CHALLENGE from the VOID

大学入試問題を考える - 数学・物理 -

CFV21 ご入会のおすすめ
理工系受験生の方は
こちらをご覧ください
当会の活動にご支援頂ける方は
こちらをご覧ください

センター試験「数学」の必勝法はこちら
センター試験「物理」の必勝法はこちら

理工系受験生必見!! 2010-2007入試問題検討ページ(東大・東工大・京大・早慶) 
CFV21での学習の進め方

スポンサーサイト

上記の広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。
新しい記事を書く事で広告が消せます。
  1. --/--/--(--) --:--:--|
  2. スポンサー広告

京大理系数学'10年乙[6]検討

京大理系数学'10年乙[6]検討

[6](解答はこちら) 多数の項の積になる確率の対数の極限が、区分求積法によって定積分になる、という流れは、定型パターンの問題と言えると思います。本問を見ておけば、今後、類題に当たっても対処できるでしょう。
ですが、確率の考え方自体は、定型的に思わない方がよいと思います。というのは、本問のような問題で、個の箱に
n個のボールを入れる場合の数が、通りになって、通りにならないのか、わからない、PCの違いがわからない、という、疑問を抱く方がいるからです。この場合は通りで、別の場合では通り、というように、パターン化して扱おう、と、発想せずに、問題ごとに考えるようにして頂きたいと思います。
くらいで具体的に見てみましょう。本問の場合、
6個の箱(1~箱6とします)があり、3個のボール(ABCとします)の各1個について、等しい確率6個の箱のいずれかに入ります。どの箱にも1個以下のボールしか入らない確率を求めることになります。だとすると、
ボールが1個ずつ3個の箱に入るとき、6個の箱からボールの入る3個の箱の選び方が通り、
ボール
2個が1個の箱に入りボール1個が別の1個の箱に入るのは、6個の箱からボール2個の入る1個の箱の選び方が6通り、その各1通りについて、ボール1個の入る箱の選び方が5通りで、通り、
ボール
3個が1個の箱に入るとき、6個の箱からボール3個の入る1個の箱の選び方が6通り、
求める確率は、 ・・・①
と考えるのは、誤りです。というのは、
ボールが
1個ずつ3個の箱に入るときの場合の数を20通りとしていますが、そのうちの1通り、例えば、箱1と箱2と箱31個ずつボールが入る場合と、
ボール
3個が1個の箱に入るときの場合の数を6通りとしていますが、そのうちの1通り、例えば、箱13個のボールが入る場合とが、
同様に確からしい、とは言えないからです。
1と箱2と箱31個ずつボールが入る、とは、言っても、箱1A,箱2B,箱3Cが入る場合、箱1B,箱2C,箱3Aが入る場合、など、6通りの場合があるのに対し、箱13個のボールABCは入る方は1通りしかありません。
本問では、ボール各
1個は「どの箱に入る確率も等しいとする」という前提で考えています。「箱1A,箱2B,箱3Cが入る場合」と「箱13個のボールABCが入る場合」であれば、同様に確からしいとは言えますが、①式の分母の20通りと30通りと6通りとでは、その各1通りが同様に確からしいとは言えないのです。
本問では、全事象は、ボール
Aの入り方が箱1~箱66通り、ボールBについても6通り、ボールCについても6通りで、通り、とすれば、この各1通りが「同様に確からしい」と言えるようになります。
そのときに、どの箱にも
1個以下のボールしか入らない、という場合の数は、ボールAが箱1~箱66個の箱のどれかに入り、ボールBについて、ボールAが入らなかった箱5個のどれかに入り、ボールCについて、ボールABが入らなかった箱4個のどれかに入るので、通り、
求める確率は、,つまり、
となります。
ですが、もし、
3個のボールの入れ方通りの各1通りが同様に確からしい、という設定の問題であれば、答えはになります。
つまり、何を同様に確からしいと考えるか、ということによって、通りか、通りか、ということは違ってきます。重要なことは、事象
Aの起こる確率:において、分母と分子すべてにわたって、何を同様に確からしいとしているか、という考え方が揃っている、ということです。


TOPに戻る   CFV21 メイン・ページ   考察のぺージ

(C)2005,2006,2007,2008,2009
(有)りるらる
CFV21 随時入会受付中!
CFV21ご入会は、まず、
こちらまでメールをお送りください。
 雑誌「大学への数学」購入
スポンサーサイト

テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2010/06/08(火) 15:53:54|
  2. 京大数学'10年
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:0

京大理系数学'10年乙[5]検討

京大理系数学'10年乙[5]検討

[5](解答はこちら) 本問は、(1)は数値代入していけば数学的帰納法が見えてきますが、(2)は少し難航するかも知れません。
(1)は、「nを正の整数、とする。」と言われた時点で、nに数値代入して、のときのとき,・・・、という具合に進めて行くのが定番と言ってもよいので、試験会場でも必ず思いつけるようにしてください。
で割り切れるがでは割り切れない」というのは、を素因数分解すると、の形になる、ということなので、正の奇数を
pとして、
とおくことになります。
のときには、
のときには、
のときには、
という流れが見えてくれば、に偶数をかけてになり、さらに偶数をかけてになる、というところから自然に数学的帰納法の枠組みに行き着けるでしょう。

(2)は最初から結末までのストーリーを見透かすのは困難です。(1)とのつながりから、正の偶数mを、素因数分解の形を考えて、 (qは正の奇数)とおくことになります。また、「で割り切れる」という問題文から、として、(1)を用いて、
とおき、
という因数分解を考えれば道が開けます。
一気に解決しようと欲張らないで、問題文から得られる情報を数式化し、
(1)の結果を利用しつつ、一つずつていねいに片付けていけば、自然な流れに乗ることができると思います。
結局、ある程度のレベルの問題を自力で解いた経験と、問題文を論理的に読解する力があれば、京大理系を制覇できる、ということです。自力で解く問題と言っても、あらゆるパターンの問題を網羅的に解く、という必要はありません。受験生一人に与えられた時間を考えてもそれは無理というものです。特徴的な問題を週に数題じっくり時間をかけて取り組む、ということを考えてください。読解力をつけるために、私は、友人同志で何かテーマを決めて、論説文を書き、お互いに読み回して討論してみることをお奨めします。感情的にならずに冷静に討論するためには、どう論述すればよいかというトレーニングをするうちに、書き手の気持ちを探る読解力もついてきます。



TOPに戻る   CFV21 メイン・ページ   考察のぺージ

(C)2005,2006,2007,2008,2009
(有)りるらる
CFV21 随時入会受付中!
CFV21ご入会は、まず、
こちらまでメールをお送りください。
 雑誌「大学への数学」購入

テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2010/06/07(月) 04:18:05|
  2. 京大数学'10年
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:0

京大理系数学'10年乙[4]検討

京大理系数学'10年乙[4]検討

[4](解答はこちら) 解答では、正弦定理と余弦定理を用いましたが、余弦定理を使わなくても解答できます。
bの値を求めるだけなら大した問題ではないのですが、この問題のポイントは、三角形が鋭角三角形であることをどうやってチェックするか、というところにあります。解答のように、長さabの辺と向かい合っている角をABCとすれば、正弦定理を用いて、であることがわかります。これで、となります。また、から,つまり、もわかります。
これでとなるので、,あるいは、を確認できればよいわけです。解答では、
b2次方程式がの範囲に解をもつ条件を調べました。ですが、以下のようにする加法定理を用いる解法も考えられます。

とおくと、
より、においては減少関数で、,つまり、
が確認できて、
が求める解だということがわかります。
易しそうな問題に見えても、答案の論理をしっかり見ようという京大数学の方針を、本問で感じ取るようにしてください。



TOPに戻る   CFV21 メイン・ページ   考察のぺージ

(C)2005,2006,2007,2008,2009
(有)りるらる
CFV21 随時入会受付中!
CFV21ご入会は、まず、
こちらまでメールをお送りください。
 雑誌「大学への数学」購入

テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2010/06/03(木) 22:20:34|
  2. 京大数学'10年
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:0

京大理系数学'10年甲[6]検討

京大理系数学'10年甲[6]検討

[6](解答はこちら) 解答にも書いた通り、本問は過去に別の大学の入試問題として採り上げられたことのある問題です。回転体の体積を求める問題でも、曲線を回転するというのではなく、図形や立体を回転する、という問題があります。本問では立方体を回転するのですが、回転軸から最も遠い点を探すことがポイント、という点では、他の回転体の体積の問題と共通です。この手の問題の中で特徴的な問題と言えるので、理工系大学志望者が全員、体験しておくべき問題だと私は思います。
回転体を回転軸に垂直な平面で切ったときの断面内のすべての点について、回転軸との距離を考え、その最大値を,最小値をとして、断面は、半径の円から半径の円を切り抜いた図形になります。
tは、回転軸に沿う方向での基準点から距離とします。回転体の体積Vは、断面積をtについて積分し、であれば、
として計算できます。どういう図形を回転する場合でもこの考え方は同じです。一度体験して納得しておけば、試験場でまごつくこともないでしょう。
一つ申し上げておきたいのは、受験準備のための限られた時間を有効に使うために、本問のような特徴的な問題、この一題を解いておくと幅広い応用が利くような問題を選んで解いていくように心がけて頂きたいということです。同じようなタイプの問題を数多く解けば、頭脳への沈着度は高くなりますが、時間的制約のために、覚えておける解法パターンの数は限られてしまいます。一度問題を解いて終わり、ということにせずに、何度か復習するようにすれば、同一タイプの問題を少なく抑えることは可能なはずです。勉強の密度・効果を高めるように工夫しましょう。
また、難関大学の入試問題の中には、過去問では見あたらないオリジナリティー溢れる問題もあるので、問題を見てから新鮮な気持ちで解法を考える、というトレーニングももちろん大切です。それと並行して、解法パターンのレパートリーを効率的に増やしておく努力も続けるようにしてください。



TOPに戻る   CFV21 メイン・ページ   考察のぺージ

(C)2005,2006,2007,2008,2009
(有)りるらる
CFV21 随時入会受付中!
CFV21ご入会は、まず、
こちらまでメールをお送りください。
 雑誌「大学への数学」購入

テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2010/05/29(土) 06:11:21|
  2. 京大数学'10年
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:0

京大理系数学'10年甲[5]検討

京大理系数学'10年甲[5]検討

[5](解答はこちら) 実力充分の受験生であれば、問題なくこなすことのできる問題ですが、これから受験準備を始めようという方が、この問題を解いてみてどう思うか、ということが気になります。
の交点を
aとして、積分計算をして面積Tを求めると、aaが混じった式になります。問題文では、条件を満たすaの値を問うているので、Taだけを用いて表さなければ、最終解答に到達できません。そこで、aaで表さないといけない、ということになるのですが、これがうまくいかない、というところが、この問題のポイントです。諦めの早い受験生だと、aを消せない、という時点で見限ってしまうかも知れません。
ですが、
Tの式にaが残っていると言っても、という形で残っていて、であれば、aを用いて表すことができるので、aを消去して、Taだけを用いて表せるのです。固定観念にとらわれずに、ちょっと視野を広げてみれば、別の見方が見えてくる、ということだと思います。
実際には、学校や塾で教わって、一つの技巧の知識として持っているので、この問題はこうやればできる、として解答した受験生が多く、出題者の意図通りになっていないと思いますが、本来であれば、教わっていなくても、試験場で、
aで表せている、ということに気づいて、解けて欲しい問題です。
こちらをご覧の皆さんに申し上げたいのは、本問では、
aaで表さないといけないという固定観念にとらわれないようにして頂きたい、ということです。自分は決めてかからないと解けない、と、思い込んでしまう受験生が多いのですが、一つの問題の見方を決めつけて見るようにしないで頂きたいのです。昨日はうまく行ったけれども、同じ方法で取り組んだら今日はうまく行かなかった、ということはよくあることです。野球の投手が毎日同じ攻め方をしていたら、バッターの方は学習してしまって、次に来るボールをあらかじめ予測してしまうようになる、というようなこともあります。受験生の大半がこういう考え方をするだろう、と思うと、出題者側は必ず裏をかいてくるのです。正攻法はこうだが、裏をかかれたらどうするか、裏の裏をつかれたら、という感じで、全ての問題の解法パターンをあらかじめ知識として持とうとするのは無理です。
試験会場で、異なる観点からものを眺めることができるように、いわゆる「常識」的なものの考え方だけで全てを見限ることのないようにしましょう。



TOPに戻る   CFV21 メイン・ページ   考察のぺージ

(C)2005,2006,2007,2008,2009
(有)りるらる
CFV21 随時入会受付中!
CFV21ご入会は、まず、
こちらまでメールをお送りください。
 雑誌「大学への数学」購入

テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2010/05/27(木) 23:30:14|
  2. 京大数学'10年
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:0
次のページ
上記広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。新しい記事を書くことで広告を消せます。