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阪大物理'10年後期[1]

阪大物理'10年後期[1]

1のように、半径の等しい二つの円筒12が、互いに逆向きに同じ角速度で回転している。その上に質量M,幅が一定で長さの厚さを無視できる一様な板を水平に乗せたとき、この板がどのような運動をするか考察しよう。円筒の長さは板の幅より大きいとする。図1は板の重心Gを含み、円筒の回転軸に垂直な断面を表している。円筒は同じ高さで、回転軸を平行に距離だけ離れて置かれ、板の長さ方向が円筒の回転軸に垂直になるように板を乗せた。円筒と板の接触は、円筒の回転軸に平行な方向には一様であるとすると、板の運動は図1で示した断面で考えることができる。図のように板の長さ方向に沿って水平方向にx軸をとり、板の運動はx軸上に限定されるとする。板と円筒1との接触の断面上の位置を点Pとし、円筒2との接触の断面上の位置を点Qとする。点Pと点Qの中点に原点Oをとり、図の右向きをxの正の向きとする。板と円筒の間の動摩擦係数は、接触位置の板と円筒の相対速度の大きさによらずである。重力加速度の大きさをgとする。

Ⅰ.最初、板の重心Gが原点Oと一致するように板を乗せると、板は静止したままであった。

1 円筒12が板に及ぼしている垂直抗力をそれぞれとし、鉛直方向の力のつり合い、重心Gのまわりの力のモーメントのつり合いを考え、およびを求めよ。

次に、図2のように板の右端を手でゆっくり右方向(x軸の正の向き)に引っ張り、d ()だけ移動させ静止させたところ、右端を引く力はFとなった。

2 Fの大きさを求めよ。
3 板をdだけ移動させるまでに、手が板にした仕事を求めよ。

その後、静かに手を離すと板は左右に往復運動を始めた。円筒の角速度は十分大きく、往復運動の速さは、接触の位置における円筒と板との相対速度の大きさに比べて、十分に小さいとする。板が動いている場合の力のモーメントのつり合いの条件は、板が止まっている場合と同じと考える。

4 この往復運動の振幅および周期を求めよ。
5 板の速さが最大となるときの重心Gの座標を求め、そのときの運動エネルギーを求めよ。

Ⅱ.図1の状態から、図3のように大きさが無視できる質量mのおもりを板の上に置くと、おもりは板の上をすべることなく、板と一緒に運動を始めた。前の運動と同じく、円筒の角速度は十分大きく、運動の速さは接触の位置における円筒と板との相対速度の大きさに比べて十分に小さいとし、板が動いている場合の力のモーメントのつり合いの条件は、板が止まっている場合と同じと考える。

6 おもりを乗せた直後に、板とおもりとの全体の重心の位置が、となるおもりの座標を求めよ。ただし、dはⅠ.で考えた図2dと同じとする。
7 板とおもりとの間の静止摩擦係数をmとすると、おもりが板の上をすべらずに、板が円筒から落下することなく、往復運動を続けるためのmおよびが満たすべき条件を求めよ。
8 この往復運動の振幅および周期は、問4の場合の振幅および周期のそれぞれ何倍になるか求めよ。
9 重心の速さが最大となった瞬間に、おもりをはずした。その後、板は往復運動を続けた。この往復運動の振幅は、おもりが乗っている場合の何倍になるか求めよ。

解答 力のモーメントの古典的な問題ですが、問7以降はかなり難しくなります。問5あたりでも、「仕事」や「エネルギーの原理」の意味をしっかりできていないと、まごつくかも知れません。

Ⅰ.問1 板に鉛直方向に働くは、上向きの垂直抗力と、下向きの重力です。これらの力のつり合いより、
 ・・・①
重心Gのまわりの力のモーメントは、右回りの,左回りので、これらのつり合いより、
以上より、
......[]

2 板に水平方向に働くは、右向きのF,右向きの動摩擦力,左向きの動摩擦力です。これらのつり合いより、
 ・・・②
鉛直方向の力のつり合いは、①のままです。
原点
Oのまわりの力のモーメントは、右回りの,左回りの,右回りので、こららのつり合いより、
 ・・・③
(①+③÷L)÷2より、

......[]

3 板の重心のx座標xとすると、問2dxに置き換えて、右向きの外力の大きさFは、
手が板にした仕事Wは、
......[] (エネルギーの原理を参照)
別解.F-x図は、を結ぶ線分です。この2点と3頂点とする三角形の面積から、でもOKです。

4 往復運動中の重心Gx座標xとすると、板に水平方向に働くは、右向きの動摩擦力,左向きの動摩擦力で、板の加速度aとして、板の運動方程式は、
 ・・・④
鉛直方向の力のつり合いは①のまま、力のモーメントのつり合いは③のdxに置き換えた式になります。④は②のFに置き換えた式なので、問2の結果を利用して、
 ・・・⑤
これは、
角振動数単振動を表します。のとき、板から静かに手を離したので、ここが振動端で、単振動の振動中心が力のつり合いの位置であることから、
往復運動の
振幅d周期Tは、 ......[]

5 板は単振動するので、板の速さが最大になるのは、
板の重心Gx座標が、 ......[]
のとき(振動中心に来たとき)です。このときの運動エネルギーは、振動端での位置エネルギーである問3仕事に一致し、 ......[] (エネルギーの原理を参照)
別解.公式より、このときの板の速さvは、
このときの運動エネルギーは、

Ⅱ.問6 質量Mの板の重心はにあります。おもりの位置とすると、板とおもりの重心x座標について、
......[]

7 おもりを板の上に置いた時点で、になるので、水平方向のつり合いが崩れ、板に左向きのが働いて、板が左に動き出すことに注意しましょう。
板がおもりに及ぼす静止摩擦力fとします。作用反作用の法則より、おもりは板に静止摩擦力を及ぼします。
板の
加速度aとして、板の運動方程式は、
 ・・・⑥
おもりも加速度aで運動するので、おもりの運動方程式は、
 ・・・⑦
板に働く鉛直方向の力のつり合いより、
 ・・・⑧
板の重心Gx座標xのとき、板+おもりの重力の作用点のx座標です。原点Oのまわりの力のモーメントのつり合いより、
 ・・・⑨
(⑧+⑨÷L)÷2より、
⑥+⑦より、

 ・・・⑩
⑤と比較すると、角振動数は問4の単振動と変わらず、振動中心がになったことがわかります。おもりを板の上に置いたときの板の重心G位置が振動端になるので、振幅dのままです。板が往復運動をするとき、板が最も左に来るのは、板の重心Gx座標のときです。 ・・・()
板が円筒から落下しない条件は、このときに、(i) 板+おもりの重心が円筒1との接点よりも左に来ない、かつ、(ii) 板の右端が円筒2との接点よりも左に来ないことです。
まず、おもりを板の上に置いたとき、板+おもりの重心の
位置が、円筒2との接点の右側に来てしまうと、この時点で板が傾いて落下してしまうので、板+おもりの重心の位置は、円筒2との接点から左側にあります。つまり、
板の重心の
x座標のとき、板+おもりのx座標で、円筒1との接点のx座標と比べると、であって、(i)の条件は必ず満たされます(板+おもりの重心の単振動では、原点Oが振動中心で振幅dです)
また、このとき、
(ii)の条件より、板の重心Gと右端との距離は、最も左に来るとき板の重心Gと円筒2との接点との距離以上でなければなりません。よって、
 ・・・⑪
おもりが板の上で滑り出さない条件(摩擦力を参照)を考えます。⑦,⑩より、
ですが、静止摩擦力の大きさが最大になるのは、のときで、このとき、なので、滑り出さないために最大静止摩擦力以下であるとして、

⑪と合わせて、求める条件は、
......[]
注意.なので、 ()です。という条件も必ず満たされています。

8 問7中の()の検討より、この往復運動の振幅および周期ともに問4の場合と同じです。
振幅が1倍、周期も1 ......[]

9 重心速さが最大になるのは、振動中心にくるときです。おもりをはずず直前では、板の重心Gx座標はです。振動中心に来た瞬間におもりをはずすと、おもりの運動エネルギーが失われて、この瞬間の板の運動エネルギーだけが残ります。
おもりを板の上に置いたときに、板は振動中心からdずれた位置にいるので、おもりをはずした瞬間の板の運動エネルギーは、問5の結果と同じくです(板だけで考えてください。おもりをはずすからと言って、おもりの運動エネルギーが板の運動エネルギーに加わるわけではありません)
ですが、おもりをはずして板だけの単振動になってしまうと、板の単振動の振動中心は原点
Oに戻ります。ということは、おもりをはずした瞬間に、板は振動中心からdだけ変位していて、位置エネルギーをもつことになります。板だけになったときの振幅Aとすると、振動端での板の力学的エネルギーは、問5の結果でとして、です。力学的エネルギー保存より、
......[]


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  1. 2010/10/24(日) 16:04:04|
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東大文系数学'10年[2]

東大文系数学'10[2]

2次関数に対して
xについて恒等式になるような定数abcの組をすべて求めよ。

解答 数学Ⅱ・微積分の計算問題です。






より、
これがxについての恒等式になるために、
 ・・・①, ・・・②, ・・・③
②×に①を代入して、


のとき、①より,③より
のとき、①より,③より
......[]


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  1. 2010/08/09(月) 17:18:30|
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東大理系数学'10年前期[6]検討

東大理系数学'10年前期[6]検討

[6](解答はこちら) 本問は、ほぼ、1次結合と内積、相似比だけで解答できてしまうので、特殊な受験技巧を使うようなところはありません。解答では無理矢理にメネラウスの定理も使いましたが、使わなくても解答可能です。最大値も2次関数なので基本的と言えるでしょう。特別な勉強をしていなかった受験生でもコツコツやっていけば最終解答にたどりつくことができると思います。ですが、(3)まで正解できた受験生は極めて少数ではないでしょうか。
東大理系では、息の長い思考が要求される問題は、毎年出題されていますが、本問のように、やることがはっきりしていて、手間のかかる処理だけが延々と続く、というタイプの問題は珍しいと言えます。強いて言えば、面倒な計算をさせられる微積の問題はあり得ますが、これは計算能力を見よう、ということでしょう。
本問については、空間ベクトルの問題なので仕方がないと言うべきか、あるいは、忍耐力のない学生に見かねた出題者が出題方針を変えたのか、わかりませんが、今年の東大受験生は大変だっただろうと思います。本問の
(2)(3)に取り組んで膨大な時間をかけたのにもかかわらずミスに終わった受験生が涙を飲み、さっさと放棄して他の問題に向かった受験生がガッツ・ポーズする、という構図は、素直に受け入れられるものではない気がします。
他の国立大学では、面倒な処理をこなせる持久力を見よう、という問題も見かけますが、合格者に違った能力を要求しているのだろうと好意的に受け取ることもできます。ですが、東大理系では、もう少し工夫した出題を考えてもらえないものか、と、感じます。言うは易く実現は困難ですが、解いていて楽しくなり、それでいて奥深さがあって、数学の思考力も要求される、という、全国の受験生が東大理系を目指してみよう、という気持ちを奮い立たせてくれるような、
'08年前期[5]のような問題が理想です。空間図形であれば、少々難度の高い問題ですが、'96年前期[3]'90年前期[3]のような問題を考案して頂くように願っています。


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  1. 2010/05/08(土) 23:29:06|
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東大理系数学'10年前期[5]検討

東大理系数学'10年前期[5]検討

[5](解答はこちら) 本問は、上手に解答しようと思えば、より鮮やかな解法を工夫することが可能な問題ですが、私は、こうした問題は、多少時間をかけても安全な手順で確実に解いていく方が実戦的だと思います。
解答では、シラミつぶしで調べる
k6通りに限って調べる、という方針で書いてありますが、という制約の中でに限られる、という方針で進めば、2通りですみます(解答中の③式を見ながら各自工夫してみてください)
試験会場で、
2通りの場合分けですむ解法を思いつければそれで解答すればよいし、6通りの場合分けが必要になってしまってもそれで解答すればよいのです。6通りを2通りですまないか、と深追いしてしまうと、6通りの場合分けで解答する時間の方が短かった、ということになりかねません。
ただ、もし、
50通りを調べなければいけないのだとしたら、これを10通り程度にできないか、工夫する必要はあるでしょう。
整数問題では、こうした見極めが重要で、日常的な学習の中で、この解法で解くとどれくらいの時間がかかるか、また、解法を思いつくのにどれくらいの時間がかかるか、という問題意識を持つようにして、模試を受けるときなどに試してみるようにしてください。
本問は、
[3]ほどではありませんが、問題文を見るなり即、整数問題と判断できるわけではなく、問題文を読解して何を考えるべきか、というところから始める必要があります。数学の入試問題は物理の入試問題に比べれば遙かに短文ですが、俳句や詩を読んで情景を思い浮かべるのと共通するイメージ力が必要で、東大数学では特に言えることです。理工系難関大を目指す諸氏は、国語の授業中に、俳句など関係ないと思い込んで居眠りをしてしまう、ということがないようにしてください。
本問はまた、より鮮やかな解法にこだわり過ぎたり、短時間であっさりと処理しようと焦ったりすると、題意の解釈に想定以上の多大な時間をかけてしまう、という失敗をしかねない問題だと言うこともできます。試験会場で、多少ヘタでも、多少時間がかかっても、制限時間内に合格ラインに届く点数が取れればよい、という割り切りをすることは、受験生が、将来、技術開発者・研究者として、限られた時間的予算的制約を受けて科学の第一線で活躍する上でも大切なことです。



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  1. 2010/05/07(金) 10:27:51|
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東大理系数学'10年前期[4]検討

東大理系数学'10年前期[4]検討

[4](解答はこちら) 本問は、という形の積分計算に関する技巧を背景とした問題です。
本年早大理工[4]では、とおいて、
より、
 (C:積分定数)
として積分を行っていますが、大学入試では、を利用して、以下のように部分積分を促す誘導をよく見かけます。


 (C:積分定数)
ですが、もう一つ、という置換積分をする方法が知られています。
より、
 (C:積分定数)
であれば簡単ですが、の場合は少々工夫をして、
より、
となるので、
 (ここがみそです)




として、図形的意味を確認しながら積分計算をしているのが本問です。

さて、頭を悩ます難問が続出の東大理系でも、いわゆる受験技巧を駆使するような問題が毎年
12題出題されています。2010年度では、本問がそうした問題に当たります。解答の(2)では、技巧に走らず素直な考え方でやってありますが、うまくやるのであれば、以下のような、逆関数を考える解法の方が容易に面積を求めることができます。
解答の図で、の交点を
Qとすると、(1)より、なので、より、
 ・・・①
曲線Cの範囲にある部分をとします。
問題となっている面積、つまり、と線分とで囲まれる図形の面積
Sは、と線分で囲まれる部分の面積をとして、①より、
となり、と直線,線分に囲まれた部分の面積に等しくなります。よって、曲線Cを与える関数を,この逆関数をとして、面積Sは、y方向の定積分:
で与えられます。解答中の⑤式:を利用すれば、より、
となります。

解答で書いた、
x方向の定積分のままで置換積分を行う考え方は、やや趣を異にしますが、円筒分割によるy軸の回りの回転体の公式の証明などに出てくる考え方と共通のものです。
例えば、東大
89[5]

とする。のグラフのの部分と
x軸とで囲まれた図形をy軸のまわりに回転させてできる立体の体積Vは、で与えられることを示し、この値を求めよ。

解答 たくさんの円筒に分割して積分することを図形的に説明することも可能ですが、ここでは、計算でやってみます。
においてから一旦増加して
()で極大値をとりまで減少する関数です。増加関数の部分の逆関数を,減少関数の部分の逆関数をとすると、
に対して、のときのときです。
各定義域において,また、に注意してください。

y軸の回りの回転体の体積なので、普通は外側から内側を引き、y方向に積分して、
とするわけですが、この問題で与えられているでは逆関数が求められないので、と置換して積分を行います。
より、
の積分では、yのとき、x
の積分では、
yのとき、x
ここで部分積分法を用いて、
となります。この結果を利用して、
とおくと、
xのとき、t
......[]


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