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物理への応用(その2)

物理への応用(その2)

理への応の続きです。
以後は一次元の運動を考えます。
等速円運動する物体にy軸に垂直な方向から光を当ててy軸に物体の影を作るとき、影が行う運動を単振動と言います。
物体の位置のy座標は、
物体の速度は、
物体の加速度は、
運動方程式は、力をfとしてとなりますが、

一定の力を受けて等加速度運動している物体が、さらに、速度に比例する抵抗力 (kを定数)が働くとき運動方程式は、

関数の微分の公式より、
のときの速度をだとして、

 
 


のとき、となり、物体の運動は等速度運動に近づいていきます。この最終的な速度を終端速度と言います。
のとき、だとして、

 
 
速度vと座標xの時刻tに対する関係を右図に示します。


単振動している物体(座標x)に、速度vに比例する抵抗も働くと、運動方程式は、
 ()
 ・・・①
2次方程式: ・・・②
判別式:
(i) ,つまり、のとき(抵抗力が強いことを意味します)
②は、2個の実数解:
2解とも負の解で、として、2解は、となります。
とおくと、


①の左辺に代入すると、は、②の解だから、

となり、①を満たすので、物体の座標は、となります。
(ii) ,つまり、のとき(抵抗力はちょうどよいとき)
このとき、②は重解をもちます。
とおくと、


 
①の左辺に代入すると、


となり、①を満たすので、物体の座標は、 ・・・③
(iii) ,つまり、のとき(抵抗力が小さいとき)
とおくと、


     
 
①に代入すると、

これが恒等的に成り立つ場合、
 ・・・④, ・・・⑤
⑤より、
④より、
 (根号内は正)
とすれば、①を満たすので、物体の座標は、 ・・・⑥
③のグラフを赤で、⑥のグラフを黒で、右図に示します。ともに、で、となります。
⑥は、振動しながら徐々に振幅が小さくなっていく振動を表しますが、減衰振動と呼ばれています。我々が日常経験する振動現象のほとんどはこのタイプの減衰振動です。
ここでは、の形を仮定して、元の式①に代入することにより、を求めましたが、①のような方程式を線形2階微分方程式と言います。詳しくは、2階微分方程を参照してください。


大学入試に出題される問題で、もう一つ、容器に水を流入させたり、容器から水を流出させるという問題があります。
ここでは、右図のように、単調増加な関数として与えられる曲線:z軸の回りに1回転して得られる曲面を容器側面とし、xy平面上に底面をもつ容器に、上から水を流入させることを考えます。
いろいろな入試問題が考えられますが、ここでは、水の流入速度がKで一定、容器の深さがHだとして、時刻0から水を入れ始めて容器が満杯になるまでの時間Tと水深hの変化率を求めてみます。
容器を平面で切ったときの断面の円の面積は、
水深がhになったときの容器内の水の量は、 (y軸の回りの回転を参照)
水の流入速度は、tで微分して、
 (hが時間の関数であることに注意。積分と微分(その2)を参照)
 
 
これがKに等しいので、
従って、水深の変化率は、 となります。
さて、この式を用いてhtの式で表したいのですが、このままでは、右辺がtで積分できません。
そこで、関数の微分により、
これで両辺をhで積分することにより、においてより、

満杯になるとき、において、より、

例えば、となる場合では、より、
水深の変化率は、
満杯になるまでの時間は、 です。


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(C)2005, 2006 (有)りるらるNewton e-Learning
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  1. 2006/09/30(土) 15:57:26|
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物理への応用

物理への応用

(1) 1次元の運動:時刻tにおける物体の位置がだとして、
物体の速度は、
物体の速さは、
物体の加速度は、
時刻における、物体の位置が,速度がだとして、時刻tにおける加速度が与えられているとき、


時刻から時刻tの間に、物体が動いた道のりは、
(2) 2次元の運動:時刻tにおける物体の位置がだとして、
物体の速度は、
物体の速さは、
物体の加速度は、
時刻における、物体の位置が,速度がだとして、時刻tにおける加速度が与えられているとき、



上記では、として、ベクトルの微分を、のように見て、と書いています。
また、ベクトルの積分を、のように見て、と書いています。

直線上を運動する物体が、時間の間にだけ座標が変化するとき、を平均速度と言います。
xが時間の関数であるなら、平均速度は、関数の平均変化率に相当します。
平均速度で、時間の間にどれだけ進むかということを比較することができますが、平均速度自体が時々刻々変化しているような場合には、平均速度では物体の移動が速いか遅いか比較することができないときがあります。
各瞬間における移動が速いか遅いかを評価するために、を極めて短くとることを考えます。数学上では、としたときの極限を考えることになります。
を物体の速度と言います。即ち、です。
同様に、速度変化の度合いを評価するために、時間の間の速度変化をとして、
を物体の加速度と言います、即ち、です。
また、速度の絶対値を速さと言います。

時刻tの関数として加速度がと与えられているとき、より、における速度をとして、
 (両辺を微分すれば確かめられます) ・・・①
tt時刻tの関数として速度がと与えられているとき、より、における物体の座標をとして、
 (両辺を微分すれば確かめられます) ・・・②

(i) 一次元等加速度運動
直線上を運動する物体の加速度aが一定である運動を等加速度運動と言います。
時刻tにおける速度は、における速度をとすると、①により、

時刻tにおける物体の座標は、における座標をとして、②により、


(ii) 二次元の運動
二次元、三次元の運動では、物体の位置、速度、加速度を表すのにベクトルを用います。
二次元の運動、つまり、物体が平面上を運動するときは、物体の位置の座標をとして、x方向の運動、y方向の運動、それぞれを一次元の運動のように考えます。物体の位置は、,物体の速度は、,物体の加速度は、
つまり、速度のx成分は,速度のy成分はです。加速度のx成分は,加速度のy成分はです。
のように与えられている場合、
速度のx成分は、
速度のy成分は、
加速度のx成分は、
加速度のy成分は、
物体の運動経路を示す曲線の式:と、速度のx成分:が与えられている場合、
を求めるのには、成関数の微分を利用します。
速度のy成分は、
速さは、
加速度のx成分は、
加速度のy成分は、
 
 
 

平面上の直線に沿って、等加速度運動する物体の加速度がと与えられている(は定数)とき、における速度を,時刻tにおける速度をとして、①により、


この2式を1つにまとめて、以下のように書くことにします。

における物体の位置ベクトルを,時刻tにおける物体の位置ベクトルをとして、②により、


この2式を1つにまとめて、以下のように書くことにします。

 

平面上の円周に沿って、一定の速さで動く物体の運動を等速円運動と言います。物体の位置を指す位置ベクトルとx軸とのなす角q は、時間t1次関数として、と表すことができます。w を角速度、dを初期位相と言います。
これより、半径Aの円周に沿って反時計回り()に等速円運動する物体の位置ベクトルは、
速度ベクトルは、
より、物体の速度は動径と垂直になっていることがわかります。
また、物体の速さは、
加速度ベクトルは、
となり、位置ベクトルとちょうど逆向きで、物体の位置から円の中心に向かっていることがわかります。


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(C)2005, 2006 (有)りるらるNewton e-Learning

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  1. 2006/09/29(金) 03:15:30|
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階段関数と不等式

階段関数と不等式

1,・・・,,・・・ と続く数列を調和数列と言います。調和数列の第n項までの和:
   
を、一般的にnの式で表すことはできません。
ですが、が大体どれくらいの数なのかを調べる方法があります。
右図において、黄色で塗られた部分の面積の和は、となり、調和数列の第n項までの和になります。
この面積は、曲線:と直線,直線x軸とで囲まれ部分の面積に1 (右図での部分に存在する四角形-本当は正方形ですが-の面積)を加えたものAよりも小さく、曲線:y軸,x軸,直線とで囲まれる部分の面積Bよりも大きいことは、図を見ればわかります。従って、

という不等式をすぐに作ることができます。大学入試の答案としては、右図を書いて上記のように説明すれば充分ですが、ここでは、もう少し丁寧に書いてみます。
として、を満たすxについて、が成立します。このとき、
各辺に積分記号をつけても不等号の向きは変わらない(積分と不等を参照)ので、

ここで、です。について和をとると、
 ・・・①
においては、より、
これより、①の左辺と中辺には、1を加え、右辺にはを加えても不等式は成立します。
注.なぜ、こんな面倒なことをするかと言うと、が計算できないからです。のとき、となってしまいます。




これより、であることがわかります。

以上と同様にして、についても調べることができます。
のとき、より、

について和をとると、

この不等式の中辺は、なので、とできます。よって、

 (定積分の公を参照)

 



 




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  1. 2006/09/28(木) 06:09:57|
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定積分と不等式

定積分と不等式

において、が積分可能で、この範囲において、とするとき、
   
不等式の等号は、における任意のxについて、であるときに限り成立する。

において、が積分可能で、とするとき、分求積の議論より、定積分は、曲線と、x軸、直線,直線によって囲まれる部分の面積(負の値にはなりません)を表します。
における任意のxについて、であれば、
 ・・・①
に含まれるある区間において、であれば、明らかに、です。
内の残る区間においても、明らかに、です。よって、

①と合わせて、
 ・・・②
不等式の等号は、における任意のxについて、であるときに限り成立します。
ここで、とおくと、において、は積分可能で、です。
よって、②により、

であり、不等式の等号は、における任意のxについて、,つまり、であるときに限り成立します。

不等式の等号は、における任意のxについて、であるときに限り成立します。
(証明終)

上記の証明と同様なことを考える例を示します。

1. において、積分可能で2回以上微分可能な関数があるとき、 かつ かつ であれば、 であることを示す。
[解答] より、は単調減少で、です。また、より、において、です。
とおくと、より、,また、より、

また、において、より、曲線は上に凸で、接線から下側に来ます。 ・・・①
における接線は、 ・・・②
における接線は、 ・・・③
②,③を連立すると、

よって、2接線②,③の交点は、です。
①より、x軸で囲む部分の面積は、2直線②,③とx軸で囲む部分(底辺1,高さの三角形)の面積よりも小さくなります。よって、



上記の結果: を使う例を示します。

2. のとき、 であることを示す。
[解答] 不等式中辺の定積分は計算できないので、定積分の計算をしないで示すことを考えます。
のとき、です。
において、より、であり、
が成立します。よって、
 ・・・① (被積分関数に関する不等式に等号が入らないので、定積分の不等式にも等号が入らないことに注意)

①右辺の定積分は、とおくと、xのとき、j
 (換積分(その2)を参照)
①に代入して、



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  1. 2006/09/27(水) 09:57:50|
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ハイポサイクロイド

ハイポサイクロイド

として、媒介変数表示:で表される曲線をハイポサイクロイドと言う。
ピサイクロイで、nに負の数を入れたものに相当する。

として、半径の円に内接したまま、半径bの円が滑ることなく回転していくときに、の周上の動点Pが描く曲線がハイポサイクロイドです。
の中心が原点Oで、円の中心が最初に右図の点Bにあって点Aで円に接しており、の周上の動点Pが最初に点Aにあるとします。
と内接しながら回転し、の中心Qが右図のように、となるような位置まで来たとします。このときに、 ()として、動点Pは、右図のように、となる位置まで来ます。
このとき、がつねに接するように動くので、弧と弧の長さは等しくなります。
より、

の内側を1周したときに、動点Pがちょうどn周して点Aに戻ってくるものとする(これはハイポサイクロイドの要条ではありません)と、 (動点Pは負方向に回転していることに注意)が、のときに、 ()になります。よって、

 ・・・①
さて、右図において、の中心Qは、半径aの円周上をx軸から角q だけ回った位置にあるので、

動点Pは、①より、半径の円の周上を右図でRから角だけ回った位置にあるので、


これより、点Px座標、y座標について、

という媒介変数表示が得られます。

のときは、より、Pの軌跡はx軸のの部分です。

のときは、媒介変数表示は、

図示すると、右図のようになります。

のときは、媒介変数表示は、

図示すると、右図のようになります。


とも書けるので、これは、ステロイです。

のときは、媒介変数表示は、

図示すると、右図のようになります。

上記のハイポサイクロイドの線の長を求めてみます。
上に示すように、ハイポサイクロイドはへこんだ針金が円周の内側にへばりつくような形をしています。

 
   
 
動点Pの周上に来るのは、
とおくと、

kを整数として、,つまり、のとき。
従って、針金1本分に相当するq の範囲は、であって、本の同じ針金ができます。


 
  
 
 
()
求める曲線の長さは、

  (定積分の公を参照)
 
 


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  1. 2006/09/26(火) 09:22:05|
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エピサイクロイド

エピサイクロイド

として、媒介変数表示:で表される曲線をエピサイクロイドと言う。

半径の円に外接したまま、半径bの円が滑ることなく回転していくときに、の周上の動点Pが描く曲線がエピサイクロイドです。
の中心が原点Oで、円の中心が最初に右図の点Bにあって点Cで円に接しており、の周上の動点Pが最初に右図の点Aにあるとします。
と外接しながら回転し、の中心Qが右図のように、となるような位置まで来たとします。このときに、最初に点Cに接していた上の点は右図の点R (の接点、すなわち、線分OQとの交点をTとして、となる点)まで来ます。動点Pは、線分PRが円の直径であるように動くので、右図のように、となる位置まで来ます。
このとき、がつねに接するように動くので、弧と弧の長さは等しくなります。
より、

のまわりを1周したときに、動点Pがちょうどn周して点Aに戻ってくるものとする(これはエピサイクロイドの要条ではありません)と、が、のときに、n ()になります。よって、

 ・・・①
さて、右図において、の中心Qは、半径aの円周上をx軸から角q だけ回った位置にあるので、

動点Pは、①より、半径の円の周上を右図でから角だけ回った位置にあるので、


これより、点Px座標、y座標について、

という媒介変数表示が得られます。

のときは、Pの軌跡は円周です。

のときは、媒介変数表示は、

となりますが、これはージオイです。
図示すると、右図のようになります。

のときは、媒介変数表示は、

図示すると、右図のようになります。

のときは、媒介変数表示は、

図示すると、右図のようになります。

のときは、媒介変数表示は、

図示すると、右図のようになります。

上記のエピサイクロイドの線の長を求めてみます。
上に示すように、エピサイクロイドは花びらが円周のまわりを取り囲むような形をしています。

 
   
 
動点Pの周上に来るのは、
とおくと、

kを整数として、,つまり、のとき。
従って、花びら1枚分に相当するq の範囲は、であって、枚の花びらができます。


 
  
 
 
()
求める曲線の長さは、

  (定積分の公を参照)
 
 


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  1. 2006/09/25(月) 11:12:24|
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申し訳ございません

ただいま、弊社のサーバーがダウンしておりまして、
http://www.riruraru.com/
にアクセスできなくなっております。
従って、数式の表示が行えなくなっています。
明日夜をメドに復旧工事を致します。

ご迷惑をおかけして申し訳ございません。

なお、このサイトのミラー・サイトの
http://www.cfv21.com
では、通常通りに表示ができております。


また、弊社ホームページのミラー・サイトは動作しております。URLは、
http://f57.aaa.livedoor.jp/~paintbox/index.html
です。
Newton社のe-Learning受講のお申し込みは、こちらより、お願いいたします。

念のため申し添えますが、数式がうまく表示できないのは、弊社側の問題でありまして、FC2様のブログ・システムの問題ではございません。

9月24日22時35分現在、弊社サーバーが復旧いたしました。
今後は、攻撃を受けましても、サーバーを簡単にはダウンさせないように
しっかりと監視して参りますので、今後ともよろしくお願いいたします。
明日より、また、更新作業を続けて参ります。
  1. 2006/09/20(水) 21:48:10|
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カージオイド

カージオイド

として、 () で与えられる曲線をカージオイドと言う。

 (介変数表示された関数の微分を参照)
における増減表は以下の通りです。
q0q
00000
x
×0×××0×
y000
注.増減表でyの変化がおかしいと思うかも知れません。においては、xq に対して単調減少なので、上の増減表ではxの欄から下を右から左に見ていく必要があります。からまででxからまで変化し、yからまで増加するので、になっています。においても同様に、xの欄から下を右から左に見ていく必要があります。
グラフは右図のようになります。

右図のカージオイドCで囲まれる部分の面積Sを求めてみます。
グラフはx軸に関して対称なので、x軸から上の部分を2倍して求めることにします。
に対応する部分をに対応する部分をとすると、面積を求める部分は、においては、で挟まれる部分、においては、x軸に挟まれた部分になります。従って、Sは、についてからまで積分したものから、についてからまで積分したものを引けば求められます。

とおいて換積すると、
について、xのとき、q
について、xのとき、q

    
 
    
 
    
 
    
 
    
 
 

カージオイドCの周の長さ()を求めてみます。
x軸から上の部分の周の長さの2倍と考えて、

 
 
 
 

 


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  1. 2006/09/15(金) 23:25:20|
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アステロイド

アステロイド

として、媒介変数表示:で与えられる曲線をアステロイドと言う。

 (介変数表示された関数の微分を参照)
において、より、xは単調減少,より、yは単調増加で、q と変わるとき、xyとなります。
グラフは右図。x軸,y軸に関して対称です。

右図のアステロイドCが囲む部分の面積Sは、第1象限にある部分を4倍して、

を用いて換積を行うと、xのとき、qより、

 
 
 
  (但し、積分の漸化を参照)
 

アステロイドCが囲む部分をx軸のまわりに1回転してできる回転体の体積Vは、第1象限にある部分を1回転したものの2倍として、

面積と同じように、置換積分を行うと、

 
 
 
とおく(換積を参照)と、qのとき、tより、

 
 

曲線Cの長さLは、第1象限にある部分の長さを4倍して、

 
 
 

 
 
 
注.この計算を以下のように行うのは誤りです。

  ???
において、つねにではないことに注意してください。においては、です。
正しくは、以下のようになります(なるべく、解答のように計算してください)

 
 
 


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  1. 2006/09/14(木) 00:04:07|
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サイクロイド

サイクロイド

として、媒介変数表示:で与えられる曲線をサイクロイドと言う。

 (介変数表示された関数の微分を参照)
における増減表は以下の通り。
t0p
××
x0
×0×
y00

以上より、サイクロイドのの部分Cのグラフは右図。

曲線Cx軸とで囲む部分の面積Sは、

を用いて、換積すると、
xのとき、q

 
 
 
 
 
 

曲線Cx軸とで囲まれる部分をx軸の回りに1回転してできる回転体の体積Vは、

面積と同様に置換積分すると、

 
 
  (2倍角の公3倍角の公式を使った。角関数の諸公を参照)
 
 
 

曲線Cの長さLは、

 
 
  (角の公を参照)

 


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  1. 2006/09/14(木) 00:01:45|
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曲線の長さ

曲線の長さ

この項目は定積分の公を参照してください。
(1) 曲線の部分の長さLは、
(2) 曲線の部分の長さLは、

曲線CAB間の長さを考えます。AB間をn個の微小区間に分割し、各微小区間を線分で近似し、その長さの和:を考えます。
微小区間のx方向の微小変位をy方向の微小変位をとすると、三平方の定理より、
刻みの個数を無限に増やすと、和は曲線のAB間の長さLに近づいていきます。よって、

曲線がで与えられているなら、のときであって、分求積により、

曲線がで与えられているなら、のときであって、分求積により、


1. 曲線:の部分の長さを求める。
[解答] 求める長さをLとして、より、

 
  ......[]

2. 曲線:の部分の長さを求める。
[解答] 求める長さをLとして、


 
  ......[]

3. 曲線:の部分の長さを求める。
[解答] 求める長さをLとして、


 
 
 
 
 
 
  ......[]


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(C)2005, 2006 (有)りるらるNewton e-Learning

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  1. 2006/09/14(木) 00:00:56|
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斜回転体

斜回転体

この項目は、定積分の公x軸のまわりの回転を参照してください。
曲線の部分と、直線と、点から各々に下ろした垂線とで囲まれる部分(右図で黄色に塗られた部分)を、直線の回りに1回転してできる回転体Kの体積Vを求めてみます。
x軸のまわりの回転体の体積を求めるのと同様に、回転軸に垂直な断面で切ったときの断面の円の面積を回転軸の方向に積分することにより体積を求めます。

として、曲線上の1Pを通り、直線 ・・・① に垂直な直線は、傾きがなので、
 ・・・②
①,②を連立して、2直線の交点Hx座標を求めると、


 ・・・③

Pと点Hの距離は、点Pから直線に下ろした垂線の長さとして、と直線の距の公式を用いると、

これが、点Pを通り直線に垂直な断面で回転体Kを切ったときの断面にできる円の半径になります。
断面の円の面積は、です。

さて、円の面積を回転軸に沿って積分すればよいのですが、この回転軸に沿った座標としては、x座標,y座標などと同様に、原点OからHまでの距離を座標として考えます。
Hからx軸に垂線HIを下ろし、直角三角形OHIに三平方の定理を適用すると、 1m
は③で求めた、点Hx座標です。よって、

 
  ・・・④

求める体積Vは、より、として、

ですが、aの関数の形で与えられていて、このままでは、について積分することができません。
そこで、④式を用いて換積します。
④式をaについて微分すると、

ここで、とします。つまり、aについて単調増加だとします。

のとき、a (aについて単調増加とした仮定による)

 
注.結果の式を公式として暗記しても意味はありません。結果に至る流れを理解してください。

1. 上記において、だとします。
境界の2は、より、ともに直線上の点です。


は満たされています。よって、

 




2. 放物線と直線で囲まれる図形を直線のまわりに1回転して得られる回転体の体積を求める。
[解答] を連立すると、より、
よって、放物線の部分を直線の回りに1回転することになります。
として、放物線上の点Pを通り、直線 ・・・① に垂直な直線は、
 ・・・②
①,②を連立して、交点Hx座標を求めると、

 ・・・③
Pと直線との距離は、

原点OHとの距離は、③の倍で、
 ・・・④
求める体積Vは、のとき、より、

④式により、置換積分します。④式をaで微分して、


のとき、a

 
 
  ......[]


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  1. 2006/09/11(月) 12:27:01|
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y軸の回りの回転体

y軸の回りの回転体

この項目は、定積分の公積分と体を参照してください。
曲線:と直線:,直線:,及びy軸で囲まれる図形をy軸の回りに1回転させてできる回転体の体積Vは、


y軸に垂直な平面:で切ったときの断面は、の逆関数を利用して書くと、半径の円なので、断面積は:
よって、回転体の体積Vは、


1. 曲線:と直線,直線で囲まれた図形をy軸のまわりに1回転させてできる回転体の体積を求める。
[解答] まず、曲線の方程式をxについて解く必要があります。

 ・・・①
 (分母を有理化した)
 ・・・②
①+②より、
ちなみに、のときのとき
 (成関数の微分を参照)
 
 より、は単調増加で、のとき、です。
従って、求める回転体の体積Vは、

 
 
 
  ......[]

1.のように、逆関数が求められる関数の場合には、y軸のまわりの回転体は上記の公式で計算できるのですが、逆関数が求められない場合には、別の方法を考えます。
の逆関数が求められないか、非常に積分しづらい形になるとします。
曲線:と、直線,直線で囲まれた図形をy軸のまわりに1回転させたときの体積Vは、

ですが、xyで表せないか、表しても積分しづらいときは、以下のように、とおいて、換積します。
より、yのとき、xとすれば()

この形のまま計算できてしまうものは、積分計算を実行します。
ですが、この形でも、積分の計算がやりにくい場合には、分積して、を微分、を積分に回して、

 
は、底円の半径がb,高さがの円柱の体積です。
は、底円の半径がa,高さがの円柱の体積です。
は、底円の半径x (底円の円周の長さは),高さyの円筒を開いて長方形にしたときの長方形の面積:x方向に積分したもので、曲線:と直線,直線x軸で囲まれる部分(右図で黄色に塗られた部分)y軸のまわりに1回転してできる回転体の体積を表しています。の体積の考え方は、回転体を円筒に分割して体積を計算するという意味で、円筒分割と呼ばれています。
結局y軸のまわりの回転体の体積は、になっています。
以下に、円筒分割でうまく、y軸のまわりの回転体の体積が計算できる例を2つ書いておきます。

2. x軸,直線で囲まれる図形をy軸のまわりに1回転してできる回転体の体積を求める。
[解答] 求める体積をVとすると、上の円筒分割の考え方により、

 
  ......[]

3. 曲線:y軸,で囲まれる図形をy軸のまわりに1回転してできる回転体の体積を求める。
[解答] 求める体積をVとします。
曲線の式をxについて解いて、

としても計算できますが、やや、計算が複雑です。そこで、円筒分割を考えます。
求める体積Vは、のときなので、底円の半径1,高さ1の円柱の体積から、曲線x軸、直線で囲まれる部分をy軸の回りに1回転してできる回転体の体積を引いたものになります。


 
......[]


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  1. 2006/09/09(土) 11:42:15|
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x軸のまわりの回転体

x軸の回りの回転体

この項目は、定積分の公積分と体を参照してください。
曲線:と直線:,直線:,及びx軸で囲まれる図形をx軸の回りに1回転させてできる回転体の体積Vは、


x軸に垂直な平面:で切ったときの断面は、半径の円なので、断面積は:
よって、回転体の体積Vは、


回転体の体積では、くりぬける部分ができる場合があるので注意してください。
くりぬける部分があるときには、外周の部分が作る回転体の体積から、くりぬける部分の体積を引く必要があります。

1. 2曲線、 ()で囲まれる部分をx軸の回りに1回転させてできる回転体の体積を求める。
[解答] において、2曲線で囲まれる部分は、右図で黄色で塗られた部分。
の部分を回転させたときの体積と、の部分を回転させたときの体積は等しいので、求める体積Vは、の部分を回転させたときの体積の2倍です。
の部分を回転させると、外周部分はになりますが、の部分とx軸に挟まれた部分(右図で水色に塗られている部分)については、くりぬかれていて回転体が存在しない部分なので、外周を回転させた体積から、くりぬかれている部分を引く必要があります。よって、

 
 
 
  ......[]

2. 媒介変数表示された曲線: ()で表された曲線とy軸で囲む部分を、x軸の回りに1回転させでできる回転体の体積を求める。
[解答] xのときに最大値1をとり、q が、と変わるとき、xと変化し、yと変化します。
q が、と変わるとき、xと変化し、yと変化します。
曲線のうち、の部分が外周部分(とします)であり、の部分が内周部分(とします)になります。
求める体積Vは、

を微分して、xのとき、外周部分()においては、q ,内周部分()においては、q

 
 
 
 
 
  ......[]


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  1. 2006/09/08(金) 09:27:49|
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定積分と体積

定積分と体積

この項目は、定積分の公を参照してください。
座標空間中の、の範囲に置かれた立体図形をxy平面に平行な平面で切断したときの断面積をとすると、この立体図形の体積Vは、


の範囲をn等分し、として、平面で立体図形を切断したときの断面積はです。このときの切断面を底面とし、高さの柱体を考えると、の体積は、で与えられます。
の体積の総和:は、の極限で立体の体積Vに近づきます。よって、分求積により、


1. 半径rの円を底面とし、高さhの円錐の体積を求める。
[解答] 底面の円がxy平面上に置かれているとして考えます。
平面で円錐を切ったときの断面の円の半径をとして、r = h

断面の円の面積は、
よって、円錐の体積は、

 
 
 
  ......[]
円錐に限らず、底面積底面積S,高さhの錐体では、平面で切断したときの断面積がで与えられるので、上記と同じように積分して、錐体の体積Vは、となります。

2. 半径rの球の体積を求める。
[解答] 球の中心が原点にあるとして考えます。
平面で球を切ったときの断面の円の半径をとして、三平方の定理より、
断面の円の面積は、
よって、球の体積Vは、の部分にある半球の体積の2倍として、

 
  ......[]

3. tの範囲を動くとき、zx平面上の曲線: (),および、yz平面上の曲線と、平面との4交点を頂点とする四角形の外周及びその内部の領域が通過する部分の体積を求める。
[解答] とすると、
より、
とすると、
よって、体積を求める部分の立体をで切った断面の四角形の面積は、
求める体積Vは、

とおく(換積を参照)と、zのとき、u

  (分積分を参照)
 
 
  ......[]


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  1. 2006/09/07(木) 07:36:28|
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定積分と面積(その2)

定積分と面積(その2)

この項目は、定積分の公積分と面を参照してください。
1. のグラフが、の範囲で囲む部分の図形の面積を求める。
[解答] として、




面積を求める部分は、右図で黄色に塗られた部分。のグラフは、に関して対称だから、求める面積Sは、において、両グラフが囲む部分の面積の2倍に等しい。

 
 
 
 
  ......[]

2. 2曲線、において接するようにabを定め、2曲線とx軸,y軸とで囲まれる部分の面積を求める。
[解答] として、において接する
⇔  ・・・① かつ ・・・②

①より、
②より、
よって、
面積を求める部分は右図で黄色く塗られている部分。求める面積Sは、x軸,y軸,で囲まれる部分の面積から、x軸,で囲まれる部分の面積を引いたものになります。
また、とおくと、より、x軸とで交わります。

 
  ......[]

3. 楕円:が囲む部分の面積を求める。
[解答] yについて解くと、
複号の+は、楕円のx軸から上側の部分、-は、楕円のx軸から下の部分を表します。
曲線の存在範囲(定義域)は、根号内を0以上として、より、
求める面積Sは、曲線の上側の部分を表す式:から下側の部分を著す式:を引いて、からaまで積分すれば求められます。

 
被積分関数をyとおくと、
両辺を2乗すると、より、原点を中心とする半径aの円。
よって、積分は、半径aの円の面積の,即ち、に等しく(換積分(その2)を参照)
......[]
この結果は、記憶してください。

4. 媒介変数表示、 ()により与えられる曲線の囲む面積を求める。
[解答] q 0からpまで動く間に、yは、0から1となり0に戻ります。xは、0から1になり0に戻ってまで行き0に戻ります。グラフは右図のようになります(正確には、微分して増減を調べること。のとき、のとき、)
求める面積Sは、xyについての範囲で積分したもの(の部分の面積)2倍です。つまり、

xq の関数で与えられているので、yでは積分ができません。そこで、xq で表しておいて、換積により、yの積分をq の積分に直します。
より、yのとき、q

 
 
とおくと、qのとき、t
......[]

5. 曲線: ()x軸,直線,直線で囲まれる部分の面積を求めよ。
[解答] のとき、

より、
のとき、

より、
yで微分すると、

において、 (関数の微分を参照)
のとき、
従って、は、において単調増加であり、求める面積Sは、yxで、の範囲で積分したものになります。

ところが、について、yxで表すことができないのです。これでは、積分が計算できません。
右図において、面積を求める部分は黄色で塗られた部分ですが、これは、原点O4頂点とする長方形から、原点O4頂点とする長方形を取り除き、さらに、曲線:y軸,直線,直線で囲まれる図形A (右図において橙色で塗られた部分)を取り除いたものになります。
図形Aの面積なら、xyで積分することになるので計算できます。図形Aの面積は、

 
 
よって、求める面積Sは、
......[]


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  1. 2006/09/06(水) 12:54:22|
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区分求積法

区分求積法




区間:において連続な関数:のグラフとx軸,直線:とで囲む面積Sを求めてみます。
の原始関数をとし(つまり、)、区間:n分割し、1個分の幅をとおきます。
また、 (aからk個分進んだ位置)とおくと、幅:,高さ:の長方形の面積は、で与えられます(右図参照)

ここで、和を考えると、より、

 
 
 
また、均値の定より、 ()をみたす実数cが存在します。
のとき、だから、

 
 

は、右上図の長方形の面積を多数集めたものと考えられますが、nを限りなく大きくし、刻みを限りなく小さくしてゆくと、長方形の面積を加え合わせたものは、面積Sに近づくと考えられます。よって、
 ・・・()
この式は、定積分により、曲線とx軸にはさまれた部分の面積が計算できることを意味しています(積分と面を参照)

以上に基づき、和の形に表された極限を定積分に直すことにより求めることができる場合があります。
例えば、の場合、()において、と考えれば、
 ・・・(**)
と直すことができます。
和の形を、定積分に変換するところがややこしいのですが、記号の前にが出てくるように、また、記号の内側が、に関する式になるように、変形します。

積分に直すときは、の極限で、と変換し、積分の上端、下端については、より、が変換されたxについて、xと考えます。
注.個人的には、高校数学で、定積分abを上端(upper edge)、下端(lower edge)というのは問題だと思っています。正確には、「端」ではなく区分求積法の「極限」なので、上限(upper limit)、下限(lower limit)と言うべきだと思います。入試問題との間にズレがあって、受験生の混乱を招いているように感じます。

積分の上端、下端については、いつもxになるとは限りません。
の形の場合には、だから、より、xとすればよく、になります。
このときは、()において、 (区間:等分したということ)とした、ということになります。これ以外の考え方も可能ですが避けた方が無難でしょう。

1. を求める。
[解答] 
記号の前に、が出てくるように、記号の内側の分母について、nでくくり、とすれば、

となり、上記の(**)の形を作ることができます。です。
の極限で、と変換します。
和がから始まるので、から始まります。よって、積分の下端は、より、0とします。
和はで終わるので、まで行きます。よって、積分の上端は、より、1とします。
以上より、

  ......[]

2. を求める。
[解答] 区分求積法にもちこむためには、積を和の形に直す必要があります。
そのために、対数をとってから極限を考えることにします。
対数関数は、区間において連続な関数なので、です。





よって、

となり、上記(**)の形を作ることができます。です。

対数関数の積分では、とみて、1を積分、対数関数を微分に回して分積するのが定石です。

 
 
定積分は、とおく(換積を参照)と、より、両辺をxで微分して、

xのとき、t
よって、

 
 
 
 
......[]


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  1. 2006/09/02(土) 14:46:50|
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定積分と微分(その2)

定積分と微分(その2)

この項目では、積分と微を参照してください。


[証明] だとします。

両辺をxで微分すると、

 
  (証明終)

1. 

 
 

tに関する積分を行う際に、被積分関数に、t以外の文字(tとの依存関係がない)を含む場合には、その文字を積分計算を実行するときには定数と見なして計算(なるべき積分の外側に出すようにする)し、その後に微分の計算を行うようにします。


 
のようにします。

2. のとき、
被積分関数の中のxを積分の外に出すために、換積します。
とおくと、
tのとき、u

 
 
 
 
 

定積分を含む等式が与えられて関数を求める問題があります。定積分の上端も下端も定数の場合には、定積分自体を定数とおくことにより解決します。

3. を満たす関数を求める。
[解答]  ・・・① とおきます。
 ・・・②
これを①に代入します。

  ・・・③

  (分積を参照)

③に代入して、



②に代入すると、 .......[]

定積分を含む等式が与えられて関数を求める問題で、定積分の上端または下端が変数になっている場合には、下記のようにします。
(i) 定積分の上端と下端が等しくなる(このとき定積分の値は0です)ような、変数の値を、与えられた等式に代入します。何らかの条件式が得られます。
(ii) 定積分が消えるように、定積分の上端または下端に出てくる変数で微分します。多少計算が必要ですが、これで、求める関数の主要部分が求まります。最後に(i)で得られた条件式を使って、関数を確定します。

4. を満たす関数を求める。
[解答] 与式で、とする(定積分を0にする)と、 ・・・①
両辺をxで微分すると、

 

両辺をxで積分すると、
 (定積分の公を参照)


とおくと、
①より、

......[]

5. を満たす関数が任意の正数xyについて、等式:を満たすとき、を求める。ただし、において微分可能とする。
[解答] いきなり、与えられた等式: ・・・① を微分することはできません。のときに微分できるかどうか、条件には何も書かれていないからです。
の公式:を利用することを考えます。
①の左辺にがあるので、と見ることができるように、としてみると、とすればよいことわかります。
そこで、を満たすようなhをとり、①に代入すると、
 ・・・②
ここで、とするだけでは、②の右辺がどうなるかわかりません。
そこで、において微分可能、という条件を考えることにします。
における分係は、という形をしていますが、において分可ということは、この極限は極限値をもつ、ということです。
②と比較して、と見ればよいことがわかります。
を調べるために、①でとしてみると、

よって、②より、

  ( が存在)
とおいて、

極限値が存在するので、は任意の正数xにおいて微分可能で、

xで積分すると、
 ()
より、
......[]


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  1. 2006/09/01(金) 10:21:24|
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