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慶大理工数学'11年[B1]検討

慶大理工数学'11[B1]検討

[B1]
(解答はこちら) 円周上の点と、この円周が乗っている平面と直交していない直線上の点との距離を考える問題は、古くは東大理系'83[3]に前例があります。東大'83[3]2変数関数の問題で、一方の変数を固定し他方を動かして最小を考える、というタイプの問題ですが、1変数で考えて行ける本問の方が複雑で計算が面倒です。
試験会場では、解答のような方針で力尽くで強行突破するか、効率的合理的な解法を追求するか、放棄するか、悩む問題と言えます。他の問題のレベル、残り時間との相談になるでしょう。但し、本問解答程度の計算であれば、充分に試験時間に正確に解ききるだけの計算力を身につけておくべき、ということは確かです。
本問で多少工夫するとすれば、
Pに対して、点Rをとり、PREGの交点をSとすると、△GQSと△GEAが相似であることから、
GSQS = AGAE = 1
として、



これより、のとき、PQは最大値をとり、のとき、PQは最小値をとる。
というように解答することもできます。
ですが、より良い解法を追求するあまり、他の問題を検討する時間が不足してしまう、というのであれば、力尽くで攻略する方が早い、ということもある、ということは念頭に置くようにしてください。



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  1. 2011/07/27(水) 22:43:11|
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慶大理工数学'11年[A4]検討

慶大理工数学'11[A4]検討

[A4]
(解答はこちら) 確率と漸化式の融合問題です。解答にも書いたように、n回目操作終了後の状態から1回の操作でどのように回操作終了後の状態に推移していくかと考えることにより漸化式を作ることができます。漸化式ができてしまえば定型問題なので、計算練習を積んできた受験生であれば容易に最終解答に到達できるでしょう。ですが、数学を得意科目としていても、問題文から漸化式を作るまでを苦手とする受験生をよく見かけます。漸化式の練習を積んでいても、漸化式を作ることができなければ、宝の持ち腐れです。誤った漸化式から計算を進めても正解できるはずがありません。ですが、このタイプの問題は慶大では頻出です。問題文から漸化式を作る、ということ自体をトレーニングしておくべきです。
このタイプの入試問題では、各回の状態が、せいぜい、
2種類、あるいは、3種類程度になるように問題が工夫されています。問題文をサラっと読んだだけでは、数多くの状況があるように読めても、いろいろな制約がつけられていて、結局数種類の状態しか起こり得ない、ということにまず気づくべきです。その状態を(A)(B)(C)としましょう。n回の操作後に状態(A)(B)(C)にある確率をとすると、回の操作後に状態(A)(B)(C)にある確率はとなります。問題文からうまく漸化式を作れないという受験生は、まず、この点を克服してください。
次に、
n回操作後状態(A)にあったときに、1回の操作で、状態(A)に移る確率,状態(B)に移る確率,状態(C)に移る確率を求めます。n回操作後状態(B)にあったときに、1回の操作で、状態(A)に移る確率,状態(B)に移る確率,状態(C)に移る確率を求めます。さらに、n回操作後状態(C)にあったときに、1回の操作で、状態(A)に移る確率,状態(B)に移る確率,状態(C)に移る確率を求めます。
以上のうちで、回操作後状態
(A)になるのは、確率がとなる場合で、n回目操作後に、状態(A)(B)(C)にある確率をであることを考慮すると、回操作後状態(A)になる確率は、

となります。同様に、回操作後状態
(B)になる確率は、


となります。さらに、各回ごとに、状態
(A)か状態(B)か状態(C)のどれかしか起こらない、ということであれば、全確率が1となること、つまり、

ということを考慮すれば、漸化式を、に関する式で表すことができます。
こうしたタイプの問題が苦手だという受験生も、上記のようにして、
56題、練習すれば苦手意識を克服できるはずです。
こうした受験技巧は、受験に留まらず、電気回路や、気象予測などに限らず、社会事象一般のシミュレーションを行う上での基本技術となるので、避けて通らずに、必ず修得するようにしてください。



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  1. 2011/07/24(日) 22:21:57|
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慶大理工数学'11年[A3]検討

慶大理工数学'11[A3]検討

[A3]
(解答はこちら) 空間内で直線のベクトル方程式を考え、直線とxy平面との交点を求め、その軌跡の一部が境界線となる領域の面積を求める、というストーリーの問題です。
交点を求めるまでは単なる計算問題で、空所補充問題という性格から、ミスには細心の注意が必要です。軌跡は、直角双曲線で、回転すれば、
(p:定数)という形の方程式になることは、わかりきったことなので、試験会場では、空所補充問題という性格からすれば、分かり易い特定の1点の動きからpを求める、という発想をとるべきです。直線回転するときも、やはり、傾きの直線になることは、座標回転しなくてもわかります。厳格な論証によって確認しようとすると、大きく時間的ロスをすることになります。こうした問題を演習する際にも、厳格な数学的論証が必要か、ということになると、必要ないというべきでしょう。
厳格な論証を省くのであれば数学ではない、という意見もあると思いますが、であれば、数学の入学試験では解答への過程を書かせるべきであり、最終解答だけではなく途中過程も含めて評価対象とするべきなのです。空所補充式の試験をする側が責任を負うべきであって、試験形態に合わせた発想をすることは、受験生の責任とは言えません。
よく言えば、手間をかけて厳格な論証するばかりが数学ではない、与えられた条件から、鋭く素早く直感的に結論を見抜く能力もまた数学である、という出題者の想いがあるのでしょう。



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  1. 2011/07/22(金) 11:30:41|
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慶大理工数学'11年[A2]検討

慶大理工数学'11[A2]検討

[A2]
(解答はこちら) 3次関数、4次関数に関するてんこ盛り問題です。解と係数の関係、3次関数・4次関数の極値を導関数で割った余りを使って計算する技巧を使い、さらに、定数を分離する技巧も動員します。うなりをあげる難問、というわけではありませんが、総合的な高い学力が要求されている問題です。
3次方程式の解を、のグラフから考えようとするとうまくいかないのですが、定数を分離してを、の形に直して考えることにより解決します。
引っかかるとすればのときのの挙動でしょうか?はさみうちの形を作ってきちんと論理的に答案を書こうとすると面倒ですが、ここでは、空所補充式であることに合わせて、のとき感覚的にだろうと考えて答えておけば充分でしょう。一昨年の
09[A4]の解答では、きちんとやっていますので参考にしてください。


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慶大理工数学'11年[A1]検討

慶大理工数学'11[A1]検討

[A1]
(解答はこちら) 昨年あまりの易しさに度肝を抜いた慶大理工は、今年は平年並みに戻りました。昨年は何か特殊事情があったのかと勘ぐりたくなってしまいます。
[A1]は基本問題と言っても、教科書レベルだった昨年[A1]とは雲泥の違いがあります。慶大理工では、このくらいの難度でなければ合否の差をつけることができず試験にならないのではないでしょうか。
(1)は解答では部分積分法でやってありますが、置換積分法でも簡単です。とおくと、xのときt





空所補充形式なので、計算ミスに注意しましょう。

(2)1次変換は、問題集でよく見かける定型的頻出問題なので、試験会場で手が止まらなかった受験生も多いと思います。もう一ひねり入っている問題でもよいのでは、という気がします。
(3)は、難問ではありませんが一本道には行かないでしょう。小問集合の問題と言っても、焦ることなく落ち着いて丁寧に調べないと、ハマり易い問題です。つまらないことですが、が分母でが分子になっている、というようなことにも注意する必要があります。


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