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センター数学IIB '11年第4問

 センター数学IIB '11年第4問 

四角錐OABCDにおいて、三角形OBCと三角形OADは合同で、であり、底面の四角形ABCDは長方形であり、とおき、とおく。
を用いて表すとである。辺
OD12に内分する点をLとすると
となる。
さらに辺
OBの中点をM3ALMの定める平面をαとし、平面αと辺OCとの交点をNとする。点Nは平面α上にあることから、は実数stを用いてと表されるので、
となる。一方、点Nは辺OC上にもある。これらから、となる。
また、である。よって、を計算すると、のとき、直線
AMと直線MNは垂直になることがわかる。

解答 この空間ベクトルの問題には、図形的な要素はあまりなく、ひたすら計算、ということになるでしょう。04の数値しか出てこないので、問題文を読み違える、ということでもなければ、ミスの可能性も低かったと思われます。

() a () b ......[]
より、
() 2 () 3 () 1 () 1 ......[]
より、
 ・・・①
 ・・・②
() 1 () 2 () 3 () 3 () 2 () 3 ......[]
1次独立で、点Nが辺OC上にあることから、②のの係数について、
これを解いて、
②より、

() 1 () 4 ......[]
①より、
 ・・・③
より、
 (内積を参照)

より、

より、

(
) 1 () 2 () 0 () - () 2 ......[]
直線AMと直線MNが垂直になるとき、です。①,③を用いて、



() 2 ......[]


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  1. 2011/01/21(金) 12:14:44|
  2. センター数学'11年
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センター数学IIB '11年第3問

 センター数学IIB '11年第3問 

数直線上で点Pに実数aが対応しているとき、aを点Pの座標といい、座標がaである点Pで表す。
数直線上に点をとる。線分
31に内分する点をとする。一般に、自然数nに対して、線分31に内分する点をとする。点の座標をとする。
であり、である。数列の一般項を求めるために、この数列の階差数列を考えよう。自然数
nに対してとする。
 ()
である。したがって、 ()であり、
 ()
となる。ただし、については、当てはまるものを、次ののうちから一つずつ選べ。同じものを繰り返し選んでもよい。
        
次に、自然数nに対してを求めよう。とおくと
 ()
であり、したがって
となる。ただし、については、当てはまるものを、次ののうちから一つずつ選べ。同じものを繰り返し選んでもよい。
        

解答 やや面倒な計算はありますが、標準的な内容なので、細心の注意を払って正解したい問題です。

を結ぶ線分を
31内分する点は、より、です。
() 7 () 4 ......[]


 ()
() 1 () - () 1 () 4 ......[]
は、初項1,公比等比数列です。
 ()
(
) ......[]
階差数列の公式より、のとき、

 (のときもとなり、正しい結果を与えます)
() 9 () 5 () 4 ()
とおくと、
      ・・・①
 ・・・②
①-②より、
 ()
()  () ......[]

() 1 () 6 () 9 () 4 ()  () 3 () 4 () ......[]


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  1. 2011/01/21(金) 09:08:31|
  2. センター数学'11年
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センター数学IIB '11年第2問

 センター数学IIB '11年第2問 

座標平面上で、放物線Cとする。
曲線
C上の点Px座標をaとする。点PにおけるCの接線の方程式は
である。のとき直線x軸と交わる点をQとすると、Qの座標は
である。
のとき、曲線
Cと直線およびx軸で囲まれた図形の面積をSとすると
である。
のとき、曲線
Cと直線および直線で囲まれた図形の面積をTとすると
である。
のときはのときはであるとして、に対してとおく。
aがこの範囲を動くとき、Uで最大値をとり、で最小値をとる。

解答 センター試験の微積の問題としては、この程度が適切だと思います。以前の複雑で面倒な計算をさせる問題では何を試験したいのかわからなくなります。今後も、今年の方針を継続することを期待します。

C
Pにおける接線は、
() 2 () a () 2 ......[]
直線x軸と交わる点Qは、として、
 ∴
より、Q
(
) a () 2 () 0 ......[]
のとき、曲線Cと直線およびx軸で囲まれた図形は、右図黄緑色着色部です。この面積Sは、
 (定積分と面積を参照)
() 3 () 1 () 2 ......[]
のとき、曲線Cと直線および直線で囲まれた図形は、右図水色着色部です。この面積Tは、

() 3 () 2 () 4 () 8 () 3 ......[]
問題文に、「のときはのときは」という記述が見えます。ここで、STの結果を確認してから先に進むようにしましょう。
に対してとおくと、


のときのとき
のとき

a0

2

0
U

増減表より、Uは、で最大値をとり、で最小値をとります(3次関数の最大・最小を参照)
() 0 () 8 () 3 () 4 () 3 () 8 () 2 () 7 ......[]


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  1. 2011/01/20(木) 18:57:40|
  2. センター数学'11年
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センター数学IIB '11年第1問

 センター数学IIB '11年第1問 

[1] のとき、関数
の最小値を求めよう。
とおくと

であるから
となる。また
である。
のとり得る値の範囲は

であるから、t のとり得る値の範囲は
である。したがって、y,すなわちのとき、最小値をとる。

解答 この問題は落とせません。

 (三角関数の合成を参照)
とおくと、
 ・・・①
() 2 () 2 () 3 () 1 ......[]
 (半角の公式を参照)
これより、
 ・・・②
() 2 () 2 ......[]
①より、
() 2 () 3 ......[]
のとき、

(
)?6 ......[]
より、
 ・・・③ (三角関数を含む方程式・不等式を参照)
() - () 1 () 3 ......[]
②より、
は③の範囲に含まれるので、yで最小となります(2次関数の最大・最小を参照)
のとき、
 ∴
よって、yは、,即ちのとき、最小値をとります。
() 1 () 6 () - () 3 ......[]


[2] 自然数xで、条件
  ・・・①
  ・・・②
を満たすものを求めよう。
まず、
xを正の実数として、条件①を考える。①はとおくと
となる。この2次方程式を解くと
となる。したがって、条件①を満たす最小の自然数xであり、以上のすべての自然数xは①を満たす。
次に、条件②について考えると、②を満たす最大の自然数
xであり、以下のすべての自然数xは②を満たす。
したがって、求める
x以上以下の自然数である。

解答 対数の基本問題です。整数がからんでいると言っても大したことはありません。

①より、



() 7 () 2 () 0 () 4 () 3 () 5 () 2 ......[]
x
は自然数でなので、です。従って、
()
を満たす最小の自然数は6で、6以上のすべての自然数xは①を満たします。
() 6 ......[]
②の左辺は、xも単調増加、も単調増加なので、も単調増加です。②のxに適当に数値代入して、②の成立不成立を調べます。
としてみると、,成立します。
としてみると、より、,成立します。
としてみると、より、,成立します。
としてみると、より、,②は成立しません。
従って、②を満たす最大の自然数
x11であり、11以下のすべての自然数xは②を満たします。
() 1 () 1 ......[]


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  1. 2011/01/20(木) 10:44:58|
  2. センター数学'11年
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センター数学IA '11年第4問

 センター数学IA '11年第4問 

1個のさいころを投げるとき、4以下の目が出る確率pであり、5以上の目が出る確率qである。
以下では、
1個のさいころを8回繰り返して投げる。

(1) 8回の中で4以下の目がちょうど3回出る確率はである。
1回目に4以下の目が出て、さらに次の7回の中で4以下の目がちょうど2回出る確率はである。
1回目に5以上の目が出て、さらに次の7回の中で4以下の目がちょうど3回出る確率はである。

(2) 次ののうちに等しいものはである。ただし、は解答の順序を問わない。
     
     

(3) 得点を次のように定める。
8回の中で4以下の目がちょうど3回出た場合、
について、第n回目に初めて4以下の目が出たとき、得点はn点とする。
また、4以下の目が出た回数がちょうど3回とならないときは、得点を0点とする。
このとき、得点が
6点となる確率はであり、得点が3点となる確率はである。また、得点の期待値はである。

解答 序盤の凡ミスの連鎖反応で全滅、ということがないように工夫された出題になっています。(2)が意味不明ですが、(1)の結果から、パスカルの三角形を作るための公式: (組み合わせを参照)を意識させようというのでしょうか?を考えれば、2個はすぐ見つかります。

1個のさいころを投げるとき、4以下の目が出る確率pは、です。
() 2 () 3 ......[]
5
以上の目が出る確率qは、です。
() 1 () 3 ......[]

(1) 8回の中で4以下の目がちょうど3回出る確率は、反復試行の公式より、
() 5 () 6 ......[]
1回目に4以下の目が出て(確率p)、さらに次の7回の中で4以下の目がちょうど2回出る(確率)確率は、
() 2 () 1 ......[]
1回目に5以上の目が出て(確率q)、さらに次の7回の中で4以下の目がちょうど3回出る(確率)確率は、
() 3 () 5 ......[]
注.(キク)(ケコ)を合わせると(オカ)なので、とすることもできます。

(2) ,また、公式:より、
() ()
()  () ......[] (サ,シは逆でもOK)
注.
 
 

(3) 得点が6点になるのは、8回の中で4以下の目がちょうど3回出て、第6回目に初めて4以下の目が出る場合、つまり、1回目から5回目まで5以上の目が出て(確率)6回目、7回目、8回目には4以下の目が出る(確率)場合です。この確率はです。
() 3 () 5 ......[]
得点が3点になるのは、1回目と2回目に5以上の目が出て(確率)3回目に4以下の目が出て(確率p)4回目から8回目までの5回のうち24以下の目が出る()場合です。この確率は、

() 1 () 0 ......[]
得点が1点になるのは、1回目がpで、2回目から8回目までの7回のうち2回がpとなるときで、その確率は、
得点が
2点になるのは、1回目がq2回目がpで、3回目から8回目までの6回のうち2回がpとなるときで、その確率は、
得点が
4点になるのは、1回目から3回目がq4回目がpで、5回目から8回目までの4回のうち2回がpとなるときで、その確率は、
得点が
5点になるのは、1回目から4回目がp5回目がpで、6回目から8回目までの3回のうち2回がpとなるときで、その確率は、
得点の期待値は、

() 1 () 1 () 2 () 7 () 2 () 9 ......[]
追記.この問題を解くのには関係ありませんが、(2)によると、


となり、(3)において、得点nが、となる確率を加えると、8回の中で4以下の目がちょうど3回出る確率になることがわかります。
一般的に言うと、


 ()


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