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一橋大数学'09年後期[2]

一橋大数学'09年後期[2]

abとなる実数とし、とおく。
(1) を示せ。
(2) 区間におけるの最大値および最小値を求めよ。ただし、最大値、最小値を与えるxの値は求めなくてよい。

解答 3次曲線のグラフの特質を活かして解答しましょう。

よりの増減表は以下のようになります(3次関数の増減を参照)
x
a
b
00



とすると、
 ・・・①
注.なぜ、①のように因数分解できるか、と言えば、は極大値をもつので、x軸に平行な直線:と曲線で接していて、方程式:を重解にもつことがわかっているからです。の係数を見れば、解と係数の関係より、もう1つの解がだとわかります。
また、右図のように、とするとき、
ca(変曲点の位置)bdはこの順に等差数列になっていることにも注意してください。ここからも、とわかります。
また、同様に、とすると、


(1) であり、においては増加関数だから、

(2) なので、曲線は原点を通ることに注意します。
を考えるとき、となるところ、つまり、x軸がどの辺を通るか、ということが問題になります。
(i) ,つまり、のとき、x軸は極小を与える点から下を通ります。
このとき、において、なのでであって、
最大値は,最小値はです。
(ii) ,つまり、のとき、x軸は極小を与える点よりも上を通ります。
このとき、よりであることに注意すると、方程式:にそれぞれ1pqをもちます。つまり、このとき、です。
において、となるのでであり、この範囲では、が最大になりますが、においては、の大きい方が最大値になります。そこで、の差を調べてみます。

これは、のとき正で、
のとき負で、
となります
(3次関数の最大最小を参照)
以上より、
(i) のとき、最大値:,最小値:
(ii) のとき、最大値:,最小値:
(iii) のとき、最大値:,最小値: ......[]


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  1. 2009/07/01(水) 22:20:12|
  2. 一橋大数学'09年
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一橋大数学'09年前期[5]

一橋大数学'09年前期[5]

XYZと書かれたカードがそれぞれ1枚ずつある。この中から1枚のカードが選ばれたとき、xy平面上の点Pを次の規則にしたがって移動する。
Xのカードが選ばれたとき、Px軸の正の方向に1だけ移動する。
Yのカードが選ばれたとき、Py軸の正の方向に1だけ移動する。
Zのカードが選ばれたとき、Pは移動せずそのままの位置にとどまる。
(1) nを正の整数とする。最初、点Pを原点の位置におく。XのカードとYのカードから無作為に1枚を選び、Pを、上の規則にしたがって移動するという試行をn回繰り返す。
(i) n回の試行の後にPが到達可能な点の個数を求めよ。
(ii) Pが到達する確率が最大の点をすべて求めよ。
(2) nを正の3の倍数とする。最初、点Pを原点の位置におく。Xのカード、Yのカード、Zのカードの3枚のカードから無作為に1枚を選び、Pを、上の規則にしたがって移動するという試行をn回繰り返す。
(i) n回の試行の後にPが到達可能な点の個数を求めよ。
(ii) Pが到達する確率が最大の点をすべて求めよ。

解答 (2)(ii)2次元的になっているところで確率の最大を考えるので、ていねいに調べれば解答できますが手間がかかります。こういう問題では、(1)(2)(i)を確実に抑えるように心がけましょう。

(1)(i) n回試行を行ったとき、Xのカードをm回引いたとすると、Yのカードは回引くことになります。このとき、Pの到達する点はです。
mは、通りの整数をとりうるので、Pが到達可能な点の個数は ......[]
(ii) Pに到達する確率は、n回の試行中、mXを引き、Yを引く確率で、反復試行の公式より、
mの範囲で動かすときのの最大を考えるために、の比をとってみます。
とすると、
よって、においては、
においては、
においては、
が整数になるかどうかで場合分けします。
nが偶数のとき、は整数ではありません。よって、
となり、が最大で、Pが到達する確率が最大の点は、
nが奇数のとき、は整数です。よって、
となり、が最大で、Pが到達する確率が最大の点は、
以上より、Pが到達する確率が最大の点は、
nが偶数のときnが奇数のとき ......[]

(2)(i) n回試行を行ったとき、Xのカードをm回引き、Yのカードを回引いたとすると、Zのカードは回引くことになります。このとき、Pの到達する点はです。
より、
これをみたすは、のとき
1通り、のとき2通り、・・・、のときn通り、のとき通りあります。Pが到達可能な点の個数は、
......[]
(ii) Pに到達する確率は、n回の試行中、mXYZを引く確率で、
ここで、mが勝手に動くのでは考えにくいので、まず、

として
kを固定して考えることにします(直線上の格子点について確率を比較します)。こうすると(1)の結果を利用することができます。
とおくと、
(1)と同様にして、
kが偶数のとき、
(とおく)
が最大です。
kが奇数のとき、
(とおく)
が最大です。
今度は、k0からnまで動かしたときの、の最大を考えます。
kが偶数()のとき、
とすると、


 ・・・①
を解くと
複号はプラスのときにとなり、マイナスのときにとなります。
より、

 ・・・②
①をみたすkの範囲は、
ですが、②より、においてはにおいてはとなります。よって、
となり、が最大になります。
kが奇数()のとき、
とすると、


においては、
従って、においては
においては
においては
よって、
となり、が最大になります。
kが偶数の場合の最大値と奇数の場合の最大値を比較すると、

以上より、Pが到達する確率が最大となるのは、のときで、
確率を最大とする点は、
......[]


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  1. 2009/04/02(木) 15:33:09|
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一橋大数学'09年前期[4]

一橋大数学'09年前期[4]

一辺の長さが2の正三角形ABCを平面上におく。△ABC1つの辺に関して折り返すという操作を繰り返し行う。辺BCに関する折り返しを,辺CAに関する折り返しを,辺ABに関する折り返しをとする。△ABCは、最初3ABCがそれぞれ平面上の3Oの上に置かれているとする。
(1) の順に折り返し操作を施したときの頂点Aの移り先をPとする。また、の順に折り返し操作を施したときの頂点Aの移り先をQとする。とするとき、の値を求めよ。
(2) 整数kに対して、により定められる点Rは、の折り返し操作を組み合わせることにより、点Aの移り先になることを示せ。

解答 一橋大としては珍しいタイプの出題なので、一橋大受験生は面食らったかも知れませんが、理系の問題としてはしばしば見かけるパズル問題です。

(1) は右図のような操作です。では、操作前後のAの位置はBCに関して対称です。
の順に折り返し操作を施すと、AOから右図のPに移ります。の順に折り返し操作を施すと、Aは右図のQに移ります。
とおくと、より、
 (内積を参照)
より、

より、

です。

なので、
......[]

(2) (1)に出てくる折り返し操作で、という順に操作を行うとAは、
となる点に移ります。この操作をk回繰り返せば、Aは、
となる点に移ります。同様に、という順に操作を行うとAは、
となる点に移ります。この操作を回繰り返せば、Aは、
となる点に移ります。
より、という順の操作をk回行い、続けて、という順の操作を回行うことにより、Aは、点Rに移ります。従って、整数kに対して、により定められる点Rは、の折り返し操作を組み合わせることにより、点Aの移り先になります。


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  1. 2009/04/01(水) 14:52:51|
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一橋大数学'09年前期[3]

一橋大数学'09年前期[3]

pqを実数とする。放物線が、中心で半径1の円と中心で半径1の円の両方と共有点をもつ。この放物線の頂点が存在しうる領域をxy平面上に図示せよ。

解答 決して取り組みやすい問題とは言えませんが、'09年前期の一橋大の問題の中では、[1][3]しか標準的解法で解ける問題はないので、何とかものにしたい1題です。

放物線:

 ・・・①
は、頂点がにある放物線です(2次関数を参照)
とおくと、
 ・・・②
①と円
 (円の方程式を参照)
が共有点をもつので、両式よりを消去すると、
整理して、
 ・・・③
この左辺をとおきます。円の存在範囲を考えると、方程式は、の範囲に少なくとも1実数解をもちます。の軸の位置はで解の範囲の中にあるので、この条件(2次方程式の解の配置を参照)は、
の判別式: ・・・④
 ・・・⑤
です(右図参照)
注.円の存在範囲を考慮しないと、となるような
yの実数解もあり得てしまいます。
④より、

 ・・・⑥
⑤より、③を用いて、
 ・・・⑦
また、①と円

が共有点をもつので、両式よりを消去すると、
整理して、
 ・・・⑧
 ・・・⑨
この左辺をとおきます。円の存在範囲を考えると、方程式は、の範囲に少なくとも1実数解をもちます。の軸の位置はで解の範囲の中にあるので、この条件は、
の判別式: ・・・⑩
 ・・・⑪
です(右図参照)。⑩より、
 ・・・⑫
⑪より、⑧を用いて、
 ・・・⑬
①がの両方と共有点をもつ条件は、⑥かつ⑦かつ⑫かつ⑬ですが、①の頂点の存在範囲は②を用いて、
⑥は、

⑦は、

⑫は、

⑬は、

以上より、①の頂点の存在範囲は、上記でとして、
かつ かつ かつ
であって、図示すると右図黄緑色着色部分(境界線を含む)
なお、境界線は、
(複号同順)において、
境界線は、
(複号同順)において、
境界線は、
(複号同順)において、
交わります。



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  1. 2009/03/31(火) 14:22:26|
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一橋大数学'09年前期[2]

一橋大数学'09年前期[2]

(1) 任意の角q に対して、が成立するような点の全体からなる領域をxu平面上に図示し、その面積を求めよ。
(2) 任意の角ab に対して、が成立するような点の全体からなる領域をxy平面上に図示し、その面積を求めよ。

解答 他サイトの解答を見ると、(1)ではの最大値が以下で最小値が以上であればよい、(2)ではの最大値が1以下で最小値が以上であればよい、と、単純に書かれています。言われてみれば確かにそうなのですが、点の存在領域を問題にしているので、どうしてもxyの方に目が向いてしまいがちで、試験会場でそう発想すること自体が難しいだろうと思います。
かつて出題された
'97年後期[5]などの難問でもそうなのですが、パラメータaを含むxyの式があって、の存在領域を求めよ、とか、曲線の通過領域を求めよ言われたら、xyではなく、パラメータaの方に着目する、ということを覚えておいてください。
本問では、
(1)ではq に、(2)では、の方に着目します。

(1)  ・・・①
のとき、①は任意の角q に対して成立するので、は求める領域内の点です。
ではないとき、
 (三角関数の合成を参照)
ただし、d は、をみたす角。
q が任意の角であるとき、
よって、任意の角q に対して①が成立するためには、
 ・・・②
かつ
 ・・・③
であることが必要十分です。
②より、 ・・・④
③より、
 ・・・⑤
④,⑤の境界線、は、連立すると、
より
となるので、交点
PQをもちます。
は、④,⑤をみたします。
よって、求める領域は、④かつ⑤で、図示すると右図黄緑色着色部分
(境界線を含む)
なので、領域の面積は、半径
2の円の面積のから、頂角をはさむ2辺の長さが2の二等辺三角形の面積を引いて、直線と放物線とで囲まれる部分の面積を加えたものになります。
 (定積分と面積を参照)
 (定積分の公式を参照)

......[
]

(2)  ・・・⑥
のとき、⑥は任意の角ab に対して成立するので、は求める領域内の点です。
ではないとき、とおくと、ab が任意の角であれば、
 ・・・⑦
⑦をみたすようにabを動かすとき、は右図の正方形の水色着色部分(境界線を含む)にあります。
は、のときにみたされるので、ab平面で直線から原点側の領域を表します。
直線は、
a切片 ()b切片a軸の負側を通過する直線です(ならb軸の負側、ならb軸の正側を通過します)
は、のときにみたされるので、ab平面で直線から原点側の領域を表します。
直線は、
a切片 ()b切片a軸の正側を通過する直線です(ならb軸の正側、ならb軸の負側を通過します)
従って、⑦をみたす任意の
abが⑥をみたすためには、右図の正方形の頂点、
において⑥がみたされることが必要十分です。よって、



即ち、

ここで、であればはみたされ、であればはみたされるので、
 ・・・⑧
であれば十分です。⑧の境界線は、で交わります。
は⑥をみたします。
よって、求める領域は⑧で、図示すると右図黄緑色着色部分
(境界線を含む)
領域の面積は、
x軸と放物線で囲まれる部分の面積の2倍で、
......[]


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