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東工大物理'12年前期[3]

東工大物理'12年前期[3]

[A] 図1上図のように原点Oにスピーカーを置き、一定の振幅で、一定の振動数f の音波をx 軸の正の向きに連続的に発生させる。空気の圧力変化に反応する小さなマイクロホンを複数用いて、x軸上()の各点で圧力pの時間変化を測定する。
ある時刻において、x軸上()の点P付近の空気の圧力pxの関数として調べたところ、図1下図のグラフのようになった。ここで距離OPは音波の波長よりも十分長く、また音波が存在しないときの大気の圧力をとする。圧力pは最大値をとるから、次に最大値をとるまでのxの区間を8等分し、,・・・,と順にx座標を定める。
(a) からまでの各位置の中で、x軸の正の向きに空気が最も大きく変位している位置、およびx軸の正の向きに空気が最も速く動いている位置はそれぞれどれか。

次に点Pで空気の圧力pの時間変化を調べたところ、図2のグラフのようになった。圧力pが最大値をとる時刻から、次に最大値をとる時刻までの1周期を8等分し、,・・・,と順に時刻を定める。
(b) からまでの各時刻の中で、x軸の正の向きに空気が最も大きく変位しているのはどの時刻か。

3のように、原点Oから見て点Pより遠い側の位置に、x軸に対して垂直に反射板を置くと、圧力が時間とともに変わらず常にとなる点がx軸上に等間隔に並んだ。
(c) これらの隣接する点の間隔dはいくらか。なお、音波の速さをcとする。
(d) (c)の状態から気温が上昇したところ、問(c)で求めたdは増加した。その理由を説明せよ。

[B] 音波が大気中を伝わるとき、各部分では空気の圧縮と膨張が繰り返されている。圧縮と膨張は熱の伝達よりはやく起こるため、断熱変化とみなすことができる。音波が空気中をどのように伝わるかについて手がかりを得るため、空気を理想気体として以下のような簡単なモデルを考える。
4上図のように空気をx軸方向に細かく等間隔に分割し、各区間をピストン付きの円筒断熱容器に閉じ込められた空気で置き換える。図4下図はそのひとつの部分を示したものである。ここでピストンはなめらかに動くことができ、また大気圧における容器内の空気の体積をとする。
音波が到達することによりピストンは隣接する空気から力を受け、容器内の空気の圧力がに増加し
(),体積がに減少()したとしよう。ただし、は、それぞれに比べ十分小さい量とする。以下の計算では、微小量どうしの積は無視してよい。また必要ならば、微小量h (1に比べて十分小さい)、ゼロでない数nに対して成り立つ近似式を用いよ。
(e) 容器内に閉じ込められた空気の圧力の増加量と体積の減少率の比をとおく。断熱変化のもとでは、圧力pと体積Vの間にの関係が成り立つことを用いてKを求めよ。ここでγ は、定圧モル比熱を定積モル比熱で割った定数である。
(f) 空気中を伝わる音波の速さcは、Kと空気の密度ρ とを用いてと表せることがわかっている。両辺の次元を比べることにより、αβの値を求めよ。
(g) (e)と問(f)の結果より、付近の音波の速さcは、摂氏温度θ を用いて、という近似式で表せることがわかる。空気の1モル当たりの質量をM,気体定数をRとし、における音波の速さを式で表せ。また、定数aの値を有効数字2桁で求めよ。

解答 [A]は波の基本問題ですが、慎重に考える必要があります。[B]は、音速cの摂氏温度θ 依存性を示す式:を導く問題ですが、誘導通りに解答すればOKです。なお、波動現象を参照してください。

[A](a) 圧力が大きい位置は、その両側から空気分子が寄ってくる位置です。圧力が低い位置は、その両側へ空気分子が離れて行く位置です。
従って、の間では空気分子はx軸負方向に動き、の間では空気分子はx軸正方向に動きます。
よって、
x軸の正の向きに空気が最も大きく変位している位置は、 ......[]
同様に、x軸の負の向きに空気が最も大きく変位している位置は、
横軸に
x,縦軸に変位をとって、グラフを描くと、図1のグラフをx軸負方向にだけ平行移動したグラフになります。ほんの少しだけ波動をx軸正方向に進めたグラフと比較すると、の位置では、変位ゼロですが、x軸正方向に最も速く変位することがわかります。
x軸の正の向きに空気が最も速く動いている位置は、 ......[]
(b) (a)x軸の正の向きに空気が最も大きく変位している位置がだったということは、図1のグラフをほんの少しだけx軸正方向に進めたグラフと比較すると、ここは、圧力が下がる方向に変化中だということがわかります。図2のグラフで、x軸の正の向きに空気が最も大きく変位している時刻は、圧力ゼロで圧力が下がる方向に変化している時刻で、 ......[]
(c) 反射板を置くと、定常波ができます。定常波の節の間隔d波長で、 ......[]
(d) 気温が上昇すると、音速cは増大し、振動数f は一定なので、(c)は増加する。 ......[]

[B](e) の関係(断熱変化を参照)より、
で両辺を割り、問題文の近似を行うと、
......[]
(f) 長さL時間T質量Mとすると、音速cの次元は[L/T]の次元は、圧力=/面積=質量×加速度/面積の次元と同じで、[M][L/]/[]=[M/(L)]密度ρの次元は[M/]

L
T
M
これらを解いて、 ......[]
(g) 空気のモル数をn絶対温度Tとして、圧力体積のときの状態方程式は、
また、このときの1モル当たりの質量Mは、空気の質量をモル数nで割って、(f)より、
より、
よって、 ......[]
......[]
注.空気は2原子分子、窒素,酸素の混合気体です。比熱比,空気の1モルあたり質量を代入すると、となり、が得られます。


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  1. 2012/05/23(水) 12:11:01|
  2. 東工大物理'12年
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東工大物理'12年前期[2]

東工大物理'12年前期[2]

面積Sの同じ形状を持つ導体極板ABが間隔dで向かい合わせに配置された平行板コンデンサーを、真空中に置く。このコンデンサーの極板間に、導体極板と同じ形状を持つ面積Sの金属板Pを、極板Aから距離xを隔てて極板に対して平行に置く。真空の誘電率をとして以下の問いに答えよ。ただし、極板端面および金属板端面における電場の乱れはなく、電気力線は極板間に限られるものとする。導線、極板、金属板の抵抗、重力は無視する。また金属板の厚さも無視する。

[A] 図1のように、極板ABは、スイッチSWを介して接続され、極板Aは接地されている。
(a) スイッチSWが開いているとき、極板AB間の電気容量を求めよ。
(b) スイッチSWを閉じた後、金属板Pを電気量Qの正電荷で帯電させる。この電荷によって極板ABに誘導される電気量を、それぞれ求めよ。
(c) (b)において、コンデンサーに蓄えられている静電エネルギーを求めよ。
(d) (b)の状態から、金属板Pを電気量Qの正電荷で帯電させたまま、金属板の位置をxからまで微小変位させる。この変位による、コンデンサーに蓄えられている静電エネルギーの変化量を求めよ。ただし、xdに比べては十分小さく、は無視できるものとする。微小変位によりエネルギーが変化するということは、金属板Pは力を受けていることを意味する。微小変位の間は金属板Pに働く力の大きさは一定であると見なして、この力を求めよ。ただし、極板AからBに向かう向きを力の正の向きとする。

[B] 次に、質量mの金属板Pを電気量Qの正電荷で帯電させたまま、図2のように自然長,ばね定数k2つの同じ絶縁体のばねに接続する。ばねの他端は、固定された極板ABにそれぞれつながれている。この金属板は、極板ABと平行を保ったまま、極板に垂直な方向にのみ動くことができる。極板ABは、電流計を介して接続され、極板Aは接地されている。ばねを接続したことによる電気容量の変化、電流計の抵抗、金属板の振動による電磁波の発生は無視する。
(e) 金属板Pの位置をに移動させてから放す。このとき、金属板Pが単振動するために必要となるQに求められる条件をkSdを用いて表せ。また、この条件を満たすとき、単振動の角振動数を求めよ。
(f) (e)の条件で、金属板Pが単振動しているとき、電流計には振動電流が観測される。この電流の最大値を求めよ。導線を流れる電流Iは、微小時間の間に導線の断面をの電荷が通過するとき、と定義される。

解答 コンデンサーとばね振り子の融合問題です。(f)では、問題文に「と定義される」と書かれている上、導出過程も要求されているので、とはやりにくいところです。

[A](a) AP間の静電容量BP間の静電容量
SWが開いているとき、は直列で、合成容量とすると、
......[]
(b) SWを閉じると、は並列になります。合成容量Cは、
AP(BP間も同じです)電圧Vは、
極板Aに誘導される電気量は、 ......[]
極板Bに誘導される電気量は、 ......[]
(c) 金属板Pが極板Aから距離xを隔てて置かれているとき、コンデンサーに蓄えられる静電エネルギーは、
......[] (コンデンサーの過渡現象を参照)
(d) 微小変位によってエネルギーの変化を生じさせる、金属板Pが受けるFとは、静電気力のことです。
金属板P位置xからまで変化させたときの静電エネルギーの変化は、

これは、金属板P静電気力に逆らう外力から受けた仕事に等しく、このが一定だったとして、
静電気力は、 ......[]

[B](e) 金属板Pが極板Aからx距離にあるとき、金属板Pは、静電気力Fとばねの弾性力を受けます。
左右のばねの自然長Lとすると、極板Aから極板Bに向かう向きを正の向きとして、左のばねの弾性力は正の向きに,右のばねの弾性力は負の向きにで、合わせて、
金属板Pが受ける静電気力Fとばねの弾性力合力は、(d)の結果を用いて、
金属板P単振動する条件は、この合力復元力となることで、
......[]
この条件下で、金属板P運動方程式は、金属板P加速度aとして、

これは、振動中心角振動数単振動を表します。
......[]
(f) 時刻tにおける金属板Pと極板Aとの距離は、においてであることから、
極板Bに蓄えられている電気量qは、(b)より、
 ・・・①
時刻における電気量は、
 (ここで、として近似)
 ・・・②
②-①より、
......[]


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2012/05/13(日) 22:31:39|
  2. 東工大物理'12年
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東工大物理'12年前期[1]

東工大物理'12年前期[1]

幅の無視できる円弧型のレールABC(半径R,長さ)があり、円弧を含む面と床が垂直になるよう置かれている。レールの中央Bは常に床に固定されており、Bを通る鉛直線OBを軸としてレールは回転することができる。大きさの無視できる物体(質量M)は、レール上を運動するとき、レールに束縛されながらなめらかに運動し、両端(AC)でのみレールから離れることができる。
物体が円弧型レール上を運動するとき、円弧の中心
Oから見て、物体がOBとなす角をθ とする。重力加速度の大きさをgとし、以下の問いに答えよ。

[A] レールが回転していないとき、質量Mの物体をAに乗せ、静かに離したところ、物体はレール上を図1のように運動し始めた。
(a) 物体が角θ ()の位置を運動しているとき、物体の速さ、レールから受ける垂直抗力を求めよ。
(b) 物体がレール上を運動し、Bの位置に到達したとき、レール上で静止していた大きさの無視できる物体(質量m)と衝突した。衝突後、質量mの物体はレール上をなめらかに運動し、再び衝突することなく、レールの端Cから離れた。2つの物体間の反発係数がe ()であるとき、この運動が実現するためのmの条件を求めよ。

[B] OBを軸にして、円弧型のレールを図2のように回転させる。このとき、レール上の物体(質量M)はレールとともに回転運動する。
(c) ある角速度ω でレールが回転し、角θ ()の位置で物体が等速円運動している場合について考える。この運動を、回転しているレール上の観測者から見ると、物体に働く力は図3のようにつり合い、物体は静止して見える。この観測者から見た物体に働く力(3:ア,イ,ウ)の名称を書け。また、この運動は角速度ω の条件を満たすとき実現する。このときを求めよ。
(d) (c)において、レールの角速度を ()に固定する。このとき、回転しているレール上の観測者から見ると、角の位置で物体に働く力はつり合い、物体は静止して見える。次に、物体をつり合いの位置から少し動かし離したところ、物体はレール上を運動し始めた。円弧型レールを含む平面内で物体に働く力は、図33種類である。物体が角θ ()の位置で運動しているとき、物体に働くレールに沿った方向の力の大きさを、重力加速度gを用いずに表せ。
(e) (d)において、角からの変位()が十分に小さい場合について考える。このとき、物体に働くレールに沿った方向の力は、つり合いの位置からの距離に比例し、その方向は常につり合いの位置を向いているため、物体は単振動をする。この単振動の周期を重力加速度gを用いずに表せ。
ただし、が十分小さいとき、の項は無視することができ、必要なら次の式を用いよ。

(f) (c)の状態から、レールの角速度ω をゆっくりと増加させた。この過程において角速度の変化は十分小さいため、短い時間における物体の運動は角速度ω の等速円運動をみなすことができる。角速度がに達したとき、物体はレールの端Aから離れた。このとき、レールを真上から見ると、床面で定義されているx軸と、図4のように重なって見えた。その後、レールから離れた物体はしばらくして床に落下し、レールは角速度を保ったまま回転した。物体が落下したとき、物体とレールを真上から見ると、図5のように見えた。
この運動を2つの異なる座標系から考えてみる。以下の空欄に入る適切な数または数式を答えよ。

床で静止している観測者から物体の運動を考える。物体がレールから離れた直後、物体に働く力は、
x軸の正の向きに ① ,鉛直下向きに ② である。そのため、時間 ③ の後、物体はレールの中央Bから見て、x軸と角φをなし、距離 ④ だけ離れた位置に落下する。ここで角φ ⑤ を満たす。
次に、レールの中央
Bでレールとともに回転している観測者から物体の運動を考える。物体がレールから離れた直後、物体は静止していると見なすことができ、物体に働く力はレールを含む平面内の力のみとなる。その後、物体はレールを含む面から離れ、その面と角()をなす位置に時間 ③ の後落下する。ここで、 ⑥ である。このことから、回転している座標系において物体が運動しているとき、レールを含む面から離れる方向にも見かけの力は働いていることがわかる。

解答 地球上で北半球では、低気圧に吹き込む風は反時計回りに回るような渦を描きます。地球上で見て「コリオリの力」と呼ばれる慣性力が、速度に対して右向きに働くためです(南半球では逆になります)。北半球の状況をモデル化した(f)で、この発生原因を考察していますが、「コリオリの力」は高校範囲外であるため、空所補充形式の出題になったと思われます(もちろん、解答に知識は不要です)

質量Mの物体をM質量mの物体をmと呼ぶことにします。
[A](a) Aにいるとき、物体Mの床からの高さは、です。物体Mエネルギーは、位置エネルギーのみです。
物体Mが角θ の位置に来たとき、物体Mの床からの高さで、物体M速さvとして、物体M運動エネルギー位置エネルギーを持っています。
両地点での
力学的エネルギー保存より、
......[] ・・・①
θ の位置に来たときの物体Mの法線方向の運動方程式は、物体Mがレールから受ける垂直抗力Nとして、
①を代入して、
......[]

(b) 衝突直前の物体M速さは、①でとして、 ・・・②
衝突直後の物体M,物体m速さuとすると、
反発係数の式
 ・・・③
衝突前後の
運動量保存より、
③を代入して、

物体mBでのエネルギーは、運動エネルギーのみです。物体mCでの速さとして、物体mCにおいて運動エネルギー位置エネルギーを持っています。
BCでの力学的エネルギー保存より、
物体mCにおいてレールから離れる条件は、Cにおいても運動エネルギーを有すること、つまり、で、

②を代入して、

......[]

[B](c) () 垂直抗力 () 遠心力 () 重力 ......[]
垂直抗力Nとします。重力,物体の回転半径で、物体に働く遠心力,これらの力のつり合いは、
鉛直方向:,水平方向:
 ・・・④
より

よって、
......[]

(d) ④は、となります。これより、です。
重力の接線方向成分は接線に沿って下向きに遠心力の接線方向成分は接線に沿って上向きに,接線方向に働くの大きさは、

......[]

(e) 問題文の近似を行うと、


 (を無視)
物体の変位,物体の加速度aとして、運動方程式は、

これは、角振動数単振動を表します。単振動の周期Tは、
......[]

(f) 物体は、レールから離れた後、回転運動の接線方向(x軸に垂直な方向)に等速度運動します。物体に働く重力のみです。物体に働くは、x軸の正の向きに0,鉛直下向きにです。
0 ② ......[]
物体の鉛直方向の運動は自由落下と同じです。床に落下するまでの時間t として、レールから離れたとき高さだったので、

......[]
物体Aは、レールから離れる直前、半径角速度等速円運動をしていました。物体A速さです。x軸正方向に等速度運動するときの速さです。落下地点をPPからx軸に下ろした垂線をPHとします。時間進むので、落下地点とx軸との距離PHは、
Bとの距離OBは、
......[]
......[]
時間の間のレールの回転角は、角速度で回っているので、
よって、
......[]


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  1. 2012/05/07(月) 11:39:19|
  2. 東工大物理'12年
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