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積分法の基礎

積分法の基礎

 積分法は微分法の逆操作ということができます。ここでは、整関数:,主として、の場合について、積分法を扱います。
 定積分の計算により、曲線・直線で囲む面積を計算することができます。

ここで学習する内容は、以下の通りです。各項目をクリックしてください。

定積 となるとき、から導関数を求める操作を「微分する」と言いますが、から原始関数を求める操作を「積分する」と言います。 (C::積分定数)と書いて不定積分と言います。
 の原始関数のうちの一つをだとして、を定積分と言います。不定積分は関数ですが、定積分は値です。
積分と面 定積分は、曲線の部分と、x軸の間に挟まれた部分の面積に対応します。
積分と微  (積分して微分すると元に戻る)
積分の公 定積分の面倒な計算を省力化する公式を学びます。
対値を含む定積 絶対値を含む定積分の計算法を学びます。



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(C)2005, 2006 (有)りるらるNewton e-Learning
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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2006/06/30(金) 19:28:32|
  2. 数学Ⅱ
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微分法の基礎

微分法の基礎

 ここでは、整関数:,主として、の場合について、微分法を扱います。
微分法により、増減や接線を調べることができます。

ここで学習する内容は、以下の通りです。各項目をクリックしてください。

均変化 関数に対して、を平均変化率といいます。
分・導関 微分係数,導関数:の定義を学び、基本的な関数の導関数を求めます。
線と微分係 曲線:における接線は、です。
3次関数の増 微分法により関数の増減を調べることができます。増減表の書き方、が正なら増加、負なら減少であることを学びます。
3次関数の最大最 微分法を利用して増減を調べれば、3次関数の最大値、最小値を求めることができます。
分法の方程式への応 微分法を利用して3次方程式の解について調べる方法を学びます。
分法の不等式への応 微分法を利用して不等式を証明することができます。


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(C)2005, 2006 (有)りるらるNewton e-Learning

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  1. 2006/06/30(金) 19:27:31|
  2. 数学Ⅱ
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絶対値を含む定積分

絶対値を含む定積分

この項目については、を参照してください。
の範囲において、の解を、とするとき、として、

として積分区間を分割し、各積分区間において、なら、なら、として、絶対値記号を外して、各積分区間ごとに積分計算を行う。


1は、においてとなるので、積分区間をと、に分けます。
においては、においては、です。

 
 
  ......[]

絶対値を含む定積分は、面積の計算において登場します。

22曲線:に囲まれた図形の面積を求める。
[解答] を連立すると、


2曲線に囲まれた図形は、の部分に存在し、この範囲では、より、となっています。よって、求める面積は、

 
  ......[]

3.曲線:x軸,y軸,直線:で囲まれる図形の面積を求める。
[解答] とすると、
においては、
においては、
においては、
よって、求める面積Sは、




 

 
......[]


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(C)2005, 2006 (有)りるらるNewton e-Learning

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  1. 2006/06/30(金) 12:13:21|
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定積分の公式

定積分の公式

この項目については、積分と面も参照してください。
(i) nが奇数の自然数のとき、
(ii) nが偶数の自然数または0のとき、
(iii)
(iv)
(v)
(vi)

[証明](i)
 
 
  ( は偶数で)
 
右図で水色の部分の積分は負、黄緑色の部分の積分は正で、足し合わせると打ち消し合ってゼロになります。

(ii)
 
 
  ( は奇数で)
 
右図で水色の部分の積分と、黄緑色の部分の積分は等しく、足し合わせると、水色の部分の積分の2倍になります。

(iii)
 
 
 


 
 
 
 
 


 
 
 
 
 

(iv)
 
 
 
この定積分は、右図の水色の部分、x軸とで囲む部分の面積に対応しています。積分区間のにおいては、曲線がx軸から下側にくるので定積分の値は負になります。

(v)
 
 
 
この定積分は、右図の水色の部分、x軸で囲む部分の面積に対応しています。積分区間のにおいては、曲線がx軸から下側にくるので定積分の値は負になります。

(vi)
 
 
 
 
この定積分は、右図の黄緑色の部分、x軸で囲む部分の面積に対応しています。積分区間のにおいては、曲線がx軸から上側にくるので定積分の値は正になります。
(証明終)

1
上記の定積分の公式(i)(ii)より、被積分関数:の奇数次の項の計算は不要(どうせゼロになる)で、偶数次の項については、からまでの積分範囲を、0からまでに変えた上で(上端、下端のいずれかを0にするだけでも、あとで0を代入するときに計算の手間がかなり軽減される)2倍すればよいのです。こうして、

 
 
 

2
この定積分の計算を、

 
とやると大変なことになってしまいます。
より、上記の定積分の公式(iv)を利用します。

 
 

3 とする。曲線:x軸上の点から引いた2本の接線のうち、接点のx座標が正のものと、この曲線と直線:とで囲まれる部分の面積を求める。
[解答] 曲線: ・・・①
①を微分して、
接点のx座標をtとして、接点は接線の傾きは
接線は、
整理して、 ・・・②
②は、を通るから、を代入して、


より、 ()
②に代入して、接線の方程式は、
求める面積は、①から②を引いて、からまで積分したものになります。これを、




とやってしまうと損をします。
被積分関数は、と因数分解できます。
というか、①と②とは、で接するので、連立すれば、を重解に持ちます。①のの係数は1なので、2次関数①が表す曲線と接線とで囲む部分の面積を計算しようとすれば、の形を積分することになるというのは、接点の座標が求まった時点でわかっていることです。よって、求める面積は、上記の定積分の公式(iii)を用いて、以下のように計算します。


......[]
2次関数が表す曲線(放物線)と接線とで囲む面積の場合(センター試験でよく見かけます)、接点のx座標のところまで積分するので、定積分の上端か下端が接点の座標となり、上記の計算法は非常に有効です。


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  1. 2006/06/30(金) 12:12:05|
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定積分と微分

定積分と微分

 

[証明] だとします。
 (を参照)
両辺をx分すと、
 (証明終)

例.を満たす2次関数と実数の定数pを求める。
[解答] 定積分の上端がxになっているので、定積分は定数ではなくxの関数です。
定積分には上端と下端が等しいときに0になるという性質があるので、を与式に代入して、定積分が0になるようにしてみると、
 ・・・①
また、上記の定理により、与式両辺をxで微分してみると、
 ・・・②
2次関数とおくと、
②に代入して、
整理すると、
これが任意の実数xで成り立つために(等式の条を参照)


よって、
①より、

  
中カッコ内は正で、
以上より、 ......[]


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  1. 2006/06/28(水) 11:43:09|
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定積分と面積

定積分と面積

において正数値をとる関数があるとき、は、曲線と、直線,直線,及び、x軸で囲まれた部分の面積を表す(右図1)

証明は、分求積による。

1.放物線と直線x軸で囲まれる部分の面積は、 ......[]


においてであるとき、定積分は、曲線,曲線,直線,直線で囲まれた部分の面積を表す(右図2)

[証明] 曲線と、直線,直線,及び、x軸で囲まれた部分の面積:
曲線と、直線,直線,及び、x軸で囲まれた部分の面積:
よって、曲線,曲線,直線,直線で囲まれた部分の面積は、
(証明終)

2.放物線と直線y軸、直線で囲まれる部分の面積は、において、より、

 
 

3.放物線と直線と直線,直線で囲まれる部分の面積は、より、においては、においては、より、積分区間を、に分けて、







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  1. 2006/06/27(火) 13:35:13|
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定積分

定積分

微分可能な関数があって、,つまり、の原始関数がであるとき、
を、からまでの定積分と言う。a下端b上端と言う。
定積分の計算の途中過程で一旦の原始関数がであることを示すために、のように書く。
定積分には以下の性質がある。
(i)
(ii)
(iii)
(iv)

だとして、(i)(iv)の証明をつけておきます。
(i)
(ii) より、
(iii)
   
(iv) より、
 
  
  
  

定積は関数ですが、上端と下端が定数なら定積分は定数になります。

1
 
 
 

2を満たす関数を求める。
[解答] まず、定積分を定数とおきます。
 ・・・① とおいて、 ・・・②
これを①に代入すると、

 

②に代入して、 ......[]


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  1. 2006/06/27(火) 13:33:58|
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不定積分

不定積分

微分可能な関数があって、となるとき、つまり、となるとき、原始関数と言う。
このとき、と書くことにする。記号はインテグラル(integral)と読む。
の原始関数は一つに定まらない。の原始関数であるなら、Cを定数として、の原始関数である。
なぜなら、,つまり、の導関数もとなるからである。
その意味で、の原始関数のうちの一つだとして、と書き、C積分定数と言い、不定積分と言う。
から不定積分を求めることを、積分すると言う。
から導関数を求めることを分すと言うが、これの逆演算、から原始関数 (C:積分定数)を求めることを積分すると言うので、微分と積分は逆の関係にある。

1.正確には、を不定積分と言います。大学入試の範囲では気にする必要はありません。大学入試の範囲では、原始関数と不定積分は同じ意味だと考えて大丈夫です。
2.不定積分の結果には必ず、積分定数Cをつけてください。つけなければ不十分解になります。
3は、の積だと考えてください(詳しくは、分求積を参照)

cを実数の定数だとして、


(C:積分定数)

(C:積分定数)

(C:積分定数)
一般に、n0以上の整数だとして、
(C:積分定数)


また、abを定数だとして、
よって、 (C:積分定数)

従って、不定積分の計算を以下のようにして行うことができます。
1abcを定数だとして、 (d:積分定数)
ちなみに、です。

注.一般に、abcdを定数として、は成り立ちません。この場合には、次のように展開してから積分することになります。
(C:積分定数)

2を通過する曲線:における接線の傾きがのとき、関数を求める。
[解答] 与えられた条件より、

  (C:積分定数)
を通過するので、


......[]


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  1. 2006/06/26(月) 08:23:07|
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微分法の不等式への応用

微分法の不等式への応用

(1) 不等式:を証明するためには、とおいて、を証明すればよい(等式の証を参照)
(2) “区間においてを証明するには、区間におけるの最小値が0以上であることを示せばよい。


1において、不等式:が成立することを示す。
[解答] とおく。

とすると、



の増減表は、
x03
00
60

増減表より、において
において、

2のとき、不等式:を示す。
[解答] yzを定数とみて、とおき、tの関数 ()を考えます。

とすると、の範囲においては、

 
 
また、
の増減表は、
t0
0

増減表より、において、
 ⇔ 
より、となるのは、かつのときで、このとき、
(等号は、のとき)
以上より、においてとして、 (等号は、のとき)
(等号は、のとき)


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  1. 2006/06/24(土) 13:11:30|
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微分法の方程式への応用

微分法の方程式への応用

3次関数があるときに、3次方程式:3個の相異なる実数解をもつ条件は、2次方程式が相異なる2個の実数解ab をもち、かつ、 (極大値と極小値の積が負)

[証明] の係数が正の場合を考えます。負の場合も全く同様です。なお、3次関数の増を参照してください。
2次方程式が相異なる2個の実数解ab をもつとき、だとして、であれば、極大値の方が極小値よりも大きいので、が極大値でが極小値であり、です。
において、であっては単調増加で、のとき,また、より、1個実数解をもちます。
において、であっては単調減少で、より、1個実数解をもちます。
において、であっては単調増加で、のときより、1個実数解をもちます。
以上より、が相異なる2個の実数解ab をもち、かつ、であれば、3次方程式3個の相異なる実数解をもちます。

また、が重解をもつ場合(すべてのxについて)、あるいは、が実数解をもたない場合(すべてのxについて)は、は単調増加な関数で、のグラフはx軸とただ1つしか交点をもちません。よって、3次方程式がただ1つの実数解しかもちません。
が相異なる2個の実数解ab をもつとき、だとして、であるとき、
であれば、3次方程式は、の範囲に1個の実数解をもちますが、におけるの最小値:であり、においては、3次方程式は、のときに、のグラフはx軸と接し、を重解にもちますが、のときには、のグラフはx軸と共有点をもたず実数解をもちません。
であれば、3次方程式は、の範囲に1個の実数解をもちますが、におけるの最大値:であり、においては、3次方程式は、のときを重解にもちますが、のときには実数解をもちません。

以上より、3次方程式:3個の相異なる実数解をもつ条件は、2次方程式が相異なる2個の実数解ab をもち、かつ、 (証明終)

13次方程式:3個の異なる実数解をもち、そのうちの1つはの範囲に存在することを示す。
[解答] 3次関数:を考えます。

とすると、


増減表は、
x1
00
3

これより、においては単調減少で、より、方程式:は、の範囲に解をもちます。
また、においては単調増加で、より、方程式:は、の範囲に解をもちます。
においては単調増加で、より、方程式:は、の範囲に解をもちます。
以上より、3次方程式:3個の異なる実数解をもち、そのうちの1つはの範囲に存在します。

2kを定数として、3次方程式:の解の個数がkの値によりどのように変わるかを調べる。
[解答] 3次方程式:の解は、 を連立したときの解と同じです。



の増減表は、
x0
0
0

増減表より、のグラフは右図のようになります。
①と②を連立したときの解は、①と②のグラフの共有点のx座標です。
kの値を動かすことにより、x軸に平行な直線:を上下に動かして交点の数を調べると、3次方程式の解の個数は、右図のように、
1 (のとき)2 (のとき)3 (のとき)2 ((のとき)1 (のとき) ......[]



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  1. 2006/06/24(土) 13:10:18|
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3次関数の最大・最小(2)

3次関数の最大・最小(2)

3次関数の最大・最の続きです。
3における最大値、最小値を求める。
[解答]  (微分を参照)
とすると、
ここで、素直に極値を求めようとすると、を計算することになり、大変です。
そこで省力化する方法を考えます。
で割ると、商が、余りが (項式の除を参照)
 ①
は、の解なので、です。
ということは、①でとすると、

  (複号同順)
つまり、で割った式に、極値を与えるxを代入すると、比較的ラクに極値を求められるということです。


より、増減表は(3次関数の増を参照)
x2
00
3

増減表より、最大値:,最小値: ......[]


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  1. 2006/06/21(水) 14:26:55|
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3次関数の最大・最小

3次関数の最大・最小

1における最大値と最小値を求める。
[解答]  (微分を参照)
とすると、
:極小値
:極大値
:区間の左端での関数値
:区間の右端での関数値
増減表は(3次関数の増を参照)
x0146
00
13

以上より、最大値:,最小値: ......[]

2における最大値と最小値を求める。
[解答] 
とすると、ですが、aの大小関係は不明です。このときには、となる場合、となる場合、となる場合に、分けて考える必要があります。
となるのは、のときです。
となるのは、のときです。
となるのは、のときです。


(i) のとき、ですが、か不明です。これも場合分けして考える必要があります。

(i-1) のとき、で、増減表は以下のようになります。
x0a1
0
0

増減表から、最小値:になることはわかりますが、0の大小関係がわかりません。
とすると、なので、です。
そこで、さらに場合分けが必要で、
(i-1-1) のとき、なので、最大値:です。
(i-1-2) のとき、なので、最大値:です。
(i-1-3) のとき、なので、最大値:です。

(i-2) のとき、,増減表は以下のようになります。
x01
0
0

最大値:,最小値:です。

(i-3) のとき、増減表は以下のようになります。
x01
0

最大値:,最小値:です。

(ii) のとき、ですが、か不明です。に場合分けして考えます。

(ii-1) のとき、で増減表は以下のようになります。
x01
0
0

(i-1)と同様の場合分けを行いますが、今度は、なので、以下のような場合分けとなります。
(ii-1-1) のとき、なので、最大値:,最小値:
(ii-1-2) のとき、なので、最大値:,最小値:
(ii-1-3) のとき、なので、最大値:,最小値:

(ii-2) のとき、ですが、で、増減表は以下のようになります。
x01
0
0

最大値:,最小値:です。

(ii-3) のとき、,増減表は以下の通り。
x01
0

最大値:,最小値:

(iii) のとき、において単調増加で、最大値:,最小値:

以上をまとめると、
最大値:,最小値: ......[]

3次関数の最大・最小(2)に続く。


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  1. 2006/06/21(水) 14:25:48|
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3次関数の増減(2)

3次関数の増減(2)

3次関数の増の続きです。
3次関数: (abcdは実数の定数で、)を考えます。
ですが、2次方程式: ・・・① となります(2次方程式の一般を参照)
①の判別式をとして、以下のように場合分けすることができます。
(i) のとき、2次方程式:2個の実数解をもちます。これを、ab ()とすれば、右図のようには、
のとき、極大値:,極小値:をとります。
のとき、極大値:,極小値:をとります。
(ii) のとき、2次方程式:は実数の重解を持ちます。これをaとすれば、となり、右図のように、
のとき、で、は単調増加(を与えるxただ1つだけの場合にも、の場合と同様に単調増加と言います)であり、は極値をもちません。
のとき、で、は単調減少であり、は極値をもちません。
(iii) のとき、2次方程式:は実数解をもちません。右図のように、
のとき、で、は単調増加であり、は極値をもちません。
のとき、で、は単調減少であり、は極値をもちません。



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  1. 2006/06/11(日) 10:21:53|
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3次関数の増減

3次関数の増減

のとき、3次関数: (cは実数の定数)を考える。
 (分・導関を参照)
とすると、
増減表は、
xab
00
極大値:,極小値:
においては、は単調増加 (ということは接線の傾きが正で、グラフが右上がりになることを意味する)
においては、は単調減少 (ということは接線の傾きが負で、グラフが右下がりになることを意味する)
(このことの証明は、調増加関数・単調減少関を参照)
において、となるが、xからに変化するとき、の符号が+から-に変化し、は増加から減少に切り替わる。の周辺ではのグラフはにおいて最大になっている(全実数xでは最大ではない)。このようなとき、において極大であると言い、極大値と言う。
において、となるが、xからに変化するとき、の符号が-から+に変化し、は減少から増加に切り替わる。の周辺ではのグラフはにおいて最小になっている(全実数xでは最小ではない)。このようなとき、において極小であると言い、極小値と言う。
極大値と極小値をまとめて、極値と言う。

注.は、において、が極大、極小になることの必要条件でも十分条件でもありません(件・命を参照)
において極大 ⇔ 十分小さなhをとるとき、となるすべてのxに対して、
において極小 ⇔ 十分小さなhをとるとき、となるすべてのxに対して、
また、のような関数では、で、ですが、において、は極大でも極小でもありません。このような場合、のような点を停留点と言います。
通常の関数では、 (接線の傾きが0で、接線がx軸に平行になることを意味する)となるときにが極値をとることが多いので、となるところを探します。

例.3次関数:の増減を考えます。
の導関数は、
の解は、
ここで、の符号を調べるとの増減がわかるので、増減表と呼ばれる表を作ります。
最上行はxの欄、2行目は導関数の欄、最下行はの欄です。
xの欄に、少し間隔をあけて、の解を左から小さい順に、ここでは、2を書き込みます。
なので、に対応するの欄に0を書き込みます。の欄には、を書き込みます。
のとき、なので、に対応するの欄に+を書き込みます。の欄には、が単調増加で右上がりのグラフになることを示す記号を書き込みます。
のとき、なので、に対応するの欄に-を書き込みます。の欄には、が単調減少で右下がりのグラフになることを示す記号を書き込みます。
のとき、なので、に対応するの欄に+を書き込みます。の欄には、を書き込みます。
こうして、以下のような増減表ができます。
x2
00
12
この表だけで、のグラフの概形(右図)が想像できてしまいます。
また、極大値が,極小値がであることもわかります。

さて、上記の例においては、3次関数が、極大値と極小値を持ちましたが、3次関数は必ずしも極値をもつとは限りません。
3次関数の増減(2)を参照してください。


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  1. 2006/06/11(日) 10:20:44|
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接線と微分係数

接線と微分係数

微分係数・導関数の詳細については、分・導関を参照。
関数のグラフ上の2を結ぶ直線の傾き均変化と言います。
ここで、bを限りなくaに近づけると、2点を結ぶ直線は、における接線に限りなく近づき、直線の傾きは、限りなくにおける接線の傾きに近づいていきます。
bを限りなくaに近づけるとき、平均変化率が限りなく近づく値を微分係数と言い、と書きます。
微分係数は、における接線の傾きを表します。

従って、関数のグラフのにおける接線は、点を通り、傾きの直線だとして(線の方程を参照)
におけるの接線:

と表すことができます。

1における接線は、
のとき、より、
接線:

2における接線は、
のとき、より、
接線:

3.曲線:に、点から引いた接線を求める。
[解答] 
接点のx座標をtとして、のとき、より、
整理して、 ・・・①
接線は点を通るから、①において、とすると、


①において、として、
①において、として、
求める接線は、 ......[]


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  1. 2006/06/10(土) 11:34:47|
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微分・導関数

微分・導関数

関数に対して、xからまで変化するときのの平均変化率:hを限りなく0に近づけたときの極限:が極限値をもつとき、その極限値をと書いて、関数における微分係数という。

右側微分係数:と左側微分係数:が食い違う関数も存在する。右側微分係数と左側微分係数が一致してある有限確定値になるときに、これを微分係数という。
[注意] このとき、微分係数のグラフのにおける接線の傾きを表します。右図で、点Pと点Aを結ぶ直線の傾きmは、です。として、点Pをどんどん点Aに近づけていくと、mは点Aにおける接線の傾きに近づいていきます。

関数に対して、xにおける微分係数の値を関数値とする関数を考える。これを導関数といいと書く。微分係数のaxに書き換えて、が極限値をもつとき、その極限値を導関数とする。の接線の傾きを値とする関数が導関数である。
関数から導関数を求めることを「微分する」という。

・微分係数が存在するとき、において微分可能である、という。
 このとき、
である。

・区間:内のすべてのxについてが存在するとき、において微分可能である、という。
 このとき、
である。

 微分可能かどうかを考える区間は通常は両端を除いた区間(開区間という)で考える。両端を入れた区間(閉区間という)では、端点で左側微分係数か右側微分係数のどちらかを考えることができなくなる。

関数があるとき、とするときの関数の値の変化を考える。xの増分、yの増分という。が微分可能なとき、
と書くことができる。これを意識して、導関数とも書く。
である。また、の導関数を単にと書く。


1 (定数)の場合、より、です。
2の場合、より、です。
3の場合、より、です。
4の場合、より、です。

一般に、 (n0以上の整数)の場合、
となります。


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  1. 2006/06/10(土) 11:33:36|
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平均変化率

平均変化率

関数:とする。に対して、を、xからまで変化するときの関数平均変化率と言う。
平均変化率は、のグラフ上の異なる2を結ぶ直線の傾きを表す。

時刻tにおける位置がとなる物体の運動を考えます。物体がからまでに物体の位置はからまで変化します。
このとき物体が移動する平均の速さを、移動した距離を、時間で割って、として考えます。
この平均の速さが、tの関数の平均変化率です。

上空から物体を静かに投下するとき、t秒間に物体が地表に対して垂直に落下する距離は、ほぼ、で与えられます。
時刻tから時刻までの平均の速さは、

 
 
 
ここで、hを限りなく0に近づけると、は、に近づきます。
は、時刻tにおける瞬間的な速さと考えることができます。


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  1. 2006/06/10(土) 11:32:14|
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指数関数・対数関数

指数関数・対数関数

指数関数: ()と対数関数: ()を扱います。対数の応用として常用対数を学習し、概数値を計算する方法を考えます。
 ⇔  です。

ここで学習する内容は、以下の通りです。各項目をクリックしてください。

 nが自然数のとき、n乗がaになる数をan乗根と言います。nが偶数のとき、nが奇数のとき、
数法則の拡 mnが自然数のときに成り立つ指数法則: が、mnが正負にかかわらず有理数のときにも成り立つ(実は実数でも成り立つ)ことを確認します。
数関 指数関数: ()を調べます。
数関数を含む方程式・不等 指数関数を含む方程式・不等式の解法を学びます。
数関 対数関数: ()を調べます。
数を含む方程式・不等 対数を含む方程式・不等式の解法を学びます。
用対 10を底とする対数を常用対数と言います。常用対数を利用して概数値を求める方法を考えます。



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  1. 2006/06/09(金) 09:53:43|
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常用対数

常用対数

10を底とする対数を常用対数と言います。
常用対数は、国家予算とか、日本の人口とか、太陽と地球との距離、というような、非常に大きな数、あるいは、非常に小さな数を扱うときに利用する道具です。
日本の国土の総面積は、377889.20ですが、ぱっと見ただけでは、どれくらいの面積かピンときません。そこで、377889.20を、と書くようにします。これで、10万平方キロの3.8倍くらいだ、ということが、ぱっと見ただけでわかります。
統計データや、理科の観測データを、 () という形に表すときに、常用対数を利用すると、 ()となります。の整数部分がb (つまりの整数部分の桁数より1小さい数),小数部分がになります。
日本の国土の総面積の場合、ですが、整数部分の51を加えた6が、日本の国土の総面積の桁数です。小数部分の0.57736448は、対数表を見れば、3.7788920であることがわかります。

100万円の資金があったとして、これを30年物の国債で運用したとします。実際には、半年ごとに償還されるので、得られる利益は複雑な計算式になりますが、単純に銀行の複利のように考えて、低金利の時代の低い利率1.3%30年でどれくらいの金額になるかを考えてみると、100万円の、倍になります。
と言われてもピンときません。そこで、常用対数を考えるのです。

 
対数表で、対数の値が0.1683となる真数を求めると、1.473です。つまり、です。
100万円の資金を30年物の国債で運用しても、30年後に、1473千円にしかならない、ということです。これでは、あまりうまみはありませんね。
そこで、利率の高かった90年代の頃の利率5%だと30年でどれくらいの金額になるかを考えると、100万円の、倍になります。常用対数を考えると、

 
対数表で、対数の値が0.6357となる真数を求めると、4.322です。つまり、です。
これなら、100万円が30年で、4322千円になりますから、悪い話ではありません。
利率が、1.3%か、5%かということは、1年で見れば、1.013倍か、1.05倍かということで大した違いはありませんが、30年ということになると、相当に大きな違いになるのです。

対数の概数値を与えて、だいたいの数を推測させるという問題があります。

が与えられていれば、

となるので、概算値を1桁の精度で求めることができます。
例えば、の概算値を求めよ、という問題の場合には、

となるので、小数部分の0.804が対数の値となる真数をxとすると、

となるので、です。
の桁数は、の整数部分の331を加えた34になります。

つまり、は、最高位の数字が6で、34桁の数だということがわかります。


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  1. 2006/06/09(金) 09:51:57|
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対数を含む方程式・不等式

対数を含む方程式・不等式

対数を含む方程式・不等式の解は、真数条件(真数は正)を満たす必要があります(数関を参照)

のとき、
 また、
のとき、
 また、

1.方程式:を解く。
真数条件より、かつかつ,よって、 ・・・①
与式を変形し、




①より、 ......[]

2.不等式:を解く。
まず、真数条件より、かつかつ,よって、 ・・・①
底が1より小さい正数のときには、真数の大小関係と対数の大小関係が入れ替わるので、なるべく、底を1より大きくするようにの変を行ってから不等式を考える方が、ミスしにくくなります。
与不等式で底を3に変換します。

を両辺にかけると、

よって、
展開して整理すると、
 ・・・②
①かつ②より、


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  1. 2006/06/08(木) 05:40:26|
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対数関数

対数関数

正数a1以外の正数b,実数cに対して、という関係があるとき、と書いて、cは、bとするa対数であると言う。
このとき、aを対数の真数と言う。
対数の真数は正数、底は1以外の正数である。
として、対数には、以下の性質がある。
1)
2)
3)
4)
5)

上記の対数の性質を証明しておきましょう。


として、




 (証明終)


底の変換公式:

[証明] として、




のとき、正数xに対して、実数yを、で決めるとき、aを底とする対数関数と言う。


の場合との場合について、のグラフを右に示します。
のグラフは、単調増加で、のグラフは、単調減少です。
より、のグラフとのグラフとは、x軸に関して対称です。
のグラフは、より、aの値にかかわらず、点を通ります。

より、対数関数:は、数関の逆関数です。
従って、のグラフは、のグラフと、直線:に関して対称です。


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  1. 2006/06/08(木) 05:39:24|
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指数関数を含む方程式・不等式

指数関数を含む方程式・不等式

数関を含む方程式を解く場合には、として、であることに注意します。
1を解く。
[解答] とおくと、で、

より、
......[]

数関を含む方程式を解く場合には、の場合には、なら、 (pqの大小関係との大小関係は同じ)の場合には、なら、 (pqの大小関係との大小関係は逆)となることに注意します。
2を解く。
[解答] とおくと、で、


......[]

3のとき、を解く。
[解答] とおくと、で、

 
より、
......[]
注.は全ての実数xで成立します。と勘違いしないように注意すること。


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  1. 2006/06/08(木) 05:38:31|
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指数関数

指数関数

指数関数: ()
aと言う。
指数関数:は、実数全体を定義域、を値域とする関数。

指数関数:のグラフを考えます。
xの関係は下表のようになっています。
x012
124

上表に基づいて、右図にのグラフを示します。
のグラフは、右上がりで、xが大きくなるに従って急速に傾斜が急になるようなグラフになります。

のとき、は単調増加で、グラフは右上がりになります。
のとき、は単調減少で、グラフは右下がりになります。
ともに、グラフはx軸を漸近線とします。

のとき、なら、
のとき、なら、



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  1. 2006/06/08(木) 05:37:26|
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指数法則の拡張

指数法則の拡張

mnを自然数、aを実数として、が成立します(数法参照)
指数法則:において、としてみると、となりますが、を成り立たせるためには、とすればよいことがわかります。
nを負の整数として、とすると、となるので、と考えればよいことがわかります。

lmを自然数として、とします。

ここで、am回かけたもの、al回かけものなので、なら、なら、なら、であり、いずれにしても、mを正の整数、nの負の整数としても、が成り立ちます。
mが負の整数、nが正の整数の場合にも、
mnがともに負の整数で、klを正の整数として、のときも、
また、lmを正の整数、nを負の整数でだとして、
lnを正の整数、mを負の整数でだとして、
mnがともに負の整数で、klを正の整数だとして、のときも、
mnのいずれか一方が0、あるいは、ともに0の場合にも、が成り立ちます。
以上より、指数法則:は、mnが整数の場合について(負の整数であっても、0であってもよい)成り立ちます。

以下、だとします。
指数法則:において、mが有理数であるとして、 (lは整数、nは自然数)としてみます。
を成り立たせるためには、n乗がなので、n乗根であればよいことになります。
このとき、を、n乗根で、nが偶数の場合には正の方だとして、だと約束します(を参照)
指数が有理数になる場合、有理数を分数で表して、(有理数)乗は、(分子)乗の(分母)乗根、ということになります。

が成り立つので、
nを自然数、lmを整数だとして、
従って、は、n乗根で、 ・・・① が成り立ちます。
qsを自然数、prを整数だとして、
①より、
 ・・・②

mを自然数、lnを整数だとして、は、ともにm乗してみると、


 ・・・③ が成り立ちます。
mnを自然数だとして、乗すると、となるので、a乗根です。つまり、
 ・・・④ が成り立ちます。
( )
  ( )
  ・・・⑤
②,⑤より、指数法則:は、mnが有理数の場合にも成立します。

実は、指数法則は、指数が実数、虚数の場合にも成立することがわかっています。
指数が円周率pのような無理数の場合、,・・・,のように、各項が有理数であって、となるような数列を考え、正の数bに対して、として、を考えます。
指数がp以外の実数aの場合も同様にして、正の数bに対して、を考えます。


指数法則: (mnは実数)

以上により、自然数に限られていた指数を実数全体に拡張することにします。



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  1. 2006/06/07(水) 18:47:15|
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累乗根

累乗根

aを実数、nを自然数、として、を満たすxが存在するとき、xan乗根と言います。
のときは、2乗根を特に平方根と言います。のとき、aの平方根は正負2個ありますが、正の方をと表します。です。つまり、aの平方根は、です。
のときは、3乗根を特に立方根と言います。aの立方根のうち実数となるものをと表します。です。
注.負数の平方根は実数の範囲には存在しませんが、負数の立方根は存在します。なので、です。

一般に、nが奇数の自然数のとき、全ての実数に対して、n乗根が1つだけ存在します。このとき、実数an乗根をと表します。このとき、なら、なら、です。
nが偶数の自然数のとき、正数aに対して、n乗根は正のものと負のものの2個存在します。このうちの正のものをと表します。負のn乗根は、となります。

2乗根、3乗根、・・・・・・、をまとめて、累乗根と言います。


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  1. 2006/06/07(水) 18:46:17|
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三角関数

三角関数

正弦sin,余弦cos,正接tanによる関数を扱います。通常、関数の定義域は全実数とするので、角の概念を拡張して、全実数が角の値となるような一般角を考えます。
正弦・余弦・正接に関する加法定理を学び、その応用として、種々の公式を取り扱います。

ここで学習する内容は、以下の通りです。各項目をクリックしてください。

 角を一周の範囲から、複数回周回する範囲にまで拡張します。これで、角の値は全実数となります。
角関 三角比に基づいて、三角関数の定義域を全実数に拡張します(正接関数には制限がつきます)
角関数のグラ 三角関数は周期関数になります。グラフは合同なものが繰り返される形になります。
角関数を含む方程式・不等 三角関数を用いた、方程式・不等式の解法の基本パターンを学びます。
弦・余弦の加法定 を証明し、を導きます。
接の加法定 正接の加法定理を導きます。
2倍角の公 加法定理より2倍角の公式:を導きます。
角の公 2倍角の公式より、半角の公式:を導きます。
角関数の合 ,但し、
角関数の諸公 加法定理などを用いて、3倍角の公式等、諸公式を導きます。
角関数の応 三角関数の公式を利用して問題を解く方法の代表的パターンを学びます。



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  1. 2006/06/03(土) 21:21:18|
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三角関数の応用

三角関数の応用

(1) 2倍角の公の応用
1を解く。
[解答] という項があるので、で統一して表します。
を代入すると、




nを整数として、 ......[]

2 ()の最大値と最小値
[解答] があるので、で統一して表します。
を代入すると、

 
 
より、は、,つまり、のときに、最大値:
,つまり、のときに、最小値:
最大値: (のとき),最小値: (のとき) ......[]

(2) 3倍角の公の応用
3の値を求める。
[解答] とすると、より、
2倍角の公3倍角の公より、
より、

より、
......[]

4 ()の最大値と最小値
[解答] 3倍角の公2倍角の公より、

 
とおくと、のとき、
とおきます。

t1
0

のとき、
のとき、
のとき、
増減表より、最大値: (のとき),最小値: (のとき) ......[]

(3) 積の公の応用
5 ()を解く。
[解答] 積の公より、

 
または
より、
より、
......[]

6 ()を解く。
[解答] 積の公より、
または
より、
より、
......[]
注.より直ちにとしてしまうと、以外の解が得られなくなってしまいます。

(4) 和の公の応用
7 (n:自然数)
[解答] 
 
 
......[]

 
 
......[]

8 (mnは自然数)
[解答] 積和の公式より、
よって、
ここで、のときには、
のときには、
 
以上より、

(5) 合成の応用
9 ()の最大値と最小値
[解答] 2倍角の公式を用いて、

 
 
 
とおくと、より、 (角関数の合を参照)
において、

より、は、,つまり、のときに、最小値:をとります。
,つまり、のときに、最大値:をとります。
よって、最大値: (のとき),最小値: (のとき) ......[]

(6) 図形的解法
10の最大値と最小値
[解答] とおくと、は単位円上の点です。
とおくと、は、定点を通る直線になっています。
単位円と直線が共有点をもつのは、円の中心と直線との距離:が、円の半径1以下であることです。

分母を払って2乗すると、


よって、の最大値:,最小値: ......[]


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  1. 2006/06/03(土) 20:37:06|
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三角関数の諸公式

三角関数の諸公式

(1) 三倍角の公式
(2) 和積の公式(和を積に直す公式)
(3) 積和の公式(積を和に直す公式)


いずれも、暗記できればそれに越したことはありませんが、加法定理や2倍角の公式から、試験場で導けるようにしておくことが大切です。
[証明](1)
 
 
 

 
 
 

(2)  ・・・①
 ・・・②

①+②より、 ・・・③
ここで、とおくと、
これらを③に代入すると、

①-②より、 ・・・④
ここで、とおくと、
これらを④に代入すると、

 ・・・⑤
 ・・・⑥

⑤+⑥より、 ・・・⑦
ここで、とおくと、
これらを⑦に代入すると、

⑤-⑥より、 ・・・⑧
ここで、とおくと、
これらを⑧に代入すると、

(3) (2)の③式において、とすることにより、
(2)の④式において、とすることにより、
(2)の⑦式において、とすることにより、
(2)の⑧式において、とすることにより、


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  1. 2006/06/03(土) 07:45:03|
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三角関数の合成

三角関数の合成

,ただし、aは、を満たす角。

[証明] 法定より、rを正の定数として、
これを、 ・・・① と比較して、

より、

これを①に代入することにより、
[証明終]

正弦・余弦は、単振動という運動(ばねに吊り下げられた物体が行う運動)を表します。というのは、2種類の単振動を重ね合わせるということを表しており、の形に変形することを、「合成する」と言います。

例.(1) の合成
とおくと、の係数はともに1なので、
より、

(2) の合成
とおくと、の係数は、の係数は、

より、



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  1. 2006/06/03(土) 07:44:04|
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