FC2ブログ

CHALLENGE from the VOID

大学入試問題を考える - 数学・物理 -

CFV21 ご入会のおすすめ
理工系受験生の方は
こちらをご覧ください
当会の活動にご支援頂ける方は
こちらをご覧ください

センター試験「数学」の必勝法はこちら
センター試験「物理」の必勝法はこちら

理工系受験生必見!! 2010-2007入試問題検討ページ(東大・東工大・京大・早慶) 
CFV21での学習の進め方

スポンサーサイト

上記の広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。
新しい記事を書く事で広告が消せます。
  1. --/--/--(--) --:--:--|
  2. スポンサー広告

京大理系数学'06年前期[6]

京大理系数学'06年前期[6]

 として、関数F
   
で定める。q?の範囲を動くとき、Fの最大値を求めよ。

[解答] 

 (分積分を参照)

 
とすると、または
より、
のとき、


q0
00
0

増減表より、最大値: ......[]

の計算は、OKです。


TOPに戻る   CFV21 メイン・ページ   考察のぺージ   作者のページ

(C)2005, 2006 (有)りるらるNewton e-Learning
スポンサーサイト

テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2006/03/26(日) 09:30:27|
  2. 京大数学'06年
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:0

京大理系数学'06年前期[5]

京大理系数学'06年前期[5]

 に対し、辺AB上に点Pを、辺BC上に点Qを、辺CA上に点Rを、頂点とは異なるようにとる。この3点がそれぞれの辺上を動くとき、この3点を頂点とする三角形の重心はどのような範囲を動くか図示せよ。

[解答] Pは辺AB上の頂点とは異なる点だから、として、 ・・・① とおくことができます。
Qは辺BC 上の頂点とは異なる点だから、として、 ・・・② とおくことができます。
Rは辺CA上の頂点とは異なる点だから、として、 ・・・③ とおくことができます。
三角形PQRの重心をGとして、

 
 
とおくと、
 ・・・④

より、
より、
また、より、

右図で、辺AB3等分する点をA側から、DHとします。
BC3等分する点をB側から、EIとします。
CA3等分する点をC側から、FJとします。

④式で定める点Gについて、
を満たすのは、直線AC上の点。
を満たすのは、直線HE上の点。
よって、を満たすのは、直線ACと直線HEに挟まれた部分(両直線上を除く)
を満たすのは、直線AB上の点。
を満たすのは、直線FI上の点。
よって、を満たすのは、直線ABと直線FIに挟まれた部分(両直線上を除く)
を満たすのは、直線BC上の点。
を満たすのは、直線DI上の点。
よって、を満たすのは、直線BCと直線DIに挟まれた部分(両直線上を除く)

以上より、求める範囲は、右図斜線部の六角形DHEIFJの内部(境界線は含まない) ......[]


TOPに戻る   CFV21 メイン・ページ   考察のぺージ   作者のページ

(C)2005, 2006 (有)りるらるNewton e-Learning

テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2006/03/25(土) 15:27:46|
  2. 京大数学'06年
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:0

京大理系数学'06年前期[4]

京大理系数学'06年前期[4]

 2以上の自然数nに対し、nがともに素数になるのはの場合に限ることを示せ。

[解答] n素数となるものを書き並べてみます。
のとき、のとき、のとき、のとき、のとき、
こう書いてみると、がいずれも3の倍数であることに気付きます。3の倍数になることを言えば、題意が言えることになります。

のとき、3の倍数であって、素数ではありません。
のとき、は素数です。
となる素数nについて、n3倍数ではないので、kを整数として、とおくと、に限られます。
のとき、3の倍数であって素数ではありません。
のとき、3の倍数であって素数ではありません。
以上より、nがともに素数となるのはの場合に限られます。


TOPに戻る   CFV21 メイン・ページ   考察のぺージ   作者のページ

(C)2005, 2006 (有)りるらるNewton e-Learning

テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2006/03/24(金) 15:08:10|
  2. 京大数学'06年
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:0

京大理系数学'06年前期[3]

京大理系数学'06年前期[3]

 関数のグラフは、座標平面で原点に関して点対称である。さらにこのグラフのの部分は、軸がy軸に平行で、点を頂点とし、原点を通る放物線と一致している。このときにおけるこの関数のグラフの接線とこの関数のグラフによって囲まれる図形の面積を求めよ。

[解答] の部分は、点を頂点とする放物線だから(2次関を参照) ・・・①
原点を通るから、①において、として、

よって、の部分は、 ・・・②

のとき、
よって、における接線は、 ・・・③
の部分は、②と対称な放物線なので、②において、と書き換えて、
 ・・・④
③と④の交点は、③,④を連立して、


このうち、の部分にある交点のx座標は、

題意の図形のうち、の部分の面積は、

 
 
 
の部分の面積は、

 
 
 
 
 
よって、求める面積は、 ......[]


TOPに戻る   CFV21 メイン・ページ   考察のぺージ   作者のページ

(C)2005, 2006 (有)りるらるNewton e-Learning

テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2006/03/23(木) 14:04:39|
  2. 京大数学'06年
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:0

京大理系数学'06年前期[2]

京大理系数学'06年前期[2]

 点Oを原点とする座標空間の3点をABPとする。線分OPと線分ABが交点を持つような実数tが存在することを示せ。またそのとき、交点の座標を求めよ。

[解答] 線分AB上の点(両端を含めて)を示す位置ベクトルは、sを満たす実数として、
 ・・・①
と表せます。
線分OP上の点(両端を含めて)を示す位置ベクトルは、kを満たす実数として、
 ・・・②
と表されます。
線分OPと線分ABが交点を持つとして、交点は①,②いずれの形にも書けるので、


③+⑤より、 ・・・⑥
④+⑤より、 ・・・⑦
⑦×4-⑥×5より、

⑥に代入して、

よって、確かに、線分OPと線分ABが交点を持つような実数tが存在します。
のとき、②より、交点の座標、即ち、位置ベクトルは、
よって、交点の座標は、 ......[]


TOPに戻る   CFV21 メイン・ページ   考察のぺージ   作者のページ

(C)2005, 2006 (有)りるらるNewton e-Learning

テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2006/03/22(水) 11:41:18|
  2. 京大数学'06年
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:0

京大理系数学'06年前期[1]

京大理系数学'06年前期[1]

 2次式とする。整式では割り切れないが、で割り切れるという。このとき2次方程式は重解をもつことを示せ。

[解答] 2次式なので、2解をab (ab は複素数)として、
 ・・・①
と書くことができます。
で割り切れないので、商を,余り(1次式または定数)として、

 ・・・②
で割り切れるので、数定より、
②より、

は、1次式、または、定数なので、より、 と書けます。

または、
のとき、となりますが、これでは、で割り切れることになり、題意に適しません。
よって、
①より、
よって、2次方程式は重解を持ちます。


TOPに戻る   CFV21 メイン・ページ   考察のぺージ   作者のページ

(C)2005, 2006 (有)りるらるNewton e-Learning

テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2006/03/21(火) 12:56:21|
  2. 京大数学'06年
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:0

センター2006年数学IIB第4問

センター2006年数学IIB第4問

 平面上の三つのベクトル
   
を満たし、に垂直で、であるとする。
(1) の内積は
   
である。また
   
であり、のなす角はである。
(2) ベクトルで表すと
   
である。
(3) xyを実数とする。ベクトル
   
を満たすための必要十分条件は
   
である。xyが上の範囲を動くとき、は最大値をとり、この最大値をとるときので表すと
   
である。



よって、[アイ][]2



よって、[]3


のなす角は
よって、[オカ]90

とおいて、よりだから、



 

 ・・・① より、だから、


よって、[]3[]3[]2

より、 ・・・②
①を用いて、より、
より、
 ・・・③
よって、[]0[]1[]3[]2


②,③の条件下(領域は右図のような平行四辺形です)yが最大になるのは、のときで、最大値は
このとき、
よって、[]3[]2[]2

上のように計算でやっても良いのですが、という条件から、の終点が2辺とする平行四辺形の頂点になることを考えれば、右図のような図が書けます。
より、への正射影だと考え、より、の方向にx軸,の方向にy軸をとれば、の終点Pの座標はです。
Pの存在範囲は右図斜線部で、などから、(3)もほとんど図を見ているだけで答えることができます。


センター試験の準備は、教科書の基礎事項をしっかりマスターし、ある程度、センター用の練習問題を解いたら、東京出版「センター試験必勝マニュアル 数学IIB(9月頃発売になります)を一通り読んでおきましょう。


TOPに戻る   CFV21 メイン・ページ   考察のぺージ   作者のページ

(C)2005, 2006 (有)りるらるNewton e-Learning

テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2006/03/04(土) 20:45:12|
  2. センター2006年
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:0

センター2006年数学IIB第3問

センター2006年数学IIB第3問

 abcを相異なる実数とする。数列は等差数列で、最初の3項が順にabcであるとし、数列は等比数列で、最初の3項が順にcabであるとする。
(1) bcaを用いて
   
と表され、等差数列の公差はである。
(2) 等比数列の公比はであるから、の初項から第8項までの和は、aを用いて
  
と表される。
(3) 数列は最初の3項が順にbcaであり、その階差数列が等差数列であるとする。このとき、の公差はであり、の一般項は
   
である。したがって、数列の一般項は、aを用いて
   
と表される。

abc差数だから、 ・・・①
cab比数だから、 ・・・②
(1) ①より、 ・・・③
②に代入すると、
より、
③に代入して、
よって、[アイ][]2[エオ]

差数の公差は、
よって、[カキ][]2

(2) 比数の和の公式より、の初項から第8項までの和
よって、[ケコサ][シス]64

(3)
の公差は、
よって、[]9[]2

差数の公式より、
よって、[]9[チツ]12[]2

差数の公式より、

 
 
よって、[]4[]9[ニヌ]33[ネノ]22


センター試験の準備は、教科書の基礎事項をしっかりマスターし、ある程度、センター用の練習問題を解いたら、東京出版「センター試験必勝マニュアル 数学IIB(9月頃発売になります)を一通り読んでおきましょう。


TOPに戻る   CFV21 メイン・ページ   考察のぺージ   作者のページ

(C)2005, 2006 (有)りるらるNewton e-Learning

テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2006/03/03(金) 19:20:39|
  2. センター2006年
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:0

センター2006年数学IIB第2問

センター2006年数学IIB第2問

aを正の実数として、をそれぞれ次の2次関数のグラフとする。
   
   
また、の両方に接する直線をlとする。
(1) におけるの接線の方程式は
   
であり、この直線がに接するのはのときである。
したがって、直線lの方程式は
   
であり、lの接点の座標は
   
である。
(2) の交点をPとすると、Pの座標は
   
である。点Pを通って直線lに平行な直線をmとする。直線mの方程式は
   
である。直線my軸との交点のy座標が正となるようなaの値の範囲はである。
 のとき、の部分と直線mおよびy軸で囲まれた図形の面積Saを用いて
   
と表される。

(1) の方程式を微分すると、
における線の傾は、
におけるの接線は、
整理して、 ・・・①
よって、[]2[]2

①との方程式を連立すると、
整理して、 ・・・②
①とが接するから、②のD0


よって、[]1

従って、lの方程式は、①において、として、 ・・・③
よって、[]2[]1

のとき、②は、

③でとして、
よって、lの接点の座標は、
よって、[カキ]2a[]1[ケコ]4a[]1

(2) の方程式を連立すると、
より、
Pの座標は、
よって、[]1

mの傾きは、③の傾きと等しく2 (2直線の平行・垂を参照)
Pを通る傾き2の直線として、m
整理して、m
よって、[]2[]2[]1

直線my軸との交点のy座標が正だから、
より、
よって、[]1

求める面積は、
 
 
 
 
よって、[]1[]3[]2[ナニ]2a


センター試験の準備は、教科書の基礎事項をしっかりマスターし、ある程度、センター用の練習問題を解いたら、東京出版「センター試験必勝マニュアル 数学IIB(9月頃発売になります)を一通り読んでおきましょう。


TOPに戻る   CFV21 メイン・ページ   考察のぺージ   作者のページ

(C)2005, 2006 (有)りるらるNewton e-Learning

テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2006/03/01(水) 14:40:01|
  2. センター2006年
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:0
上記広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。新しい記事を書くことで広告を消せます。