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一橋大数学'11年前期[5]

一橋大数学'11年前期[5]

AB2人が、1個のさいころを次の手順により投げ合う。
1回目はAが投げる。
123の目が出たら、次の回には同じ人が投げる。
45の目が出たら、次の回には別の人が投げる。
6の目が出たら、投げた人を勝ちとしてそれ以降は投げない。
(1) n回目にAがサイコロを投げる確率を求めよ。
(2) ちょうどn回目のサイコロ投げでAが勝つ確率を求めよ。
(3) n回以内のサイコロ投げでAが勝つ確率を求めよ。

解答 頻出タイプの確率連立漸化式の融合問題です。

(1) 1回目にAがサイコロを投げる確率は、題意より、です。
n回目にBがサイコロを投げる確率をとします。
1回目にBがサイコロを投げる確率は、題意より、です。
回目に
Aがサイコロを投げる(確率)のは、n回目に、Aがサイコロを投げて(確率)123の目が出た(確率)か、Bがサイコロを投げて(確率)45の目が出た(確率)ときです。よって、
 ・・・①
回目にBがサイコロを投げる(確率)のは、n回目に、Bがサイコロを投げて(確率)123の目が出た(確率)か、Aがサイコロを投げて(確率)45の目が出た(確率)ときです。よって、
 ・・・②
①+②より、
よって、数列は、初項:,公比:
等比数列
 ・・・③
①-②より、
よって、数列は、初項:,公比:の等比数列。
 ・・・④
(③+④)÷2より、
......[]

(2) ちょうどn回目のサイコロ投げでAが勝つのは、n回目にAがサイコロを投げて(確率)6の目が出た(確率)場合です。
......[]

(3) n回以内のサイコロ投げでAが勝つ確率は、
......[]


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  1. 2011/08/11(木) 11:06:34|
  2. 一橋大数学'11年
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一橋大数学'11年前期[4]

一橋大数学'11年前期[4]

abcを正の定数とする。空間内に3ABCがある。
(1) ABを底辺とするとき、△ABCの高さをabcで表せ。
(2) ABC,△OAB,△OBC,△OCAの面積をそれぞれSとする。ただし、Oは原点である。このとき、不等式
が成り立つことを示せ。
(3) (2)の不等式において等号が成り立つための条件を求めよ。

解答 (2)(3)は、コーシー・シュワルツの不等式: (不等式の証明を参照)を利用します。

(1)
 (内積を参照)
 (三角形の面積を参照)

よって、辺ABを底辺とするときの△ABCの高さhは、
......[]

(2) OABの面積は、,△OBCの面積は、,△OCAの面積は、
というベクトルを考えると、です。また、というベクトルを考えると、
がなす角をθ として、コーシー・シュワルツの不等式:より、

(3) (2)の不等式において、等号が成立するのは、,つまり、 // のときです。
このとき、 // より、,即ち(2)の不等式において等号が成り立つための条件は、 ......[]


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  1. 2011/08/10(水) 00:57:41|
  2. 一橋大数学'11年
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一橋大数学'11年前期[3]

一橋大数学'11年前期[3]

xy平面上に放物線C2APがある。線分APCは、Aとは異なる点Qを共有している。
(1) 定数pの存在する範囲を求めよ。
(2) を、Cと線分AQで囲まれた領域とし、を、C,線分QP,およびy軸とで囲まれた領域とする。の面積の和が最小となるpの値を求めよ。

解答 数学Ⅱの微積分の基本問題ですが、やや計算が面倒です。

(1) 線分AP (直線の方程式を参照)
放物線Cの方程式と連立して、


線分APCが共有点をもつとすると、線分APの存在範囲の中でもつはずです。線分APCQ以外の共有点をもつために、以外の解について、
......[]

(2) の面積は、
の面積は、







として、
として、
より、増減表は
(3次関数の増減を参照)
p1

2

0



増減表より、の面積の和が最小となるpは、 ......[]


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  1. 2011/08/08(月) 13:07:22|
  2. 一橋大数学'11年
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一橋大数学'11年前期[2]

一橋大数学'11年前期[2]

Oを中心とする半径rの円周上に、2ABとなるようにとりとおく。この円周上に点Cを、線分OCが線分ABと交わるようにとり、線分AB上に点Dをとる。また、点Pは線分OA上を、点Qは線分OB上を、それぞれ動くとする。
(1) の最小値をrθ で表せ。
(2) とおく。の最小値をaθ で表せ。
(3) さらに、点Dが線分AB上を動くときのの最小値をrθ で表せ。

解答 正弦定理や余弦定理の適用が浮かぶのですが、うまくいきません。座標設定してみてもラチがあきません。ですが、円周上に位置する点の、直径に関する対称点は、円周上に来る、ということに気づけば容易に解決します。

(1) 直線OAに関するCの対称点をE,直線OBに関するCの対称点をFとすると、EFは、点Oを中心とする半径rの円周上の点です。また、です。
 ・・・①
となりますが、線分EFと、線分OA,線分OBとの交点をとすると、より、
 ・・・②
①,②より、
これは、の最小値がEFであることを示しています。
余弦定理より、
 (倍角の公式を参照)
より、
よって、の最小値は
......[]

(2) 直線OAに関するBの対称点をG,直線OBに関するAの対称点をHとすると、GHは、点Oを中心とする半径rの円周上の点です。線分AB上の点Dの直線OAに関する対称点Iは線分AG上の点です。Dの直線OBに関する対称点Jは線分BH上の点です。
です。
 ・・・③
となりますが、線分IJと、線分OA,線分OBとの交点をとすると、より、
 ・・・④
③,④より、
これは、の最小値がIJであることを示しています。
余弦定理より、
 (倍角の公式を利用)
より、よって、の最小値は ......[]

(3) Oから線分ABに垂線OK (Kは線分ABの中点です)を下ろし、の大きさをφ ()とすると、
Dが線分AB上を動くときのの最小値は、 ......[]


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  1. 2011/08/05(金) 08:24:37|
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一橋大数学'11年前期[1]

一橋大数学'11年前期[1]

(1) 自然数xyは、および
をみたす。xyの組をすべて求めよ。
(2) 自然数xyzは、および
をみたす。xyzの組をすべて求めよ。

解答 (2)は、(1)と同様にして、両辺にをかけてみても難しいものがあります。そこで、xyが大きくなると、が小さくなり、1に近くなり、が大きく、つまり、zが小さくないと等式が成立しなくなる、というところに着目します。なお、整数を参照してください。

(1) 与式両辺にをかけて、

 ・・・①
このまま、とするとうまく行かないので、左辺でをくくり出せるように①に2をかけておきます。


と、15の約数であることから、
(i) かつ
(ii)
かつ
2通りに限られます。
(i)のとき、
(ii)のとき、
よって、
......[]

(2) まず、具体的に、数値をあてはめて感触を探ります。
とすると、です。与式より、
両辺にをかけます。



と、40の約数であることから、
(i) かつ
(ii)
かつ
2通りに限られます。
(i)のとき、
(ii)のとき、で不適です。
これで、という解が
1組得られました。
とすると、 ・・・②
よって、
これより、
②を満たせないので、の場合には題意を満たすの組はありません。
以上より、
......[]


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  1. 2011/07/30(土) 10:32:49|
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