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一橋大数学'10年前期[2]

一橋大数学'10年前期[2]

aを実数とする。傾きがmである2つの直線が、曲線とそれぞれ点A,点Bで接している。
(1) 線分ABの中点をCとすると、Cは曲線上にあることを示せ。
(2) 直線ABの方程式がであるとき、amの値を求めよ。

解答 数学Ⅱの微分の計算問題です。

(1)
とおきます。
 (微分を参照)
傾きm接線をもつとき、

 ・・・①
この方程式の2解をab として、解と係数の関係より、
 ・・・②
A,点Bの座標は、,線分ABの中点Cは、
②を用いて、




より、線分ABの中点Cは、曲線上の点です。
追記.より、曲線は変曲点をもちます。
3次関数のグラフは変曲点に関して対称なので、傾きの等しい接線が引ける異なる2点の中点は変曲点になります。

(2) 直線ABと曲線は、3ABCで交わります。
直線AB
と連立すると、
 ・・・③
直線AB上の点C上の点なので、③はという解をもちます。よって、
より、aは実数なので、 ......[]
このとき、③は、

()は、線分ABの中点Cの座標なので、ABx座標はです。方程式①の2解はであって、②より、
......[]


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  1. 2010/09/03(金) 08:49:25|
  2. 一橋大数学'10年
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一橋大数学'10年前期[1]

一橋大数学'10年前期[1]

実数pqrに対して、3次多項式と定める。実数ac,および0でない実数bに対して、cはいずれも方程式の解であるとする。ただし、iは虚数単位を表す。
(1) のグラフにおいて、点における接線の傾きをとし、点における接線の傾きをとする。のとき、の大小を比較せよ。
(2) さらに、acは整数であり、b0でない整数であるとする。次を証明せよ。
(i) pqrはすべて整数である。
(ii) p2の倍数であり、q4の倍数であるならば、abcはすべて2の倍数である。

解答 一橋大では定番の3次方程式・整数の融合問題です。なお、整数を参照してください。

(1) 3次方程式は実数係数の方程式なので、が解になれば、その共役複素数も解になります(高次方程式を参照)。つまり、3次方程式は、3個の解、cをもちます。
 ・・・①
 ・・・②
 ・・・③

 
(微分を参照)
 (接線を参照)

①を用いると、
なので、 ......[]

(2)(i) 整数同士の和、差、積は整数なので、①,②,③より、abcが整数であれば、pqrも整数です。(証明終)
(ii) klを整数として、pqは、と書けます。
①より、

これより、c2の倍数です。mを整数として、と書けます。
②より、

よって、4の倍数です。
abがともに2の倍数であることを背理法により示します。
abがともに2の倍数であることを否定すると、
(a) abのどちらか一方が奇数で他方は偶数。
(b) abのどちらも奇数。
2通りの場合があります。
(a)では、abのどちらか一方が奇数で他方が偶数だとすると、はどちらか一方が奇数で他方は偶数です。このとき、は奇数となり、4の倍数になり得ません。
(b)では、jnを整数として、と書けるので、
となり、4で割ると2余る整数で、4の倍数になり得ません。
よって、
abがともに2の倍数であることを否定した仮定は誤りで、abはともに2の倍数になります。
以上より、abc2の倍数です。
(証明終)


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  1. 2010/08/19(木) 22:59:35|
  2. 一橋大数学'10年
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一橋大数学'10年前期[4]

一橋大数学'10年前期[4]

0以上の整数が与えられたとき、数列
により定める。
(1) のとき、10で割った余りを求めよ。
(2) のとき、10の倍数であることを示せ。

解答 3項間漸化式整数の融合問題ですが、(2)はともかく、(1)をどうやって攻めるかが大問題です。試験時間のことを考えるのであれば、以下のように泥臭く対応するべきではないでしょうか。

(1) 3項間漸化式: ・・・①
特性方程式は、
 ・・・②
これより、は、初項,公比等比数列です。
 ・・・③
 ・・・④
これより、は、初項,公比3の等比数列です。
 ・・・⑤
⑤-③より、

 ・・・⑥
10で割った余りを調べるために、⑥の中カッコ内を100で割ったときの余りを調べます。
3をどんどんかけていって、100で割ったときの余り、つまり、下2桁がどうなるかを調べます。ここで、の下2桁が‘01'となることに着目(です)すると、
より、で、の下
2桁は‘01'なので、より、の下2桁は‘83'です。
また、の下
2桁が‘04'になることに着目(です)すると、
より、の下
2桁は‘04'なので、より、の下2桁は‘-12'です。
よって、⑥の中カッコ内を
100で割ったときの余りは、より20で、⑥より、10で割った余りは、 ......[]
別解.整数m10で割った余り、つまり、整数mの最下位桁の数字をと表すと、pqrsを整数として、
 ・・・⑤
が成り立ちます。
なぜなら、
ijklを整数()として、と書けたとすると、
より、
また、
となるからです。実は、上記の解答で既にこの考え方を使っています。
10で割った余り、つまり、について、漸化式:と⑤より、
 ・・・⑥
⑥でとして、
同様に、
これより、連続する2項、について、
よって、⑥より、
同様にして、以後、 ()となります。
これより、数列は、について、周期
20で繰り返すことがわかります。
......[]

(2) ②より、は、初項,公比の等比数列です。
 ・・・⑦
④より、は、初項,公比
3の等比数列です。
 ・・・⑧
⑧-⑦より、

よって、10の倍数です。


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  1. 2010/08/14(土) 01:04:09|
  2. 一橋大数学'10年
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一橋大数学'10年前期[3]

一橋大数学'10年前期[3]

原点をOとするxyz空間内で、x軸上の点Axy平面上の点Bz軸上の点Cを、次をみたすように定める。
ただし、Ax座標,By座標,Cz座標はいずれも正であるとする。さらに、△ABC内の点のうち、Oからの距離が最小の点をHとする。また、とおく。
(1) 線分OHの長さをtの式で表せ。
(2) Hz座標をtの式で表せ。

解答 凝らずに、三角比と直角三角形の相似を考えれば平凡に解決します。

(1) (三角比を参照)より、

AB
の中点をMとすると、三角形OABは二等辺三角形で、OMABは垂直です。
三平方の定理より、
三角形CABは二等辺三角形で、HCM上の点です。直角三角形OCMと直角三角形HOMの相似により、
......[]

(2) HからOCに垂線OKを下ろします。直角三角形OCMと直角三角形HKOの相似により、
......[]


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  1. 2010/08/02(月) 23:09:50|
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一橋大数学'10年前期[1]

一橋大数学'10年前期[5]

n3以上の自然数とする。サイコロをn回投げ、出た目の数をそれぞれ順に,・・・,とする。に対してとなる事象をとする。
(1) ,・・・,のうち少なくとも1つが起こる確率を求めよ。
(2) ,・・・,のうち少なくとも2つが起こる確率を求めよ。

解答 余事象を考える標準的な確率の問題です。

(1) ,・・・,のうち少なくとも1つが起こる事象の余事象は、,・・・,が全て起こらない、つまり、,・・・,となる事象です。
として、通りの各kについて、が起こらないのはとなるときで、の各1通りに対しての出方は以外の5通りあります。
の出方は
6通りあり、,・・・,が全て起こらない目の出方は、通り。
全事象は、サイコロを
n回投げたときの目の出方で、通り。
余事象の確率は、
 ・・・①
求める確率は、1から余事象の確率を引いて、
......[]

(2) ,・・・,のうち少なくとも2つが起こる事象の余事象は、,・・・,が全て起こらない、または、,・・・,のどれか1つだけが起きて他は起こらない、という事象です。
,・・・,が全て起こらない確率は、①より、
,・・・,のどれか
1 ()だけが起きて他が起こらないのは、
(i) のとき、,・・・,となりますが、の出方が6通り、として、通りの各jについて、の出方は以外の5通りあり、通り。
(ii) のとき、,・・・,,・・・となりますが、の出方が6通り、かつとして、通りの各jについて、の出方は以外の5通り,の出方は1通り()あり、通り。
(i)(ii)とも、通りについての各場合通りあるので、,・・・,のどれか1つだけ起こるのは、通り。
全事象は
(1)と同じく、通り。
余事象の確率は、
求める確率は、
......[]


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  1. 2010/07/18(日) 15:18:03|
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