FC2ブログ

CHALLENGE from the VOID

大学入試問題を考える - 数学・物理 -

CFV21 ご入会のおすすめ
理工系受験生の方は
こちらをご覧ください
当会の活動にご支援頂ける方は
こちらをご覧ください

センター試験「数学」の必勝法はこちら
センター試験「物理」の必勝法はこちら

理工系受験生必見!! 2010-2007入試問題検討ページ(東大・東工大・京大・早慶) 
CFV21での学習の進め方

スポンサーサイト

上記の広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。
新しい記事を書く事で広告が消せます。
  1. --/--/--(--) --:--:--|
  2. スポンサー広告

東大物理'12年前期[3]

東大物理'12年前期[3]

複スリットによる光の干渉を利用して気体の屈折率を測定する実験について考えよう。図3のように、透明な二つの密閉容器 (長さd)を、平面A上にある二つのスリット (スリット間隔a)の直前に置き、Aの後方にはスクリーンBを配置する。ABは互いに平行であり、その間の距離をLとする。スクリーンB上の座標軸xを、Oを原点として図3のようにとる。原点Oから等距離にある。いま、平面波と見なせる単色光(波長λ)を、密閉容器を通してスリットに垂直に照射すると、スクリーンB上には多数の干渉縞が現れる。密閉容器の壁の厚さは無視して、以下の設問に答えよ。

Ⅰ 密閉容器両方の内部に真空にした場合、光源から二つのスリットまでの光路長は等しいため、単色光はにおいて同位相である。
(1) スクリーンB上の点Px座標をXPの距離をPの距離をとしたとき、距離の差を、aXを用いて表せ。ただし、Laよりも十分に大きいものとする。なお、1よりも十分小さければ、と近似できることを利用してよい。
(2) Pに明線があるとき、XaLλ,および整数mを用いて表せ。

Ⅱ の容器内を真空に保ったまま、の容器内に気体をゆっくりと入れはじめた。一般に絶対温度T,圧力pの気体の屈折率と真空の屈折率との差は、その気体の数密度(単位体積あたりの気体分子の数)ρに比例する。
(1) 容器内の気体の圧力がpで絶対温度がTのとき、その気体の数密度ρpTk (ボルツマン定数)を用いて表せ。ただし、この気体は理想気体とみなしてよい。
(2) 温度を一定に保ったままの容器内に気体を入れて圧力を上げると、スクリーンB上の干渉縞は、x軸の正方向、負方向のどちらに移動するか。理由をつけて答えよ。

Ⅲ の容器内を真空に保ったまま、の容器を絶対温度T1気圧(101.3kPa)の気体で満たした。このときの気体の屈折率をnとする。
(1) の容器が真空状態から絶対温度T1気圧の気体で満たされるまでに、それぞれの明線はスクリーンB上を距離だけ移動した。気体の屈折率nを、を用いて表せ。
(2) (1)で、原点ON本の暗線が通過した後、明線が原点Oに来て止まった。気体の屈折率nを、Nを用いて表せ。
(3) 気体の屈折率を精度よく求めるには、測定値の正確さが重要になる。いま、(1)で測定したの正確さで測定でき、(2)で測定したN1本の正確さで数えられるとするとき、気体の屈折率は(1)の方法、(2)の方法のどちらが精度よく求められると考えられるか。理由を付けて答えよ。ただし、とすること。

解答 よく勉強してきた受験生には易しかったかも知れませんが、Ⅲは慎重に考察する必要があります。なお、二重スリットを参照してください。

(1) 1よりも十分小さいので、問題文の近似を利用して、
1よりも十分小さいので、

 ・・・①
......[]

(2) Pに明線ができる条件は、経路差波長の整数倍になることで、①より、
 ・・・② (光の干渉を参照)
......[]

(1) 容器内の理想気体について、その体積V,モル数をとして、状態方程式は、
 (Rは気体定数)
気体がモル存在するとき、アボガドロ数をとして、気体分子は個あり、数密度ρは、 (気体分子運動論を参照)を用いて、
......[]

(2) (1)の結果より、気体の屈折率nとして、真空の屈折率1との差が気体の数密度ρに比例することから、比例定数をαとして、
内経路の光路長と、内経路の光路長dと差は、
 ・・・③
明線条件の式②は、側がだけ増すので、
となり、明線位置Xは、
 ・・・④
となり、より、圧力pを増大させるとXも増大し、干渉縞は上方向(x軸正方向)にずれます。
圧力p絶対温度Tの気体を入れたときの明線位置は、で与えられ、圧力pを上げるとXは増大し、干渉縞はx軸正方向に移動する。 ......[]

(1) もともと、明線位置は、Ⅰ(2)より、にありました。
絶対温度T1気圧()の気体で満たしたとき、明線位置Xからに移動したとすると、③,④より、

......[] ・・・⑤

(2) ④より、に気体を入れた場合でも、明線間隔です。
原点Oを暗線N本が通過した後、明線が原点Oに来て止まった、ということは、もともと原点()にできていた明線()が、x軸正方向にN本分だけずれた位置に来たということです。④において、とし、(1)と同様に③を用いると、
......[] ・・・⑥

(3) ⑤でが真の値からだけずれて、nだけずれたとすると、

⑥でN1ずれて、nだけずれたとすると、

(2)
の方法の方が測定値のずれが小さく、精度良く求められる。 ......[]


TOPに戻る   CFV21 アーカイブ   考察のぺージ

©2005-2011
(有)りるらる
CFV21 随時入会受付中!
理系大学受験ネット塾CFV21(ご案内はこちら)ご入会は、
まず、こちらまでメールをお送りください。
 雑誌「大学への数学」出版元
スポンサーサイト

テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2012/05/04(金) 21:01:27|
  2. 東大物理'12年
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:0

東大物理'12年前期[2]

東大物理'12年前期[2]

2-1のように、xy平面上に置かれた縦横の長さがともにの回路を一定の速さvx軸正方向に動かす。回路の左下の点Pと右下の点Qは常にx軸上にあり、点Qの座標をとする。磁束密度Bの一様な磁場が、の領域にのみ紙面に垂直にかけられている。導線の太さ、抵抗およびコンデンサーの素子の大きさ、導線の抵抗および回路を流れる電流が作る磁場の影響は無視できるものとして、以下の設問に答えよ。

Ⅰ まず、図2-1に示した抵抗値Rの抵抗と導線からなる正方形の回路を用いる。
(1) のときに回路を流れる電流の大きさを求めよ。
(2) のときに回路が磁場から受ける力のx成分を求めよ。
(3) のときに回路が磁場から受ける力のx成分を求めよ。
Ⅱ 次に、設問Ⅰで用いた回路を複数の抵抗を含む回路に取り替える。
(1) 2-2に示した抵抗値Rの抵抗を2つ含む回路を用いた場合に対して、のときにPQ間の導線を流れる電流の大きさを求めよ。
(2) 2-3に示した抵抗値Rの抵抗を3つ含む回路を用いた場合に対して、のときにPQ間の抵抗を流れる電流の大きさを求めよ。

Ⅲ 最後に、図2-4に示した電気容量Cのコンデンサーと導線からなる回路を用いる。
(1) のときに導線を流れる電流の大きさを求めよ。
(2) のときに回路が磁場から受ける力のx成分を求めよ。

解答 東大物理で電気回路の問題が出題されるのは珍しいことですが、過去問に見当たらない分野もしっかり勉強しておいて欲しいというメッセージでしょう。

回路の頂点を
Qから反時計回りにRSPとします。

(1) のとき、回路中で磁場の中に侵入している部分の面積Sは、
回路を貫く磁束Øは、
電磁誘導の法則より、回路に生じる起電Vは、 (レンツの法則より、起電力の向きは、回路に時計回りに電流を流す向きです)
オームの法則より、回路に流れる電流の大きさは、 ......[]

(2) のとき、回路の内、PQの部分を流れる電流に働くの向きは、フレミング左手の法則より、y軸正方向で、x軸方向に働くは、回路右側の辺QR磁場中の部分に生じます。この部分の長さはXで、この部分が磁場から受けるの向きはx軸負方向、の大きさは、
回路が磁場から受けるx成分は、 ......[]

(3) のとき、回路中で磁場の中に侵入している部分の面積Sは、
回路を貫く磁束Øは、
回路に生じる
起電力Vは、 ()
回路に流れる電流Iは、
回路左側の辺
SP磁場中にある部分の長さは,この部分が磁場から受けるx軸正方向で、回路右側の辺QRは全て磁場中にあり、この部分が磁場から受けるx軸負方向。
回路が
磁場から受けるx成分は、
......[]

Ⅱ 正方形の回路PQRS内に入れた抵抗の両端を右側をT,左側をUとします。
のとき、回路PQRS中で磁場の中に侵入している部分の面積なので、Ⅰ(1)で検討したように、この部分に発生する起電力 (向きは回路に時計回りに電流を流す方向)です。
回路
TRSU中で磁場の中に侵入している部分の面積で、この部分を貫く磁束,回路TRSUに生じる起電力は、
 (向きは回路に時計回りに電流を流す方向。)
以下では、辺PQQPの向きに流れる電流,辺TUTUの向きに流れる電流とします。辺RSSRの向きに流れる電流です。

(1) 回路PQRSにおいて、キルヒホッフ第2法則より、
 ・・・①
回路TSRUにおいて、キルヒホッフ第2法則より、
 ・・・②
①より、,これを②に代入して、
......[]

(2) 起電力の状況は(1)と同じです。回路PQRSにおいて、キルヒホッフ第2法則より、
 ・・・③
回路TSRUにおいて、キルヒホッフ第2法則より、
 ・・・④
①より、,これを②に代入して、
......[]

(1) のとき、Ⅰ(1)より、回路に生じる起電力コンデンサーに蓄えられる電荷Qは、
電流の大きさは、 ......[]

(2) のとき、Ⅰ(3)より、回路に生じる起電力,コンデンサーに蓄えられる電荷Qは、
回路に流れる電流は、
負になる、ということは、Ⅰ
(3)とは逆向きに流れるということで、回路が磁場から受けるの向きも逆になり、x軸正方向になります。回路が磁場から受けるx成分は、
......[]


TOPに戻る   CFV21 アーカイブ   考察のぺージ

©2005-2011
(有)りるらる
CFV21 随時入会受付中!
理系大学受験ネット塾CFV21(ご案内はこちら)ご入会は、
まず、こちらまでメールをお送りください。
 雑誌「大学への数学」出版元

テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2012/04/29(日) 22:40:55|
  2. 東大物理'12年
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:0

東大物理'12年前期[1]

東大物理'12年前期[1]

高低差がhの水平面Hと水平面Lの間になめらかな斜面があり、東西方向の断面は図1-1のようになっている。水平面Lの東端には南北にのびる鉛直な壁がある。ここで小球の衝突実験を行った。すべての小球は面から離れることなく進み、互いに弾性衝突するものとし、小球と壁も弾性衝突するものとする。重力加速度の大きさをgとし、小球の大きさや回転、摩擦や空気抵抗は無視して以下の設問に答えよ。

Ⅰ 図
1-1のように、水平面Hで質量mの小球Aを東向きに速さvで滑らせ、質量Mの小球Bを西向きに速さvで滑らせて衝突させたところ、衝突後に小球Aは西向きに進み、小球Bは静止した。
(1) 衝突後の小球Aの速さを求めよ。
(2) 質量の比を求めよ。

Ⅱ 図
1-2のように、水平面Hで前問の小球Aと小球Bを東向きに同じ速さで滑らせたところ、小球Bは壁で跳ね返り、水平面Lからの高さがxの斜面上の点で小球Aと衝突した。その後、小球Aは斜面を上がって水平面H上の最初の位置を速さで西向きに通過し、一方、小球Bは壁と斜面の間を往復運動した。
(1) 2つの小球が衝突する直前の小球Aの速さを,小球Bの速さをとする。速さの比を求めよ。
(2) xhgを用いて表せ。
Ⅲ 前問の小球Bが、水平面Lから高さの地点と壁との間を東西方向に往復運動しているとき、図1-3のように小球Bをねらって質量の小球Cを水平面H上の点から発射した。水平面L上で小球Cはうまく小球Bに命中し、その後小球Bが壁で跳ね返ってから、小球Cと小球Bが両方とも水平面Hまで上がってきた。2つの小球は同じ速さで距離をに保ったまま水平面H上を同じ向きに進んだ。その方向は西から北に向けての角度をαとするとであった。
(1) 壁で跳ね返ったあとの小球Bの水平面Lでの運動の無機は、西から北に向けて角度β であった。を求めよ。
(2) 小球Bと小球Cが衝突した地点の壁からの距離dを求めよ。
(3) 水平面H上で発射したときの小球Cの速さVを求めよ。
(4) 小球Cを発射した方向を東から北に向けて角度θ とする。を求めよ。

解答 複雑で重量級の問題に見えるので、試験会場ではパニックになりそうです。Ⅲでは、小球Bと小球Cの衝突は斜衝突なので、東西方向、南北方向に分けて、衝突前後の運動量保存を考えようとすると失敗します。

(1) 衝突後の小球A速さuとします。西向きを正として、東西方向について運動量保存の式を立てると、
 ・・・①
反発係数の式 ∴ ......[]

(2) を①に代入して、 ∴ ......[]

(1) 衝突直前のAB速さとします。水平面H上と衝突直前とで力学的エネルギー保存より、
A
B
 ・・・②
......[]

(2) 衝突直後のAB速さとします。上る方向を正として、斜面に沿う方向について運動量保存の式を立てると、
 ・・・③
反発係数の式 ∴
③に代入して、

(2)の結果とⅡ(1)の結果を用いて、
・・・④
衝突直後と水平面H上との小球A力学的エネルギー保存より、
②,④より、


 ∴ ......[]

(1) 小球Cとの衝突後、水平面Lにおける小球B速さとします。小球Cとの衝突後、壁に衝突した後と水平面H上との、小球B力学的エネルギー保存より、
 ∴
斜面を上る際に小球Bは斜面に垂直な方向、即ち東西方向にのみ力積を受けるので、小球B速度の南北方向成分は、水平面L上、水平面H上で変化しません。つまり、小球B速度の南北方向成分は、水平面L上においても、
よって、
......[]

(2) (1)と同様に、小球Cについても、斜面を上る際に、東西方向にのみ力積を受けるので、速度の南北成分は変化しません。小球Bも小球Cもともに、水平面L上、水平面H上で、速度の南北方向成分が変化しないので、両者の経路の南北方向の距離も、変化しません。
水平面H上では、両経路の南北方向の距離はです。
水平面
L上では、小球Cの経路も西から北に向けて角度β なので、両経路の南北方向の距離はです。よって、
......[]

(3) 小球Bが小球Aと衝突した直後と、小球Bと小球Cが水平面H上で等速度運動するときとの、小球Bと小球C力学的エネルギー保存より、
......[]

(4) (1)(2)と同様に、小球B,小球Cは、東西方向にのみ力積を受け、南北方向には力積を受けないので、小球Bと小球Cについて、運動量の南北方向成分は保存されます。
小球C初速度の南北方向成分はなので、運動量保存より、
(3)の結果を代入して、
......[]


TOPに戻る   CFV21 アーカイブ   考察のぺージ

©2005-2011
(有)りるらる
CFV21 随時入会受付中!
理系大学受験ネット塾CFV21(ご案内はこちら)ご入会は、
まず、こちらまでメールをお送りください。
 雑誌「大学への数学」出版元

テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2012/04/25(水) 23:45:09|
  2. 東大物理'12年
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:0
上記広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。新しい記事を書くことで広告を消せます。