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名工大数学'09年前期[3]

名工大数学'09年前期[3]

実数xに対して
とおく。
(1) を求めよ。
(2) に対してとおく。の導関数を求め、に対して等式が成り立つことを示せ。
(3) (2)を利用して極限を求めよ。
(4) 極限を求めよ。

解答 の逆関数がネタになっているユニークな発想の問題です。

(1)
とおくと、tのとき、q (置換積分(その2)を参照)
......[]

(2)  ・・・①
実数x ()とおきます。定積分で、とおくと、tのとき、j

として、
 ・・・②
両辺をxで微分すると、②を用いて、
......[]
①両辺をxで微分すると、

両辺を積分すると、
 (C:積分定数) ・・・③
(1)より、
また、においてとすると、
③において、とすると、

よって③より、

(3) ①においてとすると、
 ・・・④
(2)の結果より、
......[]

(4) (2)の結果より、

のとき、④よりとなるので、 (極限の公式を参照)が使えないか、と、考えます。これで、②の利用が見えてきます。
②,④より、のとき、より、
......[]


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  1. 2010/02/13(土) 13:58:25|
  2. 09年数学
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東京医科歯科大'09年[2]

東京医科歯科大'09[2]

正の実数abcを係数とする2次式に関して、次の条件Cを考える。
条件
C3で割り切れないすべての整数xについてが整数となる。
このとき以下の各問いに答えよ。

(1) が条件Cを満たすとき、は係数および定数項が整数となる1次式であることを示せ。
(2) 条件Cを満たすのうち、となるものを求めよ。
(3) 以下の条件が条件Cと同値となるような自然数の組のうち、が最小となるものを求めよ。
条件がいずれも整数となる。
(4) nを自然数とする。条件Cを満たすのうち、となるものの個数をnを用いて表せ。

解答 整数の問題ですが、(3)が答えにくい設問形式になっているなど、新傾向かつ難問です。
問題文を流し読みしただけでは、
(2)で、と条件Cだけでどうしてが求まるのか不思議に感じますが、が強力な制約条件になっており、ここから道が開けます。
また、こうした問題では、
xに簡単な数、などを代入して、感じをつかむことが大切です。本問でも、ここから手がかりが得られます。

(1)
xの係数:より、1次式です。
条件
Cより、は整数であり、は整数なので、
 (dは整数) ・・・①
は整数であり、は整数なので、
 (eは整数) ・・・②
②-①より、
よって、xの係数は整数です。②より、の定数項も整数です。
よって、題意は示されました。
が整数であるとします。条件
Cより、kを整数として、は整数で、

は整数になるはずですが、が整数であるとき、は整数で、

より、すべての3で割り切れない整数xについて、は確かに整数です。

(2)  ・・・⑤
また、条件Cが成立すれば、

は整数です。よって、
 (pは整数) ・・・⑥
 
(qは整数) ・・・⑦
と⑤より、
これを満たす整数qのみで、
⑥より、
aについても、と⑤より、
これを満たす整数
pのみで、
⑤より、
これより、
となります。このとき、xが整数であれば、
も整数であり、が整数であればも整数、また、が整数であればも整数になります。は整数なので、すべての3で割り切れない整数xについては整数となり、条件Cが満たされます。よって、
......[]

(3) 条件Cが成立すれば、1以外の整数であっても、⑥,⑦より、は整数です。従って、
条件C が整数
が言えます。
逆に、が整数であるとき、
も整数になります。また、も整数になります。
について、

は整数であり、の係数と定数項も整数です。従って、xが整数であるとき、も整数で、が整数であればも整数であり、が整数であればも整数です。よって、が整数であれば、すべての3で割り切れない整数xについては整数であり、条件Cが成立し、
が整数 条件C
が言えます。
これより、条件「が整数」は条件
1()です。・・・(**)
(2)
より、条件Cを満たすについて、であって、bは整数でなくが整数なので、(**)より、の最小値は2です。
また、このについて、はいずれも整数ではなく、
(**)より、のとき、は最小値4となり、さらにのとき、が最小になります。
以上より、条件が条件
Cと同値となるような自然数の組のうち、が最小となるものは、 ......[]

(4) (3)より、
が整数 条件C
であって、なので、

(kは整数)
とおくと、より、
(mは整数)
とおくと、
より、より、
 ・・・⑦
(i) kが奇数のとき、⑦を満たすmは、
mの個数は、
()
(ii) kが偶数のとき、⑦を満たすmは、
mの個数は、
()
上記のkmの値に対して、となるようにcを決めれば、が満たされるので、条件Cを満たすのうち、となるものの個数は、
 (等差数列の和の公式を使用)
......[]


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  1. 2010/02/12(金) 18:30:18|
  2. 09年数学
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九州工大情報数学'09年[4]

九州工大情報数学'09[4]

箱の中に、数字の1を記入したカード、2を記入したカード、3を記入したカードがそれぞれn枚、合計枚入っている。ただし、であり、またカードの裏側には何も書かれていないものとする。以下の問いに答えよ。
(1) 箱の中からカードを1枚取り出し、数字を見ないで伏せておく。次に箱の中から取り出したカードの数字が1である確率を求めよ。
(2) 箱の中から2枚のカードを同時に取り出したとき、カードの数字が異なる確率をnを用いて表せ。
(3) 箱の中から3枚のカードを同時に取り出したとき、カードの数字がちょうど2種類である確率をnを用いて表せ。
(4) 箱の中から4枚のカードを同時に取り出したとき、カードの数字がちょうど2種類である確率をnを用いて表せ。

解答 (2)(3)余事象に着目してもよいのですが、(4)は余事象を考えてしまうと(3)の応用が効かなくなります。
この問題では、問われている方の事象を考える方が、
(2)(3)(4)のつながりがスムーズです。

(1) 枚のカードから2枚取る取り方は、1枚目の取り方が通り、1枚取ると枚残るので、2枚目の取り方が通りで、通り。
1枚目の数字がわからないので、1枚目が1かどうかで場合分けします。
1枚目に1を取る取り方はn通り、このとき、1枚残るので、2枚目にも1を取る取り方は通りで、通り。
1枚目に1以外を取る取り方は通り、このとき、1n枚残っていて2枚目に1を取る取り方はn通りで、通り。
求める確率は、
......[]
注.この結果は、1枚目の数字を見ないでおけば、2回目に1を引く確率は、1回目に1を引く確率と同じだということを表しています。

(2) 全事象は(1)と同じく、通りあります。
1枚目は何を取ってもよいので通り。
2枚目は1枚目と異なるカードを取ります。1枚目と異なるカードは枚あります。
求める確率は、
......[]
別解.余事象に着目することもできます。余事象は、1枚目と2枚目が同じ数字になる事象です。全事象は、枚から2枚取る取り方として通り(組み合わせを参照)1枚目と2枚目が同じになる事象は、同一数字のカードn枚から2枚取る取り方が通り、数字は3種類あるので、通り、求める確率は、

(3) 枚のカードから3枚取る取り方は、1枚目が通り、2枚目が通り、3枚目が通りで、通り。
1枚目は何を取ってもよいので通り。
2枚目に1枚目と同じものを取るとき通り、このとき3枚目には、1枚目、2枚目とは異なるものを取ればよいのですが枚残っているので取り方は通りあり、通り。
2枚目に1枚目と異なるものを取るとき通り、このとき3枚目には、1枚目あるいは2枚目に取ったものと同じものを取ればよいのですが枚残っているので取り方は通りあり、通り。
求める確率は、
......[]
別解.余事象は、13枚目が同じ数字になる、か、13枚目で123の全ての数字が出る事象です。
全事象は、枚から3枚取る取り方として通り。
13枚目が同じ数になるのは、同一数字のn枚から3枚取る取り方が通り、数字が3種類で、通り。
13枚で123の全ての数字が出るのは、各数字n枚あって、123並び方通りあるので、通り。
求める確率は、

......[]

(4) 枚のカードから4枚取る取り方は、通り。
1枚目は何を取ってもよいので通り。
2枚目に1枚目と同じものを取るとき通り、このとき、
(a) 3枚目に、1枚目、2枚目と同じものを取るとき通り、4枚目は、13枚目と異なるものを取るので通りで、通り。
(b) 3枚目に、1枚目、2枚目とは異なるものを取るとき通り、4枚目は、1枚目あるいは3枚目に取ったものと同じものを取ればよいのですが枚残っているので取り方は通りあり、通り。
(a)(b)合わせて、通り。
2枚目に1枚目と異なるものを取るとき通り、このとき、3枚目は、1枚目あるいは2枚目に取ったものと同じものを取ればよく、通り、4枚目も同様に、通りで、通り。
求める確率は、
......[]


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  1. 2010/02/11(木) 17:47:54|
  2. 09年数学
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九大理系数学'09年後期[5]

九大理系数学'09年後期[5]

で定義された連続な関数とし、abを正の定数とする。このとき、
の関係を満たすものとする。以下の問いに答えよ。
(1) とするとき、
が成立することを示せ。
(2) が成立することを示せ。
(3) xについて連続な関数で、任意の二つの実数ab に対して、次の関係を満たすものとする。
さらに、で定義された二つの連続な関数は次の関係式を満たすものとする。
このとき、とおけば、
が成立することを示せ。
(4) であることを証明せよ。

解答 抽象的な問題というだけでなく、と、いろいろな関数の積分やら微分やらが出てくるので、目移りしてなかなか焦点が定まりにくい問題です。こういう時は、とにかく手を動かして、いろいろ試行錯誤するべきです。
(3)では、定積分に関する性質を利用するのですが、ここでは、自明とせずに、証明を試みます。

として、

 ・・・①

(1)  (積の微分法を参照)
 ・・・② (定積分と微分を参照)
より、,これを用いて、
①より、
これとより、

(2) なかなか手がかりのつかめない問題ですが、示すべき不等式:の右辺と①の右辺を比較してみます。
これが、において0以上となることが示せれば都合がいいのですが、(1)を見ると、という形が見えるので、より、
 ・・・③
とおいて、を示すことを目標にします。(1)の結果を用いて、
これより、において単調増加であり、②でとおくととなるので、③より(関数の増減を参照)
よって、①を用いて、

(3) として、
 ・・・④
問題文中の関係式:において、とすると、
()
よって、
 ・・・⑤
で定義された連続な関数について、
 ・・・⑥
となるので、とすることにより、
これと、④,⑤より、
注.⑥は既知としてもよいのですが、証明しておきます。
において、つねにであるときには、
 ・・・⑦
において、つねにであるときには、
 ・・・⑧
において、を満たすtn個あって、,・・・,とします。また、とします。となる整数kについて、のときであれば、
()
ですが、のときであれば、
従って、
より、

以上より⑦,⑧を含めて、⑥が成立します。

(4) (3)の結果を見ると、において定義された連続な関数について、①で、とし、とした不等式が成り立つので、(2)の結果で、とし、とした不等式が成り立ちます。よって、において、
 (証明終)


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  1. 2010/02/09(火) 11:45:20|
  2. 09年数学
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京大文系数学'09年[2]

京大文系数学'09[2]

整式と実数C
をみたすとき、このCを求めよ。

解答 定積分の上端、または下端に変数xを含むときには、
 (aは定数)
を利用します(定積分と微分を参照)。また、上端と下端が等しくさせて、定積分が0となる場合を調べるようにします。

 ・・・①

①左辺第2項の定積分を変形すると、



が整式なので、も整式であり、この右辺の形から2次の整式です。
定積分は定数なので、abcを定数として、
 ・・・②
 ・・・③
 ・・・④
とおくと、
ここで、とするととなるので、
 ・・・⑤
両辺をxで微分すると、より、
 ・・・⑥
②より、⑤を用いて、
 ・・・⑦
③より、


⑦に代入することにより、

⑥より、

......[]
④とより、
......[]


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  1. 2010/02/07(日) 21:14:11|
  2. 09年数学
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