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東大理系数学'12年前期[4]検討

東大理系数学'12年前期[4]検討

[4](解答はこちら) この問題は、入り口が入り易いので、ほとんどの受験生が手をつけると思います。ですが、(2)は、意外と手がかりに乏しく悪戦苦闘を強いられます。いくらでも時間をかけて良いのであればおもしろい問題ですが、入試問題としては、危険な問題です。実戦的には、(1)ができたら(2)を早めに断念する方が賢明で、この問題で深入りして時間を使ってしまうと、[6]の面倒な行列計算に費やす時間がなくなってしまい、合格点を獲得することが難しくなります。
(1)は、連続する2個の自然数の積がn乗数になると仮定すると、連続2自然数は互いに素なので、連続2自然数がともに自然数のn乗と書かれることになります。ここで、n乗同志の差が1になることはあり得ないことに気づけば解答できるでしょう。
ですが、
(2)では同じようには行きません。連続3自然数になると、互いに素と言えなくなるので、とは限りません。
例えば、では、となり、あと
22がかけられれば、となります。連続3自然数の積の素因数2が、98100の素因数分解に分かれて出てくる場合があり得るので考えにくくなります。
nが素数であれば、連続n個の自然数の中には必ずnの倍数が含まれ、矛盾が導けそうですが、のような場合、
163167
のように、12個の整数の中に、2の倍数と3の倍数が複数個あるような場合が出てきて、が幾つかの整数の素因数分解の中の23をかけ合わせて出てくることがあり得るのでうまく行かないのです。
また、
n個の整数、k,・・・,の各々の素因数分解を考え、その中に、235などが幾つ含まれるかを考えて行くことも考えられます。
n個の整数、k,・・・,の中には、最大個の2の倍数があります。最大個の4の倍数があります。最大個の8の倍数があります。こうして行けば、の素因数分解中の2の個数を数えることはできますが、mを自然数として、これがちょうど乗になるのか、ならないのか、という議論をするのは困難です。
あるいは、解析的解法も考えられます。連続する
n個の自然数k,・・・,の積がn乗数だと仮定し、pを自然数として、
と表されれば、両辺の対数を考えて、
より、
 ・・・①
が成り立つはずです。
における接線:
を考えると、なので、接線は、曲線から上側にあります。
()として、であれば、
の中にはとなるものがあるので、で加え合わせると、

より、
ここで、であれば、「①と矛盾」とできるのですが、のときには、①が成立する可能性を排除できないので、行き詰まります。
というわけで、容易に思いつけるアイデアでは解決できません。解答のように思いつければよいのですが、そうでなければ断念もやむを得ないでしょう。



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  1. 2012/11/18(日) 15:26:38|
  2. 東大数学12年
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東大理系数学'12年前期[3]検討

東大理系数学'12年前期[3]検討

[3](解答はこちら) 回転体の求積問題、回転する曲線も楕円と放物線で、平凡な問題です。x軸のまわりの回転体体積y軸のまわりの回転体体積の体積比1との大小関係も、東大では、過去、何度も出題されているテーマです。
ただし、本問は、東大受験生にとって得点し易い問題とは言えません。こうした問題では、積分計算の途中の計算過程を採点者が細かく見てくれるとは思えないので、計算式が正しくても最終結果が誤りであれば即アウトです。通分で
3をかけるのを忘れたり、マイナスをプラスにしたり、置換積分で積分範囲を直すのを忘れたり、というミスを1ヶ所でもやれば零点です。こうしたミスは誰でもやります。一発で計算を合わせることを考えるのではなく、また、ミスをしてから悔しがるのではなく、こうしたミスは「やってしまうものだ」という前提に立って対処を考えるべきです。試験会場で、検算をしっかり行うか、冷静にミスを発見できるか、ということが問われているのです。
こうしたことは、「注意力」「集中力」というような言葉で片付けることはできません。試験会場で、どんなにミスしないように、と細心の注意を心がけていても、ミスは起こるのです。ふだんの計算練習のときから、答が合っているか間違っているかで終わりにしないで、自分はどこでミスをし易いのか、ミスし易いのは自分のどんなクセによるのか、自分のミスはどうやれば発見できるのか、問題意識をもって練習する必要があります。日頃やっているチェック作業を試験会場でも当たり前のように行う、という感覚をもつようにしてください。
本問のような易問でミスしてしまうと致命傷になります。他科目での挽回を不可能にしてしまう大幅減点になりかねません。後で泣くなら、試験会場でのチェックを厳重に行うことを考えましょう。
本問では、根号を含む数値がどれくらいの値かを評価する問題が付属しています。例えば、であれば、より、としたり、としたりして、あらかじめ不等号が成立するかどうかを調べておき、不等式を有理化したり、明らかな数値大小関係から不等式を導くことを考えてください。



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  1. 2012/11/13(火) 08:47:13|
  2. 東大数学12年
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東大理系数学'12年前期[2]検討

東大理系数学'12年前期[2]検討

[2](解答はこちら) 難関大学を狙うときに、[1]のような、どんな問題集にも載っている標準的な問題を確実に計算しきる、ということとともに重要な点がもう一つあります。一見すると、難問に見えるような問題でも、食らいついて見ると意外と大したことない、ということがよくあるのです。本問は、そうした「見かけ倒し」の問題です。
球が留まる場所が
9ヶ所もあるので、数列で行けるか不安になるのですが、偶数回目に球が留まる場所は3ヶ所しかない、しかも対称性によってPQだけ考えればよいことに気づけば、定型パターンの数列・確率の融合問題です。秒後の確率と秒後の確率との間にどういう関係があるかを考えれば、漸化式をすぐ作ることができて、あとは2項間漸化式を解くだけです。
東大理系前期の入試には、国語の試験もあるので、東大を狙う場合、早めに、できれば高
2のうちに、覚悟を決める必要があります。そのときに、志望校を東大にするか、他の国語の試験のない大学にするか(国公立大学の場合、センター試験の国語はありますが)、本問は、その判断材料にできる問題と言えます。仮に時間がかかったとしても、本問を自力で解けるのであれば、ぜひ、東大を目指して頂きたいと思います。
国語、特に、現代文の試験では、書かれている文章から、その背景にある書き手の意図をくみ取ることができるか、ということが重要です。こうした確率の問題では、短い問題文に書かれている条件から、漸化式を作るだけの数学的な関係性を引き出せるか、ということが問われます。多くの塾や予備校では、こうしたものを、技巧として、機械的作業で作り出せ、と教えるだろうと思いますが、私は、本来、現代文の実力、つまり、文章理解力の深さで解決すべきものだと思います。「一を知って十を知る」ということわざがありますが、一を知って一しか考えられないのであれば、東大の数学の入試問題をこなすことは難しくなります。
目の前に老人がいてベンチに座っておなかを両腕で抱えていたとします。その状況を見て、変わった老人だな、と、思って、他の人がしているのに合わせて通り過ぎてしまう、という感性を持った人には、東大合格は無理です。もしかして、病気でおなかが痛いのかも知れない、重大な病気かも知れない、様子からして胃だろうか、あるいは、食べるものがなくおなかをすかせているのか、多数派が無視してしまう中で自分の想いの方を優先させて「どうしましたか」と声をかけてみようか、というように、一つの状況から想像力を働かせて、視野に入ってくる情報の裏側にどんどん踏み込んでいく感覚が、東大合格、特に本問のような見かけ倒しの問題を制するのに必要です。
こうした感性を磨くためには、私は、敢えて、周囲との軋轢を恐れず迎合しない、自分固有の見方考え方文化を大切にすることが大切だと申し上げたいと思います。老人がおなかを抱えているという状況に甘んじて、状況に流されるだけであれば、その原因を突き止め対策を考えていくことにつながりません。周囲に安易に迎合するだけであれば状況の裏側にまで踏み込む感覚は得られません。老人に声をかけると、ひょっとして、「余計なお世話だ」と怒鳴られるかも知れません。ですが、この老人には怒鳴るほどの元気がある、というのは、自分の感性から勇気をもって声をかけてみて初めてわかるのです。周囲とのぶつかり合いの中で自分を見つめ直すことが重要だと、私は思います。



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  1. 2012/11/11(日) 09:27:33|
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東大理系数学'12年前期[1]検討

東大理系数学'12年前期[1]検討

[1](解答はこちら) 昨年の[1]もそうでしたが、この問題は、他の国公立大学で出題されてもおかしくないような標準的な問題です。東大だから、頭をひねって考え抜くような問題が出るんだろう、と思うと、少し違います。東大でも、微分して増減表を書いて最大・最小を考える、[3]のように面積体積を積分計算する、という問題も出題されるのです。従って、難問に挑戦するのだから、基礎事項の修得を軽んじて良い、ということにはなりません。
本問では、円の方程式と直線の方程式を連立して解き、線分の長さを
θ の関数として表せば、あとは一本道です。極値を与える角の値が、とかとかとかというような角にはならないので、変域の両端となる角や極値を与える角をなどと文字で置いて、答案の書き方を工夫する必要がありますが、東大でなくても、そうした問題はザラにあります。また、本問では、計算の手間は大したことありませんが、問題によっては面倒な計算を強いられる問題もあります。忍耐強く、最終解答に至るまで、慎重に計算をやりきるだけの知的持久力も磨くようにしましょう。
入試会場では、こうした問題にこそ精力をこめてていねいに解くべきです。見直しも入念に行うようにしましょう。ここで得点できないと致命傷になります。実戦的には、難問を後回しにして、こうした問題を最初に解き、確実に得点を積み重ねていくべきです。
東大受験生であっても、微分・積分などの基礎事項を手を抜いてよい、ということにはなりません。標準的な問題を確実に解けてなお、難問にアタックする気力と知力を兼ね備えているという必要があるのです。



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  1. 2012/11/09(金) 12:58:28|
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東大理系数学'12年前期[6]

東大理系数学'12年前期[6]

行列に対して
と定める。
abcを満たす実数とする。行列ABCDを次で定める。
また実数xに対しとする。
このとき以下の問いに答えよ。

(1) 各実数tに対して、xの関数
の最大値を求めよ。(ただし、最大値をとるxを求める必要はない。)
(2) すべての実数tに対し
が成り立つことを示せ。

解答 は対角和と呼ばれ、行列Pの対角成分の和になります。2次正方行列では、成分と成分の和になります。
本問は、途中の計算がかなり面倒で、冷静かつ正確な計算力が要求されます。


(1)  (行列の積を参照)
 ・・・①


①において、とすることにより、
 (2倍角の公式を参照)
これの成分は、
成分は、
よって、

 (加法定理を参照)
なので、
のとき、は、のときに最大値:をとります。
のとき、なのでです。
のとき、は、のときに最大値:をとります。
以上より、
3通りの場合をまとめて、
......[]

(2) ①で、とすることにより、

これの成分は、
成分は、
よって、


以上より、
 ・・・②
 ・・・③
この左辺は、 ()とおくと、

より、
より,また、
とおくと、より、において、
従って、において、
よって、③が成り立つので②が成り立ちます。


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  1. 2012/03/12(月) 01:30:06|
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