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センター2006年数学IIB第1問

センター2006年数学IIB第1問

[1] の範囲で関数を考える。
 とおけば
   
であるから、とおくと
   
である。したがって、yの最大値はであり、最小値はである。
 また、aを満たす角度でのとき
   
である。

2倍角の公より、とおく(より、)と、
よって、[]1[]2[]2


 
よって、[]6[]4[]3


より、yの最大値は、のときyの最小値は、のとき1
よって、[キク]11[]1

として、

より、のみ適します。
このとき、
法定より、
 
よって、[]2[]3[]5[]6


[2] 不等式
    ・・・・・・()
が成り立つようなxの値の範囲を求めよう。
(1) 不等式()において、xは対数の底であるから
    かつ 
を満たさなければならない。また
   
である。
(2) 不等式()
のとき
   
のとき
   
と変形できる。したがって、求めるxの値の範囲は
   
である。

(1) x対数の底だから、 かつ
よって、[]0[]1


よって[]3

(2) ()を変形して、
のとき、に注意すると、()は、
 ・・・①
のとき、に注意すると、()は、
 ・・・②
よって、[]2[]5[テト]12

のとき、①より、

より、

と合わせて、
のとき、②より、

より、

と合わせて、

以上より、求めるxの値の範囲は、
よって、[]3[]9[ヌネ]81

センター試験の準備は、教科書の基礎事項をしっかりマスターし、ある程度、センター用の練習問題を解いたら、東京出版「センター試験必勝マニュアル 数学IIB(9月頃発売になります)を一通り読んでおきましょう。



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  1. 2006/02/20(月) 22:32:41|
  2. センター2006年
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センター2006年数学IA第4問

センター2006年数学IA第4問

 袋ABCDがあり、それぞれに4枚のカードが入っている。各袋のカードには、1から4までの番号がつけられている。袋ABCDからカードを1枚ずつ取り出し、出た数をそれぞれabcdとする。
(1) abcdの最大の数が3以下である場合は通りあり、最大の数が4である場合は通りある。
(2) abcdについて、となる場合は通りある。
(3) 出た数abcdによって、次のように得点を定める。
   のときは、
   それ以外のときは、0
 (i) 得点が1点となる確率はであり、得点が4点となる確率はである。
 (ii) 得点の期待値は点である。

(1) 最大の数が3以下であるのは、各袋から取り出される数が、1か、2か、33通りのどれかに限られるときです。
各袋3通りずつで、各袋のどの1通りについても、他の袋は3通りのどの数もあり得ます。
abcdの最大の数が3以下となる場合は、通り(合のを参照)
よって、[アイ]81
4つの袋から出る数の出方は全部で、通り。このうち最大の数が4となるのは、最大の数が3以下の場合の81通りを除いた、通り(合の数の技を参照)
よって、[ウエオ]175

(2) d1から4のどの数であっても、となるのは、abcについて、

のいずれかの場合だから、abcdについて、となる場合は、通り。
よって、[カキ]16

(3)(i) 得点が1点となるのは、のときで、このときより、
これが1から4まで、4通りあります。得点が1点となる確率は、
よって、[]1[ケコ]64

得点が4点となるのは、のときで、このとき、より、です。bcについて、より、

 
 
10通り。得点が4点となる確率は、
よって、[]5[シスセ]128

(ii) 得点が2点となるのは、のときで、adについて、

3通りあります。
例えば、のとき、bcについて、より、

3通りで、3通りのどの1通りについても、3通りがあり得るので、abcdについて、通り。
得点が2点となる確率は、
得点が3点となるのは、のときで、adについて、

2通りあります。
例えば、のとき、bcについて、より、

6通りで、2通りの各々についても、6通りがあり得るので、abcdについて、通り。
得点が3点となる確率は、
得点のは、

よって、[ソタ]49[チツテ]128

センター試験の準備は、教科書の基礎事項をしっかりマスターし、ある程度、センター用の練習問題を解いたら、東京出版「センター試験必勝マニュアル 数学IA(9月頃発売になります)を一通り読んでおきましょう。



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  1. 2006/02/14(火) 21:11:26|
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センター2006年数学IA第3問

センター2006年数学IA第3問

 下の図のような直方体ABCD-EFGHにおいて、
   
とする。
 このとき、であり、である。
また、三角形AFHの面積はである。

 次に、の二等分線と辺AHの交点をPの二等分線と辺FHの交点をQ,線分FPと線分AQの交点をRとする。このとき、Rは三角形AFHである。次ののうちからに当てはまるものを一つ選べ。
    重心   外心   内心
 また、であり、したがって、
   PFPR 1
となる。さらに、四面体EAPRの体積はである。

三平方の定理より、

 
よって、[アイ]12
弦定より、
よって、[]1[]8

角形AFHの面は、
よって、[オカ]15[]7

Rは三角形の各頂角の二等分線の交点で、三角形AFHの内心です。
よって、[]

FPが角を二等分するので、AFFH APPH

よって、[]4
ARが角を二等分するので、AFAP FRPR
これより、PFPR AP 31
よって、[]3
三角形EAP(右図斜線部)の面積は、三角形AEH倍で、
底面を三角形EAPと見るときの四面体EAPRの高さは、AB倍で、
よって、面体EAPRの体は、
これより、[]2[]6

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  1. 2006/02/13(月) 22:31:27|
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センター2006年数学IA第2問

センター2006年数学IA第2問

2次関数
    ・・・・・・①
について考える。
 ①において、となるxの値の範囲は
   
である。
 ①のグラフをx軸方向にay軸方向にbだけ平行移動して得られるグラフをGとする。Gが原点を通るとき、
   
であり、このときGを表す2次関数は
    ・・・・・・②
である。
 に対応する2次関数②の値が等しくなるのは
   
のときである。このとき、2次関数②のにおける
   最小値は,最大値は
である。

(2次不等を参照)

よって、[アイ][]2[]2[]3

①のグラフをx軸方向にay軸方向にbだけ行移して得られるグラフGを表す2次関は、
 ・・・③
Gが原点を通るから、を代入して、

 ・・・④
よって、[カキ][クケ]11[コサ]10

このときGを表す2次関数は、④を③に代入して、

  ・・・⑤
よって、[]6[スセ]12[ソタ]11

に対応する2次関数②の値が等しくなる、ということは、2次関数のが、にあるという意味で、⑤を平方完成すると、
 ・・・⑥
軸の位置:
分母を払って、
 ・・・⑦
よって、[チツ]17[テト]12

⑦を⑥に代入すると、
これは、において最小値:をとり、において最大値: (2次関数の最大・最を参照)
よって、[ナニ][]2[ネノ]36


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  1. 2006/02/13(月) 14:54:57|
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センター2006年数学IA第1問

センター2006年数学IA第1問

[1] 2次方程式の解がab で、とするとき、
   
である。また、
   を満たす整数mの値は
   を満たす整数nの値は
である。
 次に、
   
であり、
   
である。

2次方程の解の公式より、2次方程式の解は、
よって、[]3[イウ]13
より、

よって、[]3
また、

よって、[オカ]
(母の有理を参照)

よって、[キク]13



よって、[ケコ]10[サシ]13
[別解] より、


[2] aは実数とし、b0でない実数とする。abに関する条件pqrを次のように定める。
   p: abはともに有理数である
   q: はともに有理数である
   r: は有理数である
(1) 次のに当てはまるものを、下ののうちから一つ選べ。
   条件pの否定である。
   「abはともに有理数である」
   「abはともに無理数である」
   「abの少なくとも一方は有理数である」
   「abの少なくとも一方は無理数である」

(2) 次のに当てはまるものを、下ののうちから一つ選べ。
   条件「qかつr」は条件pが成り立つための
   必要十分条件である
   必要条件であるが十分条件ではない
   十分条件であるが必要条件ではない
   必要条件でも十分条件でもない

(3) 次ののうち、正しいものはである。
   「」は真、「」の逆は真、「」の対偶は真である。
   「」は真、「」の逆は真、「」の対偶は偽である。
   「」は真、「」の逆は偽、「」の対偶は真である。
   「」は真、「」の逆は偽、「」の対偶は偽である。
   「」は偽、「」の逆は真、「」の対偶は真である。
   「」は偽、「」の逆は真、「」の対偶は偽である。
   「」は偽、「」の逆は偽、「」の対偶は真である。
   「」は偽、「」の逆は偽、「」の対偶は偽である。

(1) 「ともに云々」の否定は「どちらかは云々でない」なので、「ともに」の否定は「どちらか一方は有理数でない」、つまり「どちらか一方は」であって(件・命を参照)[]

(2) qかつr」⇒p 反例を見つけるのには、 (stuは有理数)とおいて、abが無理数になる組み合わせを考えます。
abは、と係数の関より、2次方程式2解で、より、仮に、だとして、

 
こうなるためには、が有理数になるか、であればよいのですが、が有理数だとすると、abも有理数になってしまうので、とすればよいことがわかります。このとき、が無理数、例えば、とすると、となります。このとき、はいずれも有理数ですが、abは無理数です。
よって、「qかつr」⇒p の反例は、であり、「qかつr」⇒pは偽です。
一方、abが有理数であれば、はいずれも有理数であって、p⇒「qかつr」は、真です。
このとき、「qかつr」はpの必要条件であって十分条件ではありません。
よって、[]は、です。
試験会場では、ここまでていねいに考えると時間がなくなります。[1]がヒントになっていることをつかんで勘を働かせる必要があります。

(3) (2)で検討したように、のとき、は成り立たないので、は偽です。は真です。対偶は、と同値なので、対偶も真です。
よって、[]は、です。

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  1. 2006/02/10(金) 14:30:58|
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