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佐賀大理工数学'12年[2]

佐賀大理工数学'12[2]

0以上の整数nに対して、とおく。ただし、とし、eは自然対数の底とする。次の問いに答えよ。
(1) のとき、の導関数をを用いて表せ。
(2) の導関数を求めよ。
(3) を求めよ。
(4) を示せ。

解答 計算はややこしいですが、誘導に従って解答すれば容易です。

(1)  (積の微分法を参照)
......[] ・・・①

(2)  ・・・②

 ( )
 (数列の求和技法を参照)
......[
]

(3) として、
 (部分積分法を参照)


 ・・・③
 
(階差数列を参照) ・・・④
 
( )
④より、
......[]
別解.(2)より、


(4) において、より、
(3)の結果より、


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  1. 2012/11/19(月) 01:25:43|
  2. 12年数学
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横国大理工学部数学'12年[5]

横国大理工学部数学'12[5]

鋭角三角形ABCの大きさをそれぞれ、αβγで表す。点DEFはそれぞれ辺CAABBC上にあり、を満たす。次の問いに答えよ。
(1) ABCと△DEFは相似であることを示せ。
(2) を示せ。
(3) αが一定のとき、を最小にするようなβγαで表せ。

解答 (3)2変数関数のようで悩みますが、実は1変数関数です。

(1)
よって、2角が等しいので、△ABCと△DEFは相似です。

(2)  ・・・①
Eを通ってACに平行な直線とDFとの交点をGBCとの交点をHとします。
(同位角)
 ・・・②
HからACに垂線HIを下ろすと、
また、

 ・・・③
①,②,③より、

(3) は、αが一定であるとき、βγ2変数関数のように思えますが、という関係があるので、実は1変数関数です。
γを消去してβ1変数関数の形に表してもよいのですが、ここでは、βγ2文字のままやってみます。まず、(2)の結果をβで微分します。γは、βの関数であることに注意してください。
 ・・・④ (合成関数の微分法を参照)
の両辺をβで微分します。
 ∴
④に代入して、
とすると、のとき、となるので不適です。
のとき、より、
さて、より、です。

βが、の範囲を動くとき、
のときには、より
のときには、より
従って、
yは、において減少、において増加します(関数の増減を参照)
を最小にするような
βγは、 ......[]


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  1. 2012/11/15(木) 13:10:00|
  2. 12年数学
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名大理系数学'12年[2]

名大理系数学'12[2]

として、正の整数nに対して、
により実数xの関数を定める。
(1) を求めよ。
(2) とするとき、定積分を求めよ。ただし、実数abcは定数とする。
(3) 正の整数nに対して、を求めよ。

解答 面倒な積分計算を強いられそうなのですが、工夫すれば、それほどでもなくなる、という問題です。

(1)
 (積の微分法を参照)
 (部分積分法を参照)

 ・・・①
......[]

(2)
 ( )

 ・・・②
 ( ②,また、とおいて置換積分)
 ( )
......[]

別解.より、は奇関数です。
よって、

(3) 問題文の漸化式を用いて最初の方を計算してみます。


 ( ①,また、とおいて置換積分)
 ( )

は、で、としたものです。
は、で、としたものです。
これで、
1次関数ととの積で表され、1次関数の定数項と1次の係数はnに依存して変化する、つまり、と予測できます。
のとき、より、として、予測は成り立ちます。
のとき、予測が成り立つとして、となります。


 (定積分と微分を参照)



(2)より、第1項の積分はゼロです。

これより、とすれば、
よって、予測はのときも成り立ちます。
数学的帰納法により、 ・・・③
より、数列は、初項,公比
3等比数列で、
より、
で両辺を割って、
数列は、初項,公差等差数列で、

③より、 ......[]


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  1. 2012/11/12(月) 09:35:22|
  2. 12年数学
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早大理工数学'12年[4]

早大理工数学'12[4]

関数
 ()
について、次の問いに答えよ。
(1) を求めよ。
(2) のグラフの概形を描け。
(3) 曲線上を動く点をPとする。点Qは、曲線Pにおける接線上にあり、Pとの距離が1で、そのx座標がPx座標より小さいものとする。Qの軌跡を求めよ。

解答 問題文の式だけ見ると、膝がガクガク震えそうですが、題材は、早大理工'96[5]でも取り上げられている「追跡線」と呼ばれる関数です。やってみると意外と大したことはありません。昨年の東大理系前期[3]の積分の問題にも類似の関数が登場します。

(1)  (合成関数の微分法を参照)



......[]

(2) (1)より、においてで、減少関数です。より、のグラフの概形は右図。

(3) Px座標を ()とすると、y座標はです。
Pにおける接線の傾きは、
Qx座標がPx座標より小さいことと、PQの長さが1であることから、右図より、点Qx座標は、
y座標は、
(とおきます)
(1)と同様にして、

よって、において減少関数で、より、
よって、求める
軌跡は、y軸のの部分 ......[]


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  1. 2012/02/21(火) 00:29:04|
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早大理工数学'12年[3]

早大理工数学'12[3]

表が出る確率がa (),裏が出る確率がのコインを1枚投げる試行をn回行う。ただしとする。このn回の試行の結果、表が2回以上出る事象をで表す。また1回目からn回目の試行が終わるまでに、「裏→表」の順で出ない事象をで表す。次の問いに答えよ。
(1) 確率を求めよ。
(2) 確率を求めよ。
(3) 極限
を求めよ。ただし、をみたすrに対して、となることを証明なしに用いてよい。

解答 極限をとるあたりがややこしいのですが、等比数列の極限の基本に従って丁寧に解答しましょう。

(1) 事象余事象は、n回の試行の結果、表が1回も出ない(裏ばかりn回、確率)か、あるいは、表が1回だけ出てかつ裏が回出る(確率)事象です。その確率は、
......[]
事象は、表が1回も出ない、か、または、表が1回目からk回目()まで連続して出た後、裏が回目からn回目まで連続して出る、か、または、表ばかりn回連続して出る事象で、その確率は、
 (等比数列を参照)

......[]

(2) 事象は、事象から、表が1回も出ない(確率)事象と、1回目に表が出て2回目からn回目まで裏が連続して出る(確率)事象を除いた事象で、
より、その確率は、


......[]

(3)
 (で分母・分子を割る)
より,よって、のとき、
また、 
(等比数列の極限を参照),題意より、
......[]


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