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鳥取大医数学'11年[4]

鳥取大医数学'11[4]

xの関数
により定める。このとき、次の問いに答えよ。
(1) 関数の増減、凹凸を調べ、のグラフの概形を描け。
(2) の値を求めよ。
(3) 実数xyを満たすとき
が成り立つことを示せ。
(4) の値を求めよ。

解答 の逆関数、つまり、となるθ を意味します。(4)では、となるθ を求めよ、ということなので、どうしようか、と、思いますが、(3)がヒントになります。

(1)  (商の微分法を参照)
とすると、
とすると、
増減表は以下のようになります(関数の増減を参照)
x

0

0
1

グラフは右図。

(2)
とおくと、
tのときθ (置換積分を参照)

......[]

(3) (2)と同様に、として、
として、

また、 (正接の加法定理を参照) より、

注.は、より、の逆関数です。

(4) (2)と同様に考えると、を求める、ということは、と満たすθ を求める、ということです。、そのままでは無理なので、(3)を利用します。
二重根号を外すときと同様にして、
より、(3)において、として、より、
......[]


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  1. 2012/02/17(金) 18:24:58|
  2. 11年数学
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名古屋市大芸工数学'11年[4]

名古屋市大芸工数学'11[4]

xy平面上において、媒介変数t ()によってと表される右図の曲線について次の問いに答えよ。
(1) xの最大値、最小値を求めよ。
(2) を求めよ。
(3) この曲線で囲まれる図形をx軸のまわりに1回転してできる立体の体積を求めよ。

解答 曲線はカージオイドです。媒介変数表示された曲線を回転させたときの回転体体積の問題です。大変な計算になりそうに見えますが、やってみると意外と簡単です。

(1)
より、,つまり、のときに、最小値: ......[]
,つまり、のときに、最大値:4 ......[]

(2)  (積の微分法を参照)
......[]

(3) ()における曲線のy座標を ()における曲線のy座標をとします。立体の体積Vは、を回転させた回転体の体積から、を回転させた回転体の体積を引いたものです(x軸のまわりの回転体を参照)
とおくと、(2)より
では、
xのときtでは、xのときt (置換積分を参照)
とおくと、tのとき、utのとき、u
 (積分区間を1つにまとめた)


......[
]


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  1. 2012/02/12(日) 19:45:45|
  2. 11年数学
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筑波大数学'11年[2]

筑波大数学'11[2]

自然数nに対し、関数
 ()
を考える。
(1) 関数 ()はただ一つの点で最大値をとることを示し、が最大となるようなxの値を求めよ。
(2) (1)で求めたに対し、極限値を求めよ。

解答 (1)では、 (定積分と微分(その2)を参照)を用いて導関数を考えます。(2)は見慣れない極限ですが、はさみうちで解決できます。

(1)

 (指数法則を参照)
とすると、
両辺の
対数をとり、
においては、
において、
よって、より、においては増加関数(関数の増減を参照)
において、
よって、より、においては減少関数。
従って、関数 ()はただ一つの点で最大値をとり、が最大となるようなxの値は、 ......[]

(2) より、
各辺のn乗根を考えると、
より、各辺の対数を考え、
ここで、とすると、
 (数列の極限を参照)
......[]


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  1. 2012/02/11(土) 20:42:59|
  2. 11年数学
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山形大医数学'11年[1]

山形大医数学'11[1]

座標平面において、点を中心とする半径2の円をCとする。点を通る直線と円Cとの交点をABとし、点を通る直線と円Cとの交点をPQとする。さらに、は垂直に交わるとする。ただし、は座標軸とは一致しない。の傾きをkで表す。このとき、次の問いに答えよ。
(1) の交点Dは円Cの内部にあることを示せ。
(2) ABの長さをkを用いて表せ。
(3) PQの長さをkを用いて表せ。
(4) 四角形APBQの面積の最大値を求めよ。

解答 (2)(3)は、半径rの円が直線から切り取る弦の長さが、円の中心と直線との距離をdとして、 ( 三平方の定理)となることを使って求めます。なお、円と直線の位置関係を参照してください。

(1) は、それぞれ定点を通る直線で、直交するので、交点は、2定点を直径の両端とする円周上にあります。は円Cの内部に位置するので、の交点Dは円Cの内部の点です。

(2) 円の中心と直線,つまり、との距離は、
 (点と直線の距離を参照)
ABの長さは、
......[]

(3) と直線,つまり、との距離は、
PQの長さは、
......[]

(4) 四角形APBQの面積Sは、
Sは、、つまり、のとき、最大値:7 ......[]


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  1. 2012/01/15(日) 23:19:35|
  2. 11年数学
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大分大医数学'11年[1]

大分大医数学'11[1]

実数に対して次の不等式を証明せよ。ただし、nは自然数である。

解答 コーシー・シュワルツの不等式を一般的な場合で証明する問題です。試験会場で安全確実に答案を書くなら以下のように数学的帰納法で証明するのでしょうが、もっとラクに証明する方法があります。

() のとき、
かつ の場合には、
かつ の場合には、
かつ の場合、または、 かつの場合には、
よってすべての場合において、
与式は成立します。
() のとき、が成立すると仮定します。
両辺を2乗した不等式の両辺に、を加えると、


よって、

より、
よって、のときにも、与不等式は成立します。
()()より、が成立します。

追記.コーシー・シュワルツの不等式を利用する問題は、例えば、東工大'08年前期[3]のような問題があります。この解答でも書きましたが、本問では以下のような解答が可能です。
実数 ()について、
が成立します。 ()であれば、等号は、となるときに成立します。
左辺を変形して、
これより、t 2次方程式:
は、重解をもつか、虚数解をもち、判別式Dについて、
より、
積分形式のコーシー・シュワルツの不等式:
でも、同様の証明が可能です。任意の関数について、
となりますが、左辺を変形して、
これより、t 2次方程式:
は、重解をもつか、虚数解をもち、判別式Dについて、


本問での場合には、式変形だけで証明できます。
右辺から左辺を引いて、


 (等号成立は、のとき)


以下のの場合には、内積を使って簡単に証明することができます。

福岡教育大
'11[1]

a
bcxyzを実数とする。
()
() のとき、の最小値を求めよ。

() として、より、

等号は、のとき、つまり、tを実数としてのときに成立します。
成分を入れて、
() ()として、
 (等号は、のときに成立)
よって、の最小値は ......[]

以下のような類題もあります。

東大理系
'95年前期[1]

すべての正の実数xyに対し、が成り立つような実数kの最小値を求めよ。

の場合のコーシー・シュワルツの不等式において、として、


等号は、,つまり、のときに成立します。
よって、求める
kの最小値は、 ......[]


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  1. 2012/01/14(土) 01:47:57|
  2. 11年数学
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