点と言ってとがった点が出てくることがあります。
リマソン:では、の部分との部分とは、始線に関して対称なので、の部分を始線に関して折り返せば、右図のようなグラフが書けます。極のところに交叉するところができます。



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  1. 2006/11/04(土) 15:35:30|
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いろいろな曲線

いろいろな曲線

(1) トロコイド:半径aの円を、x軸と接したまま滑らずに回転させるとき、中心から距離bの点(円とともに回転する)が描く軌跡。

のとき、右図。

のとき、右図。これは、イクロイです。

のとき、右図。

のとき、右図。

のとき、右図。

(2) ハイポトロコイド:半径の円Cを、半径aの円周に内接させたまま滑らせずに回転させるとき、円Cの中心から距離bの点(Cとともに回転する)が描く軌跡。

のとき、右図。これは、イポサイクロイです。

のとき、右図。

のとき、右図。

のとき、右図。これは、ステロイです。

のとき、右図。

のとき、右図。

(3) エピトロコイド:半径の円Cを、半径aの円に外接させたまま滑らせずに回転させるとき、円Cの中心から距離bの点(Cとともに回転する)が描く軌跡。

のとき、右図。これは、ピサイクロイです。

のとき、右図。

のとき、右図。

のとき、右図。

(4) リサジュー図形

のとき、右図。

のとき、右図。

のとき、右図。

のとき、右図。

のとき、右図。

のとき、右図。

のとき、右図。

のとき、右図。

のとき、右図。

のとき、右図。

のとき、右図。

(5) 螺旋(らせん)
直交座標では、方程は、 ()
のとき、右図。

(6) 正葉曲線
直交座標では、方程は、 (のときは、rq として考える)
のとき、右図。

のとき、右図。

のとき、右図。

のとき、右図。

のとき、右図。

のとき、右図。

(7) リマソン
方程は、 (のときは、rq として考える)
のとき、右図。

のとき、右図。これは、ージオイです。

のとき、右図。

のとき、右図。




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  1. 2006/11/03(金) 20:06:11|
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極座標

極座標

平面上の点Pの位置を、原点Oからの距離と、原点Oを端点とする半直線OXから反時計回りに半直線OPまで測った角を指定することによって定めることができる。
rq の組を点P極座標と言う。
また、原点O、半直線OX始線、角q 偏角と言う。
OXに重なるようにx軸をとり,Oを通りOXと垂直な直線をy軸とし、の方向をx軸正方向、の方向から反時計回りに回った方向をy軸正方向とする直交座標系上において、点Pの座標をとすると、

の関係がある。
また、
(のとき)
の関係がある。のときは、とする。
Pがある曲線上の点であるとき、極座標で、点Pの位置を考えて、rq の関係を表した方程式を、極方程式と言う。
通常、極方程式は、などの形で表す。

地球上で、船の位置や、台風の位置を考えるときに、「東経139度、北緯35度」と言うように指定します。英国グリニッジ天文台と、北極、南極を通過して、地球の表面を一周する円周をグリニッジ子午線と言いますが、139度というのは、子午線から測った角です。35度は赤道から測った角です。
物体の位置を考えるのに、必ずしも正方形のマス目を並べて、直交座標系でxがいくつyがいくつ、というように座標を指定するだけでなく、原点からの距離と角で位置を指定する、という、全く異なった見方ができます。これが、極座標です。
右図でわかるように、極座標でであった座標を、直交座標系(xy座標系)に変換する場合には、

という公式を使います。
また、直交座標系(xy座標系)という座標であったものを、極座標のに変換するときには、

という公式を使います。


(1) Oを中心とする半径a ()の円の極方程式:
(2) Oを通り、始線と角a ()をなす直線の極方程式:
(3) 始線と角a ()をなし、極Oからの距離がである直線の極方程式: (のとき、xy座標系でy切片が正,のとき、xy座標系でy切片が負)
(4) 直線 (,極Oを通り、始線と角aをなす直線)と直交し、極Oからの距離がである直線の極方程式: (のとき始線と交わり、のとき始線と交わらない)
(5) Cを中心とし、半径aの円の極方程式:
(6) Oを焦点,始線に垂直で極Oからの距離がhである直線()を準線とし、e2次曲線の極方程式: (+のとき準線は始線と交わり、-のとき準線は始線と交わらない)

(1) Oを中心とする半径a ()の円周上の点は、極Oからの距離がaで一定なので、極方程式は、

となります。

(2) Oを通り、始線と角a ()をなす直線上の点の偏角q は、極Oを除いて、aで一定です。この直線の極方程式は、

となります。

(3) 直交座標系において、

という方程式で与えられる直線の極方程式を考えます。

を代入すると、
 ・・・①
左辺において、角関数の合を行うと、

但し、
よって、とおけば、直線の極方程式
 ・・・②
が得られます。
②式は、右図のように、直線②が直線と平行で、極Oと直線②との距離がであることを示しています。
のとき、より、なので、の符号は、直線のy切片の符号と一致します。

(4) 上記(3)の①式で正弦の合成ではなく、余弦の合成を行ってみます。
余弦の加法定理:
より、①を、

但し、
よって、とおけば、直線の極方程式
 ・・・③
が得られます。
③式は、右図のように、直線③が直線と垂直で、極Oと直線③との距離がであることを示しています。
のとき、より、なので、の符号は、直線のx切片の符号と一致します。

(5) 直交座標系で、を中心とする半径aの円の方程式は、

となります。
展開して整理すると、

中心が極座標でになったとすると、

これを代入し、とすると、


これで、円の極方程式

が得られます。
この式は、右図のように、三角形OPC弦定を適用し、

として得られる式です。

(6) 極座標で2次曲線を考える場合には、を考えます。離心率が曲線上のすべての点で一定である曲線が2次曲線です。
右図において、焦点Fが極となるような極座標を考え、準線が始線と垂直で、焦点から準線までの距離がhだとします。
右図1では、準線:は焦点の左側にあって、始線とは交わらず、右図2では、準線:は焦点の右側にあって、始線と交わります。
曲線上の点Pから準線に垂線PHを下ろすと、離心率:は、右図1では、

右図2では、

両者まとめて(以下、複号同順)

分母を払って整理すると、 (-が右図1,+が右図2)
これが、2次曲線の極方程式で、の場合に楕円、の場合に放物線、の場合に双曲線になります。
極方程式:で表される2次曲線の直交座標系における方程式を求めてみます。
分母を払って、
より、
両辺を2乗して、
より、

の場合には、

これは放物線です。
の場合は、左辺をxに関して平方完成し、

両辺をで割ると、
の場合には、

これは楕円です。
の場合には、

これは双曲線です。


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  1. 2006/11/02(木) 11:44:45|
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