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理工系受験生必見!! 2010-2007入試問題検討ページ(東大・東工大・京大・早慶) 
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東工大数学'11年後期[2]

東工大数学'11年後期[2]

次の式
 ()
で表されるxy平面上の曲線Cを考える。定数に対し、点Pを通り、x軸に垂直な直線と曲線Cの交点をQとする。曲線Cx軸,y軸および直線で囲まれた図形の面積をとし、△OPQの面積をとする。
(1) tを用いて表せ。
(2) 極限を求めよ。

解答 頻出の定積分に関する問題です。いろいろな計算法がありますが、追記で詳しく検討してみます。

(1) より、 (双曲線を参照)
よりなので、 ・・・①
よって、
Qの座標は
三角形
OPQは、底辺t,高さより、面積は、 ......[]
 ・・・② (定積分と面積を参照)
①を用いて、
 (置換積分(その3)を参照)



 ・・・③
よって、③より、
......[]

(2)
のとき、
 (極限の公式を参照)
......[]

追記.(1)の②の定積分は、以下のように計算することもできます。
xのとき、θ (ただし、) (置換積分を参照)
とおくと、
θのときu
 (分数関数の積分を参照)

とおくと、




 ・・・④
より、 ()
④に代入して、
(1)の定積分については、[解答]のように部分積分法と組み合わせて計算するのがよいと思いますが、とおいて置換積分することもできます(早大理工'10[4]を参照)
ですが、いずれにせよ、かなり計算が面倒です。
ここでは、かなり技巧的に過ぎますが、ラクに計算できる技巧を紹介しておきましょう。
東大理系'10[4]の問題に盛り込まれている考え方です(東大理系10年前期問題[4]の検討を参照してください)
 ・・・⑤
とおきます。

xのとき、u
この置換により、であれば、
とすぐに計算できます。
の場合は、少々工夫します。
より、
 ・・・⑥
⑤+⑥より、
これより、





とすることもできますが、として、以下のようにするともっとラクに行きます。
 (ここがポイント)
1項だけ置換積分して、






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  1. 2011/08/12(金) 13:36:49|
  2. 東工大数学'11年
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東工大数学'11年前期[4]検討

東工大数学'11年前期[4]検討

[4](解答はこちら) 毎年、どこかの大学で途方もない難問が出題されますが、昨年は、東北大理系'10年後期[4]、一昨年は東大理系'09年前期[6]、本年は、この問題がそうした難問です。
出題者が何を考え、何を受験生に求めて、こうした問題を出題するのかわかりませんが、解答のように、まともに取り組むのではとても時間内にはやりきれません。合格したければ、
(1)の答案としては、
「直線と平行な直線が正方形
Dと唯1点で交わるときと、2交点をもつように交わるときとを比較して、2交点をもつときの方が、回転させる図形の境界線と回転軸との距離が大きくなるので、回転体の体積も大きくなり、回転体の体積を最大にする直線はDと唯1点で交わる。」
くらいにとどめ、
(2)に全力をつぎ込むべきだと思います。
本問で大変になってしまうのは、正方形
Dを回転軸について対称に折り返すとき、出っ張る部分やくぼんでしまう部分ができてしまうところにあります。素直に回転軸のまわりの回転体の体積の公式を使うにしても、円筒分割の技巧を使うにしても、場合分けも面倒で、しかも計算が非常に煩雑です。(1)の解答中の(iii)
は、mkの値によっては負にもなるので、を示すのも容易ではありません。本問は、難しい、というだけでなく、ボリュームも凄まじいので、深入り禁物、正面から体当たりすることを考えてはいけません。
ですが、不充分解であってもどれほど取り組めるか、というような観点で採点しているのであれば、適当にごまかして書いておけばよい、という風潮をあおることになり、個人的には、入試問題としては不適切なのではないかと思います。出題者に制限時間内に充分に解答を書き上げることが可能な問題を工夫して頂けるように、再考をお願いしたいと思います。



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  1. 2011/06/06(月) 12:58:52|
  2. 東工大数学'11年
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東工大数学'11年前期[3]検討

東工大数学'11年前期[3]検討

[3](解答はこちら) [1][2]同様に、この問題も標準的な問題です。東工大受験生であれば、手が止まるところはないでしょう。の形は、'92年前期[1]にも登場します。数学の教科書でグラフ作図の例題などとして取り上げられている関数なので、分母の2次式を0とおいてできる2次方程式が、実数解をもたない場合、重解をもつ場合、相異なる2実数解をもつ場合、それぞれどんなグラフになるか、くらいはつかんでおきましょう。
本問の解答では、
2次方程式を利用しましたが、単に微分しても大した手間はかかりません。工夫すればより簡単な解法も可能でしょう。関数の式を見た途端に微分計算を始めてしまうのは考え物ですが、試験会場では、微分して増減表を書いて最大最小を考える、というのは、一番安全確実な方法です。ある程度試行錯誤して簡単解法が思いつけないときには、微分計算をためらってはいけません。


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  1. 2011/06/02(木) 13:53:17|
  2. 東工大数学'11年
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東工大数学'11年前期[2]検討

東工大数学'11年前期[2]検討

[2](解答はこちら) [1]と同様に、この問題も落とせない問題ですが、'10年前期[1]でも出題された絶対値を含む関数の定積分の問題で、2年続いて同一テーマの出題となります。
東工大前期では、
2年続けて同一テーマの出題、ということを時折見かけます。絶対値を含む関数の定積分も、'01年前期[1]の計算が出題された翌'02年前期[1]にも2年続きで出題されています。他にも、'92年前期[5]の計算が出題された翌'93年前期[2]の計算が出題され、'96年前期[1]で、方程式の正の整数解が有限個しかないことを示す、という問題が出た翌'97年前期[3]に、nを自然数、rを正の有理数とするとき、をみたす自然数の組の個数が有限であることを示す、という問題が出題されています。
今年で言うと
[4]がやや無理な出題ですが、同じようなコンセプトで来年も出題してくるということが考えられます(もっとも、東工大出題者がこのウェブサイトのこの記述に気づいてしまうと、敬遠すると思いますが)
想像するに、東工大出題者が、当然この程度のことはしっかり勉強してきてくれているはず、と、期待して出題したところが思いのほか出来が悪く、教育的配慮から受験生に警告を与える意味で、
2年連続で同一テーマの出題をしようという気になるのではないか、と、思います。
定積分の原理的意味を理解していれば、まさか、安易に、などとはやらないだろうと期待して出題しているのに、受験生の側が、面倒だからだとして計算をやっておいて採点者が見間違えないかと期待しているかのような答案を書いてくる、という現実を前に落胆して、
2年連続の出題、と、なるわけです。
こうした東工大前期の出題傾向を見ていると、東工大は、あれこれと細かい知識を要求しているのではなく、高校数学の重要テーマをしっかり勉強してきて欲しいと受験生に要求していることがわかります。
知識量を要求するのであれば、
2年連続で同一テーマの出題をするはずがないのです。従って、他の難関大学では必ずしも過去問をていねいに見ておく必要はありませんが、東工大では長期にわたって過去問をしっかりと勉強しておくことが大切です。その分、些末な受験技巧まで修得しておく必要はありません。重要テーマについて、レベルの高い問題にも取り組めるような深い勉強が求められているのです。東工大志望者は、こうした東工大出題の特性をよく注意して受験準備をするようにしてください。


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  1. 2011/05/29(日) 20:21:38|
  2. 東工大数学'11年
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東工大数学'11年前期[1]検討

東工大数学'11年前期[1]検討

[1](解答はこちら) 昨年同様、本年も東工大前期は、[4]以外は標準的で、[1][2][3]で確実に得点しておく必要があります。
[1]は、(1)が不動直線、(2)が定積分公式、(3)が数列の和の技巧を扱う基本問題です。
90年代に大流行した不動直線の問題は、高校カリキュラムの改訂によって一時出題されなくなりましたが、「ゆとり教育」見直しによって出題範囲が広がりつつある中で再度出題されるようになってきました。本問では基本的なことが問われているだけですが、'09年前期[2]にも本格的な問題が出題されています。
また本問
(2)で使われている公式を使う問題が、'94年前期[1]にも出題されています。同様の公式を使う問題も''03年前期[1]に出題されています。こうした計算公式も東工大では重要事項です。
本問
(3)の求和技巧も、昨年前期[2]でもお目にかかったものです。東工大では、重箱のすみをつつくようなテーマはほとんど取り上げられません。数学の本流となっている重要受験技巧をしっかり修得して王道を歩くということを心がけてください。


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  1. 2011/05/26(木) 21:38:03|
  2. 東工大数学'11年
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