FC2ブログ

CHALLENGE from the VOID

大学入試問題を考える - 数学・物理 -

CFV21 ご入会のおすすめ
理工系受験生の方は
こちらをご覧ください
当会の活動にご支援頂ける方は
こちらをご覧ください

センター試験「数学」の必勝法はこちら
センター試験「物理」の必勝法はこちら

理工系受験生必見!! 2010-2007入試問題検討ページ(東大・東工大・京大・早慶) 
CFV21での学習の進め方

スポンサーサイト

上記の広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。
新しい記事を書く事で広告が消せます。
  1. --/--/--(--) --:--:--|
  2. スポンサー広告

慶大理工数学'12年[5]

慶大理工数学'12[5]

とし、x3次関数
と定める。また、に対し、曲線x軸および2直線で囲まれた部分の面積をで表す。
(1)  ト である。
(2)  ナ で極小値をとる。曲線上にあり、xの値 ナ に対応する点をPとする。aの値が変化するとき、点Pの軌跡は曲線 ニ  ()である。
(3) を満たす正の実数t が存在するようなaの値の範囲を不等式で表すと ヌ となる。以下、aの値はこの範囲にあるとする。cを満たす最大の正の実数とする。区間におけるの最大値、最小値をそれぞれとするとき、 ネ となる。

解答 3次関数に対して、2次関数となります(微分を参照)のグラフの軸の位置をとして、に関して対称なので、として、が成り立ちます。これを使うと、
 (定積分を参照)
となるので、

より、

が成り立ちます。これは、
3次関数のグラフが変曲点について対称であること ・・・()
を意味します。以下(3)の解答では、これを応用してみます。

(1)()



 ・・・①
......[]

(2)()

とすると、
 ・・・②
 ・・・③
x
a

00

増減表より、は、 ......[] において、極小値をとります(3次関数の増減を参照)
() Px座標、y座標は、
これよりaを消去して、 ......[] ()

(3)() より、

を満たす正の実数
t が存在するので、
とおくと、2実数解をもち、このために、
判別式:
 ・・・④
が必要です。このとき、放物線の軸
()
なので、は正の解をもち、確かにを満たす正の実数t が存在します(2次方程式の解の配置を参照)
......[]
() ④のとき、は重解も含めて正の解を2個もち、そのうちの大きい方がcです。①より、
2次方程式の判別式について、
④が成立するとき、
なので、2次方程式は、の範囲に相異なる2実数解αβ ()をもちます。においてにおいてにおいてより、において極大、において極小です。
また、
2次方程式における解と係数の関係より、
 ・・・⑤
ここで、もし、であれば、となる正の実数t が存在しなくなるので、です。つまり、なのでです(3次関数のグラフを描いて考えてください)。また、におけるの最小値です。
においてはは増加なので、であって、なので、におけるの最大値です。以上より、
となります。3次関数なので、上記()のように、のグラフはその変曲点に関して対称です。より、とすると、,従って、
 ・・・⑥
において、 ()とおくと、⑤を用いて、のときのときより、
 ( ⑥において、とします)
(= 一定)
また、⑥において、とすることにより、②,③を用いて、
......[]


TOPに戻る   CFV21 アーカイブ   考察のぺージ

©2005-2011
(有)りるらる
CFV21 随時入会受付中!
理系大学受験ネット塾CFV21(ご案内はこちら)ご入会は、
まず、こちらまでメールをお送りください。
 雑誌「大学への数学」出版元
スポンサーサイト

テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2012/10/03(水) 10:15:10|
  2. 慶大理工数学'12年
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:0

慶大理工数学'12年[4]

慶大理工数学'12[4]

ABCDE1辺の長さが1の正方形ABCDを底面とし、4個の正三角形を側面とする正四角錐とする。
(1) CDEの重心をGとする。ベクトルで表すと、 セ となる。
(2) でないベクトルが平面α上の任意のベクトルと垂直なとき、は平面αと垂直であるという。 (abcは実数)が△CDEを含む平面と垂直なとき、abc  ソ である。よって、かつとなるようにabcを定めると、 タ となる。
(3) 正四角錐ABCDEの△CDEに、各辺の長さが1の正四面体CDEFを貼り付ける。ベクトルで表すと、 チ となる。また、Hを辺ECの中点とすると、 ツ であり、△AHFの面積は テ である。

解答 (3)は、まともでは大変なので、工夫が必要です。なお、空間ベクトルを参照してください。

(1)()
より、
......[]

(2)()
CDEを含む平面上の2つのベクトルと垂直です。より、
 ・・・①

 ・・・②
①より、,②に代入して、

よって、
abc 1 12 ......[]
() として、

よって、
......[]

(3)() も△CDEと垂直なので、は平行です。従って、
CDの中点をMとして、正三角形CDEの高さは、

より、
のなす角は鋭角なので、となるのであれば、で、です。
よって、

......[]
これとより、四角形ADFEはひし形です。また、は正三角形CDEの高さの2倍で、
() ()の結果を用いて、


......[]

AHFの面積Sは、より、
......[](三角形の面積を参照)


TOPに戻る   CFV21 アーカイブ   考察のぺージ

©2005-2011
(有)りるらる
CFV21 随時入会受付中!
理系大学受験ネット塾CFV21(ご案内はこちら)ご入会は、
まず、こちらまでメールをお送りください。
 雑誌「大学への数学」出版元

テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2012/09/24(月) 12:26:19|
  2. 慶大理工数学'12年
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:0

慶大理工数学'12年[3]

慶大理工数学'12[3]

袋の中に文字が書かれたカードがそれぞれ1枚ずつと、文字が書かれたカードが何枚か入っている。いま、袋の中から1枚ずつカードを取り出し、のすべての文字のカードがそれぞれ1枚以上出たところで終了する。ただし、一度取り出したカードは袋の中には戻さないものとする。
(1) 袋の中に文字が書かれたカードが7枚あり、合計10枚のカードが入っている場合を考える。3枚目に文字のカードを取り出す確率は ク であり、1枚目または3枚目に文字のカードを取り出す確率は ケ である。また、最後に取り出したカードに書かれている文字がである確率は コ である。
(2) 袋の中に文字が書かれたカードがn ()あり、合計枚のカードが入っている場合を考える。k枚目で終了する確率をとすると、 サ であり、に対しては シ である。いま、終了した時点で袋の中に残っているカードの枚数の期待値をとすると、 ス が成り立つ。

解答 余事象をうまく利用して解答しましょう。

(1) 1枚目でも、2枚目でも、3枚目でも、何枚目でも、10枚のカードから文字のカード7枚のうち1枚を取り出す確率はです。
() ......[]
1
枚目または3枚目に文字のカードを引く事象の余事象は、1枚目にも3枚目にも文字が書かれたカードのどれかを引く事象です。
1枚目に文字が書かれたカードのどれかを引く確率は,その後、3枚目に文字が書かれたカードのどれかを引く確率は
求める確率は、

() ......[]
最後に取り出したカードに書かれている文字がである確率と、である確率と、である確率は等しく、最後に取り出したカードに書かれている文字がまたはまたはである事象の余事象は、最後に取り出したカードに書かれている文字がである事象です。
取り出すカード
10枚を1列に並べ左端から順に取り出すとして考えると、最後に取り出したカードに書かれている文字がになるのは、左端から順にまたはまたは3枚が並んでいる場合です。こうなる確率は、10枚の中からまたはまたは3枚を入れる位置を選ぶのが通りあるので、
求める確率は、

() ......[]

(2) 取り出す枚のカードを1列に並べて左端から順に取り出すとして考えると、4枚目に終了するのは、左端から4枚の中にのすべての文字のカードが1枚ずつ含まれる場合です。枚の中からまたはまたは3枚を入れる位置を選ぶのが通りあり、このうち左端から4枚の中に3枚がすべて含まれるのは、の位置が4通りあるので、4枚目に終了する確率は、
() ......[]
に対して、k枚目に終了するのは、左端からk枚目がのどれかで、左から枚の中にのうち2枚が含まれる場合です。
左から枚の中にのうち
2枚を入れる位置の選び方が通り、残る1枚の入れる位置は1通りなので、求める確率は、
() ......[]
k
枚目で終了するとき、袋の中に残っているカードの枚数は、枚です。残っているカードの枚数の期待値は、


のとき、
() ......[]


TOPに戻る   CFV21 アーカイブ   考察のぺージ

©2005-2011
(有)りるらる
CFV21 随時入会受付中!
理系大学受験ネット塾CFV21(ご案内はこちら)ご入会は、
まず、こちらまでメールをお送りください。
 雑誌「大学への数学」出版元
  1. 2012/07/20(金) 15:03:12|
  2. 慶大理工数学'12年
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:0

慶大理工数学'12年[2]

慶大理工数学'12[2]

と外接し、x軸と接する円で中心のx座標が正であるものを条件Pを満たす円ということにする。
(1) 条件Pを満たす円の中心は、曲線 ()の上にある。また、条件Pを満たす半径9の円をとし、その中心のx座標をとすると、である。
(2) 条件Pを満たし円に外接する円をとする。また、に対し、条件Pを満たし、円に外接し、かつ円と異なる円をとする。円の中心のx座標をとするとき、自然数nに対しを用いて表しなさい。求める過程も書きなさい。
(3) (1)(2)で定めた数列の一般項を求めなさい。求める過程も書きなさい。

解答 類題が'92[A2]でも出題されています。ヒントを活かすことにより、容易に解答できます。

(1) 条件Pを満たす円の中心Dの座標を (),点ADからx軸に垂線DHを下ろし、AからDHに垂線ABを下ろします。条件Pを満たす円はx軸に接するので、その半径はqです。
三平方の定理より、


よって、条件Pを満たす円の中心は、曲線 ()の上にあります(放物線を参照)
() ......[]
条件Pを満たす円の中心のy座標が円の半径なので、より、
よって、半径
9の円の中心のx座標は、
() 6 ......[]

(2) n2以上の整数として、の中心x座標は () ()です。題意よりです。条件Pを満たす円の中心は、曲線 ()の上にあるので、の半径はです。からx軸に垂線を下ろし、からに垂線を下ろします。
三平方の定理より、


より、
よって、nを自然数として、
......[]

(3) (2)の漸化式の逆数を考えると(漸化式の技巧を参照)
は、初項,公差等差数列です。
......[]


TOPに戻る   CFV21 アーカイブ   考察のぺージ

©2005-2011
(有)りるらる
CFV21 随時入会受付中!
理系大学受験ネット塾CFV21(ご案内はこちら)ご入会は、
まず、こちらまでメールをお送りください。
 雑誌「大学への数学」出版元

テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2012/07/09(月) 11:08:32|
  2. 慶大理工数学'12年
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:0

慶大理工数学'12年[1]

慶大理工数学'12[1]

(1) 3つの行列の積
の成分が任意の実数xyに対し0以上となるような実数aの範囲を不等式で表すと ア となる。
(2) が直角の直角三角形ABC2ABBCの長さをそれぞれ31とする。また、を満たすxに対し線分BC1xに外分する点をDとする。いま、が成り立つとすると、 イ であり、△ACDの外接円の半径は ウ である。
(3) 関数
を満たすとき、の値は エ または オ である。求める過程も解答欄(3)に書きなさい。

解答 まずが、ウォーミング・アップという基礎問題です。

(1)  (行列の積を参照)
これが任意の実数xyについて成り立つために、
() ......[]

(2) とすると、より、です。
また、BDCD1xより、より、

 (正接の加法定理を参照)
 (2倍角の公式を参照)
より、
() ......[]

外接円の半径Rは、正弦定理より、
() ......[]

(3) とおく(定積分を参照)と、


(C:積分定数)
より、
のとき、なるt について、より、
(),不適。
のとき、なるt について、より、
 ・・・①
のとき、なるt について、
なるt について、


となるのはのみ ・・・②
①,②より、
()() 1 ......[]


TOPに戻る   CFV21 アーカイブ   考察のぺージ

©2005-2011
(有)りるらる
CFV21 随時入会受付中!
理系大学受験ネット塾CFV21(ご案内はこちら)ご入会は、
まず、こちらまでメールをお送りください。
 雑誌「大学への数学」出版元

テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2012/07/02(月) 16:33:16|
  2. 慶大理工数学'12年
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:0
上記広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。新しい記事を書くことで広告を消せます。