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東大物理'06年前期[3](再掲)

東大物理'06年前期[3]

 図3のように、密閉されたガラス容器(容積V)のなかに、導電性のワイヤで吊り下げた金属の板(面積S)と電子銃が取り付けられている。電子銃からは電子が初速度0で出る。その電子は電圧fで加速されて板に垂直に衝突する。この容器には、気体分子同士の衝突を考えなくてよいほど希薄な気体(nモル)が存在している。電子銃から出た電子は、直接板に力を与える以外に、気体分子を介して間接的に別の力を板に及ぼす。それぞれの力を求めるため、気体は理想気体の状態方程式に従うものとして、以下の問に答えよ。電子の電荷と質量をそれぞれ、()m,気体分子の質量をM,アボガドロ数を,気体定数をRとする。また、図3のように、電子銃から板に垂直に向かう方向をx軸,それと直交する2方向をy軸,z軸とする。ただし、電子銃、板、ワイヤの体積は無視してよいものとする。
Ⅰ まず、電子銃から出た電子が板に直接与える力を求めよう。ただし、すべての電子は板に垂直に衝突し、板で反射されることなく吸収されるものとする。
(1) 電子銃から出て加速された1個の電子が、板に衝突する際に板に与える力積を、femを用いて表せ。
(2) 電子の流れ(電子線)によって生じる電流がIであるとき、板の表面に垂直に加わる平均の力Fを、Ifemを用いて表せ。
Ⅱ 次に、電子線を照射していない状態で、気体分子が板に及ぼす力を考えよう。状況を簡単化して、気体分子の1/3x軸方向に、1/3y軸方向に、残る1/3z軸方向に、それぞれ同じ速さvで運動しているものとする。また、それぞれの軸方向に運動する分子の半数ずつは互いに反対向きに運動しているものとする。
(1) 単位時間に板の片側に入射する気体分子の数を、nvSVを用いて表せ。
(2) 気体分子と板の衝突が弾性衝突のとき、気体が板に及ぼす圧力Pを、nvMVを用いて表せ。ただし、板は十分重くて動かないものとする。
(3) 理想気体の状態方程式を利用して、vMRおよび気体の絶対温度Tを用いて表せ。
(4) 実際には、気体分子と板の衝突は弾性衝突ではなく、むしろ完全非弾性衝突となることが多い。そのような気体分子は、板に衝突して板の表面に一旦吸着される。しかし、吸着された分子は再び表面から放出され、単位時間に板に入射し吸着される分子数と板から放出される分子数がつりあった状態になる。板の表面の温度がであるとき、吸着された分子はⅡ(3)Tに置き換えた速さで板の表面から垂直に放出されるものとする。ここではとし、入射するすべての分子が板とこのように完全非弾性衝突するとして、気体分子が吸着・放出によって板に及ぼす圧力を、nvMVを用いて表せ。ただし、吸着による気体中の分子数の減少は無視できるものとする。また、板は動かないものとする。
Ⅲ 電子照射によって板に間接的に加わる別の力を考えよう。
(1) 電子線を照射していると、入射電子の運動エネルギーによって照射面の温度は反対側の面の温度より、だけ上昇する。この場合、単位時間に板に入射し吸着される分子数と板から放出される分子数がつりあった状態でも、両面に気体分子が及ぼす圧力に差が生じ、板には力f が加わる。その理由と力f の向きを答よ。ただし、板に入射する気体分子の温度Tと、電子照射面の反対側の面の温度は等しく、電子線照射前と変わらないものとする。
(2) (1)の力f を、TSおよび電子線照射前の圧力Pを用いて表せ。ただし、温度上昇は十分小さく、電子照射面では一様とする。また、1より十分小さいときに成り立つ近似式を用いてよい。

[解答] 題意が把握できていれば指定されたとおり考えるだけなので難しくはありません。読解力の問題です。

(1) 電子銃から飛び出した電子は電界で加速され、エネルギー (電位・電圧を参照)を受け取って金属板に衝突します。板に衝突するときの電子の速さとして、
 (運動エネルギーを参照)
1個の電子が、板に衝突する際に板に与える力積(運動量の原理を参照)
......[]

(2) 電子線の電流Iのとき、単位時間に板に到着する電子の個数は、
板の表面に垂直に加わる平均の、つまり、電子線が単位時間に板に与える力積の大きさは、(1)の結果にをかけて、
......[]

(1) nモルの気体分子のうち、x軸方向に運動し、そのうちのx軸正方向に運動するので、x軸正方向に運動している気体分子は、モルで、個あります。単位体積当たりでは体積Vで割って、個です。
単位時間に、面積Sの板に到来する気体分子は、気体分子が単位時間vだけ進むので、体積の中にあって、x軸正方向に運動する気体分子です。
......[]

(2) 気体分子1個は、板に垂直に速度で衝突して、速度で跳ね返るので、気体分子1個が板から受ける力積、即ち、気体分子1個の運動量の変化は、
 (運動量の原理を参照)
板が気体分子1個から受ける力積は、これの符号を逆にしたもので、
従って、単位時間に、これらの気体分子が板に及ぼす力積の大きさ、即ち、気体が板に及ぼすの大きさは、
気体が板に及ぼす圧力は、
......[] (気体分子運動論を参照)

(3) 状態方程式(2)の結果より、

......[]

(4) なので、気体分子が板に衝突する直前の速さと、放出された直後の速さは同じです。気体分子が板に吸着されるときに、気体分子は板に力積を与え、板から放出されるときに、再度力積を与えるので、吸着と放出で合わせて、力積を板に与えます。
これは、気体分子が板に、衝突する場合も、一旦吸着されて放出される場合も、板に与える力積は同じであることを意味します。
よって、気体分子が吸着・放出によって板に及ぼす圧力(2)Pに等しく、
......[]

(1) 電子が衝突する側の面(照射面)と反対側の面では、前者の方が電子が供給するエネルギーの分だけ温度が高くなります。
題意より、板から放出される気体分子の速さは、ですが、温度が高ければ、放出される速さも大きくなります。
板の左側の面(照射面)から放出される気体分子の速さの方が、右側の面から放出される気体分子の速さよりも大きいので、板の左側の気体が板に及ぼす圧力の方が、右側の気体が及ぼす圧力よりも大きくなり、x軸正方向のを受けることになります。

理由:板の左側(照射面側)の方が右側よりも温度が高く、放出される気体分子の速さ、従って、板に与える力積の大きさが大きく、板に及ぼす圧力も大きい ......[]
力の向き:x軸正方向 ......[]

(2) 板に衝突する直前の気体分子の速さは左側、右側ともに、
(1)より、単位時間に板の片側に入射する気体分子の数は、
板から右側に放出された直後の気体分子の速さv
板から左側に放出された直後の気体分子の速さは、
右側では、気体分子1個が板に与える力積で、II(4)より右側の圧力は、
左側では、気体分子1個当たりの吸着・放出前後での運動量の変化は、
気体分子1個が板に与える力積は、
左側の圧力は、

......[]


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  1. 2008/04/01(火) 19:00:51|
  2. 東大物理'06年
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東大物理'06年前期[2]

東大物理'06年前期[2]

真空放電による気体の発光を利用するネオンランプは、約80V以上の電圧をかけると放電し、電流が流れ点灯する。したがって、起電力が数Vの乾電池のみでネオンランプを点灯させることはできない。しかし、コイルおよびスイッチと組み合わせることにより、短時間ではあるがネオンランプを点灯させることができる。
 ここでは、図2-1の電圧-電流特性をもつネオンランプを起電力9.0Vの乾電池で点灯させることを考える。図2-2のように、乾電池、コイル、およびスイッチを直列につなぎ、ネオンランプをコイルと並列につなぐ。コイルの自己インダクタンスL1.0H,コイルの抵抗を35W,乾電池の内部抵抗を10W,ネオンランプの端子Bを基準とする端子Aの電位をとして、以下の問に答えよ。ただし、ネオンランプに流れる電流の大きさは、端子ABのどちらが正極であっても図2-1で与えられるとする。また、ネオンランプの電気容量、コイル以外の回路の自己インダクタンスは無視できるほど小さく、ネオンランプの明るさはネオンランプを流れる電流の大きさに比例するものとする。
Ⅰ 時刻に回路のスイッチを入れたが、ネオンランプは点灯しなかった。
(1) スイッチを入れた直後のの大きさと符号を求めよ。
(2) スイッチを入れてしばらくすると、回路を流れる電流は一定となった。このときコイルを流れる電流の大きさ、およびの大きさと符号を求めよ。
Ⅱ 回路を流れる電流が一定になった後、時刻にスイッチを切った。その後、ネオンランプは図2-3のように時間Tだけ点灯した。
(1) 点灯が始まった直後にネオンランプを流れる電流の大きさを求めよ。
(2) 2-1を利用して、ネオンランプの点灯が始まった直後のの大きさと符号を求めよ。
(3) ネオンランプの点灯が始まった直後、および点灯が終わる直前にコイルに生じている誘導起電力の大きさを、それぞれ求めよ。
Ⅲ ネオンランプの点灯時間Tのおおよその値を求めたい。計算を簡単にするため、点灯中に生じている誘導起電力の大きさは一定値であると近似する。
(1) 点灯が始まった直後にネオンランプを流れる電流の大きさをとする。点灯時間TLを用いて表せ。
(2) (1)の結果にLの値を代入し、点灯時間Tを有効数字1桁で求めよ。ただし、の値はⅡ(3)の結果を参考にして、適当に定めてよい。

[解答] 難しくはありませんが、Ⅲ(1)など、物理的に考える部分があります。

(1) スイッチを入れた直後は、コイル内は断線したのと同じ状況になります(自己誘導を参照)。ネオンランプは電流が流れていないので、AB間には電池の電圧がそのままかかります。Aの方が高いのでの符号は正となり、
V ......[]

(2) 回路を流れる電流が一定となるとき、ネオンランプには電流が流れず、コイル内は単に導通させたのと同じ状況になります(自己誘導を参照)。乾電池の起電力に、35W10W抵抗が直列に入る形になるので、
9.0V÷45W=0.20A ......[]
電流が一定になってしまうと、コイルの電圧は電流の変化に比例するので0となり、ネオンランプの電圧は、コイルの抵抗両端の電圧となります。コイルの抵抗にはA側からB側に向かって電流が流れるのでA電位B電位よりも高くの符号は正で、電流0.20Aが35Wに流れるので、オームの法則より、
V ......[]

(1) 点灯が始まった直後、つまり、スイッチを切った直後に、コイルは切る直前と同じ電流を流そうとするので、
0.20A ......[]

(2) スイッチを切った直後も、コイルは0.20A電流をコイル内でABの方向に流そうとするのですが、スイッチは既に開いているので、スイッチを通して電流が流れることはありません。すると、この電流はネオンランプ内をBAの向きに流れるのです。図2-1より、電流0.20A流れるときの電圧の値を読むと、103Vです。ネオンランプ内を電流BAの向きに流れるので、A電位B電位よりも低くなります。よって、
V ......[]

(3) スイッチを切った直後、ネオンランプの電圧Vで、ネオンランプとコイルの回路には0.20A電流が流れるので、コイルの抵抗には7V電圧が生じます。Aからコイルに向かって電流が流れ込むので、抵抗のAと逆側はAよりもさらに7V低い電位になります。従って、コイルに生じる誘導起電力の大きさは、
V ......[]
点灯が終わる、ということは、ネオンランプの電流0になるということです。点灯が終わる直前にネオンランプの電圧は、図2-1より80Vです。このとき、ネオンランプの電流0なので、コイルの抵抗には電圧は発生せず、ネオンランプの電圧がそのままコイルの電圧となり、誘導起電力の大きさは、
80V ......[]

(1) コイルの誘導起電力の公式:において、誘導起電力を一定値と考えるということは、電流変化率:が一定で、電流は直線的に変化するということです。時間Tの間に電流となるので、電流の変化率は、です。誘導起電力の大きさがなので、
......[]
(エネルギーで考えて、としても求められます)

(2) の値をⅡ(3)から適当に定めよ、ということなので、110V80Vの間をとって、Vとします。Aより、
......[]


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  1. 2008/03/31(月) 11:44:48|
  2. 東大物理'06年
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東大物理'06年前期[1](再掲)

東大物理'06年前期[1]

太陽系以外で、恒星の周りを公転する惑星が初めて発見されたのは1995年である。以来、すでに150個以上の太陽系外惑星が発見されている。この太陽系外惑星の検出原理は、質量Mの恒星と質量mの惑星()が、互いの万有引力だけによってそれぞれ運動している場合を考えれば理解できる。この場合、惑星は一般には楕円軌道上を運動することが知られている。しかしここでは図1に示すように、惑星がある定点Cを中心とした半径aの円周上を等速円運動しているとする(だたし、図1には恒星を図示していないことに注意)。万有引力定数をGとし、恒星および惑星の大きさは無視する。
I 図1のように、惑星が反時計回りに公転しているものとする。惑星に働く向心力は恒星による万有引力であることを考えて、以下の問に答えよ。
(1) 恒星、惑星、点Cの互いの位置関係を理由とともに述べよ。
(2) 恒星と点Cとの距離、惑星の速さv,恒星の速さVを求めよ。
(3) 惑星の公転軌道面上において、aに比べて充分に遠方にあり、点Cに対して静止している観測者を考える。図1のように惑星が角度q [rad]の位置にあるとき、惑星の速度の視線方向成分を、vq を用いて表せ。ただし、観測者に対して遠ざかる向きをの正の向きに選ぶものとする。
(4) 時刻において、惑星がの位置にあったとする。また、惑星の公転周期をT,恒星の速度の視線方向成分をとする。tの関数として、その概形をの範囲でグラフに描け。ただし、観測者に対して遠ざかる向きをの正の向きに選ぶものとする。
II 惑星からの光は弱すぎて観測することは困難である。しかし、恒星からの光を観測することによって、惑星の存在を知ることができる。この間接的な惑星検出の方法では、運動する恒星が発する光の波長は、音源が動いた場合の音の波長と同様に、ドップラー効果によって変化することを利用する。ここでは、恒星が静止している場合には波長の光を発するものとして以下の問に答えよ。
(1) 惑星が角度q の位置にあるときに恒星が発する光を観測者が測定したところ、波長はlであった。光速度をcとして、波長の変化量q の関数として求めよ。
(2) II(1)で求めたは時間変動する。の範囲での最大値が以上であれば、現在の観測技術での時間変動を検出することができる。このことから、惑星の存在を知ることが可能であるためにaが満たすべき条件式を求めよ。
(3) II(2)において、恒星が太陽質量kg,惑星が木星程度の質量をもつものとする。この惑星が検出可能であるために公転周期Tが満たすべき条件を、有効数字1桁で表せ。ただし、m/sとする。

解答 天文学の最前線の話題を問題にしている点では興味深い問題ですが、Ⅰ(1)は、もともと高校の範囲では解答不能な問題を無理に入試問題に焼き直しているために、問題文が不適切であるように思います。受験生としては、高校の範囲として勉強してきた条件下で考え、以下のような詳細な検討を省略して直観的に解答してよいと思われます。

(1) Cから見たときの、惑星、恒星の加速度ab とし、恒星の位置Pから惑星の位置Qまでの距離rとします(問題文にあるように、恒星は点Cに位置するのではなく、恒星と惑星の距離aではないことに注意)。恒星と惑星の間には、大きさ万有引力が働きます。
惑星に働く方向に働くので、方向での惑星の運動方程式は、
 ・・・①
恒星に働く方向に働くので、方向での恒星の運動方程式は、
 ・・・②
①+②より、 (これは、系に外力が働いておらず運動量の変化が0で、運動量が保存されることを意味します)
これより、惑星と恒星の重心R位置を時間t2回微分すると、
よって、惑星と恒星の重心Rは、等速直線運動を行うか静止することになります(等加速度運動を参照)

Cから見て、惑星と恒星の重心R等速直線運動をすると、いずれは、RCからどんどん離れていくことになるので、惑星の運動がCを中心とする等速円運動になり得ません。従って、重心RCから見て静止しています。

×①-×②を作ると、
両辺をで割り、をかけると、
 ・・・③
は、恒星Pから見た惑星の相対加速度を表します(相対運動を参照)が、③式は、恒星Pから見たときに、質量の惑星が大きさ万有引力を受けて運動する形をしているので、恒星Pから見て、惑星はPを焦点とする楕円軌道を描きながら運動します。

惑星Qは、Cを中心とする半径aの円周上に位置するので、です。また、より、,よって、

は定ベクトルなので、は定点であり、これは、を中心とする半径の円を表します。恒星も円運動しています。重心Rは、両円の中心を結ぶ線分Mmに内分する点です。

惑星の運動は等速円運動ですが、このためには、惑星は一定の大きさの向心力を受けることになります。ということは、①式のは一定値であって、恒星と惑星の距離rは一定です。より、
これが一定であるためには、より、Cと重心Rが一致し、 ・・・④,つまり、点Cが線分PQmMに内分する点でなければなりません。

以上より、
惑星と恒星、定点Cの位置関係:恒星と惑星と点Cは一直線上にあって、恒星と惑星を結ぶ線分をmMに内分する点(両者の重心)が点Cとなる。 ......[]
理由:惑星と恒星を合わせた系に外力が働かず、運動量が変化しない。また、惑星は等速円運動するので系の運動量の和はゼロ。よって、Cから見て、恒星と惑星の重心は移動せず、惑星に一定の万有引力が働くことから、重心は定点Cに一致する。......[]

(2) 恒星と定点Cとの距離は、(1)の結果と④より、 ......[]
半径a等速円運動向心加速度で、惑星の運動方程式は、

......[]
恒星の向心加速度で、恒星の運動方程式は、

......[]
(惑星と恒星の運動量の和が0,つまり、であることからも求められます)
(3) 充分遠方の観測者とCを結ぶ直線を結ぶ直線(視線方向)と、惑星の速度ベクトルとのなす角はであって、惑星の速度の視線方向成分は、右図より、 ......[]
(4) (1)より、恒星の速度は、惑星の速度の向きとちょうど逆の向きで、恒星の速度の視線方向成分は、と符号が正反対になり、
と書けるので、
tに対して図示すると、右図。

II(1) 波長lの光の振動数です。光源の近づく方向の速度成分は、なので、ドップラー効果の公式より、


......[]

(2) の最大値:について、
......[]

(3)
(2)の結果より、



[s] ......[]


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(C)2005, 2006,2007, 2008 (有)りるらるNewton e-Learning

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  1. 2008/03/27(木) 13:58:22|
  2. 東大物理'06年
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