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センター数学IIB '12年第4問

 センター数学IIB '12年第4問 

空間に異なる4OABCとなるようにとり、とおく。さらに、3DEFを、となるようにとり、線分BDの中点をL,線分CEの中点をMとし、線分AD31に内分する点をNとする。

(1) を用いて
と表される。

(2) 2直線FLMNが交わることを確かめよう。とし、線分FLsに内分する点をPとする。は、sを用いて
と表される。のとき、となるので、MNPは一直線上にある。よって、2直線FLMNは交わることがわかる。

(3) 2直線FLMNの交点をGとする。は、を用いて

と表される。
とする。このとき、となる。
次に、直線
OC上に点Hをとり、実数t を用いて、と表す。は、t を用いて
 ・・・①
 ・・・②
と表される。
さらに、とする。このときの
t の値を求めよう。であることから
 ・・・③
が成り立つ。①,②,③から、である。

解答 よく前後を見渡していないと何をやっているのかわからなくなりそうな空間ベクトルの問題ですが、難解なわけではありません。計算するだけなので、落ち着いて解答しましょう。なお、空間ベクトルを参照してください。

(1)
() 2 () 3 () 4 ......[]

(2)

 ・・・④
() 1 () 2 () 1 ......[]


MNPが一直線上にあるとき、より、
の係数が等しいから、

のとき、となります。
() 2 () 3 () 2 () 3 ......[]

(3) (2)の点Pが点Gです。④でとして、
() 1 () 3 () 2 () 2 ......[]

 ・・・⑤
() 2 ......[]
より、

 ・・・⑥
() 3 ......[]
 (⑤を用いた)
 (⑥を用いた)

 ・・・①
() 2 () 1 () 6 () 3 ......[]
 ・・・②
⑥,を用いると、として、
 ・・・③
() 3 () 2 ......[]
①,②,③より、

(
) 1 () 3 ......[]


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  1. 2012/02/08(水) 14:53:38|
  2. センター数学'12年
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センター数学IIB '12年第3問

 センター数学IIB '12年第3問 

である等差数列とし、自然数nに対して、とおく。
であり、の公差はである。したがって

 ()
 ()
である。
次に、数列

 () ・・・①
を満たすとする。数列の一般項を求めよう。①からである。さらに、に注意して、①を利用すると
 ()
が成り立ち、この等式は

 ()
と変形できる。ここで
 () ・・・②
とおくと、は、,公比がの等比数列であるから、②により
 
()
である。ただし、については、当てはまるものを、次ののうちから一つ選べ。
    n   

解答 2次試験としても珍しいタイプの2項間漸化式が出てくる問題です。②式を等比数列漸化式の後に書く誘導もわかりにくく、受験生は苦労させられたことでしょう。

等差数列の公差は、
初項は、

() - () 1 () 3 () - () 2 ......[]

() - () 2 () 5 () 3 () - () 2 () 3 ......[]
①において、として、より(数列の和と一般項を参照)
 ∴
() 1 ......[]
①において、として、
 ・・・③ (Σの公式を参照)
③-①,より、

 ・・・④
() 4 () 6 () 1 ......[]
 ・・・⑤
とすると、
④と比較して、
 ∴
() 2 () 1 ......[]
よって、⑤より、

 ・・・⑥
とおくと、
よって、は、公比:4,⑥より初項:等比数列です。
() 4 () 4 ......[]
⑥より、
() 4 ()  () 2 () 1 ......[]


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  1. 2012/02/07(火) 09:14:44|
  2. センター数学'12年
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センター数学IIB '12年第2問

 センター数学IIB '12年第2問 

座標平面上で曲線Cとし、放物線Dとする。

(1) 曲線C上の点PにおけるCの接線の方程式は
である。放物線Dは点Pを通り、DPにおける接線と、CPにおける接線が一致するとする。このとき、pqaを用いて表すと
 ・・・①
となる。
以下、
pqは①を満たすとする。

(2) 放物線Dy軸上の与えられた点Qを通るとき
 ・・・②
が成り立つ。与えられたbに対して、②を満たすaの値の個数を調べよう。
そのために、関数
の増減を調べる。関数は、で極小値をとり、で極大値をとる。
関数のグラフをかくことにより、のとき、②を満たす
aの値の個数はであることがわかる。

(3) 放物線Dの頂点がx軸上にあるのは、の二つの場合である。のときの放物線をのときの放物線をとする。x軸で囲まれた図形の面積はである。

解答 最後の面積のところの答え方に驚かされますが、数学Ⅱの微積分の基本問題です。

C ・・・③
D ・・・④

(1) ③を微分して、
Pにおける接線は、

() 2 () 2 () 3 ......[]
④を微分して、
DPにおける接線と、CPにおける接線が等しいとき、両者のにおけるy座標と接線の傾きが等しく、
 ・・・⑤
これより、
⑤に代入して、

(
) 2 () 2 () - () 2 () 2 ......[]

(2) 放物線Dは、
 ・・・⑥ (2次関数を参照)
Qを通るので、
 ・・・②
() - () 2 () 2 ......[]


x
0

00
00

増減表より、で極大値:0で極小値: (3次関数の増減を参照)
(
) 0 () 0 () 1 () 3 () 1 () 2 () 7 ......[]
のとき、②を満たすaの値の個数は3
() 3 ......[]

(3)⑥より、
放物線Dの頂点がx軸上にあるとき、

(
) 0 () 4 () 9 ......[]
のとき、
放物線
のとき、
より、放物線x軸正方向に、だけ平行移動した放物線で、
x軸で囲まれた図形の面積Sは、放物線が軸に関して対称なことから、
() 4 () 1 () 0 ......[]


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  1. 2012/02/06(月) 12:02:37|
  2. センター数学'12年
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センター数学IIB '12年第1問

 センター数学IIB '12年第1問 

[1] として、不等式
 ・・・①
を満たすxの値の範囲を求めよう。
真数は正であるから、が成り立つ。ただし、対数に対し、
aを底といい、bを真数という。
aを満たすとき、不等式①
 ・・・②
となる。ただし、については、当てはまるものを、次ののうちから一つ選べ。
   

したがって、真数が正であることと②から、のとき、不等式①を満たすxのとり得る値の範囲はである。
同様にして、のときには、不等式①を満たす
xのとり得る値の範囲はであることがわかる。

解答 対数の底が1より小さい場合も考えますが、この問題は落とせません。

真数は正であるから、
かつ
 ・・・③
() 2 () 8 ......[]
のとき、①より、
() 1 () 7 () 6 () 6 () ......[]

③と合わせて、
() 6 () 8 ......[]
のとき、

③と合わせて、

() 2 () 6 ......[]


[2] として
を満たすβ について考えよう。ただし、とする。
たとえば、のとき、
β のとり得る値はの二つである。
このように、
αの各値に対して、β のとり得る値は二つある。そのうちの小さい方を,大きい方をとし
が最大となるαの値とそのときのyの値を求めよう。
αを用いて表すと、のときは
となり、のときは
となる。
したがって、のとり得る値の範囲は
である。よって、yが最大となるαの値はであり、そのときのyの値はであることがわかる。に当てはまるものを、次ののうちから一つ選べ。
  1   

解答 後半部分がややこしいですが、2つの場合に分けて、ていねいに解答しましょう。なお、三角関数を参照してください。

のときより、

より、

(
) 6 () 5 ......[]
のとき、
より、

() 4 () 2 () 3 ......[]
のとき、
より、

() 4 () 2 () 5 ......[]
のとき、

より、
 ・・・①
のとき、
より、
 ・・・②
従って、のとり得る値の範囲は、①,②より、
() 3 () 8 () 1 () 1 () 8 ......[]
このとき、は、のとき、つまり、①の方なので、
のとき、最大値:をとります。
() 3 () 2 () 2 () ......[]


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  1. 2012/02/05(日) 13:59:53|
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センター数学IA '12年第4問

 センター数学IA '12年第4問 

1から9までの数字が一つずつ書かれた9枚のカードから5枚のカードを同時に取り出す。このようなカードの取り出し方は通りある。

(1) 取り出した5枚のカードの中に5と書かれたカードがある取り出し方は通りであり、5と書かれたカードがない取り出し方は通りである。

(2) 次のように得点を定める。
・取り出した5枚のカードの中に5と書かれたカードがない場合は、得点を0点とする。
・取り出した5枚のカードの中に5と書かれたカードがある場合、この5枚を書かれている数の小さい順に並べ、5と書かれたカードが小さい方からk番目にあるとき、得点をk点とする。
得点が0点となる確率はである。得点が1点となる確率はで、得点が2点となる確率は,得点が3点となる確率はである。
また、得点の期待値は点である。

解答 本年の確率は基本的出題です。

異なる
9枚から5枚を取り出す取り出し方は、通り。
() 1 () 2 () 6 ......[]

(1) 5以外の8枚から4枚を取り出す取り出し方は通り。
() 7 () 0 ......[]
5
と書かれたカードがない取り出し方は、通り。
() 5 () 6 ......[]

(2) 9枚のカードから5枚のカードを同時に取り出す取り出し方は126通りあって、同様に確からしい。
取り出した5枚のカードの中に5と書かれたカードがない取り出し方は56通りなので、その確率は、
() 4 () 9 ......[]
得点が1点になるのは、567895枚を取り出すときで、その確率は、
() 1 () 1 () 2 () 6 ......[]
得点が2点になるのは、5の書かれたカードのほかに、5より小さい数14の書かれたカードを1枚、5より大きな数69の中から3枚を取り出すときで、その確率は、
() 8 () 6 () 3 ......[]
得点が3点になるのは、5のカードのほかに、14の中から2枚、69の中から2枚を取り出すときで、その確率は、
() 2 () 7 ......[]
得点が4点になるのは、5のカードのほかに、14の中から3枚、69の中から1枚を取り出すときで、その確率は、
得点が5点になるのは、123455枚を取り出すときで、その確率は、
得点の期待値は、
() 5 () 3 ......[]


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