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鹿児島大数学'10年[6]

鹿児島大数学'10[6]

で表される曲線をCとし、PC上の点とする。次の各問いに答えよ。
(1) 曲線C上の点Pにおける接線lの方程式は、
となることを証明せよ。
(2) 原点Oからlにおろした垂線をOHとする。Hの座標をとするとき、で表せ。
(3) Fとする。は点Pの取り方によらず一定であることを証明せよ。また、その値を求めよ。

解答 双曲線をテーマとする計算問題ですが、上手に計算しないと行き詰まります。

(1) C ・・・①
陰関数の微分法により、両辺をxで微分して、
 ・・・②
(i) のとき、
①でとすれば
における
Cの接線lは、 (複号同順) ・・・③
(ii) のとき、
②でとすれば、
 ・・・④
これが、PにおけるCの接線lの傾きです。接線lの方程式は、

PC上の点で①を満たすので、
 ・・・⑤
よって、接線lは、
ここで、とすると、③を含んでいます。
以上より、曲線C上の点Pにおける接線lの方程式は、
 ・・・⑥
となります。

(2) 曲線Cの接線で、y()と垂直になるものはないので、接線lと垂直な直線OHの傾きは、④より、 () (直線の平行と垂直を参照)
直線OHは、
⑥と連立すると、

Hは、 ......[]

(3)




ここで、(2)の結果を用いて、

 ( )
よって、は点Pの取り方によらず一定で、その値は1 ......[] です。


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  1. 2011/02/11(金) 11:53:07|
  2. 10年数学
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広島大理系数学'10年[5]

広島大理系数学'10[5]

4で割ると余りが1である自然数全体の集合をAとする。すなわち、
とする。次の問いに答えよ。
(1) xおよびyAに属するならば、その積Aに属することを証明せよ。
(2) 0以上の偶数mに対して、Aに属することを証明せよ。
(3) mn0以上の整数とする。が偶数ならばAに属し、が奇数ならばAに属さないことを証明せよ。
(4) mn0以上の整数とする。の正の約数のうち、Aに属する数全体の和をmnを用いて表せ。

解答 誘導なしでいきなり(4)を聞かれると厳しい問題ですが、誘導に乗って進めて行けば、解答できます。なお、集合整数を参照してください。

(1) であれば、pq0以上の整数として、
と表すことができます。
0以上の整数なので、
となります。 (証明終)

(2) 0以上の偶数mは、k0以上の整数として、と表すことができます。
となりますが、より、です。従って、(1)より、です。
また、
(1)より、であれば、です。
よって、帰納的に
(数学的帰納法を参照)0以上の整数k,つまり、0以上の偶数mについて、
となります。 (証明終)

(3) 以下では、pq0以上の整数とします。
(i) のとき、は偶数です。
となりますが、(2)より、です。についても、より、で、(1)より、であれば、となり、帰納的にとなるので、(1)より、
となります。
(ii) のとき、は奇数です。
となりますが、(i)で見たように、なので、 (k0以上の整数)とおくと、
は、4で割ると3余るので、
となります。
(iii) のとき、は奇数です。
となりますが、(i)で見たように、なので、 (k0以上の整数)とおくと、
は、4で割ると3余るので、
となります。
(iv) のとき、は偶数です。
となりますが、,また、より、なので、(1)より、
となります。
以上より、が偶数ならばAに属し、が奇数ならばAに属しません。 (証明終)

(4) の正の約数は、pqを満たす整数として、の形に表せます。このうち、Aに属するものは、(3)より、が偶数となるもので、pが偶数ならqも偶数、pが奇数ならqも奇数となります。これらの和Sは、
 (等比数列を参照)

......[
]


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  1. 2011/02/10(木) 18:00:00|
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帯広畜産大数学'10年[2]

帯広畜産大数学'10[2]

関数tに関する最大値xの関数とする。
(1) のとき、xを用いて表し、曲線の概形を描け。
(2) 曲線で囲まれる図形の面積を求めよ。
(3) 直線上の点Qから、曲線に引いた2本の接線の接点のx座標をそれぞれabとする。点Qの座標をabを用いて表せ。
(4) 2本の接線と曲線で囲まれる図形の面積の最小値を求めよ。

解答 2次関数の最大最小がからみますが、数学Ⅱの範囲の微積の総合問題です。

(1)
より、のとき最大値をとります。
......[] を図示すると右図実線(白マルを除く)

(2) を連立して、
 ∴
求める面積は、においてより、
......[]

(3) 接点のx座標をpとします。
における接線 ・・・①
直線上の点
Qを通るので、
 ・・・②
判別式:
 ・・・③
よって、pに関する2次方程式②は、相異なる2解を持ちます。この2解がabです。解と係数の関係より、
 ∴ ()
Qの座標は、 ......[] (と書くこともできます)

(4) とします。①において、として、2本の接線は、
2本の接線と曲線で囲まれる図形を直線で分けて面積を考えることにより、この図形の面積は、



2次方程式②の2解の差 (2次方程式の一般論を参照)は、③のDを用いて、

のとき、最小値: ......[] をとります。


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  1. 2011/02/09(水) 14:17:23|
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熊本大医数学'10年[3]

熊本大医数学'10[3]

関数 ()について、以下の問いに答えよ。
(1) の導関数を求めよ。
(2) の値を求めよ。
(3) 条件 ()によって定まる数列の一般項を求めよ。

解答 (2)では定積分を実行しなくても(1)を利用して解答できてしまいますが、定積分を実行するなら、部分積分のような雰囲気になります。

(1)  (定積分と微分(その2)を参照)

 (正接の加法定理を参照)




......[
]

(2) (1)より、 ・・・①
の定積分の上端と下端を等しい、と、おくと、

このとき、
①より、

別解.定積分を実行してみます。
 ・・・②
とおくと、tのとき、u (置換積分を参照)


 ( )


(3) (2)より、

 ・・・③ (2項間漸化式を参照)
 ・・・④
③-④より、
は、初項,公比等比数列
......[]


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  1. 2011/02/06(日) 15:25:23|
  2. 10年数学
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京都工繊大数学'10年[4]

京都工繊大数学'10[4]

(1) 不定積分を求めよ。
(2) 実数aに対して定積分の値をとおく。aの範囲を動くとき、の最小値を求めよ。

解答 積分の計算問題です。要領よく計算しましょう。

(1)
 (不定積分の公式を参照)
 (C:積分定数) ......[]

(2)
とおくと、

 
(商の微分法を参照)
より単調減少関数で、
においてにおいて





 (対数関数を参照)
に注意して、増減表は以下のようになります。
a0
1
2

0



増減表より(関数の増減を参照)は最小値: ......[] をとります。


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  1. 2011/02/05(土) 21:27:41|
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