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東大理系数学'12年前期[5]検討

東大理系数学'12年前期[5]検討

[5](解答はこちら) 2次の行列の行列式が、原点、4頂点とする平行四辺形の面積に相当している(原問題では、行列内を横に見ています)ことをネタにした問題ですが、おどろおどろした問題文にもかかわらず、手をつけてみると容易です。[2]と同様に、見かけ倒しの問題と言えるでしょう。東大受験生としては、落とせない問題です。恐らく、出題者はもう少し底の深い問題を意図していたのだろうと思いますが、解答時間・難易度などを検討して妥協の問題になったような気がします。やや妥協しすぎで味気ない問題になってしまいました。そのために、[6]も行列の問題になってしまったのではないかと思います。
行列式は正負の値をとり得ますが、であれば、ベクトルからベクトルまで反時計回りに回ることを意味し、であれば、ベクトルからベクトルまで時計回りに回ることを意味します。であれば、ベクトルとベクトルは平行になります。が平行四辺形の面積を表します。

(2)4個の行列は、が恒等変換,y軸に関する対称移動,x軸に関する対称移動,が原点に関する対称移動を表す行列です。
は、に移す行列です。は、に移す行列です。が、を満たすとき、の形になりますが、
Bを左からかけると、A成分bが、1減るか、1増えるので、何度もBを左からかけると、そのうちに成分が0になってしまう、ということです。
要求されているのは、行列の基本知識だけ。誰にでも取り組める問題です。ですが、こういう問題でこそ、意欲的に数学に取り組んでいるか、ということが問われます。



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  1. 2012/11/23(金) 12:07:03|
  2. 東工大数学'12年
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東工大数学'12年前期[6]

東工大数学'12前期[6]

xyz空間に4PABCをとる。四面体PABCをみたす部分の体積を求めよ。

解答 断面積を積分するだけの体積の問題ですが、なかなかスンナリとはいきません。東大理系05年前期[6],東大理系98年前期[6]と似ていますが、本問の方がやや難しい印象を受けます。

四面体
PABCをみたす部分をTとします。
平面で切ったときの断面を考えます。
四面体を平面で切ると、断面は右上図の正三角形
DEFとなり、図形Tの断面は黄色着色部となります。この面積は、対称性を考え、z軸と平面との交点をとして、正三角形DEFの面積から、扇形の面積と三角形の面積の和の3倍を引いたものになります。
右下図で、直線
PAの方程式は、
 ・・・①
の境界線でとしてとなるので、図形Tが存在するzの範囲の上端は①でとして、,よって、図形Tは、の部分に存在します。
Dy座標は①でとして、
から
EFに下ろした垂線の足をJとすると、

正三角形DEFの面積は、
とすると(θ のとり方は、後でkの積分をθ の積分に置換積分することを考慮して選ぶようにします。本問では、ここが重要なポイントです)、三角形の面積は、より、
 (三角形の面積を参照)
扇形の面積は、より、
 (弧度法を参照)
θ kとの関係は、より、
 ・・・②
図形
Tの体積Vは、
 (定積分と体積を参照)
1項の積分は、
2項、第3項の積分は、②によって置換積分することにより、

kのとき、θ
 
(部分積分法を参照)
......[]


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  1. 2012/03/21(水) 01:16:18|
  2. 東工大数学'12年
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東工大数学'12年前期[5]

東工大数学'12前期[5]

行列で定まる1次変換をf とする。原点Oと異なる任意の2PQに対してが成り立つ。ただし、はそれぞれPQf による像を表す。
(1) を示せ。
(2) 1次変換f により、点が点に移るとき、Aを求めよ。

解答 直交変換(1次変換(その2)を参照)を題材とする問題で、慶大理工'09[B1]にも類題が出題されています。
問題文中というのは、原点以外の任意の点
Pについて、が一定だということです。

(1)  ・・・①
()OPx軸とがなす角をθ とすると、Pの座標はと表せます。
 (行列の積を参照)
より、の座標は、
①より、任意の角
θ について、
ここで、とおくと、
 (半角の公式を参照)
これが、任意の角θ について成立するために、
 ・・・②
なぜなら、でなければ、より、
 (三角関数の合成を参照)
が、一定値となることはありません。
②より、、即ち、 ・・・③
また、 ・・・④ が成り立ちます。

(2) ③より、 ()として、とおくことができます。④より、ABとして、です(内積を参照)
これより、 (複号同順)となります。よって、
 (複号同順) ・・・⑤

 ・・・⑥, ・・・⑦
⑦より、
⑥に代入すると、
 (複号同順)

⑦より、 ∴
⑤に代入して、
 (複号同順) ......[]


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  1. 2012/03/20(火) 12:11:26|
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東工大数学'12年前期[4]

東工大数学'12前期[4]

nを正の整数とする。数列
 ()
によって定める。
(1) およびを求めよ。
(2) 一般項を求めよ。
(3) とおくとき、を示せ。

解答 (1)の形を予測して、(2)で予測が正しいことを数学的帰納法で示す、というありきたりの問題ですが、数学的帰納法の書き方に少々工夫が必要です。(3)でも、区分求積法に持ち込むのに工夫が必要です。

(1) 漸化式において、として、
......[]
与漸化式において、として、



......[]

(2) (1)より、
と予測できます。予測が正しいことを数学的帰納法で示します。
() のとき、より、成り立ちます。
()のとき、
が成り立つと仮定します。
与漸化式において、として、
 (数列の求和技法を参照)

よって、予測はのときにも成り立ちます。
()()より、予測は、において成り立ちます。
......[]
注.()で、の中で、,・・・,も使うので、「のとき予測が成り立つ」と仮定してはいけないことに注意してください。

(3)
ここで、
としてしまうと、区分求積法に持ち込むことができません。和をとっているので、のときに、の違いによる差が積み上がって結果に違いが出るかもしれないからです。そこで、はさみうちにすることを考えます。

より、
従って、
ここで、とすると、
 (区分求積法を参照)
よって、はさみうちの原理により、となります。
注.区分求積法 において、であっても、が有限確定値であれば、
です。極端なことを言えば、jmが整数の定数()だとして、においてが有限確定値であれば、
ここで、より、
です。の場合などもが有限確定値であれば同様です。


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  1. 2012/03/18(日) 22:04:24|
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東工大数学'12年前期[3]

東工大数学'12前期[3]

3次関数のグラフをC,直線lとする。
(1) Clが原点以外の共有点をもつような実数aの範囲を求めよ。
(2) a(1)で求めた範囲内にあるとき、Clによって囲まれる部分の面積をとする。が最小となるaの値を求めよ。

解答 解と係数の関係を利用するとしても、aの関数とするのでは複雑になるので、かなり面倒です。

C ・・・①
l ・・・②

(1) ①,②を連立して、

 ・・・③
原点以外の共有点をもつとき、この方程式は、以外の解をもちます。つまり、2次方程式
 ・・・④
が、を重解とすることがない、または、相異なる2実数解をもちます。
を解にもつとき、よりですが、このとき、
より、も解になるので、Clは原点以外の共有点をもちます。のとき、3次方程式③は、を重解にもつので、Clは、で接し、で交わります。 ・・・⑤
2次方程式④が相異なる実数解をもつとき、
判別式: (2次関数の一般論を参照)

以上より、Clが原点以外の共有点をもつような実数aの範囲は、 ......[]
のとき、④は、重解をもちます。 ・・・⑥

(2) のとき、2次方程式④の2実数解をαβ として、解と係数の関係より、

 ・・・⑦
2次方程式④は、(i) のとき、より、④は正負2解をもちます。 (ii) のとき、よりと合わせて、④は正の解2解をもちます。
(i) のとき、④の正の解をβ として、においてlCの上に来るので、Clによって囲まれる部分の面積は、
ここで、β aを用いて表せればよいのですが、⑦を用いると根号を含む複雑な式になってしまいます。
より
(⑤に注意)なので、は、β 増加関数で、また、β aの増加関数です。そこで、⑦を用いて、β の関数と考えることにします。
とおくと、
より、β の増加関数です。においては、
 ・・・⑧
(ii) のとき、④の正の解2解をαβ ()とします。⑦が成り立ちます。
このとき、は、において正でClの上にあり、において負でlCの上にあるので、




とおきます。
(i)と同様に、④でとして(⑥に注意)より、 (で重解の場合は、)なので、β の関数として考えます。この場合も、は、β の増加関数で、β aの増加関数です。また、のとき、です。


とすると、
より、増減表は、



3
00




のとき、最小です。
と⑧とから、は、のとき最小で、このとき、より、⑦を用いて、
が最小となるaは、 ......[]


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