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京大物理'06年前期[3](再掲)

京大物理'06年前期[3]

次の文を読んで、  には適した式を、また{  }からは正しいものを選びその番号を、それぞれの解答欄に記入せよ。
(1) 一般に熱の出入りを伴わない状態変化を断熱変化と呼ぶが、気体の断熱変化では、変化の各段階で平衡状態が実現しているならば、という関係が成り立つ。べき定数g は気体の種類によって異なるが、必ず1より大きい値をもつ。以下では、空気に対するべき定数を、g と表す。
空気は断熱性がよいので、大気中の空気のゆっくりとした移動は、断熱変化とみなすことができる。いま、こうした断熱変化をくりかえした結果、大気の圧力や温度は、高度によって決定されているとしよう。また、空気1molあたりの質量をwとし、この値は高度によらず一定とする。このとき、地表の気温を絶対温度で(以下、温度はすべて絶対温度とする),気体定数をR,地表における空気の密度をとすれば、地表における大気の圧力は あ で与えられる。また、ある高度における大気の温度をTとするとき、その高度での大気の圧力は い ,密度は う と表される。
(2) さて、大気が上に述べたような状態にあるときに、熱気球を飛ばすことを考えてみよう。気球は断熱性の布でできており、気体の部分を除いた気球の質量はMである。最初、気球は空気は入っていない体積0 (ゼロ)の状態であった。飛ばないように気球を固定し、気球の下部が開いた状態で、外気を熱して温度にした空気を体積 え だけ詰めたところ、気球は浮かび始めた。さらに続けて、温度の空気を気球の体積がVになるまで入れた。このときの気球内の空気の物質量は お molである。また、空気の定積モル比熱をとすると、気球内に入った空気には、もとの大気の状態から か の熱が加えられ、内部エネルギーは き だけ増加したことになる。
(3) ここで、気球の下部を閉じ、固定をはずして気球を飛ばしたところ、ある高度まで上がって静止した。気球内の空気の温度と体積Vが変化しないとすると、この高度での大気の温度は く である。さらに、気球の下部を開き、体積はVのまま気球内の空気の温度を け にしたとき、気球の高度は変わらなかった。このときの気球内の空気の温度は、

解答 (1)() 地表において大気n[mol]体積の空間に存在して密度になるとすると、その質量について、

地表における大気圧として、
状態方程式 ・・・①
......[] ・・・②

() 問題文の「大気中の空気のゆっくりとした移動は、断熱変化とみなすことができる。いま、こうした断熱変化をくりかえした結果、大気の圧力温度は、高度によって決定されているとしよう。」という表現をどう考えるかですが、重力加速度が与えられていないので、(上空の気体の圧力による)(地表から上にある気体に働く重力)(地表の大気圧による)と考えることはできません。
ということは、この問題文中のヒントを、地表の気体が上空に移動して、その際、断熱変化したとして考えよ、というヒントとして考えることにします。
温度T高度における大気の圧力p,大気n[mol]体積V密度rとします。この高度での気体の状態方程式

一方①より、
問題文中に与えられている断熱変化における、という関係(ポアッソンの関係式)を用いると、


 ・・・③
②を用いて、
......[]

() ()を求めたのと同様に考えて、
 ・・・④
④÷②より、
③より、
 ・・・⑤
......[]

(2)() ④において、Rは定数ゆえ、pwが一定の場合、 ・・・() です。
気球が浮かび始めたときの気球内の密度体積だとします。このとき、気球下部が開いているので、気体の圧力大気圧です。
()より、
 ・・・⑥ (()の結果は断熱変化をしている場合、⑥は定圧変化の場合)
重力加速度gとして、気球が浮かび始めたとき、気球に働くは、上向きに働く浮力,気体の部分を除いた気球に働く重力(下向き),気球内の気体に働く重力(下向き)です。
これらの力のつり合い(気球が浮かび上がる瞬間にはまだ力のつり合いが成立しています)より、
⑥より、
......[]

() 気球内の気体の体積Vになったとき(気球の下部が開いているので、圧力のまま)、気体の物質量をn[mol]だとして、
気体の状態方程式
......[]

() この間、気球の下部が開いているので、気球内の気体は定圧変化をします。定圧モル比熱マイヤーの関係式より、
定圧モル比熱の式より、気体に加えられたは、
......[]

() 内部エネルギーの増加は、
......[]

(3)() 気球の体積Vのままなので、気球内の気体の密度のままです。気球が静止したとき、この高度での大気の密度rとして、気球に働くは、浮力(上向き),気体の部分を除いた気球に働く重力(下向き),気球内の気体に働く重力です。
これらの力のつり合いより、
⑥より、
 ・・・⑦
一方気球が静止した高度における大気の温度Tとすれば、⑤と⑦より、
両辺を乗して、
 ・・・⑧
......[]

() 気球の下部を開くと気球内の気体の圧力は、この高度での気体の圧力pになります。気球内の気体の温度とします。また、このとき、気体の体積Vのままなので、定積変化になります。
気球の下部を開く前の気球内の気体の圧力は、気球の下部を地表で閉じたときの圧力のままです。下部を開いても、気球に働く力のつり合いが成立しているので、気球内の気体の量はn[mol]のまま変化しません。気球内の気体について、
下部を開く前の状態方程式 ・・・⑨
下部を開いた後の状態方程式 ・・・⑩
⑩÷⑨より、 ・・・⑪
③を用いて、
⑧を用いて、
......[]

() 題意より、です。
また、気球の固定をはずして気球が飛び上がったということは、
よって、
従って、
()の結果において、より、
......[] (この結果、⑪より、上空に行くほど圧力が小さくなることがわかります)


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  1. 2008/07/24(木) 11:09:38|
  2. 京大物理'06年
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京大物理'06年前期[2](再掲)

京大物理'06年前期[2]

次の文を読んで、  には適した式または数値を、{  }からは正しいものを選びその番号を、それぞれの解答欄に記入せよ。
水平な板の上に、図
1のように導体でできた十分に長い2本のレールが間隔Lで平行に置かれている。電気抵抗がの金属棒と、電気抵抗がの金属棒はともに長さがLで、絶縁体の糸でつながれて2本のレールに直交して置かれ、その上を左右に摩擦なく動けるようになっている。2本のレール間には一様な磁束密度B ()の磁界が鉛直上向きにかかっている。金属棒の中心には、おもりと板との摩擦により、左向きに力をかけることができるようになっている。ただし、電気抵抗はとする。また、金属棒以外の導体の電気抵抗、および電流により発生する磁界は無視できるものとする。

(1) 電圧Vの直流電源をレールにつないで金属棒を右向きに動かすためには、{イ ① 端子を端子につなぎ、端子を端子につなぐ, ② 端子を端子につなぎ、端子を端子につなぐ}ことが必要である。各端子をこのようにつないで電流を流しても金属棒が動かないようにするためには、大きさ ロ の力をおもりによってかけなければならない。このとき直流電源から流れ出る電流は ハ である。
(2) おもりをはずしておもりによる力が働かないようにすると、金属棒は右向きに動き出し、その速さは次第に増加する。金属棒の速さがuのとき、磁界によって金属棒に生じる起電力の大きさは ニ であり、金属棒に流れる電流の大きさは ホ である。また、金属棒に働く電磁力は ヘ である。金属棒の質量が等しい場合には、これら2つの金属棒の加速度とそれぞれに働く力の関係を考察することにより、両金属棒をつなぐ糸には ト の張力が働いていることがわかる。この金属棒の動く速さはやがて一定の値 チ になり、直流電源から流れ出る電流の大きさは リ となる。
(3) 次に、(1)の場合とは異なるおもりをつけて金属棒に力Fをかけた場合を考える。ただし、力Fは前出の ロ の力よりも小さいものとする。上と同様に結線をして電流を流し、金属棒が動きだし、やがて一定の速さになったとき、その速さは ヌ である。このとき金属棒に働く電磁力が力Fに逆らってする単位時間あたりの仕事 ル である。一方、金属棒で発生するジュール熱の和は単位時間当たり ヲ である。また電源が単位時間あたりにする仕事 ワ である。これらより、の間には カ の関係が成り立つ。

解答 (2)では、最初から糸がぴんと張っていたとして考えることにします。なので、最初にたるんでいたとしても、いずれ、2本の金属棒が同じ速さで動くときには、ぴんと張る状態になります。

(1)() 金属棒が右向きに動き出すと言うことは電磁力が右向きに働くということです。フレミング左手の法則により、電流は金属棒を側から側に向かって流れます。従って、の方がより電位が高く、を接続し、を接続することになります。
......[]

() 電流に働く (右向き)
電流に働く (右向き)
おもりによってかける力の大きさは、合力に等しく、
......[]

() このときの直流電源から流れ出る電流は、
......[]

(2)() 金属棒の速さuのときの起電力は、 ......[] (フレミング右手の法則より、起電力の向きは、側から側に向かって電流を流す向き)

() 直流電源と金属棒を回る閉回路において、起電力は直流電源Vとこれと逆向きので、金属棒を流れる電流とすると、キルヒホッフ第2法則により、
......[] (題意より、金属棒には右向きにが働くので、金属棒には側から側に向かって電流が流れ、,従って、であって、電流の大きさはになります)

() 金属棒に働く電磁力は、
......[]

()  直流電源と金属棒を回る閉回路において、起電力は直流電源Vとこれと逆向きので、金属棒を流れる電流とすると、キルヒホッフ第2法則により、
 ・・・①
金属棒に働く電磁力は、
これと()の結果を見比べると、より、です。右側のに働くの方が大きいので、糸はぴんと張ったままになり張力が働きます。糸がぴんと張っていれば、は一体となって動くので、両者は同じ加速度で動くことになります。
糸の張力の大きさをTとすると、金属棒に働く力は、右向きの,糸の張力T (右向き),金属棒に働くは、右向きの,糸の張力T (左向き)です。
金属棒質量m加速度aとして、
金属棒運動方程式 ・・・②
金属棒運動方程式 ・・・③
②,③より、
......[]

() 金属棒の速さが一定の値になるとき、
②より、
......[]

() ()が成立するとき、()の結果と①より、
従って、直流電源から流れ出る電流の大きさは、0 ......[]

(3)() 金属棒からなる系に働くは、電磁力 (右向き)と、おもりによF (左向き)です。
金属棒が一定の速さで運動するので、力のつり合いより、
よって、両金属棒の速さuとすると、()の結果などにより、


 ・・・④
......[]

()  電磁力Fに逆らってする単位時間あたりの仕事は、
......[]

()  単位時間に両金属棒に発生するジュール熱の和は、

 (ここで④を用いる)

......[]

()  電源が単位時間あたりにする仕事は、④を用いて、
......[]

() 
......[]


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  1. 2008/07/23(水) 10:56:15|
  2. 京大物理'06年
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京大物理'06年前期[1](再掲)

京大物理'06年前期[1]

次の文を読んで、  に適した式または数値をそれぞれの解答欄に記入せよ。
 図1のように、質量mの粒子が、速さvで、半径rの球殻内面と弾性衝突を繰り返している。球殻との衝突角度をq (ラジアン)とする。
1つの粒子が1回の衝突で球殻に与える力積は ア である。これを球殻に衝突してから次の衝突するまでの時間(飛行時間)で割ることにより、単位時間当たりの力積の総和 イ が与えられる。速さvN個の粒子が互いに衝突することなく、球殻内面の様々な場所で衝突を繰り返しているとする。球殻が平均的に受ける圧力Pは、単位時間当たりの力積を球殻の表面積で割った量で与えられる。すなわち、
 ウ    (1)
となる。
 さて、この球殻の半径をゆっくりと縮めていく過程を考えよう(2)。半径が縮む速さwは粒子の速さvに比べて十分小さいものとする。
粒子が速さ
,角度q で、速さwで近づいてくる壁(球殻)に衝突した。この衝突によって、粒子の速さはvへと増加し、反射角度はへと減少した。壁に垂直な方向の運動については、速さwで移動する壁を中心に完全反射するので
 エ    (2)
が成り立つ。壁に平行な方向の運動については、運動量が保存されるので
   (3)
が成り立つ。小さいd に対して,およびの関係が成り立つとして関係式(2)(3)を解くと、1回の衝突による速度の増加分u(wq を用いて) オ ,角度の減少分d (wvq を用いて) カ で与えられる。
さて、時刻
0 (ゼロ)で角度で反射した粒子が次に球殻に衝突する時刻tには、球殻の半径はに縮小している。この半径の縮小に伴い、衝突角度はからe だけ増加したとする。図2からわかるように
   (4)
の関係が成り立つ。この間の飛行時間をと近似すれば、この飛行時間によって生じる衝突角度の増加分e (wvqd を用いて) キ と表される。このe は、半径が縮む速さwが十分小さい極限ではd と等しい。つまり、球殻半径をゆっくりと縮小させる過程では、1回の衝突によって生じた角度の減少分d は飛行時間によって生じた角度の増加分e によって相殺され、衝突角度は常に一定に保たれる。
一方、粒子の速さは衝突のたびに増加する。衝突
1回当たりに速さが増える率と半径が縮小する率の積は(wvqd を用いて)
 ク    (5)
で与えられる。この量は衝突角度q に比べてその変動がd が小さい極限で1となる。したがって、粒子の速さvは、球殻の半径rに反比例して変化する。
球殻の受ける圧力は、単位時間当たりの力積を球殻の表面積で割った量で与えられるが、それは式
(1)で見たように、粒子の速さv2乗に比例し、半径r3乗に反比例する。上で調べたように、球殻半径をゆっくり変化させる場合には、粒子の速さが半径に反比例するので、圧力Pは体積の ケ 乗に比例して変化する。

解答 球殻に閉じ込められた気体を題材として、断熱変化における「ポアッソンの関係式:(この問題では、気体分子を粒子と考えているので、単原子分子理想気体であって、)を求めてみよう、という問題です。なお、理想気体気体分子運動論を参照してください。
とっつきにくそうな問題ですが、丁寧な誘導がついているので、誘導に従って計算を進めてゆけばゴールにたどりつけます。

() 1個の粒子の衝突前の速度の、衝突面に垂直な成分は、
球殻内面と弾性衝突するので、衝突後の速度の衝突面に垂直な成分の大きさは、衝突前と同じで、
向きは、衝突前と逆向きになるので、衝突後の速度の、衝突面に垂直な成分は、
衝突面に対して垂直な方向で、1個の粒子が受ける力積は、運動量の変化に等しく(運動量の原理を参照)
1個の粒子が1回の衝突で球殻に与える力積は、粒子が受ける力積と等大逆向き(作用・反作用の法則を参照)で、 ......[]

() 1個の粒子が球殻内面に衝突してから次に衝突するまでに、進みます。粒子は、速さvで進むので、球殻内面に衝突してから次に衝突するまでの時間は、
1個の粒子が単位時間に球殻内面に衝突する回数は、1秒をで割って、
1個の粒子が単位時間に受ける力積の総和は、1回の衝突における力積に回数をかけて、
......[]

() 球殻内には、N個の粒子がいるので、単位時間に球殻内の全粒子が球殻に与える力積の総和は、
球殻内面の表面積は、半径rの球面の面積として、
球殻が平均的に受ける圧力Pは、
   (1)
......[]

() 壁に垂直な方向について、壁の速度w,粒子の衝突前の速度,衝突後の速度より、粒子は弾性衝突するので、
反発係数の式
   (2)
w ......[]

() 壁に平行な方向について、
   (3)
(2)で、と近似すると、
   (6)
(3)で、と近似すると、
   (7)
(6)×(7)×より、
......[]

() ()の結果を(7)に代入すると、
......[]

()    (4)
wvに比べて十分に小さいので、e に比べて十分に小さいと考えることができて、と近似すると、

......[]

() 
......[]

() ()の極限で1に近づくので、と近似すると、
速さからvに変化するときに、半径rからへと変わるので、これは、粒子の速さvが、球殻の半径rに反比例して変化することを意味します。そこで、kを定数として、とおくと、
(1)より、
球殻内の体積Vは、より、,これを代入すると、
よって、圧力体積乗に比例します。
......[]


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  1. 2008/07/22(火) 11:33:20|
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