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理工系受験生必見!! 2010-2007入試問題検討ページ(東大・東工大・京大・早慶) 
CFV21での学習の進め方

置換積分(その3)

置換積分(その3)

この項目は、定積分の公換積を参照してください。

三角関数を含む関数の積分では、という置換を行うことにより、数関数の積に持ち込めることがあります。
とおくと、2倍角の公より、


より、

1. 
とおくと、
xのとき、t

とおくと、
tのとき、q

 

被積分関数が、を含む積分では、のようにおくとうまく計算できることがあります。

2. 
とおくと、




[別解] とおいても計算できます。

()として、

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
注. (々の関数のグラフ(4)を参照)とおいても計算できます。

3. 
と見て分積をします。1を積分、を微分に回します。

 
 
 
2.より、より、

を新たにCと書き直して、



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  1. 2006/08/31(木) 20:48:24|
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分数関数の積分

分数関数の積分

n次のxの整式 (,・・・,は実数)があるときに、これを実数の範囲で因数分解して、
 ()
になったとします。
方程式の解は以下のいずれかに限られます。
(i) aをもてば、それと共役な複素数もまた解になります(次方程を参照)。このとき、ともに実数なので、2解にもつ2次方程式:は、実数係数の方程式(ただし、判別式:)であり、を因数にもちます。k重解である場合には、,・・・,の中のどれか1つが、 ()になります。
(iii) が実数の解aをもつ場合には、を因数にもちます。ak重解である場合には、,・・・,の中のどれか1つが (())になります。
従って、,・・・,は、として、のいずれかの形をしています。
このとき、n次未満の実数係数の整式だとして(n次以上の場合には割り算を実行すれば、整式+の形に直せます)
 ()
が成り立つように、,・・・,を決めることにより、を複数の分数の和の形に直すことを部分分数分解と言います。
,・・・,の中に、k2以上のものがあっても、分数関数の積分の計算は可能なのですが、非常に複雑なので、ここでは、に限って考えることにします。
以下のように、未定係数法という技巧を用いて、,・・・,を決めます。
整数jが、1からmの中のどれかだとして、
の形をしている場合には、 (定数)
の形をしている場合には、 (は定数)
()の形をしている場合には、 (は定数)
とおいて、()が成り立つように、各定数の値を定めます。
これで、部分分数分解をしたときに出てくる項は、4通りのどれかに限られます。
分数関数の積分:を計算する場合に、を部分分数分解すると、分解したときに出てくる項の積分は以下のどれかになり、積分の計算を行うことができます。積分定数を省略して書きますが、
 (定積分の公を参照)
 (定積分の公を参照)
 (定積分の公を参照)
とおきます。
とおく(換積分(その2)を参照)と、より、


上記ではわかりにくいので、以下に代表的なパターンを例示します。

1. 

 
 
 

2. 
とおくと、
 
 
よって、
これらを解いて、
これより、




 
 

ここで、とおくと、
xのとき、q

 
 
 
よって、


3. 
とおくと、
 

よって、
これらを解いて、
これより、


 
 


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  1. 2006/08/30(水) 07:53:55|
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三角関数の積分

三角関数の積分

この項目は、定積分の公換積積分の漸化を参照してください。
三角関数のべき乗の積分の方法を整理しておきます。
不定積分で、例示しますが、定積分でも変わりはありません。

1. 
角の公を使います。
 (C:積分定数)
 (C:積分定数)

2. 
被積分関数の中に、奇数個の積があるときには、とおきます(換積を参照)より、

 
  (C:積分定数)
被積分関数の中に、奇数個の積があるときには、とおきます。

 
  (C:積分定数)
注.3倍角の公の利用も考えられます。
より、
 (C:積分定数)
より、
 (C:積分定数)

3. 
角の公2回使います。

 より、

  (C:積分定数)

 より、

  (C:積分定数)

4. 
被積分関数の中に、奇数個の積があるときには、とおきます(換積を参照)より、

 
 
  (C:積分定数)
被積分関数の中に、奇数個の積があるときには、とおきます。

 
 
  (C:積分定数)

5.  ()
この形の積分が登場するのは、ステロイの面積や体積を計算する場合なので、として、を利用するのがよいでしょう。なるべく、漸化式を暗記するのではなく、試験会場で漸化式を導く過程も答案に記して利用したいものです。
,・・・
,・・・
なお、とおくと、xのとき、tより、

です。

6. 
一番簡単なのは2倍角の公を使う方法です。より、

  (C:積分定数)
この方法は、わかりづらいので、あまりおすすめではありません。下記のようにするのがよいでしょう。

 
 
 
  (C:積分定数)
注.です。
とおくと(換積を参照)
より、
 (C:積分定数)
とすることもできます。
も、とすれば、上記と全く同じ考え方で、積分できます(とすればよい)

7.  (公式です! C:積分定数)

  (C:積分定数)


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  1. 2006/08/29(火) 17:13:26|
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定積分の漸化式

定積分の漸化式

  と表されるような数列のを考えます。
積分を数列として捉えることにより、見通しがよくなることがあります。

1.  ()
の漸化式を作るために、分積分で積分します。

 
 
 
 
 
()


より、としていくと、
nが偶数のとき、
分子に奇数が並び、分母に偶数が並びます。

のようになります。
nが奇数のとき、
分子に偶数が並び、分母に奇数が並びます。

のようになります。
また、より、

が成り立ちます。
という形に積分は入試ではよく見る形なので、上記のの結果は暗記しておくと便利です。

2.  ()

 
 
1項の積分は、とおく(換積を参照)ことにより、 ∴
xのとき、u

2項の積分はと表せます。
()

3.  ()
を微分、を積分に回して、分積します。

 


4.  ()
とみなして、1を積分、を微分に回して、分積します。

 
 


5.  ()
を微分、を積分に回して、分積します。

 
 

この漸化式をくり返し使うことにより、

  (分数の積が出てきますが、各分数で分子と分母の和がになることに注意)
 
ところで、

この分子はです。分母は、で割ったものになります。従って、
 (み合わを参照)

6.  ()
と見て、を微分、を積分に回して、分積します。

 
 
 
 
 


1.は、これのの場合に相当します。
同様に、と見て、を微分、を積分に回して、部分積分すると、

が得られます。
mnがともに偶数の場合に、これを繰り返して用いると、 (1.参照)より、

 
 
例えば、


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  1. 2006/08/28(月) 09:14:15|
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部分積分法

部分積分法

公式:


[証明] の微分の公式:より、

両辺をxで積分すると、
(証明終)

定積分の場合には、

となります。

部分積分法では、被積分関数を2つの項の積と見て、片方を微分し、片方を積分することになります。
積分することにしたもの(公式では、)を先に積分して、という項を書きます。
次に、マイナスをつけて、微分することにしたもの(公式では、)を微分し、の積分を書きます。

1. 
xは微分すると1となり、簡単になるので、xを微分し、を積分します。
上記の公式にあてはめると、とします。
を積分して、です。よって、

 
 

2. 
1と同様にxは微分すると1となり、簡単になるので、xを微分し、を積分します。
上記の公式にあてはめると、とします。
を積分して、です。よって、

 

3. 
xを微分すると、を積分することになってしまうのですが、の積分はで結局簡単になりません。
そこで、対数関数が出てくる場合には、対数関数の方を微分します。xは積分することになります。
上記の公式にあてはめると、とします。
を積分して、です。よって、

 
 

現行の学習指導要領では、部分積分法は、1回で計算が終了するものだけでよいことになっているのですが、2回行っても技術的に難しいわけではないので、入試問題でも出題されています。部分積分法の公式を2回適用すればよいだけのことです。

4. 
を微分、を積分します。部分積分を1回行うだけでは、の積分が残りますが、さらに、xを微分、を積分にして部分積分することで、計算が終了します。

 
 
 
  (C:積分定数)

5. 
を微分、を積分します。部分積分を1回行うだけでは、の積分が残りますが、さらに、xを微分、を積分にして部分積分することで、計算が終了します。

 
 
 
  (C:積分定数)
[別解] なお、という積分の場合には、不定積分もの形になるので、以下のように計算する方がラクにすみます。部分積分は計算をミスしやすいので、入試会場で部分積分を避けることが可能なら、極力避けるべきです。
とおきます。
右辺をxで微分すると、

  ・・・①
 ・・・② より、
①,②式で係数比較して、
これらを解いて、
(C:積分定数)

6. 
被積分関数が対数関数を含む関数だけの場合は、と見て、1を積分し、を微分して、部分積分を行います。
ここでは、1回部分積分しても、が残るのですが、これは、公式:を使います。

 
 
 
  (C:積分定数)

7. 
を積分に回しても、を積分に回しても、労力は同じです。ここでは、を積分に回す方針でやってみます。
2回部分積分するとはじめと同じ形が出てくるので、最初の形をIとおいて、

 
 
 
 
  (最初の形が出てくるので、それをIとおく)


 (C:積分定数)
[別解] この積分も例5.と同様に、とおいて、を微分して係数比較することによって、不定積分を求める方法が考えられます。

 
と係数比較して、
これらを解いて、
 (C:積分定数)

注.例4.~例7.を不定積分で例示しましたが、定積分においても、不定積分を定積分にかえ、積分のつかない項は、とすれば、同様に計算が行えます。


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  1. 2006/08/27(日) 09:03:43|
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置換積分(その2)

置換積分(その2)

この項目は、定積分の公換積を参照してください。

の場合では、とおくと、うまくいくことがあります。

1
とおくと、
xのとき、q

 

2
根号内を方完します。

とおくと、
xのとき、q?

 
 
 
 
 
[別解] 置換積分の定石通りやれば上記の通りなのですが、入試会場では時間の制約もあるので、以下のような方針で答案を作成してください。
の両辺を2乗して整理すると、となるので、被積分関数はを中心とする円のx軸から上側の部分であって、積分は、この円のの部分とx軸の間に挟まれた領域(右図斜線部)の面積に相当します。
右図で、半径2,中心角の扇形の面積と、底辺1,高さの直角三角形の面積を加えることにより、


として、を考えます。
とおくと、xのとき、q より、

となりますが、なので、
であれば、xyの関係は11なので、の逆関数を考えることができます。のとき、と書くことにすると、と書くことができます。
従って、として、は正弦関数の逆関数になっていることがわかります。
つまり、正弦がtになるときの角がです。
,つまり、

です。
では、なので、のとき、関数の微分により、

となることに注意してください。

の場合は、とおくと、うまくいくことがあります。

3

とおくと、
xのとき、q より、

 

として、 を考えます。
とおくと、
xのとき、q より、

となりますが、なので、
であれば、xyの関係は11なので、の逆関数を考えることができます。のとき、と書くことにすると、と書くことができます。
従って、として、は正接関数の逆関数になっていることがわかります。
つまり、正接がtになるときの角がです。
,つまり、

です。
のとき、関数の微分により、

となることに注意してください。


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  1. 2006/08/26(土) 13:26:33|
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置換積分

置換積分

この項目では、定積分の公を参照してください。

また、
但し、とおいた。xのとき、t()
また、のとき、だとして、においては連続,だとする。

[証明]  だとすると、
成関数の微分の公式より、
xで微分すると、

xで微分すると、になる、ということは、xで積分するとになるということです。
つまり、 ()

また、 (証明終)

積分の計算は微分の計算と違って、必ずできるという保証がないのです。例えば、のとき、

という形の積分は、指数関数や三角関数では表せないことが知られています。

ですが、そのままの形では積分の計算ができなくても、文字の置き換えを行うことにより、積分の計算が行える場合があります。

という形をしていて、計算のできない積分があった場合に、とおくと、
そこで、積分の中ので置き換えて、xに関する積分をtに関する積分に直してしまうことができます。
定積分の場合には、積分範囲のxに関する範囲なので、tに間する積分に直す場合には、として、xのとき、tなので、

この形に直すと積分が計算できる場合があります。ただし、置換積分は、いつもうまくいくわけではないことに注意してください。

という形の積分は、とおくと、うまくいくことがあります。

1. 
とおくと、 ∴
x:のとき、t


の場合には、とおいて、xについて解いてから、を求めます。

2. 
とおくと、 ∴
xのとき、t

  

の場合には、とおくと、 ∴
が被積分関数の中にあるときには、nが奇数になっているときに、として、うまくいくときがあります。

の場合には、とおくと、 ∴
が被積分関数の中にあるときには、nが奇数になっているときに、として、うまくいくときがあります。

3. 
とおくと、
qのとき、t

  

の場合には、とおくと、うまくいくことがあります。

4. 
とおくと、
xのとき、t

さらに、とおくと、
tのとき、u


の場合には、とおくと、うまくいくことがあります。

5. 

  ( )
 
 

1項の積分は、とおくと、 ∴
q のとき、tより、

 
2項の積分は、
3項の積分は、

 
以上より、


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  1. 2006/08/25(金) 10:19:32|
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不定積分の公式

不定積分の公式

この項目は分の公を参照してください。以下、Cを積分定数とします。
(1) ()
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8) のとき、
(9)

証明は、いずれも右辺を微分すれば左辺の被積分関数になることで証明できます。

積分の計算は、まず、被積分関数を上記の公式が使える形に直すことから行います。

例.以下、Cを積分定数とします。
(1)
 
 
 
 
注.問題集の解答を見ると、被積分関数が根号を使って書かれているときには、解答も根号を使って書いているのですが、個人的な趣味から言うと、とくに定積分の場合には、指数を使って書いておく方が、何かとあとの計算がラクなように思います。

(2)
 
 
 
 
 
 
 

(3)
 
 
 
 
 

(4)
 
の不定積分の公式が教科書に載っていますが、実用上どういう意味があるのか、甚だ疑問です。個人的には、指数関数の底はeだけで十分だと思います。ですが、の積分が大学入試にも出題されることがあるので、万一、出題された場合には、公式: (証明は両辺の対数を比べる)を使って、以下のようにしてください。
 
 
 
 

(5)
 
 


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  1. 2006/08/24(木) 12:50:36|
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微分法

微分法

 数学Ⅲの微分では、三角関数、指数関数、対数関数の微分も扱います。微分計算の方法も、積の微分法、商の微分法、合成関数の微分法、など、多種の方法を学習します。またグラフを描くにあたり、1次導関数の正負による増減だけでなく、2次導関数による凹凸も調べます。
 この項目では、均変化分・導関線と微分係、も参照してください。

ここで学習する内容は、以下の通りです。各項目をクリックしてください。

の微分 
の微分 
成関数の微分 ,または、
関数の微分 
分の公 
介変数表示された関数の微分 
関数の微分 円の方程式:のようなものは、この形のまま合成関数の微分法を利用して微分し、とします。
数微分 のようなそのままでは微分しにくい関数の場合、対数をとって微分するとうまくいくことがあります。
次の導関 の導関数1次の導関数と言います。の導関数2次の導関数と言います。n回微分した関数をと書いて、n次の導関数と言います。
線・法線の公 の点における接線:,法線(接点で接線と直交する直線)
均値の定 閉区間で連続、開区間で微分可能な関数に対して、を満たすcが存在する。これを平均値の定理と言います。
数の増 であれば、は増加、であれば、は減少。
数の凹 であれば、は下に凸、であれば、は上に凸。
々の関数のグラフ(1) 分数関数のグラフを考察します。
々の関数のグラフ(2) 無理関数(根号を含む関数)のグラフを考察します。
々の関数のグラフ(3) 三角関数を含む関数のグラフを考察します。
々の関数のグラフ(4) 指数関数を含む関数のグラフを考察します。
々の関数のグラフ(5) 対数関数を含む関数のグラフを考察します。
々の関数のグラフ(6) 陰関数の形に表された関数のグラフを考察します。
々の関数のグラフ(7) 媒介変数表示された関数のグラフを考察します。
数の近似 の値がわかっているとき、aに近いxについて、として、の近似値を求めることができます。
分法の方程式への応用(2) 三角関数、指数関数を含む方程式の解の個数を調べる方法を学習します。
分法の不等式への応用(2) 増減、凹凸を調べることにより、不等式を証明する方法を学習します。


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  1. 2006/08/23(水) 11:50:07|
  2. 数学Ⅲ
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微分法の不等式への応用(2)その2

分法の不等式への応用(2)の続き

右図のように例えば、下に凸な曲線上の1点で接線が引かれているとき、接点以外の点では全て、曲線は接線の上側に来ます。
従って、であれば、です。

4n個の正数について、相加平均・相乗平均の不等式:を証明する。
[証明] ,・・・,となるような、を考えます。
は、より下に凸な関数です。
従って、における接線は、接点を除いて、曲線の下側に来ます。
における、の接線は、より、
これより、です。
より、
より、
 ・・・・・・
より、
以上を辺々加えると、

    ( )


   
 (証明終)


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  1. 2006/08/22(火) 22:03:29|
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微分法の不等式への応用(2)

微分法の不等式への応用(2)

(1) 増減を利用した不等式の証明(分法の不等式への応を参照してください)
1 に対し、において、
[証明] 学的帰納で証明します。
のとき、として、
()より、は単調増加で、において、

よって、のとき与不等式が成り立ちます。 ・・・()
のとき与不等式が成り立つと仮定します。
つまり、において、 が成り立つと仮定します。
のとき、 を微分すると、

ここで、と番号を付け替えると、
()より、は単調増加で、において、

よって、のときも与不等式は成り立ちます。 ・・・()
()()より、 に対し、において、 (証明終)
証明した不等式の右辺は、クローリン展n次以下の次数の項です。
また、不等式でとすると、

となりますが、右辺の最初の10項の和は、で、eの真の値にかなり近い値です。

2
ではなく、1[rad]の正弦の値です。
[証明] のマクローリン展開: を知っていれば、各項の符号を考えて、
という不等式が成り立ちそうです。まず、この不等式を証明します。
とおくと、



よって、は単調増加です。において、
よって、において、は単調増加であって、
よって、において、は単調増加であって、
 ・・・①
とおくと、

()
よって、において、は単調増加であって、
よって、において、は単調増加であって、
よって、 ・・・②
①,②より、
ここで、とすると、
 (証明終)

(2) 凹凸を利用する不等式の証明
例えば、においてであって、この範囲でが下に凸だとします。
このとき、となるについて、

が成り立ちます。
のとき、


入試の答案としては、わざわざ凹凸の定義に依らなくても、
として、のグラフが下に凸な範囲において、グラフ上の2を結ぶ線分はグラフの上側を通るから、線分上の点は、の上側にあり、におけるグラフ上の点と線分上の点のy座標について、
と説明をつけておけばよいでしょう。

3.のとき、 (京大理系'91前期[4])
[証明] 右側の不等号の方が易しいので、こちらから証明します。上記の説明で、としただけのものです。
として、 ()
よって、のグラフは下に凸で、だとして、グラフ上の2を結ぶ線分はグラフの上側を通るから、線分上の点は、の上側にあり、におけるグラフ上の点と線分上の点のy座標について、 ・・・①
 ・・・②
の場合も同様で、なら明らかに、 ・・・③
②,③より、 ・・・④
左側の不等号についても凹凸から証明できないか、と、考えます。根号は乗なので、このを使って、の形とするために、左側不等号両辺の対数を考えます。

 
従って、とすればよいことがわかります。
は、において定義できないので、の範囲で考えます。
のいずれであっても、あるいはであっても、 ・・・⑤ は成立します。

()
よって、において上に凸です。①と同様に考えて、のとき今度は、となります。

 ・・・⑥
の場合も同様で、なら明らかに、 ・・・⑦
⑤,⑥,⑦より、 ・・・⑧
④,⑧より、のとき、 (証明終)

分法の不等式への応用(2)その2へ続く


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  1. 2006/08/22(火) 22:00:26|
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微分法の方程式への応用(2)

微分法の方程式への応用(2)

1の解の個数がaの値によりどう変化をするかを調べる。
[解法1] 方程式を、の連立方程式と見て、双方のグラフを調べます。
のグラフは、原点を通る傾きaの直線です。傾きaを変化させでみます。
の場合には、原点を通る傾き負の直線とは第2象限で交わります。
従って、解は1個です。
の場合には、は単調増加かつグラフは下に凸なので、傾きaを大きくしていくと、aが小さいうちは曲線の下を直線が通過するのに、やがて、直線が曲線に接するようになり、さらにaを大きくすると、直線と2交点をもつようになります。
直線に接するときを調べます。
の導関数は、の導関数は、より、における接線の方程式は、
これが原点を通るとき、

このとき接線の傾きはe
従って、のときは、直線とは交わらず、解は0個。
のときは、直線とが接するので、解は1個。
のときは、直線と2交点もつので、解は2個。
のとき1個、のとき0個、のとき1個、のとき2個。......[]
[解法2] 定数の分離という技巧を用います。ここでは、定数aを分離するために、与方程式をxで割ります。xで割るときに、という解があるかも知れない、という点に注意します。
与方程式に、を代入しても成り立たないので、は解ではありません。よって、xで割ると、

という形の方程式になりますが、これを、との連立方程式と見れば、のグラフはx軸に平行な直線で、これとのグラフの交点の数を考えるのは容易です。
より、増減表は以下の通りで、のグラフは右図。
x01
×0
×e
グラフより、のとき1個、のとき0個、のとき1個、のとき2個。......[]
定数を分離することにより、グラフはやや複雑になりますが、解の個数を数えやすくなります。

2.方程式: ()の解の個数は、の連立と見ると、
であり、
において、で、ともに単調減少ですが、
より、は下に凸、は上に凸なので、にも、となるaが存在すると断定できます。
従って、解の個数は2個です。

しかし、以下のように、ある区間で凹凸まで一致してしまう場合には、精密に調べる必要が出てきます。

3.方程式: ()の解の個数を調べます。
の連立と見ると、
において、で、ともに単調増加。
で、ともに上に凸です。
このような場合には、において、解の有無を単純に考えることはできません。右図のように、2つのグラフが絡み合うような可能性があるからです。
この問題では、を丁寧に調べる必要があります。


なので、は、の範囲にただ1つの解をもちます。これをaとします。
の増減表は、
x0a
0
0
増減表より、において、なので、は単調減少です。より、です。では、なので、は単調増加です。より、は、の範囲にただ1つの解をもちます。これをbとします。
の増減表は、
x0b
00
00
増減表より、において、です。
よって、は、の範囲に、02個の解をもちます。



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  1. 2006/08/21(月) 14:08:15|
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関数の近似値

関数の近似値

分可について、aに十分近いxにおける関数値は以下のように近似できる。
(1)
とくにの場合には、0に十分近いxにおける関数値は以下のように近似できる。
(2)

(1)を確かめておくと、均値の定より、または
を満たすcが存在します。これにより、
 ・・・①
また、 ・・・②
とおくと、
①-②より、

のとき、なので、
従って、aに十分近いxについては、②式のRを無視して、

と考えることができます。
これは、右図のように、曲線上の点のy座標:を、における接線:上の点のy座標で代用することに相当します。

この近似公式よりも、さらに精度を要求される場合には、ーラー展開、マクローリン展などの技法を用います。

1.上記の近似公式(1)において、の場合、より、

という近似式を作ることができます。として、は、

と近似計算できます。
の正しい値は、なので、
およそ3桁の精度で正しい値になっています。
ーラー展による公式: (2次の近似と言います)を用いると、の近似式は、

となり、

 
およそ4桁の精度で正しい値になっています。

2.上記の近似公式(2)において、xの絶対値が十分に小さければ、
(a) の場合、より、
 
(b) の場合、より、
 
(c) の場合、より、
 

などの近似公式が得られます。
(c)によると、の場合、

と近似できます。の正しい値は、なので、およそ4桁の精度で正しい値になっています。
この場合も、より精度を上げたければ、マクローリン展開による公式:などを用いることになります。


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  1. 2006/08/19(土) 08:59:30|
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マクローリン展開

マクローリン展開

テーラーの定理:として、閉区間で連続、開区間n回微分可能な関数があるとき、
のときには、
のときには、
を満たすcが存在する。

[証明] 学的帰納により証明します。
のときは、テーラーの定理は、(Lagrange)均値の定と同じです。 ・・・()
のとき、命題が成り立つと仮定します。
また、は、閉区間で連続、開区間回微分可能な関数だとします。
とすれば、は、閉区間で連続、開区間n回微分可能な関数です。
従って、のときに命題が成り立つとした仮定により、
 ・・・①,
を満たすcが存在します。
Aを定数として、
 ・・・②
とおくと、

 
  ・・・③
①-③より、
より、
②に代入すると、

これは、証明すべき命題の等式で、とした等式です。
よって、のときにも命題は成立します。 ・・・()
()()より、命題が成り立つことが証明されました。
(証明終)
上記では、上記では、として考えましたが、の場合も全く同様です。

テーラーの定理のの項をLagrangen次剰余項と言います。

テーラーの定理より、aを含む区間で何回でも微分可能で、のとき、n次剰余項がとなるとき、つまり、

であるときには、
 ・・・④
と、無限級数の形に書くことができます。④式をテーラー展開と言います。
④は、aに近いxについて、の近似値を計算するのに使われている公式です。

④式で、特に、とした式
 ・・・⑤
マクローリン展開と言います。大学入試問題のネタとしてしばしば取り上げられている公式です。

⑤式を簡単に求めるだけなら、以下のようにすればよいでしょう。
,・・・,,・・・を実数として、が、 ・・・⑥ の形に書けたとします(必ず書けるというわけではありません)
⑥式でとして、
⑥式を微分すると、
を代入すると、
さらに微分して、
を代入すると、
さらに微分して、
 
を代入すると、
これをずっと繰り返していけば、⑤式のように、の係数が、となることがわかります。

1のとき、どんな自然数kについても、です。
より、のマクローリン展開は、

 

2のとき、,・・・
よって、,・・・
つまり、
これより、のマクローリン展開は、

 

3のとき、より、
これは、 に対して、 というように変化します。
よって、のマクローリン展開は、

 
は偶関数なので、偶数乗の項だけが出てくることに注意してください。

4のとき、より、
これは、 に対して、 というように変化します。
よって、のマクローリン展開は、

 
は奇関数なので、奇数乗の項だけが出てくることに注意してください。

ここで、例1.ののマクローリン展開において、 (iは虚数単位で)としてみます。

   
 
 
これと、例3.,例4.の結果を見比べると、
 ・・・⑦
と書けることがわかります。
⑦式の右辺は、複素数ので出てくる形です。
⑦式をオイラーの公式と言います。
⑦式の共役複素数を考えると、として、
 ・・・⑧
⑦+⑧より、
⑦-⑧より、


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  1. 2006/08/18(金) 14:43:02|
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種々の関数のグラフ(7)

種々の関数のグラフ(7)

この項目は、分の公数の増数の凹を参照してください。
例.媒介変数表示された関数 (tは全実数)のグラフ
慶大理工で'95年に出題された関数です。
tが全実数をとるとき、xも全実数(定義域)をとります。yの範囲は、より、 (値域)
xyをそれぞれtで微分すると、


介変数表示された関数の微分より、 ・・・① (xで表し直す必要はありません)
のとき、が定義できないのですが、このとき、 (における接線はx軸に垂直になります)
とすると、,このとき、 (極大値)
媒介変数表示された関数で2次の導関数をどのように求めるか、問題になることがあります。
①式は、tの関数の形に表されているので、xで微分することができません。しかし、tについてなら微分できます。
そこで、成関数の微分により、tで微分したものに、をかけて、とします。
は、txの式で表して微分したりしなくても、関数の微分により、とすればよいのです。
①式両辺をtで微分すると、
結局、
とすると、となりますが、このとき、です。
以上より、増減表を作りますが、媒介変数表示された関数の場合、増減表の書き方に個人差があり、人によって、参考書によって、さまざまな書き方があります。それぞれ一長一短があって、問題の要求に合わせて使い分けられるとよいのですが、このウェブ・サイトでは、下記の書き方で統一します。
一番上の欄に、媒介変数の動きを、小さい方から大きい方へ向かって書きます。
次の欄に、の正負などを調べて書き込みます。
その下に、の正負に合わせて、xの増減、極値などを書き込みます。
この下に、通常の増減表と同じく、yの動きを書いてゆきます。
この書き方では、一括して、txyの動きを見てゆけるのですが、が負の値もとるときに、xが小さい方から大きい方へ並ばずに、大きい方から小さい方へ向かって並ぶ部分ができてしまい、増減表を右から左に向かって見る必要がある変則的な場合が出てきます。
この例では、わかりやすいように、となって、xが小さい方から大きい方へ並ぶ関数を取り上げてありますが、東大の入試問題(‘93年理系前期[6])では、xが逆に並ぶところが出てくるような関数も見られます。
グラフは右上に示しました。
t01
0
x12
×0
×0
y00



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  1. 2006/08/16(水) 08:25:08|
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種々の関数のグラフ(6)

種々の関数のグラフ(6)

この項目は、分の公数の増数の凹を参照してください。
1
より、
よって、関数の定義域は、
と書くことができますが、これは、グラフがx軸に関して対称になることを意味しています。
関数の微分により微分すると、

 ・・・①
とすると、 (のときより、)
のとき、

①をの微分により微分すると、

①を代入して、
 
 
 
 
 
ならば、定義域においては、
従って、においては、グラフは上に凸。
グラフがx軸に関して対称なので、の部分を考えたときの増減表は以下の通り。(x軸上)のときの部分については、の部分をx軸に関して対称に折り返して、グラフは右図。
x01
×0×0×
y000

2
関数の微分により微分すると、

(のときより、)
においてより、yは単調減少でグラフは右下がりです。
の微分により微分すると、

 
 
のとき、より、
のとき、より、
のとき、より、
以上より、のとき、で、グラフは下に凸。
のとき、で、が変曲点。
のとき、で、グラフは上に凸。
のとき、で、グラフは下に凸。
のとき、で、は定義できないが、の符号がここで変化するので、は変曲点。
以上より、グラフは右図。

3
より、
よって、関数の定義域は、
と書くことができますが、これは、グラフがx軸に関して対称になることを意味しています。
のとき、より、
のとき、より、

関数の微分の微分により微分すると、

 
 ・・・①
とすると、
のとき、

のとき、

は複雑になるので省略します。
グラフがx軸に関して対称なので、の部分を考えたときの増減表は以下の通り。のとき(x軸上)の部分については、の部分をx軸に関して対称に折り返して、グラフは右図。
x012
0×××0×
y××00



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  1. 2006/08/15(火) 17:30:05|
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種々の関数のグラフ(5)

種々の関数のグラフ(5)

この項目は、分の公数の増数の凹を参照してください。
1
定義域は、真数条件(数関を参照)より
 (の微分を参照)
とすると、

(極小値)
()
従って、において、グラフは下に凸。
(のとき、ですが、xの方が収束する勢いが強い)
増減表は以下の通り。グラフは右図。
x0
×0
×

2
定義域は、真数条件より
 (の微分を参照)
とすると、

(極大値)

 
とすると、


(のとき、ですが、xの方が収束する勢いが強い)
増減表は以下の通り。グラフは右図。
x0e
× 0
×0
×
グラフは、変曲点をもちます。

3
定義域は、真数条件より
 (の微分を参照)
とすると、

 (極小値)


とすると、


(のとき、ですが、xの方が収束する勢いが強い)
(のとき、ですが、xの方が収束する勢いが強い)
増減表は以下の通り。グラフは右図。
x01e
××0
××0
××e
グラフは、変曲点をもちます。

4
定義域は、真数条件より

 
 
とすると、

 (極大値)
 (極小値)

 
 
とすると、




増減表は以下の通り。グラフは右図。
x0
×00
×00
×88
グラフは、変曲点をもちます。


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  1. 2006/08/14(月) 12:18:57|
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種々の関数のグラフ(4)

種々の関数のグラフ(4)

この項目は、分の公数の増数の凹を参照してください。
1
 (の微分を参照)
とすると、
(極小値)

とすると、


以上より、増減表は以下のようになります。グラフは右図。
x
0
0
注.グラフには、変曲点があります。

2
 (の微分を参照)
  ・・・①
 
とすると、
(極大値)
(極小値)
①を微分して、

 
 
とすると、



以上より、増減表は以下のようになります。グラフは右図。
x2
00
00
注.グラフには変曲点があります。

3
 (成関数の微分を参照)
とすると、
(極大値)
 (の微分を参照)
とすると、


以上より、増減表は以下のようになります。グラフは右図。
x0
0
00
1
注.グラフには変曲点があります。

4
 (の微分を参照)
 
 
とすると、
(極大値)
(極小値)

増減表は以下のようになります。
x0
00
1
注.は複雑になるので省略しました。

5

6

7

上記のをまとめて双曲線関数と言います。三角関数と類似の性質をもっています(三角関数のことを円関数とも言います)



 
(複号同順)

 
 
  (複号同順)
(複号同順)

 
 
  (複号同順)
なぜ、双曲線関数と三角関数で類似の性質を持つかと言うと、オイラーの公式:により、三角関数は指数が虚数の指数関数(高校の範囲外)を用いて、以下のように書けるからです。



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  1. 2006/08/12(土) 07:51:14|
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種々の関数のグラフ(3)

種々の関数のグラフ(3)

この項目は、分の公数の増数の凹を参照してください。
1
より、全実数xで単調増加です。
とすると、より、 (kは奇数) となりますが、において、yは極値をとらないことに注意してください。
グラフは右図のようになります。

2

とすると、 (kは整数)
(極大値)
(極小値)

でも、となるので、とで凹凸は同じです。
における増減表は以下の通りです。グラフは右図。
x0p
00
000
0p

3

  (2倍角の公を参照)
 
とすると、
においては、 (において、yは極大でも極小でもありません)
(極大値)

(極小値)
 (2倍角の公を参照)
 
とすると、,これを満たすxは、の範囲に各1個あります。これを、abとします。
における増減表(周期の周期関数なので、以外の部分においても同じことが繰り返されるだけです)は以下の通りです。グラフは右図。
x0apb
000
0000
000

4

  (2倍角の公角関数の諸公を参照)
 
 
 
 
とすると、
においては、

  (極大値)

  (極小値)

  (極大値)

  (極小値)

  (極大値)

  (極小値)





これより、においては、において変曲点になることがわかりますが、その他の変曲点(4個あります)x座標をきれいな形に求めることはできません。
における増減表(周期の周期関数なので、以外の部分においても同じことが繰り返されるだけです)は以下の通りです。グラフは右図。
x0
000000
00
注.を入れると増減表が複雑になるので、を省略しました。


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  1. 2006/08/11(金) 12:56:12|
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種々の関数のグラフ(2)

種々の関数のグラフ(2)

この項目は、分の公数の増数の凹を参照してください。
1
このくらいなら微分する必要はありません。根号内≧0より、定義域は、
より、値域は、
xyを入れ替えて、


という条件下で2乗すると、


というわけで、のグラフは、放物線: (2次関を参照)の部分をに関して折り返したグラフ、つまり、を頂点とする横に寝た放物線の軸の片側になります。
放物線であることを意識しつつ、適当にxに数値代入して点をプロットして行けばよいでしょう。右図のようなグラフになります。

2
根号内≧0より、定義域は、
 (成関数の微分を参照) ・・・①
 
とすると、
として2乗すると、
より、
のとき、 (最大値)
①を微分して、
 (の微分を参照)
  (但し、)
従って、グラフはの範囲で上に凸な曲線になります。
増減表は以下の通り。グラフは右図(楕円です)
x2
×0×
y1
注.①式を見ると、です。グラフは、においてx軸に垂直な接線においてx軸に垂直な接線をもちます。

3

 (の微分を参照)
 
 
とすると、
のとき、 (極大値)
の前後でもの符号が変化することに注意してください。のとき、 (右図のように、のところでグラフがとがるのですが、こういう場合でも、極小値と言います。このような点を尖点と言います)
 (の微分を参照)
 
 
の前後で、の符号が変化することに注意してください。
増減表は以下の通り。グラフは右図。
x01
×0×
××
y00



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  1. 2006/08/10(木) 09:47:32|
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ご面倒をおかけいたします

ただいま、弊社のドメイン名が使用不可となっているため、
当ブログのデータが正常に表示できない状態になっております。
ドメイン名管理会社に調査のお願いをしておりますので、
結果がわかるまで、下記URLにて、ご利用いただくように
お願いいたします。

http://www.cfv21.com


追記

8月10日午前1時現在で、弊社のドメイン名が復旧しております。
表示できない場合には、ブラウザの[メニュー]の中の更新をクリックしてみてください。


再追記

ドメイン名管理会社に問い合わせましたが、攻撃を受けたというようなことではなく、今後とも問題なく使えるとのことです。
今後とも、よろしくお願いいたします。

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  1. 2006/08/09(水) 13:25:04|
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漸近線

漸近線

曲線について、または、のとき、曲線上の点と直線との距離→0 となるような直線があれば、この直線を漸近線と言う。
曲線が漸近線をもてば、
または、とするとき、が成り立つ。

[証明] 漸近線の定義より、または、のとき、 ・・・①
よって、
だから、,つまり、
また、①より、 (証明終)

上記の結果を用いて、漸近線を求めることができます。
まず、のときの、を求めます。極限値が存在すれば、それが漸近線の傾きmです。発散してしまう場合には、漸近線は存在しません。漸近線の傾きmが求まったら、の極限値を求めます。極限値が存在すれば、それが漸近線のy切片nです。発散してしまう場合には漸近線は存在しません。
注.上記で、の極限値が求まっても、の極限値が存在しないことがあり得ます。例えば、では、のとき、ですが、です。

例.曲線:の漸近線を求める。
[解答] まず、曲線の方程式を陽関数の形(の形)に直します。
yについて整理すると、

yに関する2次方程式と見て解くと、

 

のとき、

よって、漸近線の傾きは、,または、
傾きがのとき、 (以後、極限値を求めるまで複号同順)とすると、

 
 
 
よって、y切片は0で、漸近線は、
傾きがのとき、 (以後、極限値を求めるまで複号同順)とすると、

 
 
 
  (のとき、なので、根号部分をxで割ると、符号が逆になることに注意)
 
よって、y切片は2で、漸近線は、
よって、与えられた曲線は2本の漸近線をもち、 ......[] (右図参照、黒線が曲線:,緑線が漸近線)


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  1. 2006/08/09(水) 13:19:03|
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種々の関数のグラフ(1)

種々の関数のグラフ(1)

この項目は、分の公数の増数の凹を参照してください。
1タイプ:
これくらいなら指示がない限り、グラフを描くのに微分する必要はありません。
分子を分母で割ります。

のとき、となるので、グラフはをもちます。
のとき、となるので、グラフは漸近線をもちます。
のとき、のとき、
グラフは右図。

2タイプ:
分子を分母で割ります。
 ・・・①
(この形だけでも、のときになので、が漸近線だと見当がつきます)
のとき、となるので、グラフはをもちます。
のとき、より、グラフは漸近線をもちます。
①を微分して、
 (の微分を参照)
とすると、
のとき、 (複号同順)
 (の最終の形を微分するのではなく、の形を微分する)
これより、増減表は以下の通り。グラフは右図。
x1
0×0
×
y×
注.分数が混じっている関数では、分母が0になるところも増減表に記入すること。上記のように、凹凸が変化していたり、グラフが不連続になっていたりします。

3(分母の零点が2)タイプ:
分子を分母で割ります。

のとき、となるので、グラフはをもちます。
のとき、となるので、グラフは漸近線をもちます。
 (の微分を参照)
 
とすると、
のとき、 (極小値)のとき、 (極大値)

 
 
とおくと、

極大値:,極小値:
よって、とすると、の範囲にただ1つの解をもちます。キレイな形に解けないので、これをaとします。
増減表は以下のようになります。グラフは右図。
xa1
0×0×
0××
y1××
注.の形が複雑なので、入試会場では、を求めていると時間を無駄に使うことになるので注意してください。問題文で「凹凸を調べよ」とか「変曲点を調べよ」と言っていなければ、を求める必要はありません。

4(分母に零点がない)タイプ:
分子を分母で割ります。

のとき、となるので、グラフはをもちます。
 (の微分を参照)
とすると、より、
のとき、より、
 (複号同順)

 
 
 
とすると、
のとき、のとき、のとき、
増減表は以下のようになります。グラフは右図。
x1
00
000
y012


5タイプ:
分子を分母で割ります。

のとき、より、グラフはをもちます。
のとき、より、グラフは漸近線をもちます。
 (の微分を参照)
 
とすると、(ここは極値になりません)
のとき、 (複号同順)

 
 
とすると、
のとき、
増減表は以下のようになります。グラフは右図。
x01
0×0×0
×0×
y×0×



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  1. 2006/08/08(火) 13:48:36|
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関数の凹凸

関数の凹凸

ある区間で定義された関数が、その区間内でを満たす任意のに対して、
を満たすとき、下に凸であると言う。
を満たすとき、上に凸であると言う。

開区間において2分可な関数が、この区間において、
(i) ならば、は下に凸
(ii) ならば、は上に凸

[証明] は、閉区間において連続、開区間において微分可能なので均値の定の要件を満たします。平均値の定理より、を満たすが存在します。
また、は、閉区間において連続、開区間において微分可能なので平均値の定理の要件を満たします。平均値の定理より、を満たすが存在します。

(i) なら加関なので、より、です。

よって、は下に凸です。

(ii) なら少関なので、より、です。

よって、は上に凸です。
(証明終)

上に凸、下に凸をまとめて凹凸と言います。
上記の凹凸の定義に出てくる不等式の両辺は、からまでの均変化と、からまでの平均変化率です。
平均変化率がだんだん増加するときに下に凸で、だんだん減少するときに下に凸です。
上記の証明の途中で、
(i)の場合には、が増加すると書きましたが、これは、線の傾が増加する(接線が右下がりから右上がりになる)ときに下に凸になると言うことです。
(ii)の場合には、が減少し、接線の傾きが減少する(接線が右上がりから右下がりになる)ときに上に凸になります。

曲線上で、凹凸が変化する点、つまり、下に凸から上に凸に切り替わる点、あるいは、上に凸から下に凸に切り替わる点を、変曲点と言います。
変曲点の前後での符号が+から-へ、あるいは、-から+へ切り替わります。

例.の増減と凹凸を調べる。
[解答] 

とすると、
とすると、

変曲点は、です。
増減表は以下の通り
x2
00
0
12
は、で、上に凸で増加することを表します。
は、で、上に凸で減少することを表します。
は、で、下に凸で減少することを表します。
は、で、上に凸で増加することを表します。


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  1. 2006/08/07(月) 15:11:32|
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関数の増減

関数の増減

ある区間で定義された関数が、その区間内でを満たす任意のに対して、
を満たすとき、増加関数と言う。
を満たすとき、減少関数と言う。

開区間において分可な関数が、この区間において、
(i) ならば、は増加関数
(ii) ならば、は減少関数
(iii) ならば、は定数関数

[証明] を満たす任意のに対して、関数は閉区間で連続、開区間で微分可能だから、均値の定の要件を満たします。
平均値の定理より、を満たすcが存在します。
(i) ならば、より、は増加関数です。
(ii) ならば、より、は減少関数です。
(iii) ならば、が、を満たす任意のに対して成り立つので、は定数です。 (証明終)

上記の事実によって、増減表で、の区間に増加を表すマークを書き入れ、の区間に減少を表すマークを書き入れることになります。


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  1. 2006/08/07(月) 15:09:09|
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ロピタルの定理

ロピタルの定理

として、区間において連続でかつ、において分可な関数について、(において)であるとき、が存在すれば、

[証明] なる任意のxについて、は、において連続でかつ、において微分可能で、より、コーシーの平均値の定理の要件を満たします。よって、とコーシーの平均値の定理より、を満たすcが存在します。
ここで、とすると、
 ・・・①
また、なる任意のxについて、は、において連続でかつ、において微分可能で、より、コーシーの平均値の定理の要件を満たします。よって、とコーシーの平均値の定理より、を満たすcが存在します。
ここで、とすると、
 ・・・②
が存在すれば、
よって、①,②より、 (証明終)

上記と同様にして、の場合についても、同様のことが言えます。については以下のようになります(も同様です)
区間において連続かつ、において微分可能な関数について、であるとき、が存在すれば、
[証明] なる任意のxpについて、は、において連続でかつ、において微分可能で、より、コーシーの平均値の定理の要件を満たします。よって、コーシーの平均値の定理より、を満たすcが存在します。
ここで、としてから、とすれば、であって、より、
 (証明終)

また、において、となってしまう場合には、が成り立つ範囲において、とし、とすれば、となって、ロピタルの定理を使うことができます。
ロピタルの定理は定形の極を求める場合に使います。

例.は、とみると、ロピタルの定理の要件を満たすので、
,ロピタルの定理より、

 
として求めることができます。

大学入試において、ロピタルの定理は、解答のみ要求されている場合には便利ですが、高校の教科書に載っていないので、論述式の答案に使ってもよいのかという心配があります。
このときには、以下のようにして、「ロピタルの定理より」という書き方を避ける手があります。
上記のというような定形の極の例の場合、として、となるので、

 
 
として、

とすればOKです。
型の定形で極がうまく求められないときは、この手が使えます。

上記の例では、ロピタルの定理を使わないのであれば、不等式
 ()
 ()
を証明してさみうにするしかありません。


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  1. 2006/08/07(月) 15:06:49|
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平均値の定理

平均値の定理

ロール(Rolle)の定理:関数が、閉区間において連続かつ、開区間において分可なとき、が成り立つならば、を満たすcが存在する。

[証明] において連続だから、大値・最小値の定により、この範囲に最大値、最小値をもちます。として、が最大値、が最小値だとします。

のとき、最小値は最大値以下なのでです。
なら、においてつねに (は定数関数)ということなので、,つまり、であり、を満たす任意のcについて、です。
だとします。のとき、が最小値なので、であって、
 ・・・①
のとき、が最小値なので、であって、 (に注意)
 ・・・②
は微分可能なので、において、 ( ①,②)

よって、とすれば、を満たすcが存在します。

のとき(は最大値なので、ということはありません)
のとき、が最大値なので、であって、
 ・・・①
のとき、が最大値なので、であって、 (に注意)
 ・・・②
は微分可能なので、において、 ( ①,②)

よって、とすれば、を満たすcが存在します。

以上より、を満たすcが存在します。 (証明終)


ラグランジュ(Lagrange)平均値の定理:関数が、閉区間において連続かつ、開区間において分可なとき、

を満たすcが存在する。

注.この定理が、高校の教科書・参考書に「平均値の定理」として載っている定理です。
[証明] 関数:は、閉区間において連続かつ、開区間において微分可能な関数であり、
より、
よって、はロールの定理の要件を満たすので、ロールの定理より、を満たすcが存在します。
より、のとき、
よって、を満たすcが存在します。 (証明終)

平均値の定理の左辺は、のグラフ上の2ABを結ぶ直線の傾きで、平均変化率です。
という範囲の中で両端を結ぶ直線ABと平行な接線をこの範囲の中のどこかで引くことができる、というのが、平均値の定理の視覚的意味です。覚えるときは、文字情報で覚えないで、視覚的意味の方を覚えましょう。

例.不等式:を示す。
において分可な関数。

平均値の定理より、として、を満たすcが存在する。
より、



コーシー(Cauchy)の平均値の定理:関数が、閉区間において連続かつ、開区間において分可で、であるとき、

を満たすcが存在する。

[証明] 関数:は、閉区間において連続かつ、開区間において微分可能な関数であり、
より、
よって、はロールの定理の要件を満たすので、ロールの定理より、を満たすcが存在します。
より、のとき、
よって、を満たすcが存在します。 (証明終)


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  1. 2006/08/06(日) 15:29:57|
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接線と法線

接線と法線

この項目は接線を参照してください。
曲線:における接線は、
接線と接点において直交する直線を法線と言います。
法線は接線と直交するのでその傾きはの場合、 (2直線の平行・垂を参照)
法線は接点を通るので、法線の方程式は、

例.(1) 曲線における接線と法線

のとき、
接線:

法線:


(2) 曲線における接線と法線

のとき、
接線:

法線:


(3) 曲線における接線と法線

のとき、
接線:

法線:

注.自然対数の底eを、曲線 (かつ)における接線の傾き1になるときのaの値、として定義する立場もあります(限の公を参照)

(4) 曲線における接線と法線

のとき、
接線:
(x軸に平行な直線)
法線は、なのでx軸に垂直な直線となり、接点を通るので、 (y)

(5) 曲線 (対数の底はe)における接線

のとき、
接線:

法線:



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  1. 2006/08/06(日) 15:28:46|
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高次の導関数

高次の導関数

n3以上の自然数として、の導関数を考えます。

です。この右辺のの導関数を求めると、となりますが、左辺のの導関数は、yから2回微分されることになるので、もう一つ、プライム記号をつけて、

と表すことにします。さらに、微分して、の導関数は、yから3回微分されることになるので、プライム記号を3つつけて表し、

となります。を第1(1)の導関数、を第2(2)の導関数、を第3(3)の導関数と呼びます。
と書くとき、とも書きますが、です。
4次以上になると、プライム記号の数が多くなるので、と書いて第4(4)の導関数ということにします。
n回微分すると、

となります。を第n(n)の導関数と言います。です。

以下、mnを自然数として、

 (底がeの指数関数は何回微分しても指数関数のまま)


などが言えます。

例.(1)  ()として求められる多項式をエルミート多項式と言います。
,・・・
などとなっています。
(2)  ()として求められる多項式をルジャンドル多項式と言います。
,・・・
などとなっています。
(1)(2)とも物理学で登場する重要な多項式です。


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  1. 2006/08/04(金) 10:48:39|
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対数微分法

対数微分法

 という関数の導関数を求める場合(微分分の公を参照)には、両辺の自然対数をとって、

両辺をxで微分すると、左辺は合成関数の微分法により、を微分するのと同じような感じで、
右辺はの微分により、


を直接合成関数の微分法で微分できないこともないですが、ミスし易いので、対数微分法を利用してください。

対数微分法を利用することにより、a0以外の実数として、の導関数を求めることができます。
両辺の自然対数をとって、
両辺をxで微分すると、


となり、nが自然数の場合の微分の公式:と同じであることがわかります。
などとなります。

例.の導関数
両辺の自然対数をとり、

両辺をxで微分すると、




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  1. 2006/08/04(金) 10:46:51|
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