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大学入試問題を考える - 数学・物理 -

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理工系受験生必見!! 2010-2007入試問題検討ページ(東大・東工大・京大・早慶) 
CFV21での学習の進め方

不定形の極限

不定形の極限

(i) 型 分母・分子を因数分解(場合によっては、有理化などが必要)し、0に近づく因数を約分する。三角関数、指数関数、対数関数では、公式利用(限の公参照)
(ii) 型 分母、分子の絶対値を無限大に発散させる項のうち、もっとも無限大に近づく勢いの強い項で分母、分子を割る。
(iii) 型 根号を含む関数では有理化する。という形の関数では、最高次の項でくくり、という形にする。三角関数は公式(法定角関数の諸公を参照)を利用する。数関は底が最大の項でくくる。数関は、公式:を用いると(ii)のタイプになる。
(iv) 型 無限大に近づく項と0に近づく項の勢いの強さを比較する。
(v) 型,型では、ピタルの定による場合があるかも知れない。

単に、とするのでは極限値を求められないタイプの極限を不定形の極限と言います。

(i) 型 
・分母,分子が整式:で表されている関数において、のときの分母、分子がともに0に近づく、つまりということは、数定によると、ともにという因数をもつということです。ですから、必ず、分母、分子の間で ()で約分できて、
 (但し、)
と変形ができます。これで、

となります。

(ii) 型 
・分母、分子が整式で表されている関数:において、
のときには、分母、分子を(分母の中でもっとも無限大に近づく勢いの強い項)で割ると、のとき、,・・・,,・・・,より、

のときには、やはり、分母、分子をで割って、

のときには、分母、分子をで割って、
 (分母、分子の最高次の項の係数の比になります。結果を覚えてしまうとよいでしょう)

・分母、分子に指数関数を含む場合、分母の中でもっとも無限大に近づく勢いの強い項、つまり、底の最大のものの項で、分母、分子を割ります。それ以外の考え方は上記の、分母、分子が整式の場合と同じです。
において、pqrs1より大きい実数、とすると、で分母、分子を割ることになります。

のとき、なので、分母はbに近づきます。として、
なら、分子は0に近づいて、極限は0
なら、分子は発散して、極限は、abが同符号なら正の無限大、abが異符号なら負の無限大
なら、極限は

()のような場合、では、の方が無限大に近づく勢いが強いので、分母、分子をで割り、のとき、より、

注.の中ではの場合がもっとも無限大に近づく勢いが小さいので、のとき、を、eを自然対数の底(以後、底のeを省略)だとして、示しておきます。
として、より、の最小値は ( )
よって、
この両辺をxで割って、
においては、であって、ここで、とすると、
はさみうちの原理より、

(iii)
のような場合には、有理化します。

 
  (分母、分子をxで割る、根号内はで割ることになる)
 


のような場合には、最高次の項でくくります。

のときに、なので、です。なので、


のような場合には、底が最大の項でくくります。

のときに、なので、です。なので、


は、対数の公式を使います。

のとき、より、


(iv)
では、のとき、ですが、の方がより、無限大に発散する勢いが強いので、


1を求める。
[解答] の形でもできなくはないのですが、のときの式変形: ()がわかりづらいので、と置き換えます。のとき、です。

この形で、分母、分子をtで割ります(根号内はで割ります)
  ......[解答]

2が成り立つようにabの値を定める。
[解答] のとき、の分母は0に近づきます。仮に、分子が0以外のある値aに近づく場合には、分母がどんどん0に近づいて、aに近い値を0に近い値で割ると、その絶対値はどんどん大きな値になっていき、が正の無限大、もしくは負の無限大に発散してしまいます。
従って、が極限値1をもつためには、のときに、が必要です。
のとき、とすると、

 
 
であれば十分です。
......[]


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(C)2005, 2006 (有)りるらるNewton e-Learning
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  1. 2006/07/31(月) 11:22:36|
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関数の極限

関数の極限

関数において、xaと異なる値をとりながらaに限りなく近づくときに、の値が限りなくaに近づくとします。
このとき、
のとき、
または、

と書いて、a極限値と言います。
関数において、xaと異なる値をとりながらaに限りなく近づくときに、の値が限りなく大きくなるとします。
このとき、
のとき、
または、

と書いて、正の無限大に発散する、と言います。
関数において、xaと異なる値をとりながらaに限りなく近づくときに、が負の値をとりながら、限りなく絶対値が大きくなるとします。
このとき、
のとき、
または、

と書いて、負の無限大に発散する、と言います。
xが限りなく大きくなるときには、上記のaを正の無限大∞とします。
xが負の値をとりながら、その絶対値が限りなく大きくなるときには、上記のaを負の無限大とします。
以上のいずれの場合についても、を極限と言います。

関数において、xを満たしながらaに限りなく近づくときの極限を、と書いて、右側極限、または、右方極限と言います。
というのは、h0に近づけるという意味です。
関数において、xを満たしながらaに限りなく近づくときの極限を、と書いて、左側極限、または、左方極限と言います。
というのは、h0に近づけるという意味です。

 ⇔ 
 ⇔ 
 ⇔ 
です。つまり、右側極限と左側極限が等しい場合にのみ、極限と言います。
右側極限と左側極限が一致しない場合には、極限とは言いません。

,または、とするときに、の値が1つの値に近づかないこともあります。このようなときには、は振動すると言い、極限は存在しません。

1abを実数として、について、
のとき、です。のグラフは右肩上がりの直線です。
のとき、です。のグラフは右肩下がりの直線です。

2abcを実数として、について、
のとき、です。グラフは下に凸な放物線です。
のとき、です。グラフは上に凸な放物線です。

3.一般的に、nが奇数,,・・・,を実数として、について、
です。
nが偶数,,・・・,を実数として、について、
です。

4,または、のとき、は振動するので、は存在しません。

5ですが、です。よって、は存在しません。

6のとき、
のとき、

7のとき、
のとき、

8です。よって、は存在しません。
ですが、です。

9

従って、なら、ですが、
なら、は存在しません。

10 (nは自然数,,・・・,:実数)



 (かつ)
のような関数では、任意の実数aについて、が成立します(数の連を参照)
 (かつ)
の定義域はなので、任意の正数aについて、が成立します。
 (pは実数)
の定義域はなので、となる実数aについて、が成立します。


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  1. 2006/07/29(土) 10:32:32|
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無限等比級数

無限等比級数

この項目は、比数比数列の極限級を参照してください。
初項,公比rの等比数列の無限級数 (無限等比級数)は、
のときに和をもち、和は、


[証明] のときには、初項,公比rの等比数列の第n項までの和(部分和)
ここで、とすると、
のとき、より、
のときには、より、は発散します。
のときには、は振動するので、は発散します。

のときは、より、は発散します。

以上より、のときに限ってが収束して、となります。 (証明終)

例.無限循環小数を分数に直すこと。

のように考えると、の部分は、初項0.234,公比の無限等比級数になっています。
公比は、を満たすので、この無限等比級数は収束して和をもちます。
よって、上記の公式より、
......[]


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  1. 2006/07/28(金) 09:56:20|
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無限級数

無限級数

この項目では、列の極を参照してください。
数列に対して、その各項を加え合わせたものを級数と言う。
初項がで、有限個(n)の項からなる数列の各項を加え合わせたものを有限級数と言い、有限級数は数列の和:にほかならない。
初項がで、無限個の項からなる数列の各項を加え合わせたものを無限級数と言い、と書く。
無限級数に対して、第n項までの和:部分和と言う。
数列について、のとき、がある値Sに近づくとき、つまり、となるとき、無限級数S収束するという言い方をする。また、Sを無限級数と言う。
が発散するとき、無限級数発散するという言い方をする。このときには、無限級数は和をもたない。


1が和をもつなら和を求める。
[解答] 部分和:
 
のとき、より、
よって、無限級数は和をもち、 ......[]

2が和をもつなら和を求める。
[解答] 部分和:
 
 
 
 
のとき、より、
よって、無限級数は、和をもたない。

無限級数が収束する ⇒ は真ですが、
 ⇒ 無限級数が収束するは偽です。(件・命を参照)
なぜなら、無限級数aに収束するとき、部分和;について、のとき、であり、また、
従って、

 ⇒ 無限級数が収束するの反例は、例2で取り上げた、です。
ですが、例2で見たとおり、無限級数は収束しません。


khを実数として、のとき、


[証明] それぞれの無限級数の部分和を、とします。
 (Σの公を参照)
 (列の極を参照)
 (証明終)

3が和をもつなら和を求める。
[解答] 
ここで、はともに収束するので、
 (限等比級を参照)
  ......[]


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  1. 2006/07/28(金) 09:55:22|
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等比数列の極限

等比数列の極限

この項目については、列の極を参照してください。
のとき、
のとき、
のとき、
のとき、は存在せず、発散する(振動)

[証明]のとき、 ()とおくと、項定より、

のとき、より、

のとき、は自明。
のとき、より、

のとき、は自明。
のとき、より、

のとき、であって、の符号はnが偶数のときに正、nが奇数のときに負、となり、nを大きくしていくときに符号が正負交互に入れ替わるので、数列は振動し、は存在せず、発散する。

1のとき、(1)  (2)
(1)  (分母、分子をで割る。に着目)
 
(2)  (分母、分子をで割る。だが、は振動する)
極限は存在しない。

2
のとき、分母分子をで割ると、とすると、より、
 
のとき、
のとき、とすると、より、
 
のとき、
 nが奇数ならば、
 nが偶数ならば、
 より、のとき振動するので、Lは存在しない。


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  1. 2006/07/27(木) 13:35:36|
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数列の極限

数列の極限

 無限に項が続く数列を無限数列と言います。
一般項が、で与えられる無限数列では、,・・・,,・・・ として、nをどんどん大きくしていくと、どんどん1に近づいていきます。
このように、数列において、nを限りなく大きくしていくときに、の値が限りなくある値aに近づくとき、
のとき、
または、

と書いて、数列a収束すると言います。また、値a極限値と言います。

一般項が、で与えられる無限数列では、,・・・,,・・・ として、nをどんどん大きくしていくと、どんどん大きな値になっていきます。
このように、数列において、nを限りなく大きくしていくときに、の値が限りなく大きくなるとき、
のとき、
または、

と書いて、数列正の無限大に発散すると言います。このときには極限値はありません。
一般項が、で与えられるような数列の場合には、nをどんどん大きくしていくと、負の数で絶対値がどんどん大きくなっていきます。
このような場合には、
のとき、
または、

と書いて、数列負の無限大に発散すると言います。このときには極限値はありません。

一般項が、で与えられる無限数列では、,・・・,,・・・ として、nをどんどん大きくしていっても、がある値に近づくわけではありません。
このような場合には、数列振動すると言います。振動する場合も含めて、発散と言います。
振動する場合には、 のように書きようがありません。この場合には、極限はない、と言います。極限値もありません。

それに対して、の場合には、極限値がaであるとともに、極限aという言い方もします。
の場合には、極限は正の無限大、の場合には、極限は負の無限大、と言います。

以上を整理すると下記のようになります。

数列が収束する場合、,極限,極限値はa
数列が発散する場合、

極限の性質
のとき、khを実数として、
(線形性) 

すべての自然数nについてであれば、
すべての自然数nについてであって、であれば、


1 (は自然数,は実数)
の場合、分母分子をで割ると、

  (分子の方が強い)
の場合、分母分子をで割ると、
 (分母の方が強い)
の場合、分母分子をで割ると、
 (分母分子の最高次の項の係数が残ります)

2
  (和差公式を利用する)
 
  (分母分子をnで割る)
 


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  1. 2006/07/26(水) 08:45:21|
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数列

数列

 1列に数を並べたものを数列と言います。最初の項を第1項,2番目の項を第2項,・・・,n番目の項を第n項と言います。数列の問題では、第n項や第n項までの和をnの式で表すことが中心になります。数列は、コンピュータに数値計算を行わせるための重要概念です。

ここで学習する内容は、以下の通りです。各項目をクリックしてください。

数列 数列とはどういうものか、数列の問題を解くということは、何をするのか、ということについて考えます。
等差数列 ある項に一定の数(公差:d)を加えると次の項になる数列を等差数列と言います。初項:aのとき、第n項:,第n項までの和:
等比数列 ある項に一定の数(公比:r)をかけると次の項になる数列を等比数列と言います。初項:aのとき、第n項:,第n項までの和: ()
Σの公式 
階差数列 数列の階差数列:として、として、
数列の和と一般項 初項:の数列の第n項までの和:として、 ()
漸化式 隣接する項の間の関係式を漸化式と言います。公差dの等差数列の漸化式:,公比rの等比数列の漸化式:
2項間漸化式 隣接2項の間の関係式で特徴的な3タイプ:の一般項を求める方法を学びます。
3項間漸化式 隣接3項の間の関係式:の一般項を求める方法を学びます。
漸化式の技巧 特殊な漸化式の一般項を求める方法を学びます。
連立漸化式 2つの数列の間の関係式が、となるようなものについて、一般項を求める方法を学びます。
数列の求和技法 和を求めたい数列の第n項がのような形に表せるとき、として、和を求める方法を学びます。
数学的帰納法 整数に関する命題を証明するのに便利な数学的帰納法を学びます。


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 雑誌「大学への数学」購入

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  1. 2006/07/25(火) 09:45:41|
  2. 数学B
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数学的帰納法

数学的帰納法


自然数nについて成り立つ命題Qがある。
() のときにQが成り立つことを示す。
() のときにQが成り立つと仮定すると、のときにもQが成り立つことを示す。
()()をともに示すことにより、命題Qがすべての自然数nについて成り立つことが証明できる。この証明法を数学的帰納法という。


ABC自動車会社に就職した太郎クンは営業部に配属され、自動車のセールスの仕事をすることになりました。
自動車の展示場で、自動車をのぞき見している人に、「うちの自動車、いいでしょ。一台、いかがですか?」と軽いノリで声をかけました。でも買ってくれません。同じような感じで声をかけ続けましたが、一台も売れません。
あるお客さんに、「ハンドルちょっとさわってみませんか」と声をかけて、運転席に座らせ、中の機械の操作の説明をしたところが、このお客さんは自動車を買っていきました。次のお客さんも、運転席に座らせて、機械の操作を説明すると、また一台売れました。
太郎クン、ああ、そうか、お客に実際に触らせて、機械の操作を説明すると売れるんだ、と気付いて、営業部で成績トップのセールスマンになりました。
こういう感じで、一人のお客さんに自動車を売ったという具体的な事実から、「触らせて、機械の説明をすると売れる」という一つの命題を導き出すことを、帰納法と言います。

これに対して、営業研修などで、営業部長が、
ただ、うちのクルマはいいクルマだとがなりたててもお客さんは買ってくれませんよ、お客さんの目線に合わせて、お客さんがその自動車を運転したらどんなに快適かというイメージを抱かせるのが、自動車を売るコツなんです。
と、セールスマンに説明して、太郎クンが言われたとおりに、お客さんの対応をして、実際に自動車が売れたとします。
このように、はじめに、「客の目線に立て」という命題があって、それを具体的な事実に適用していくことを、演繹法と言います。

惑星に関する膨大な観測データからケプラーの3法則を導いたのは、帰納法です。
ニュートンの運動の3法則から天体の運動の予測を立てるのは、演繹法です。

整数に関する命題があるときに、1から順番に全ての整数について調べてその命題が正しいことを帰納的に証明する場合に、上記のように、ある2つの事実()()を示すだけで、全ての整数に関して調べたことと同等になる、ということを利用した証明法が、数学的帰納法です。

例.命題:nを自然数として、 を数学的帰納法を用いて証明する。
() のとき、だから命題は成り立つ。
() のとき、命題が成り立つと仮定すると、が成り立つ。
 両辺に、を加えると、
 よって、のときにも命題は成り立つ。
()()より、すべての自然数nに対して、が成り立つ。 (証明終)

上の例は、までの奇数の和が平方数になることを証明する例です。
まず、()で自然数n1のときについて、調べています。このときの奇数の和は、1しかないから1になります。一方、より12乗を求めると1だから、のとき命題は成り立つことになります。
()では、証明すべき命題のnにある自然数kを代入したときに成り立つと仮定すると、次の自然数nに代入しても成り立つことを示しています。
このkだとして、のときには()により命題は証明されているから、()よりのときにも命題の成り立つことが言えます。 ・・・()
このkだとして、のときには()により命題は証明されているから、()よりのときにも命題の成り立つことが言えます。 ・・・()
さらに()よりのときにも命題が成り立つ、のときにも命題が成り立つ、ということを繰り返せば、すべての自然数について命題の成り立つことが示せます。
結局、何を示しておけば証明したことになるかと言うと、()()2つのことを示しておけばすべての自然数について命題が成り立つことを示したことになるのです。

数学的帰納法による証明にはいくつかの変形があります。
1つめは、のすべてについて命題が成り立つとしないと、に対する命題が証明できないタイプ。1番目が成り立てば2番目が成り立つ、1番目と2番目が成り立てば3番目が成り立つ、1番目と2番目と3番目が成り立てば4番目が成り立つ、・・・、という具合にして、すべての自然数について命題が成り立つことが証明できるものです。以下のようなストーリーになります。
 () のときに命題が成り立つことを示す。
 () のときに命題が成り立つと仮定すれば、のときにも命題が成り立つことを示す。
 ()()より、すべての自然数nについて命題が成り立つ。

・もう1つは、前2つについて命題が成り立てば、その次が成り立つことが証明できるタイプ。1番目と2番目が成り立てば3番目が成り立つ。2番目と3番目が成り立てば4番目が成り立つ。・・・。という具合にして、すべての自然数について命題が成り立つことが証明できます。
 () のときに命題が成り立つことを示す。
 () のときに命題が成り立つことを示す。
 () のときに命題が成り立つと仮定するとのときにも命題が成り立つことを示す。
 ()()()より、すべての自然数について命題が成り立つ。



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  1. 2006/07/25(火) 09:44:33|
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数列の求和技法

数列の求和技法

数列の初項から第n項までの和を求めるときに、となる数列を見つけられれば、

として、が容易に求められることがある。
では、
では、
では、
では、
などを利用する。


例.(1) ()を求める。
[解答] 
 
 
 
  ......[]

(2) ()を求める。
[解答] 分母を有理化すると、

よって、

 
  ......[]


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  1. 2006/07/24(月) 13:07:48|
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連立漸化式

連立漸化式

複数の数列の隣接する項の間に成立する関係式を連立漸化式と言います。
基本形: ・・・①, ・・・②,


連立漸化式には、いろいろな解法がありますが、基本的には比数の形を作ります。
という形の数列を考え、これが比数になるように、kの値を決めます。

①+②×kより、
右辺をでくくると、

このとき、であれば、は公比:比数になります。
分母を払って整理すると、 ・・・③
この2次方程式が異なる2実数解ab をもてば、
数列比数になります。
は、初項:,公比:比数
よって、 ・・・④
は、初項:,公比:比数
よって、 ・・・⑤
④×b-⑤×aより、

⑤-④より、

[注意] 結果を暗記しても何の意味もありません。手順を覚えること。

係数pqrsの間に何のつながりもないときには上記のようにやりますが、実際の入試問題を見ていると、このタイプの連立漸化式では、ほとんど、の形(2つの式で、の係数が入れ替わっている)をしています。
このとき、2次方程式③は、となり、です。数列比数になります。
の形をしている場合は、一々2次方程式③を作らずに、「①+②,①-②を作れば比数の形になる」と覚えておいて、いきなり比数の一般項④,⑤を作りに行く方がよいでしょう。


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  1. 2006/07/21(金) 17:55:19|
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3項間漸化式

3項間漸化式

数列の隣接3項:に関する関係式を3項間漸化式と言います。
基本形: ・・・①,


まず、比数の形を作ることを考えます。
数列が、公比:b 比数だとすると、
・・・②
展開して整理すると、
①と比べると、
これより、ab 2次方程式: ・・・③ 2解です。
2次方程式③を3項間漸化式①の特性方程式と言います。与えられた3項間漸化式①の各項の係数を用いて作った2次方程式です。

特性方程式③の解ab を求めて、②の形を作ります。
1) ③が相異なる2実数解をもつ場合()には、
数列は、初項:,公比:b 比数ゆえ、
・・・④

このとき、①を、

と書き直すこともできます。
これより、数列は、初項:,公比:a比数となるので、
・・・⑤

④-⑤より、

[注意] 結果を暗記しても何の意味もありません。手順を覚えること。

2) ③が重解aをもつ場合()には、②は、

となり、数列は、初項:,公比:a比数となり、

両辺をで割ると、

数列は、初項:,公差:差数ゆえ、


この場合には、等比数列を2通り作ることができないので、1)の手順では一般項が求められません。


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  1. 2006/07/21(金) 17:52:44|
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2項間漸化式

2項間漸化式

数列の隣接2項:に関する関係式を2項間漸化式と言います。
(1) 基本形: (pq:定数,とする。のときは差数)


・・・① ()とする。
をともにxとおいた1次方程式: ・・・② を解くと、
①-②より、
これより、は、初項:,公比:p比数
よって、

[注意] 結果を暗記しても何の意味もありません。道すじを覚えること。

2項間漸化式にはさまざまな亜種があります。ここでは、代表的な2例をあげておきます。


(2) (pqr:定数,)


基本形(1)で定数qだったところが、比数の形をしているタイプです。
両辺をで割る(がいるときは、乗で割ると覚えてください)と、

ここで、とおくと、
これは、2項間漸化式の基本形です。(1)の手順でを求めて、とすれば一般項が求められます。


(3) (pqr:定数,)


基本形(1)で定数qだったところが、n1次式になっているタイプです。

[解法1]  ・・・③ ()とする。
③でnとして、 ・・・④ (これをとすると誤りなので要注意)
④-③により、
数列は基本形(1)と同じ形の漸化式に従います。より、
初項は
(1)の手順を行えば、
を③に代入すると、




[解法2] 一般項を ・・・⑤ とおく。(は公比:p比数で、比数n1次式を加えた形)
③に代入して、
整理すると、
が公比:p比数になるのは、のとき、
すなわち、
⑤でとして、

これで、となります。これを⑤に代入して、



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  1. 2006/07/21(金) 17:51:34|
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漸化式

漸化式

隣接項の関係式を漸化式と言う。
隣接2の間の関係を2項間漸化と言う。隣接3の間の関係式を3項間漸化と言う。


[1] 差数の漸化式: (d:定数)
[2] 比数の漸化式: (r:定数)
[3] 2項間漸化 (pq:定数)
[4] 3項間漸化 (pq:定数)
[5] 立漸化 (pqrs;定数)

原理的には、初項が与えられて、漸化式があれば、数列の全ての項を求めることができますが、1000項目を求めるのに、999回、漸化式を用いて計算をするのでは手間がかかるので、一般項nの式で表しておきます。これが漸化式の問題の目標です。


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  1. 2006/07/21(金) 17:50:38|
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数列の和と一般項

数列の和と一般項

数列の初項より第nまでの和をとするとき、

 ()

[証明] は明らかでしょう。
より、 (証明終)

1.数列の初項より第nまでの和が、のとき、を求める。
[解答] 
のとき、

 
 
で、とすると、となり正しい結果となります。
よって、 () ......[]

2.数列の初項より第nまでの和が、のとき、を求める。
[解答] 
のとき、

 
 
ですが、で、とすると、となり、を満たしません。
よって、 () ......[]


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  1. 2006/07/21(金) 17:49:43|
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階差数列

階差数列

数列に対して、隣接2項の差:を各項とする数列を数列階差数列と言う。
階差数列が既知の場合、数列の一般項は、として、で与えられる(Σの公を参照)

[証明]
 
より、 (但し、)
(証明終)

1.数列の初項,階差数列がのとき、数列の一般項は、
(のときもこれでよい) (比数を参照)

2(1) 数列の初項が0,階差数列がのとき、数列の一般項は、

(2) 数列の初項が0,階差数列がのとき、数列の一般項は、

 
   
 
(3) 数列の初項が0,階差数列がのとき、数列の一般項は、

 
 
   
 
注.一般に、数列の階差数列がのとき、となります。


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  1. 2006/07/21(金) 17:48:10|
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Σの公式

の公式

nを自然数として、

(1) cを定数として、
(2)
(3)
(4)


数列の第1項から第n項までの和を書くのに、 という具合に書いていくと面倒なので、これを、

のように書きます。「シグマ、kイコール1からnまで、」と読んでください。
という字の下のは、kという番号が1から始まることを意味します。の上のnは、kという番号の末尾がnであることを意味します。の右のは、k1からnまで動くとして和をとること、つまり、からまでで和をとることを意味しています。これで、

となります。

(1)(2)(3)(4)の証明を書いておきます。
(1)
(2)
  
(3) とおくと、,・・・・・・
 
   ()
 ∴
   
   
(4) とおくと、,・・・・・・
 
   ()
 ∴
   
     (証明終)

には、線形性と呼ばれる便利な性質があります。

(pqは定数)


[証明] 
 
   (証明終)

この性質により、例えば、

 
のように計算することができます。


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  1. 2006/07/21(金) 11:45:35|
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等比数列

等比数列

n項に定数rをかけると第項になる数列等比数列と言う。定数r公比と言う。
()
一般項: ()
n項までの和: (ただし)

注.のときは

初項:,公比:rの等比数列の一般項は、初項aに公比r回かけたものになり、

()

初項:,公比:r ()の等比数列の第n項までの和は、

  ・・・①
両辺にrをかけると、
・・・②
①-②より、,・・・,が消えて、

()

のときには、となってしまうので、

となります。

例.初項3,公比2の等比数列:3612244896,・・・・・・ の一般項は、
n項までの和は、
6項までの和は、 ()

3abcが、として、のようになっていて、等比数列をなしているとき、


3数のまん中の数は、他の2数の相乗平均になっています。このまん中の数bのことを等比中項と言います。


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  1. 2006/07/21(金) 11:44:33|
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等差数列

等差数列

n項に定数dを加えると第項になる数列等差数列と言う。定数d公差と言う。
()
一般項: ()
n項までの和:

注.については、 ((初項+末項)×項数÷2)という覚え方が便利です。

1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, ・・・・・・
のように数が並ぶ数列は、1を初項として、3ずつ増えていく数列です。
このように、決まった数だけ増えていく数列が等差数列です。初項が1,公差は3です。
この数列では、,・・・・・・
のようになっています。
これを一般的に書くと、公差をdとして、
となります(このように、第n項と第n+1項の間の関係を示す式が漸化式です)

等差数列の一般項(n)は、初項回公差dを加えたものになるので、となります。
初項をとすれば、となります。

初項,公差dの等差数列の第n項までの和は、

 
 
  
  ()

3abcが、のようになっていて、等差数列をなしているとき、
より、
3数のまん中の数は、他の2数の相加平均になっています。このまん中の数bのことを等差中項と言います。


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  1. 2006/07/21(金) 11:43:35|
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数列

数列


いくつかの数を並べたものを数列と言います。
例えば、
235711131719,・・・・・・
は、素数を並べた数列です。
1248163264128256,・・・・・・
は、2をどんどんかけていってできる数を並べた数列です。

素数を並べた数列では、1番目の数が2で、2番目の数が3で、3番目の数が5という具合になっています。
1番目の数を第1項と言って、のように書きます。aは数列の名前、11番目という意味です。
1項が2であることを、というように書きます。
2番目の数は第2項で3番目の数は第3項で,以下、,・・・・・・
という具合になります。
数列の最初の項を初項と言います。初項は第1項とは限りません。第0項を初項にすることもあります。第2項を初項にすることもあります。問題それぞれで、数列を0番目からはじめるか、1番目からはじめるか、2番目からはじめるか、考えなければいけません。

世の中には、数列として扱えるものがいろいろあります。
例えば、初年度に100万円を貯金し、毎年、5%の利息がついて、総額から3万円ずつ預金者に割り戻しを行うとします。
1年後に、105万円になり、割り戻しで3万円戻ってくるので、預金額が102万円になります。
2年後に、万円になり、割り戻しで3万円戻ってくるので、預金額が1041千円になります。
こうして、3年後、4年後、・・・・・・、どうなっていくか、と計算していけばよいのですが、いきなり、30年後にどうなるのかと聞かれると、30回、この計算を行うのは、なかなか面倒です。
そこで、n年後の預金万円がnの式でどう表されるかということを考えます。この例では、
・・・①
となります。
としてみると、万円となります。
この計算式①があれば、30年後の預金も即座に計算できます。

となり、だいたい233万円くらいだとわかります。

数列の問題では、①のように、n番目の項をnの式で表すことを一つの目標とします。
n番目の項を第n項とか一般項などと言います。


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  1. 2006/07/21(金) 11:42:27|
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空間ベクトル

空間ベクトル

 平面的な世界を2次元の世界、空間的な世界を3次元の世界と言いますが、この2とか3とか言うのは、平面ベクトル、空間ベクトルにおける1次独立なベクトルの個数です。平面座標ではだったものが、空間座標ではになりますが、座標が1個増えて、ベクトルを成分表示したときの成分も1個増えます。ですが、これ以外では、平面ベクトルと、空間ベクトルの間で、基本的にベクトルとしての性質には違いはありません。

ここで学習する内容は、以下の通りです。各項目をクリックしてください。

間座 空間座標では、x座標,y座標のほかに、z座標が加わって、3個の座標で位置を指定します。
間ベクト 空間ベクトルと平面ベクトルとでほとんど違いがないのですが、ここでは、空間と平面とで共通の性質、異なる表現について整理します。
面のベクトル方程 空間図形で、平面をベクトルとして扱うときは、という形の方程式を用います。座標空間では、という形の方程式を用います。共面条件:同一平面上にない4点、OABCに対して、となるPABCと同一の平面上にある も扱います。
面のベクトル方程 空間図形で、方程式は球面を表します。
面体の体 四面体の体積を求める方法を学びます。外積の利用により容易に求める方法があります。
間における2直線の位置関 空間図形では、平行でない2直線が交点を持たない場合があります。


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  1. 2006/07/20(木) 11:47:57|
  2. 数学B
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空間における2直線の位置関係

空間における2直線の位置関係

この項目については、間ベクトを参照してください。
空間における2直線の位置関係は、右図のような
(i) 交わる (ii) 平行 (iii) ねじれの位置
3通り。

(i) 空間における2直線
l ・・・①
m ・・・②
は、①式、②式のxyzを等しいとおくと、
 ・・・③
 ・・・④
 ・・・⑤
③と④から、

③より、
となるのですが、は、⑤を満たします。
のとき、①では、
のとき、②でも、
となります。
ということは、直線lmともに、点を通るということであって、2直線lmは、点において交わるということを意味します。

空間における平行でない2直線は、必ずしも交点を持ちません。
を直線lm上を動く点の位置ベクトル、を直線lm上の1定点の位置ベクトル、を直線lmの方向ベクトル、tsを実数だとして、2直線lmのベクトル方程式が、
l
m
と表せたとします。
2直線lmが交点を持つとき、になったとします。このとき、
 ・・・⑥
が成り立ちます。
ここで、mと同じ方向ベクトルの直線があったとして、直線が直線lと交点を持つとき、になったとします。このとき、
 ・・・⑦
が成り立ちます。⑦-⑥より、

 ・・・⑧
⑧式の右辺は平面のベクトル方程式の形をしていて、⑧式は、で張られるある平面上の点の位置ベクトルであることを意味しています。
従って、がこの平面上に存在しないときには、直線lと直線は交点を持たないのです。このときには、⑦式を満たすが存在しません(後述)
また、空間内で交わる2直線lmは、ともに、というベクトル方程式の平面上に存在します(面のベクトル方程を参照)

(ii) 空間における2直線が平行であってかつ、同一の直線でない場合、この2直線は交点を持ちません。

(iii) 空間における2直線
l ・・・①
m ・・・②
は、①式、②式のxyzを等しいとおくと、
 ・・・③
 ・・・④
 ・・・⑤
③と④から、

③より、
ですが、は⑤式を満たしません。
とまり、直線l上の点と直線m上の点が同一の点になることはあり得ないのです。これは、この2直線が交点を持たないことを意味します。このような2直線の位置関係を「ねじれの位置」と言います。
l上の点m上の点との距離dを考えてみます。

 
右辺を展開して整理すると、

これをtに関する2次式と見て方完すると、

さらに、残りの部分をsについても平方完成すると、

ですから、となります。ですから、2直線lm上の点はもっとも近い点同志の距離がであって、ここからの2直線が交わらないことがわかります。
となるのは、,つまり、のときです。
このとき、①より、
②より、
l上の点とm上の点との距離の最小値を与える2点は、l上のPm上のQです。
ここで、この2点を結ぶベクトルは、lmの方向ベクトルに対して、
つまり、は、直線l,直線mの双方と垂直です。


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  1. 2006/07/19(水) 21:50:15|
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四面体の体積

四面体の体積

 大学入試で頻出の四面体の体積を考えます。
1.座標空間内の3点、ABCを頂点とする三角形を含む平面と原点Oとの距離を求める。
[解答1] 四面体OABCを三角形OABを底面とし、OCを高さとする四面体とみると、三角形OABの面積は、
四面体OABCの体積Vは、
一方、
三角形ABCの面積Sは、

 
求める距離をhとして、より、
......[]
[解答2] 3ABCを通る平面のx切片が1y切片が2z切片が3であることから、この面の方程は、

6をかけて、
これと原点との距離hは、と平面の距の公式を用いて、
......[]
注.解答1で、外積を用いて、とすることもできます。
解答2で、面の方程とおいて、
を通ることから、
を通ることから、
を通ることから、

よって、面の方程は、
をかけて、
とすることもできます。

2.座標空間内の4OABCを頂点とする四面体の体積を求める。(秋田大 '99)
[解答] 

 
 
三角形ABCの面積Sは、
 (外積を参照)
Oから三角形ABCに下ろした垂線の足をHとすると、は三角形ABCに垂直なベクトルなので、 より、とおける。
また、より、


四面体OABCの底面を三角形ABCと見ると、その高さは、

 
よって、四面体OABCの体積は、
......[]
注.上記をよく見ると、四面体の体積を求める上で、Skhの値を求める必要がないことがわかります。
は底面の三角形ABCに垂直なベクトルでその大きさは三角形ABCの面積S2倍なので、とのなす角をq として、

 
は、四面体の高さなので、になっています。


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  1. 2006/07/18(火) 21:53:25|
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球面のベクトル方程式

球面のベクトル方程式

中心の位置ベクトルが,半径rの球面上の点の位置ベクトルは、を満たします。
これが、ベクトルを用いた球面の方程式です。
ベクトルで扱うと、球面の方程式と(ベクトル)方程は全く同じ形をしています。

空間において、は球面上の点と円の中心との距離を表すので、それが半径rで一定となれば、 ・・・① が球面を表すのは明らかでしょう。

として、①式で、成分表示を考え
①式両辺を2乗して、

 
 より、
①は、となります。
これは座標空間内で考えたときの球面の方程式です。

①式とは違った形をしていますが、空間内において、も球面を表します。
左辺を展開して、について方完と同様の操作を行うと、

 
 ・・・②
を点A,点Bの位置ベクトルだとして、は、2ABの中点の位置ベクトルです。2AB間の距離です。
従って、②式は、ABの中点を中心として、AB間の距離のを半径とする球面ということになります。これは、線分ABを直径とする球面です。
は、,つまり、球面上の点Pについて、であることを言っている式です。

HDPの位置ベクトルを、として、 ・・・③ は、Dを中心とする半径rの球面上の点Hにおける接平面を表します。
Hが球面上の点であることから、より、
よって、



これは、,つまり、接平面上の点Pと接点Hを結ぶ直線と半径HDが垂直であることを意味しています。
として③を成分表示してみます。

 
 
よって、Dを中心とする半径rの球面:Hにおける接平面の方程式は、



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  1. 2006/07/17(月) 12:21:37|
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平面のベクトル方程式

平面のベクトル方程式

(1) 空間内の平面p上に3ABCがあり、1次独立であるとき、で定まる点Pが平面p上に存在する条件は、 (この条件をこのウェブサイトでは、共面条件と呼ぶことにする)
(2) 空間内の3ABCを通る平面pのベクトル方程式は、平面上の点Pの位置ベクトルを,点Aの位置ベクトルを,また、stを実数として、

(1) 平面p上のベクトルは一次独立です。やはり平面p上に存在するベクトルは、適当な実数stを用いて、 ・・・① と書くことができます。
より、

整理すると、
ここで、とすれば、
(逆は、いまの式変形を逆にたどることにより、①式のように書けるので、点P3ABCが位置する平面p上に存在します)

(2) (1)の①式より、
よって、平面p上の点Pの位置ベクトルがみたす方程式として、

が得られます。

ここで、のいずれにも垂直なベクトルを(これを平面pの法線ベクトルと言います。法線ベクトルの見つけ方は外積を参照)として、これを両辺にかけると、

より、
 ・・・②
②式も平面を表す方程式です。
ここで、として、とおくと、

 ・・・③
③式が座標空間における平面の方程式です。
平面の方程式のxyzの係数をx成分、y成分、z成分とするベクトルが、この平面の法線ベクトルです。


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  1. 2006/07/16(日) 01:50:06|
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空間ベクトル

空間ベクトル

平面ベクトルにおいて、有向線分としてベクトルを定義したが、空間においても同様に、有向線分として空間ベクトルを定義する。
従って、平面ベクトルにおいて成り立つことは空間ベクトルにおいても、成分表示において、z成分が付け加わるだけで、そのまま成り立つ。

以下については、クトルとを参照してください。
(1) 空間内に2ABがあるとき、大きさが線分ABの長さであって、向きがAからBに向かう量を、ベクトルとする。
(2) 空間内に3ABCがあるとき、
(3) に対して、の逆ベクトルと言い、
(4)
(5) 実数kについて、は、
のとき、と同じ向きで長さがk倍となるベクトル
のとき、と正反対の向きで、長さが倍となるベクトル
のとき、零ベクトル
(6) ベクトルの和、差、実数倍は、文字の計算と同様に行う。

以下については、クトルの1次独を参照してください。
(7) 空間内の2つのベクトルが平行 ⇔ となる実数kがある。
(8) 1次独立については、平面ベクトルと空間ベクトルで異なる点がある。
平面ベクトルでは、
平面上の2つのベクトル1次独立
 ⇔   かつ  かつ 
 ⇔ ならば
 ⇔ で三角形を作るような位置関係にある。
これが、空間ベクトルでは、
空間内の3つのベクトル1次独立
 ⇔ が同一平面上に存在しない。
 ⇔ ならば
 ⇔ で四面体を作るような位置関係にある。
平面を2次元,空間を3次元と言うのは、平面ベクトルでは1次独立なベクトルの組が2個のベクトル、空間ベクトルでは1次独立なベクトルの組が3個のベクトルから成ることからきている。
(9) 1次結合の形も、平面ベクトルと空間ベクトルで異なる点がある。
平面ベクトルでは、1次独立な2つのベクトルがあるとき、平面内の任意のベクトルは、stを実数として、と表せる。また、実数stの組はただ1通りに定まる。
空間ベクトルでは、1次独立な3つのベクトルがあるとき、空間内の任意のベクトルは、stuを実数として、と表せる。また、実数stuの組はただ1通りに定まる。
空間ベクトルでは、の形を1次結合と言う。
(10) 空間ベクトルでも、原点を始点とするベクトルを、点Pの位置ベクトルと言う。

以下については、クトルの成分表を参照してください。
(11) 空間ベクトルでも、大きさが1のベクトルを基本ベクトルと言う。
(12) の位置ベクトルをとすると、これらのベクトルは基本ベクトルであるとともに、1次独立である。空間内の任意の点Pの位置ベクトルを、と表すことができる。xyzは点Px座標,y座標,z座標で、と表すことにする。これをの成分表示と言い、xyzx成分,y成分,z成分と言う。
(13) 2つのベクトルに対して、khを実数として、

以下については、内積を参照してください。
(14) 2つのベクトルに対して、の内積は、のなす角をq として、

 
証明は、平面ベクトルにおける内積と同様に、三角形の余弦定理を用いればよい。
(15)


以下については、クトルの内分・外を参照してください。
(16) 内分点、外分点の公式は、ベクトルとして書くときには、平面ベクトルと空間ベクトルとで同じ形をしています。
空間内の2ABに対して、線分ABmnに内分する点Pの位置ベクトルは、

線分ABmnに外分する点のPの位置ベクトルは、

とくに、2ABの中点は、
また、Cとして、三角形ABCの重心は、


以下については、線のベクトル方程を参照してください。
(17) 直線のベクトル方程式は、ベクトルとして書くときには、平面ベクトルと空間ベクトルとで同じ形をしている。
空間内の点Aを通り、方向ベクトル:に平行な直線上の点Pの位置ベクトルは、点Aの位置ベクトルをtを実数として、
成分表示で書くと、
これより、  (これを直線の媒介変数表示と言う)
媒介変数tを消去すると、 ()
これが空間図形における直線の方程式になる。


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  1. 2006/07/12(水) 04:14:28|
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空間座標

空間座標

(1) 空間内に互いに垂直になるように3本のを引き、それぞれの数直線の原点が3本の数直線の交点になるように配置したものを座標空間と言う。
3本の数直線の交点(従って、それぞれの数直線の原点)Oを座標空間の原点と言う。
3本の数直線をxyzと言う。
x軸とy軸が乗っている平面をxy平面y軸とz軸が乗っている平面をyz平面z軸とx軸が乗っている平面をzx平面と言う。
(2) 右図のように、点Pを通りx軸に垂直な平面とx軸との交点の座標(x座標と言う)a,点Pを通りy軸に垂直な平面とy軸との交点の座標(y座標と言う)b,点Pを通りz軸に垂直な平面とz軸との交点の座標(z座標と言う)cとするとき、abcの組を点P座標と言う。
x軸,y軸,z軸をまとめて座標軸と言う。
x軸,y軸,z軸,原点をセットで考えたものを座標系と言う。
(3) 右図のように、点Pyz平面に関して対称な点は (Px座標にマイナスがつく)
Pzx平面に関して対称な点は (Py座標にマイナスがつく)
Pxy平面に関して対称な点は (Pz座標にマイナスがつく)
Pと原点に関して対称な点は (Pの全ての座標にマイナスがつく)
(4) 座標空間内の2AB間の距離は、


(1) 座標空間の状況を紙の上に表現するときは、右上図のように、斜め上の方から人間の目で見たようなイメージ書けばOKです。標平と同様に、x軸,y軸,z軸,原点を明示します。

(3) zx平面に関する対称点は、元の点とz座標とx座標が同じなので、y座標の符号のみ変化します。
原点に関する対称点では、x座標、y座標、z座標全て、元の座標と符号が入れ替わります。
ちなみに、点Px軸に関して対称な点は、x座標のみ元の点と同じで、y座標、z座標の符号が変化して、となります。

(4) 右図で、2ABを対角線の両端とするような直方体を考えれば、直方体の辺ACCDDBの長さは、
三角形ACDは、を直角とする直角三角形で、三平方の定理より、
三角形ADBは、を直角とする直角三角形で、三平方の定理より、



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  1. 2006/07/11(火) 00:31:56|
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平面ベクトル

平面ベクトル

 幾何学の問題を計算処理的アプローチで解決するための道具として、ベクトルを学びます。ベクトルの次元はいくつでも構わないのですが、まず、ベクトルの基本を学ぶために、2次元ベクトル、即ち、平面ベクトルを学びます。

ここで学習する内容は、以下の通りです。各項目をクリックしてください。

ベクトルとは ベクトルとは、AからBに向かう有向線分のことで、と表します。大きさと向きの両方を考えます。
ベクトルの1次独立 2つのベクトルが三角形ABCを作るような位置関係にあるとき、1次独立であると言います。
ベクトルの成分表示 原点Oを始点とするベクトルを位置ベクトルと言います。座標平面上で点Pの位置ベクトルを考えるとき、点Pの座標をベクトルのように扱うことができます。これをの成分表示と言います。
内積 内積は2つのベクトルの大きさと位置関係により決まる量です。のなす角をq として、
三角形の面積の公式 とするとき、△OABの面積は、
ベクトルの内分・外分 線分ABmnに内分する点Pの位置ベクトルは、mnに外分する点Qの位置ベクトルは、
直線のベクトル方程式 2ABを通る直線上の点Pを規定する式、つまり、点Aを通りに平行な直線のベクトル方程式は、tを実数として、
平面ベクトルの応用 1次独立で、stを実数として、という関係があるとき、ならPは直線AB上の点
共線条件 1次独立で、stを実数として、という関係があるとき、Pが直線AB上の点なら
円のベクトル方程式 Cを中心とし、半径rの円周上の点Pが満たす、円のベクトル方程式は、


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  1. 2006/07/10(月) 10:59:40|
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円のベクトル方程式

円のベクトル方程式

中心の位置ベクトルが,半径rの円周上の点の位置ベクトルは、を満たします。
これが、ベクトルを用いた円の方程式です。

は円周上の点と円の中心との距離を表すので、それが半径rで一定となれば、 ・・・① が円を表すのは明らかでしょう。

として、①式で、成分表示を考えてみます。
①式両辺を2乗して、

 
 より、
①は、となります。
これは座標平面上で考えたときのの方程です。

①式とは違った形をしていますが、も円を表します。
左辺を展開して、について方完と同様の操作を行うと、

 
 
 
 
 
 ・・・②
を点A,点Bの位置ベクトルだとして、は、2ABの中点の位置ベクトルです。2AB間の距離です。
従って、②式は、ABの中点を中心として、AB間の距離のを半径とする円ということになります。これは、線分ABを直径とする円です。
は、,つまり、円周上の点Pについて、であることを言っている式です。

HCPの位置ベクトルを、として、 ・・・③ は、Cを中心とする半径rの円周上の点Hにおける接線を表します。
Hが円周上の点であることから、より、
よって、



これは、,つまり、接線上の点Pと接点Hを結ぶ直線と半径HCが垂直であることを意味しています。
として③を成分表示してみます。

 
 
よって、Cを中心とする半径rの円:Hにおける接線の方程式は、



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  1. 2006/07/09(日) 08:50:09|
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共線条件

共線条件

三角形OABがあるとき(1次独立であるとき)で指定される点Pが直線OA上に存在する条件は、

この条件をこのウェブサイトでは、共線条件と言うことにします。
Pと点Aが一致するときには、のとき、となりますが、が満たされています。
Pと点Bが一致するときには、のとき、となりますが、が満たされています。
Pが線分ABmnに内分する点であるとき、 (クトルの内分・外を参照)として、より、となりますが、が満たされています。
Pが線分ABmnに外分する点であるとき、 (クトルの内分・外を参照)として、より、となりますが、が満たされています。

例.三角形ABCの辺AB23に内分する点をF,辺AC12に内分する点をE,線分BEと線分CFの交点をPとし、直線APと辺BCとの交点をDとする。を用いて表し、BDDCを求める。
[解答1]  ・・・①, ・・・② です。
BPEは一直線上の点なので、共線条件より、 ・・・③ (共線条件より、の係数を足すと1になります。を使って表されるベクトルなので、の係数の方を簡単な形にするようにsとして、の係数をとしています)
CPFは一直線上の点なので、共線条件より、 ・・・④
③に②を代入して、 ・・・⑤
④に①を代入して、 ・・・⑥
⑤,⑥の係数を比較して、
連立して解くと、
⑤より、 ・・・⑦
 ・・・⑧
DBCが一直線上にある条件は、の係数の和が1となることで、

⑧より、
これは、Dが線分BC34に内分する点であることを示す。よって、BDDC 34 ......[]

[解答2] ネラウスの定より、

FPPC 310

ェバの定より、

BDDC 34 ......[]
注.あまりに典型問題なので意外と出題されませんが、大学入試では、解答2で答案を書きましょう。


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  1. 2006/07/08(土) 19:42:00|
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平面ベクトルの応用

平面ベクトルの応用

この項目については、ベクトルの1次独立線のベクトル方程を参照してください。
三角形OABがあるとき(1次独立であるとき)stを実数として、で定まる点Pについて、
(i) であれば、点Pは直線AB上の点。
(ii) かつ かつ であれば、点Pは線分AB上の点(両端を含む)
(iii) かつ かつ であれば、点Pは三角形OABの周上または内部の点。

(i) を用いて、sを消去すると、となりますが、これは、点Aを通りに平行な直線、つまり、直線ABのベクトル方程式に他なりません。よって、点Pは直線AB上の点になります。

(ii) かつ かつ であるとき、より、よって、
を用いて、sを消去すると、より、点Pは、線分ABtに内分する点で、より、点Pは線分AB上の点。のとき、点Pは点Aに一致し、のとき、点Pは点Bに一致するので、線分ABの両端が含まれることになります。

(iii) とおきます。 かつ かつ より、です。
すなわちのときは、で、点Pは原点Oに一致します。
のとき、の両辺をkで割って、とおくと、 ・・・①
また、より、
とおくと、①より、点Qは線分AB上の点(両端を含む)で、より、Pは線分OQ上のO以外の点。
以上より、点Pは、三角形OABの周上または内部の点です。

以上の(i)(ii)(iii)について、右図のように、1目盛りとする、ひしゃげた座標系(斜交座標系)をとって、直交座標系と同じように考えると、(i)2を結ぶ直線であり、(ii)は、直線の部分であり、(iii)は、原点O3頂点とする三角形の周上、または内部であることとの比較を考えれば、直感的に納得がいくと思います。



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  1. 2006/07/07(金) 12:29:33|
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