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大学入試問題を考える - 数学・物理 -

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慶大理工数学'06年[B1]

慶大理工数学'06[B1]

整数pqrab に対し、次のようなxyについての連立1次方程式を考える。
以下では、とする。
(1) xypqrab を用いて表しなさい。解答欄には答だけを書きなさい。
(2) 整数pqrに関する条件は、任意の整数ab に対し解xyが整数であるための必要十分条件であることを証明しなさい。
(3) のとき、に対する解のxの値が2となるような整数の組をすべて求めなさい。

解答 整数行列の融合問題です。

(1) 行列を用いて、連立方程式を記述すると、
 ・・・①
より、が存在して(逆行列を参照)、①の両辺に左からかける(行列の積を参照)と、

......[]

(2) (1)の結果より、整数pqr,つまり、を満たすとき、任意の整数ab に対し、解xy,即ち、
または、
はいずれも整数になります。

逆に、任意の整数ab に対し解xyが整数であるとき、(1)の結果より、
 ・・・②
 ・・・③

②より、prの最大公約数をd,また、を整数として、とおくと(このとき、dの倍数)
であれば、は整数になりますが、 (または)であってもよいことになります。である必要はありません。

しかし、③では、ab が任意の整数をとるとき、は任意の整数をとり得ます。
任意の整数をとりうるということは、となることもあり得るということです(例えば、のとき)
このとき、を満たすyが整数となるためには、
このとき、も整数です。
従って、任意の整数ab に対し解xyが整数であるとき、

以上より、整数pqrに関する条件は、任意の整数ab に対し解xyが整数であるための必要十分条件です。

(3) のとき、

のとき、
⑤-④×qより、
④より、

pqは整数だから、 または
前者のとき、,後者のとき、

のとき、
④×q-⑤より、
④より、

pqは整数だから、 または
前者のとき、,後者のとき、

......[]


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  1. 2008/08/15(金) 00:12:07|
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慶大理工数学'06年[A4]

慶大理工数学'06[A4]

(1) 積分
 ()
において、 ()とおくと、であることを示しなさい。
(2) 関数
 ()
を極方程式とする座標平面上(xy座標)の曲線を考える。偏角q をもつ点における接線の傾きは、q を用いて表すと チ となり、
 ツ  テ 
である。
(3) (2)の曲線において、y座標が最大となる点を求め、曲線の概形を図示しなさい。解答は計算も含めて解答欄に書きなさい。

解答 (1)  ()とおくと、
積分は、とおくと、より、tのとき、より、j (置換積分置換積分(その2)を参照)

(2)()




() としてとすると、より、
......[]
() としてとすると、より、は分母も分子もともに0に近づきます。
分子で0に近づくのは,分母で0に近づくのは
これを分母、分子で約分できる形とするために、分母・分子に、をかけます(不定形の極限を参照)


としてとすると、であって、
......[]

(3)
において、より、,つまり、のときに、yは最大値:をとります(2次関数の最大最小を参照)
のとき、
よって、y座標が最大となる点は、 ......[]
曲線の概形は右図。


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  1. 2008/08/15(金) 00:11:07|
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慶大理工数学'06年[A3]

慶大理工数学'06[A3]

座標平面の原点Oを中心とする単位円周上に3ABCをとる(下図を参照)。ただし、とする。以下、()()を用いて、()()を用いて記述しなさい。
線分
ABy軸との交点をD,線分BCy軸との交点をEとすると、線分OD,線分OEの長さはそれぞれである。
このxy平面を含む座標空間において、正三角形ABC内の各点から、xy平面と垂直に、高さがその点のx座標の絶対値である線分を立てて得られる立体図形を考える。頂点ABCの上にある線分の最上点をそれぞれFGHとすると、三角錐OADFの体積は,四角錐OACHFの体積は セ となる。
ACDEFHを頂点にもつ五面体の体積は、これら2つの錐体および三角錐OCEHの体積の和であり、 ソ となる。また、三角錐BDEGの体積は タ となる。

解答 立体図形の問題ですが、誘導通りに進めれば手強くありません。なお、三角比三角形の面積を参照してください。

() 原点Oから辺ABBCCAに下ろした垂線の足をJKLとします。
 ()
右図より、



......[]

() より、

......[]

() 三角錐OADFを、底面:,高さ: (=点Ax座標の絶対値)の三角錐と見ると、


三角錐OADFの体積は、

......[]

() 四角錐OACHFを、右図の台形ACHFが底辺、高さ:の四角錐と見ると、台形ACHFの面積は、 (=点Cx座標の絶対値)より、


四角錐OACHFの体積は、
......[]

() 三角錐OECHを、底面:,高さ:の三角錐と見ると、より、


三角錐OECHの体積は、


ACDEFHを頂点にもつ五面体の体積Vは、




......[]

() 三角錐BDEGを、を底面とし、高さ: (=点Bx座標の絶対値)の三角錐と見ると、

三角錐BDEGの体積は、

......[]


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  1. 2008/08/15(金) 00:10:16|
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慶大理工数学'06年[A2]

慶大理工数学'06[A2]

ある時点(0年目)で、同じ容量の2つの空の樽ABに新味噌を一杯に入れ、以後、1年経つごとに以下の操作を行う。ただし味噌の量は自然には増減しないとする。
Bの味噌を半分取り除き、Aの味噌の半分をBに移す。さらに、Aにはその年の新味噌を入れ一杯にし、両樽ともよく混ぜる。
以下では、新味噌は0年物とし、x年物の味噌が1年経過したものを年物とする。また、x年物とy年物を同量ずつ混ぜた味噌は年物と呼ぶ。
n年後に上記の操作を行った直後のABの味噌をそれぞれ年物、年物と表す。例えば カ となる。
自然数
nに対し、で表すと キ となり、数列の一般項は ク となる。この式を用いることで、数列の漸化式 ケ を得る。ここでとおき、数列の一般項を求めることにより、数列の一般項は コ となることがわかる。

解答 () 2年後に、Aの味噌は年物になり、このうちの半分がBに移るので、その残りと0年物を同量ずつ混ぜると、年物となる。
Bの味噌は年物になり、このうちの半分が取り除かれて、Aの味噌の半分と同量ずつ混ぜると、年物になります。
よって、 ......[]

() n年後にABの味噌が年物、年物だったとして、年後には、Aの味噌は年物となり、このうちの半分がBに移るので、その残りと0年物を同量ずつ混ぜると、年後の操作後のAの味噌が年物だとして、
......[] ・・・① (2項間漸化式を参照)

()  ・・・② より、
①-②より、
よって、は、初項:,公比:等比数列で、
......[]

() 年後には、Bの味噌は年物になり、このうちの半分が捨てられて、Aの味噌の半分と同量ずつ混ぜると、年後の操作後のBの味噌が年物だとして、

......[] ・・・③

()  ・・・④ より、
③-④より、
両辺にをかけると、
とおくと、 ・・・⑤
よって、は、初項:,公差:等差数列で、
より、
......[]


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慶大理工数学'06年[A1]

慶大理工数学'06[A1]


(1) abcdは実数とする。関数
がすべてのxで微分可能であるとき、a ア d イ である。
(2) 定積分
の値は ウ となる。
(3) abは実数とする。どのような実数pqに対しても
となるのは、a エ b オ のときである。

解答 (1)() ()は、となる全てのxで微分可能(微分・導関数を参照)です。
()は、となる全てのxで微分可能です。
()は、となる全てのxで微分可能です。
従って、全てのxが微分可能となるためには、において微分可能であればよいことになります。

において微分可能であるために、まず、において連続であることが必要で、
 ・・・①
また、において左側微分係数と右側微分係数が一致する(微分・導関数を参照)ことが必要で、
左辺は、
右辺は、
より、
 ・・・②

において微分可能であるために、まず、においてが連続であることが必要で、
 ・・・③
また、において左側微分係数と右側微分係数が一致することが必要で、
左辺は、
右辺は、
 ・・・④

④-②より、
......[]

() ④より、
①より、
③より、 ......[]

(2)()
とおくと、xのときt (置換積分を参照)
とおくと、tのときu
......[]

(3)()()
 (部分積分法を参照)







これが、どのような実数pqについても成り立つためには、
 (恒等式を参照)
......[]


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