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センター数学IIB '10年第4問

 センター数学IIB '10年第4問 

二つずつ平行な三組の平面で囲まれた立体を平行六面体という。辺の長さがすべて1の平行六面体ABCD-EFGHがあり、である。とおく。
とする。辺
ABaの比に内分する点をX,辺BFbの比に内分する点をYとする。点Xを通り直線AHに平行な直線と辺GHとの交点をZとする。三角形XYZを含む平面をaとする。
(1) である。ベクトルは、abを用いてと表される。
である。
(2) 直線ECと平面aが垂直に交わるとし、交点をKとする。が三角形XYZ2辺と垂直であることから、が成り立つ。
以下では、とする。このときである。を実数cを用いてと表すと、である。一方、点Kは平面a上にあるから、は実数stを用いて
と表される。これらより、である。よって、点Eと平面aとの距離となる。

解答 空間ベクトルの問題ですが、問題文の誘導が意図していることを意識しつつ、想定されている状況の中で自分を見失わないようにすることが大切です。

(1) 平行六面体の各辺の長さは1なので、 ・・・①
より、
 ・・・② (内積を参照)
より、
 ・・・③
() 0 () 1 () 2 ......[]

 ・・・④
 ・・・⑤

 
( ①,②)
() a () b () 0 ......[]

(2) より、は三角形XYZ2辺と垂直になりますが、(1)は確認されているので、です。よって、④,⑤とより、

 ( ①,②,③)
 ・・・⑥
⑥でとすると、

() 2 () 2 () 3 () 4 ......[]
 ・・・⑦
と表すと、
 ・・・⑧
④より、,よって、

 ・・・⑨
⑧,⑨のの係数を比較して(ベクトルの1次独立を参照)

これらより、

(
) 4 () 2 () 5 () 8 ......[]
 ( ①,②,③)


(
) 5 () 2 () 8 ......[]


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  1. 2010/01/30(土) 17:41:44|
  2. センター数学'10年
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センター数学IIB '10年第3問

 センター数学IIB '10年第3問 

自然数の列1234,・・・ を、次のように群に分ける。
1 | 2345 | 6789101112 | ・・・
ここで、一般に第n群は個の項からなるものとする。第n群の最後の項をで表す。
(1) である。
 ()
が成り立ち
 ()
である。
よって、
600は、第群の小さい方から番目の項である。
(2) に対し、第群の小さい方から番目の項をで表すと
であり
が成り立つ。これより
 ()
となる。

解答 階差数列や数列の和をテーマとした問題です。教科書の例題に準拠した問題で、第2問と同様、受験生の基礎学力を調べるのに適切な問題だと思います。昨年の数列の問題と比べれば、センター数学の内容が大きく改善されたように感じます。

(1) 4群には、項あるので、
() 2 () 2 ......[]
n群の末尾から第群の末尾を引いたものは、第n群の項の数になります。
 ()
() 3 () 2 ......[]
階差数列の公式より、
 (Σの公式を参照)
() 3 () 2 () 2 () 1 () 2 ......[]
600
が第n群に属するのであれば、
整理すると、
 ・・・①
とするとなので、付近のの値を調べます。
のとき、
のとき、
よって、
より、①を満たすnは、で、600は第21群に属します。
より、第20群の末尾は590で、第21群の先頭は591です。600は、591から10番目の自然数で、第21群の10番目の項です。
() 2 () 1 () 1 () 0 ......[]
注.上記の解答では、十分条件を求めたに過ぎませんが、空所補充式のセンター試験では、これで解答できてしまいます。①をきちんと考えるのであれば、①の右側の不等号とより、

 ・・・②
①の左側の不等号とより、

 ・・・③
②かつ③より、となります。

(2) n群の末尾は、なので、第群の先頭は、で、第群の小さい方から番目の項は、

() 3 () 2 () 2 () 3 () 2 () 2 () 3 () 1 ......[]
 (数列の求和技法を参照)
() 2 () 3 () 3 ......[]


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  1. 2010/01/29(金) 16:09:38|
  2. センター数学'10年
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センター数学IIB '10年第2問

 センター数学IIB '10年第2問 

kを実数とし、座標平面上に点Pをとる。曲線
Cとする。
(1) Qにおける曲線Cの接線が点Pを通るとすると
が成り立つ。

とおくと、関数で極小値をとり、で極大値をとる。
したがって、点
Pを通る曲線Cの接線の本数がちょうど2本となるのは、kの値がまたはのときである。また、点Pを通る曲線Cの接線の本数はのとき本、のとき本、のとき本となる。
(2) とする。曲線
Dとする。曲線CDの交点のx座標はである。
の範囲において、
2曲線CDおよび2直線で囲まれた二つの図形の面積の和はである。

解答 昨年まで、センター試験の数学には問題点が多い、ということを書いてきましたが、本問に、それに対する改善の姿勢が見えます。煩瑣な文字計算を必要としない、こうした教科書の例題に即した標準的な問題の方が、数学の実力を適切に測れるのではないでしょうか。
数学の基礎学力を調べる問題にオリジナリティーは不要だと思います。


(1)  ・・・①
微分すると、
Qにおける曲線C接線の方程式は、
整理して、
これが点Pを通るので、

 ・・・②
() 2 () 1 () 2 () 1 () 8 ......[]
とおくと、
とすると、
t
1
3
00
0

増減表より、関数は、で極小値をとり、で極大値0をとります(3次関数の増減を参照)
() 1 () - () 8 () 3 () 0 ......[]
曲線と直線の共有点の数を考えることにより、t3次方程式②:は、
のとき、1
のとき、2
のとき、3
のとき、2
のとき、1
をもちます(微分法の方程式への応用を参照)。点Pを通る曲線Cの接線の本数は、3次方程式②の解の個数に一致するので、
接線の本数がちょうど
2本となるのは、またはのときです。
接線の本数は、のとき
1本、のとき3本、のとき1本です。
() 0 () - () 8 () 1 () 3 () 1 ......[]

(2) のとき、曲線C ・・・③
曲線D ・・・④
③,④を連立すると、


よって、曲線Cと曲線Dの交点のx座標は0です。
() 0 () 7 () 3 ......[]
の範囲において、2曲線CDおよび2直線で囲まれた二つの図形の面積の和Sは、範囲内の2曲線が交わり、においてにおいてであることを考慮して(定積分と面積を参照)

() 2 () 1 () 2 ......[]


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  1. 2010/01/26(火) 21:36:39|
  2. センター数学'10年
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センター数学IIB '10年第1問

 センター数学IIB '10年第1問 

[1] 連立方程式
()
を満たす正の実数xyを求めよう。ただし、とする。①の両辺で2を底とする対数をとると
が成り立つ。これと②より
である。
したがって、
2次方程式
 ・・・③
の解である。③の解はである。ただし、は解答の順序を問わない。よって、連立方程式()の解は
またはである。

解答 対数方程式に関する基本問題です。なお、対数関数を参照してください。

①の両辺で
2を底とする対数をとると
これと、②より、

(
) 7 () 1 () 2 ......[]
従って、解と係数の関係より、2次方程式
 ・・・③
の解になります。
③の解は、
従って、,または、
即ち、
または
(
) 7 () 1 () 2 () 3 () 4 () 8 () 1 () 6 ......[]
注.問題文の指定より、() 4 () 3でも正解です。


[2] の範囲で
 ・・・①
を満たすq の値を求めよう。
一般に、すべての
xについて
である。に当てはまるものを、次ののうちから一つ選べ。
     
したがって、①が成り立つとき、となり、の範囲でのとり得る値の範囲を考えれば、またはとなる。よって、①を満たすq またはである。
である。の値を求めよう。①より
となり、この式の左辺を2倍角の公式を用いて変形すれば
となる。ここでであるから
 ・・・②
が成り立つ。は②を満たしている。とすると、であるから
となる。ここで、より
である。

解答 三角関数の問題ですが、問題文が錯綜しているので、読み間違いに注意しましょう。

 (加法定理を参照)
より、一般に、すべてのxについて、
が成り立ちます。
()
①が成り立つとき、
 ・・・③
の範囲でのとり得る値の範囲は、

ここで、ですが、
のいずれにおいても、となるので、

のとき、③より、
のとき、③より、 (です。三角関数を参照)
() 6 () 1 () 0 ......[]
() 1 () 2 ......[]
(
2倍角の公式を参照)と①より、
() 2 ......[]
さらに、2倍角の公式を用いて変形すれば、
() 4 () 8 ......[]
ここで、より、で両辺を割ることにより、
 ・・・②
が②を満たすので、②左辺はで割り切れます。割り算を実行することにより、
より、のときは、
を満たします。より、
() 4 () 2 () - () 1 () 5 () 4 ......[]


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  1. 2010/01/25(月) 16:32:36|
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センター数学IA '10年第4問

 センター数学IA '10年第4問 

袋の中に赤玉5個、白玉5個、黒玉1個の合計11個の玉が入っている。赤玉と白玉にはそれぞれ1から5までの数字が一つずつ書かれており、黒玉には何も書かれていない。なお、同じ色の玉には同じ数字は書かれていない。この袋から同時に5個の玉を取り出す。
5個の玉の取り出し方は通りある。
取り出した
5個の中に同じ数字の赤玉と白玉の組が2組あれば得点は2点、1組だけあれば得点は1点、1組もなければ得点は0点とする。
(1) 得点が0点となる取り出し方のうち、黒玉が含まれているのは通りであり、黒玉が含まれていないのは通りである。
得点が1点となる取り出し方のうち、黒玉が含まれているのは通りであり、黒玉が含まれていないのは通りである。
(2) 得点が1点である確率はであり、2点である確率はである。
また、得点の期待値はである。

解答 取り出された5個の玉について、黒玉、赤玉、白玉の個数のすべての場合について場合の数を調べても時間内に解答できると思います。ですが、5個の玉に書かれている数字に着目し、以下の、より効率的な方針に気がつきたいところです。

11個の玉はすべて色か数字が異なります。異なる11個の玉から5個の玉を取り出す取り出し方は、
通り (組み合わせを参照)
() 4 () 6 () 2 ......[]

(1) 得点が0点、ということは、取り出された5個の玉に書かれている数字は1から5までの全てだということです。
このとき、黒玉が含まれているのは、5通りの数字のうち、どの数字が黒の数字か、ということが、通り、残る4通りの数字の各々が赤玉に書かれているか白玉に書かれているか、ということが通り、よって、通りの取り出し方があります。
() 8 () 0 ......[]
得点が0点のとき、黒玉が含まれていないのは、5通りの数字の各々が赤玉に書かれているか白玉に書かれているか、ということが通りあります。
() 3 () 2 ......[]
得点が1点、ということは、取り出された玉に書かれている数字は4通りで、そのうち1通りの数字は赤と白の両方に書かれている、ということです。
5通りの数字から4通りの数字を選ぶ選び方が通りあります。
このとき、黒玉が含まれているのは、
4通りの数字のうち、黒の数字と赤白の両方に書かれている数字の2通りの数字の選び方が通り、残る2通りの数字の各々が赤玉に書かれているか白玉に書かれているか、ということが通り、よって、通りあります。
() 1 () 2 () 0 ......[]
得点が1点のとき、黒玉が含まれていないのは、赤白の両方に書かれている数字の選び方が通り、残る3通りの数字の各々が赤玉に書かれているか白玉に書かれているか、ということが通り、よって、通りあります。
() 1 () 6 () 0 ......[]

(2) 5個の玉を取り出すとき、赤と白の両方に同じ数字が書かれている組の数は、問題文にあるように、2組か1組か0組のいずれかです。
(1)で調べた通り、0組の場合が、通り、1組の場合が、通り、従って、2組の場合が、通りあります。
よって、得点が
1点になる確率,得点が2点になる確率は
() 2 () 0 () 3 () 3 () 5 () 3 () 3 ......[]
得点の期待値は、
() 1 ()0 () 1 () 1 ......[]


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