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半角の公式

半角の公式

 

[証明] 2倍角の公より、

として、
また、

として、

[証明終]


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(C)2005, 2006 (有)りるらるNewton e-Learning
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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2006/05/27(土) 00:04:36|
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2倍角の公式

2倍角の公式


 
 


[証明] 法定において、とすると、

また、において、とすると、
 (証明終)




[証明] 
であれば、分母、分子をで割って、
 (証明終)

1とおくと、
[証明] 上記公式において、とおいて、

 

 

2q を実数として、の最大値、最小値を求めます。
()


において、は、のとき、最大値:,最小値:


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(C)2005, 2006 (有)りるらるNewton e-Learning

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  1. 2006/05/25(木) 14:18:31|
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正接の加法定理

正接の加法定理




[証明] 弦・余弦の加法定より、 ・・・①
 ・・・②
①,②の分母・分子をで割れば、正接の加法定理の公式が得られます。 [証明終]

正接の加法定理により、特殊な角の正接の値を計算することができます。

 
 

平行でない2直線、
 ()
のなす角(鋭角の方)jの正接を求めてみます。
それぞれの直線とx軸とのなす角を (仮にとします)として、直線の傾きは、その直線とx軸正方向とのなす角の正接なので、





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(C)2005, 2006 (有)りるらるNewton e-Learning

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  1. 2006/05/25(木) 14:16:50|
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正弦・余弦の加法定理

正弦・余弦の加法定理

 (複号同順)
 (複号同順)

[証明] 原点Oを中心とする半径1の円周上に右図のように、2ABをとります(ここでは、とします)
2AB間の距離の2乗は、

 
 
  ・・・①

一方、のとき、三角形AOBにおいて、弦定より、 ・・・②
のときは、より、
のときは、より、
よって、②は、より、 ・・・③
のとき()は、ABは円の直径で明らかにより、③を満たします。

よって、①,③より、
・・・④
④は、のときも、より成立します。
従って、円周上にどのように2ABをとっても()、④は成立します。

のとき、が成立しますが、
ab であって、nmを整数として、のとき、

 



より、

 
よって、一般角ab についても、
 ・・・⑤

⑤において、b を代入すると、

  ・・・⑥

⑥において、aを代入すると(角関参照)

 
 
 ・・・⑦

⑦において、b を代入すると、

 
(証明終)

加法定理により、特殊な角の正弦・余弦の値が求められます。

 

 


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(C)2005, 2006 (有)りるらるNewton e-Learning

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  1. 2006/05/24(水) 12:10:09|
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三角関数を含む方程式・不等式

三角関数を含む方程式・不等式

 この項目の内容については、角関も参照してください。この項目では、三角関数を含む関数の増減を調べるときなどに出てくる三角関数を含む方程式・不等式の基本形を調べます。

(i) ()
右図のように単位円を描いて、x軸に平行な直線との交点を求め、原点とこの交点を直線で結んで、この直線までx軸から反時計回りに回った角を求めます。
の場合、交点は2つできるので、解は、またはの範囲に1(とします)の範囲に1(とします)、合わせて2個あります。
xが全実数の場合の解は、の範囲の解を用いて、 (nは整数)となります。

1(1)
の場合、
xが全実数の場合の解は、 (nは整数)
(2)
の場合、
xが全実数の場合の解は、 (nは整数)

(ii) ()
右図のように単位円を描いて、x軸に垂直な直線との交点を求め、原点とこの交点を直線で結んで、この直線までx軸から反時計回りに回った角を求めます。
の場合、交点は2つできるので、解は、の範囲に1(とします)の範囲に1(とします)、合わせて2個あります。
xが全実数の場合の解は、の範囲の解を用いて、 (nは整数)となります。

2(1)
の場合、
xが全実数の場合の解は、 (nは整数)
(2)
の場合、
xが全実数の場合の解は、 (nは整数)

(iii)
右図のように単位円を描いて右端で円に接する接線を引き、接線上でy座標がaの点と円の中心を直線で結び、x軸から反時計回りに回った角を求めます。
の場合、交点は2つあるので、解は、またはの範囲に1(とします)またはの範囲に1(になります)、合わせて2個あります。
xが全実数の場合の解は、またはの範囲の解を用いて、 (nは整数)となります。

3
の場合、
xが全実数の場合の解は、 (nは整数)

4(1)
の場合、を満たすxは、を満たすのは、右図の赤い部分の範囲と円の中心を結んでできる角で、
xが全実数の場合の解は、 (nは整数)
(2)
の場合、を満たすxは、を満たすのは、右図の赤い部分の範囲と円の中心を結んでできる角で、
xが全実数の場合の解は、 (nは整数)
注.という解答でも同じです。

5(1)
の場合、を満たすxは、を満たすのは、右図の赤い部分の範囲と円の中心を結んでできる角で、
xが全実数の場合の解は、 (nは整数)
注.という解答でも同じです。
(2)
の場合、を満たすxは、を満たすのは、右図の赤い部分の範囲と円の中心を結んでできる角で、
xが全実数の場合の解は、 (nは整数)

6(1)
の場合、を満たすxは、を満たすのは、右図の赤い部分の範囲と円の中心を結んでできる角で、
xが全実数の場合の解は、 (nは整数)
(2)
の場合、を満たすxは、を満たすのは、右図の赤い部分の範囲と円の中心を結んでできる角で、
xが全実数の場合の解は、 (nは整数)
注.上記のは、でも同じです。


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(C)2005, 2006 (有)りるらるNewton e-Learning

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  1. 2006/05/07(日) 21:23:29|
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三角関数のグラフ

三角関数のグラフ

 この項目の内容については、角関も参照してください。
実数xに対して、関数の値は、xを一般角として、単位円(原点を中心とする半径1の円)の円周上をx軸から反時計回りにxだけ回った点のy座標です。
従って、のグラフを書くためには、下図のように、単位円の1つの直径の延長上にx軸を引いておき、円周上でxだけ回った点を通りx軸に平行な直線を伸ばして、この直線上でx座標がxのところに点をとり、こうして得られる点を結んでいきます。
のグラフは波動の状況をあらすグラフになっています。

には、nを整数として、という性質があるので、のグラフは、x座標が進むごとに同じ形になります。
このように、xがある決まった値pだけ変化するたびにy座標が等しくなるような関数を周期関数と言い、p周期と言います。
が周期pの周期関数であるとき、が成り立ちます。
だとすると、よりは周期の周期関数なので、となります。

のグラフは、右図のように、のグラフ上の各点において、y座標の値をにした点をつなぐことにより得られます。
のグラフとのグラフを比較すると、波動の振れがになっています。
として、のグラフは、の波動の振れをk倍にしたグラフになります。このkの値を振幅と言います。
関数の振幅は1,関数の振幅はです。

のグラフは、右図のように、のグラフをx軸正方向にだけ平行移動したものになります(平行移動については、2次関数でも考えました。2次関を参照)
のグラフは、のグラフをx軸正方向にq だけ平行移動させたグラフです。
のグラフは、のグラフをx軸負方向にq だけ平行移動させたグラフです。

のグラフは、のグラフと比較すると、右図のように左右に2倍に押し縮められたようなグラフになります。周期はpになります。
として、のグラフの周期は、となります。
なぜなら、より、,つまり、として、が成り立つからです。

<Gcosine.GIF 312 170>>の間には、という関係があるので、のグラフは、のグラフと同じグラフであり、のグラフをx軸負方向にだけ平行移動させたものになります。
と同様に周期の周期関数です。

は、 ()である直角三角形OABにおいて、(xは弧度法で測った角)として、なので、OAの長さを1としておけば、ABの長さがの値になります()
従って、のグラフを書くためには以下のようにします。
下図のように、単位円の1つの直径の延長上にx軸を引いておき、この直径のx軸側の端点をAとして、点Aにおける円の接線を引きます。単位円の円周上をこの直径からxだけ回った点と円の中心を直線で結びます。この直線と先の接線との交点を通ってx軸に平行な直線を引きます。この平行線上でx座標がxとなるところに点をとり、こうして得られる点を結んでいけば、 (nは整数)に対して、のグラフを書くことができます。

のグラフは、x座標がp進むごとに同じ形が繰り返されていきます。
については、という性質があるので、は周期pの周期関数です。
また、の値は、nを整数として、のときには定義できません。のグラフは、xに近づくと、x軸から急速に離れていき、x軸に垂直な直線に近づいていきます。従って、のグラフの漸近線になっています。

という性質により、点と点は原点に関して対称です。従って、のグラフは、下図のように、原点に関して対称になります。よって、は奇関数です。
という性質により、点と点y軸に関して対称です。従って、のグラフは、下図のようにy軸に関して対称になります。よって、は偶関数です。
という性質により、点と点は原点に関して対称です。従って、のグラフは、下図のように、原点に関して対称になります。よって、は奇関数です。




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  1. 2006/05/06(土) 19:00:29|
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