FC2ブログ

CHALLENGE from the VOID

大学入試問題を考える - 数学・物理 -

CFV21 ご入会のおすすめ
理工系受験生の方は
こちらをご覧ください
当会の活動にご支援頂ける方は
こちらをご覧ください

センター試験「数学」の必勝法はこちら
センター試験「物理」の必勝法はこちら

理工系受験生必見!! 2010-2007入試問題検討ページ(東大・東工大・京大・早慶) 
CFV21での学習の進め方

京大理系数学'12年[6]

京大理系数学'12[6]

さいころをn回投げて出た目を順に,・・・,とする。さらに、
()
によって,・・・,を定める。
となる確率を求めよ。

解答 問題文を見てギョッとしますが、問題文の不等式が成り立つ事象の余事象を考え、それを2つの場合に分けて考えると、問題のカラクリが見えてきます。

() ・・・()
 ・・・(**)
のとき、となるのは、より、なので、のときだけです。
従って、 ・・・①
ここで
()を使ってのときの状況からのときの状況を考えることになります。
(**)とした不等式と、とした不等式を考え、の範囲との範囲を調べることになります。そこで、の範囲について、手がかりを得ておくことにします。
はさいころの目なので
1から6のいずれかです。()より、はさいころの目よりも僅かに大きな数で、となりそうです。
nが自然数のとき、であることが予想し、これを数学的帰納法で示しておくことにします。
のとき、です。
のとき、と仮定すると、より、です。
従って、数学的帰納法により、自然数nに対して、 ・・・② です。

のとき、より、が条件
()を満たすことはありません。つまり、を満たすのは、のときか、のときだけです。
さいころを
n回投げた状況から、回投げた状況を考えます。
n回投げたとき、(**)が満たされているときと、満たされていないときに分けて調べます。
(1) さいころをn回投げたとき、(**)が満たされていたとします。こうなる確率です。このとき、
ですが、なので、
 ・・・③
(確率)のとき、③は、
となり、条件(**)は必ず満たされます。 ・・・④
(確率)のとき、③は、
となり、条件(**)は必ず満たされます。 ・・・⑤
(2) さいころをn回投げたとき、(**)が満たされていないとします。こうなる確率はです。このとき、
または
ですが、の範囲が2つに分かれているので、別々に考えます。
(i) のとき、②を考慮して、,よって、
 ・・・⑥
(確率)のとき、⑥は、
となり、より、条件(**)は必ず満たされます。 ・・・⑦
(確率)のとき、⑥は、
となり、条件(**)は満たされません。
(ii) のとき、②を考慮して、,よって、
 ・・・⑧
(確率)のとき、⑧は、
となり、条件(**)は満たされません。
(確率)のとき、⑧は、
となり、条件(**)は必ず満たされます。 ・・・⑨
上記で④,⑤が起こる確率は,⑦が起こる確率は、となる確率をとしてです。⑨が起こる確率は、となる確率をとしてです。
上記の検討より、さいころを回投げたとき、となる場合は、④,⑤,⑦,⑨のいずれかに限られます。従って、その
確率は、
 ・・・⑩
となります。ここで、確率は、またはとなる事象の確率ですが、この事象はとなる事象の余事象です。よって、
これより、⑩は、
 ・・・⑪
として、
 ・・・⑫ ∴
⑪-⑫より、
数列は、①より、初項:,公比:の等比数列です。
よって、
......[]


TOPに戻る   CFV21 アーカイブ   考察のぺージ

©2005-2011
(有)りるらる
CFV21 随時入会受付中!
理系大学受験ネット塾CFV21(ご案内はこちら)ご入会は、
まず、こちらまでメールをお送りください。
 雑誌「大学への数学」出版元
スポンサーサイト



テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2012/04/22(日) 22:03:59|
  2. 京大理系数学'12年
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:0

京大理系数学'12年[5]

京大理系数学'12[5]

次の命題(p)(q)のそれぞれについて、正しいかどうか答えよ。正しければ証明し、正しくなければ反例を挙げて正しくないことを説明せよ。
(p) n角形の頂点から3点を選んで内角の1つがである三角形を作ることができるならば、n3の倍数である。
(q) ABCと△ABDにおいて、かつならば、である。

解答 受験生にとっては真剣勝負の入学試験で、遊び心のある問題だなどと言ったら不謹慎かも知れませんが、どうか入学試験を楽しんでいってください、とでも言いたそうな出題者の優しい笑顔が見える気がします。無理に正解しよう、うまく切り抜けようと思わないで、いろいろといじって遊んでみることが、むしろ正解につながります。
なお、
証明の技巧を参照してください。

(p) 正三角形の内角はなので、内角の1つがである三角形を作ることができます。
正方形では、対角線で2個の直角二等辺三角形に分かれるだけなので、内角の1つがである三角形はできません。
正五角形では、隣接
3頂点で三角形を作ると、内角は、です。隣接2頂点と1つ離れた頂点とで三角形を作ると、内角は、です。内角の1つがである三角形はできません。
正六角形では、
1つおきの3頂点で三角形を作ると正三角形なので、内角の1つがである三角形を作ることができます。
正七角形、正八角形では、内角の
1つがである三角形はできません。
正九角形では、
2つおきの3頂点で三角形を作ると正三角形なので、内角の1つがである三角形を作ることができます。
これで、どうやら命題
(p)は正しそうだ、と、わかってきます。
角形では、ある頂点から個の頂点をおいて次の頂点を選び、そこから個の頂点をおいて次の頂点を選んで三角形を作れば
(この3頂点で正角形の外接円の円周を3つの等しい円弧に分割できます)正三角形になるので、内角の1つがである三角形を作ることができます。
逆に、正
n角形のn個の頂点から3点を選んで三角形を作るとき、内角の1つがになるということは、この内角を見込む外接円の円弧は円周のになる、ということです。
n3の倍数でないとき、正n角形の隣接2頂点を頂点とする円弧のうちの小さい方の弧の長さは円周のです。kを自然数として、とするとn3の倍数となって矛盾するので、円周のk個集めても円周のになることはありません。つまり、正n角形のどの2頂点を選んでも、この2頂点を両端とする円弧は円周のにはなり得ないので、内角の1つがである正三角形はできません。
よって、命題
(p)の正しいことが証明されました。

(q) ABCと△ABDとで共有する辺ABを弦にもつ円を考えると、は、弦ABの上に立つ円周角として考えることができます。円の半径が大きくなると弦ABの上に立つ円周角は小さくなります。
これより、半径の異なる2を考え、の半径がの半径よりも大きいとします。また、2円は異なる2ABで交わるものとします。
であるのに、かつであるような
2CDが見つかれば、題意は否定されます。
なので、
C上、D上に来るような状況を考えます。
右図のように、
Dとなるようにとり、ADを半径とする円を描きます。Bは円の内側に来ます。ここで、Bを中心として、BDを半径とする円を描きます。Bは円の内側に来ます。
Bを通るので、円上の点で、円の内側にあって、かつ、円の内側にある点が存在します。この点をCとすれば、”かつ”を満たします。ですが、C上の点、D上の点なのでです。
よって命題
(q)は正しくありません。


TOPに戻る   CFV21 アーカイブ   考察のぺージ

©2005-2011
(有)りるらる
CFV21 随時入会受付中!
理系大学受験ネット塾CFV21(ご案内はこちら)ご入会は、
まず、こちらまでメールをお送りください。
 雑誌「大学への数学」出版元

テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2012/04/19(木) 01:03:09|
  2. 京大理系数学'12年
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:0

京大理系数学'12年[4]

京大理系数学'12[4]

(1) が無理数であることを証明せよ。
(2) は有理数を係数とするxの多項式で、を満たしているとする。このときで割り切れることを証明せよ。

解答 (1)(2)とも背理法を使って証明します。なお、整数を参照してください。

(1) mnを互いに素な自然数として、とおけると仮定します。
3乗して分母を払うと、
これより、
n2の倍数で、kを自然数として、とおけます。よって、
 ∴
これより、m2の倍数となりますが、mnがともに2の倍数となり、互いに素であることと矛盾します。よって、仮定は誤りで、は無理数です。 (証明終)

(2) とおくと、
で割ったときの商を,余りをとおきます。は有理数を係数とするxの多項式なので、も有理数を係数とする多項式であり、abcは有理数です。
とすると、
 (因数定理を参照)
αをかけて、
より、
 ・・・①
 ・・・②
①×b-②×aより、
 ・・・③
と仮定すると、
この右辺は有理数なので、αが有理数となって、矛盾が生じます。よって、③より、

だとすると、となり、が有理数となって矛盾します。よって、,従って①も考慮して、です。よって、で割った余りは
0で、で割り切れます。 (証明終)


TOPに戻る   CFV21 アーカイブ   考察のぺージ

©2005-2011
(有)りるらる
CFV21 随時入会受付中!
理系大学受験ネット塾CFV21(ご案内はこちら)ご入会は、
まず、こちらまでメールをお送りください。
 雑誌「大学への数学」出版元
  1. 2012/04/10(火) 00:00:02|
  2. 京大理系数学'12年
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:0

京大理系数学'12年[3]

京大理系数学'12[3]

実数xyが条件を満たしながら動くとき
がとりうる値の範囲を求めよ。

解答 与式が対称式であることに気づけるか、という問題です。

とおくと、
実数
xyk2次方程式、
2解で、この2次方程式が実数解をもつために、
判別式: ∴  ・・・① (2次方程式の一般論を参照)

とおくと、

(複号同順)
t



00
3

増減表(3次関数の最大最小を参照)と、より、のとり得る値の範囲は、
......[]


TOPに戻る   CFV21 アーカイブ   考察のぺージ

©2005-2011
(有)りるらる
CFV21 随時入会受付中!
理系大学受験ネット塾CFV21(ご案内はこちら)ご入会は、
まず、こちらまでメールをお送りください。
 雑誌「大学への数学」出版元

テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2012/04/09(月) 10:23:14|
  2. 京大理系数学'12年
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:0

京大理系数学'12年[2]

京大理系数学'12[2]

正四面体OABCにおいて、点PQRをそれぞれ辺OAOBOC上にとる。ただし、PQRは四面体OABCの頂点とは異なるとする。△PQRが正三角形ならば、3PQQRRPはそれぞれ3ABBCCAに平行であることを証明せよ。

解答 空間ベクトルを用いて解決します。

OABCが正四面体であることから、
(とおきます) ・・・① (内積を参照)
として、とおくことができます。

より、
かつ
かつ
または かつ または
これより、以下の
3通りの場合があり得ます。
(i) のとき、
より、3PQQRRPはそれぞれ3ABBCCAに平行です。
(ii) かつ のとき、
となり、OQが一致するので題意に反します。
(iii) かつ のとき、
となり、ORが一致するので題意に反します。
以上より、証明されました。(証明終)


TOPに戻る   CFV21 アーカイブ   考察のぺージ

©2005-2011
(有)りるらる
CFV21 随時入会受付中!
理系大学受験ネット塾CFV21(ご案内はこちら)ご入会は、
まず、こちらまでメールをお送りください。
 雑誌「大学への数学」出版元
  1. 2012/04/09(月) 00:52:48|
  2. 京大理系数学'12年
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:0
次のページ