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東大物理'09年前期[3]検討

東大物理'09前期[3]検討

[3](解答はこちら) 2009年の東大物理の問題は、第1問と第2問が力学、電磁気の基本を見る問題、第3問が発展的な問題となっています。発展的とは言っても、数学の第6とは異なり、教科書の内容に即して物理的な思考能力を見るようになっていて、決して無理な問題ではありません。ふだんから自然現象に関心を持って、どうしてこうなるんだろう、と、考えることの好きな物理少年であれば、楽しく考えられるような問題に工夫されています。問題を解くに当たって必要となる基礎事項は、力のつり合い、比熱の式、くらいなものです。気体分野の問題なのに状態方程式でさえ必要となりません。ⅠからⅤまでは、Ⅵを考えるためのヒントになっていて、考え込むような部分はありません。自然にⅥに進むようにうまく誘導されています。
さて、Ⅵですが、こうした問題では、あくまで、問題文の内容に即して考える、という点に注意しましょう。仮に、独学でより進んだ知識を持っていたとしても、その知識を使うと、問題文が想定している条件と異なってしまうかも知れないからです。また、自然現象の事実と仮に異なるとしても、自然現象に合わせて解答するのではなく、問題文の条件に即した結論を答えるようにしてください。本問であれば、問題文に与えられている蒸気圧曲線を用いて、「水は少しずつ水蒸気に変化していく」という問題文の記述に合わせて考える必要があります。
また、問題文に想定されている条件にかなり無理な部分があっても、その条件設定を問題視してはいけません。入試問題で条件設定を変えると、多くの場合、高校の範囲を超えるような数学の技巧が必要になってしまうのです。問題文が要求しているレベルに合わせて解答するようにします。
なお、解答には書いてありませんが、温度がからまで変わるときの水の体積変化を考慮すると、この間にもピストンは静止せずに下がり続けるのではないか、と、お考えの方もいると思います。ですが、水の熱膨張係数はではと非常に小さく、温度が変化しても体積はほぼ一定です。ちなみに、水はにおいて熱膨張係数が
0となり、の範囲の温度tにおいては、 熱膨張係数は負です。従って、風呂の湯を温めているときには、水中から水面に上昇するに従って水温が高くなりますが、氷が張っている池では氷の張っている表面のところが最も温度が低く、水中から上昇するに従って水温が低くなります。この辺は、インターネット上でも議論があるところで、興味を持たれた方は、「水 熱膨張係数」で検索してみてください。東大の出題者がからまでという温度を選んでいるのも、インターネット上の議論を参考にしたのではないか、という気がします。今後は、大学受験する場合は、ネット上での議論にも目を光らせる必要がある、ということです。


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  1. 2009/04/16(木) 17:57:34|
  2. 東大物理'09年
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東大物理'09年前期[2]検討

東大物理'09前期[2]検討

[2](解答はこちら) よく勉強してきた受験生にとっては何の変哲もない標準問題、という本問でも、これから受験勉強を始めようという人にとっては、なかなか厳しい問題です。数学に比べて物理は努力しても努力してもなかなか結果が出てこなくて結局息切れしてしまう、という受験生の声をよく聞きます。その原因は、本問のような問題では、電磁気の広範な分野に渡ってしっかり理解ができていないと大問1題を完答することができない、というところにあると思います。
本問では、磁束、電磁誘導の法則、レンツの法則、フレミング左手の法則・右手の法則、電力などの基礎事項を理解できているか、さらに付け加えて、磁場中を通過するコイルの運動が、終端速度に漸近する雨滴の運動と同様になる、ということを様々な問題を解く中で経験的に知っているか、ということが問われています。こうしたことは、
1週間程度、物理の教科書を読んで基礎的な問題集に載っている単発的な問題を解いてみた、というくらいでは、なかなか厳しいものがあるのです。従って、結果にすぐ表れないからと言って短気を起こしてはいけません。地道にコツコツと努力を続けていく必要があります。
本ウェブサイトでは、多数の過去問を掲載しています。できる限り多くの過去問に触れて頂きたいと思います。そして、過去問を見ていくときに、そこに貼られているリンクを一つずつたどりながら、基礎事項がどのように入試問題で使われているのか丹念にたどってみて頂きたいのです。こうした努力を続けているうちに、電磁気の基礎事項が一通り体得できて、それらの関連性などが把握できたところで、ある日突然、なんだ、この問題、簡単なんだなあ、と、思える日がやってきます。
教科書を一通り読んだ程度では、東大・東工大・京大などの過去問を自力で解こうとしても、どこから手を付ければよいのやら、ということになると思うので、最初から本ウェブサイトの解答を読んでしまうので構いません。本問であれば、磁束を求め、電磁誘導の法則から起電力を、オームの法則から電流を、さらに公式:から導線に働く電磁力の大きさを、フレミング左手の法則より電磁力の向きを求めて行く、というのは、定型的な流れなので、この流れに沿って基礎事項をマスターできればよいのです。
また、難関国立大などとても、という方でも、まず教科書をしっかり理解して、本ウェブサイトの解答を追いながら基礎事項の理解を深めて頂ければ、難関国立大のレベルは誰にでも手の届くところにあるのです。高い目標と強い意志をもって頑張って頂きたいと思います。



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  1. 2009/04/15(水) 15:44:41|
  2. 東大物理'09年
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東大物理'09年前期[1]検討

東大物理'09前期[1]検討

[1](解答はこちら) 本問は力学の総合問題で、単振動と等加速度運動に、分離、衝突、エネルギーがからんだ問題です。決して難しい問題とは言えないのですが、さりとて、物理を得意科目にしていない高校生にとっては、気が遠くなるような印象を受けてしまうかも知れません。
私が持っている物理Ⅰの教科書は、「電気」から記述が始まっているのですが、物理の入試準備を始めるときには、「力学」から始めるべきです。物理の勉強を「電気」から始めるのは全くナンセンスです。物理学の基本を文科省のお役人さんの都合で歪めて良いわけがないのです。そして、まず最初に、本問のような力学の総合問題を解けるように努力するべきです。
本問は、グラフを描かせる部分など、全体を通して眺めると、いろいろな入試問題を解いた経験を要求していて、それなりのレベルなのですが、個々の部分を取り出すと、実は、基本レベルの寄せ集めでしかありません。決して高度な受験技巧を要求しているわけではないのです。
運動方程式を書いて単振動の周期を求めたり、垂直抗力を求めて分離する条件を考えたり、力学的エネルギー保存の式を立てたり、ということの一つ一つは、教科書の例題レベルの内容です。各学校で配布される物理の基礎問題集の練習問題を一題ずつ解いていくのと、ほとんど変わりはありません。引っかかる点があれば、物理Ⅰ、物理Ⅱの教科書の関連事項のところをまず熟読してください。「力学」の基礎固めをする間は参考書は不要です。高校生にとって物理を縁遠く感じさせてしまう原因は、教科書に書かれている基礎事項の習得が不足している点にあります。まずは、教科書で基礎知識をしっかり身につけてください。
本問は、同じ質量の物体が完全弾性衝突
(反発係数が1)をすると速度を交換する、従って、衝突の時点を境にして、2物体の運動は完全に対称になる、ということが全体的なストーリーの流れになっています。物理を得意とする受験生は、問題文を眺めただけで、運動の状況(従って、Ⅱ(3)のグラフ)を頭の中にイメージすることができるだろうと思います。ですが、基礎的な勉強を積み重ねている間は、質量mの物体1と物体2が速度vで向かい合って進んで来て、衝突した後の速度を求めるとき、以下のように、運動量保存則の式と反発係数の式を連立するので構いません。
衝突後の物体
1,物体2の速度をuwとして、
運動量保存より、 ・・・①
反発係数の式: ・・・②
①より、
②に代入して、

これで、物体
1と物体2の速度が衝突前後で入れ替わることがわかります。しかし、こうしたことは、いろいろと入試問題を解いてくると、覚えようとしなくても自然に記憶されて、問題文を読んだだけで、多分、こうなるんだろう、という経験的予測が立つようになってきます。こうなるまでは、忍耐して、教科書や基礎的問題集の反復練習を行ってください。ここが苦しくて物理離れを起こす高校生が多いのですが、逆に言うと、ここを乗り切れれば、物理は、入試科目の中で最もラクな科目です。最小の努力で最大の得点を稼ぐことのできる科目です。安易にもうけ話に乗って大事な貯金を巻き上げられてしまうお気の毒な高齢者のニュースをよく耳にしますが、安易なもうけ話に乗ってはいけない、ということはどういうことかと言うと、辛そうな道の向こうにこそ花咲き乱れる楽園がある、ということなのです。


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  1. 2009/04/13(月) 20:09:42|
  2. 東大物理'09年
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東大物理'09年前期[3]

東大物理'09年前期[3]

常温の水は液体(以後単に水という)と気体(水蒸気)2つの状態をとることができる。どちらの状態をとるかは温度と圧力により、図3-1に示すように定まる。たとえば、水をシリンダーに密封して温度を,圧力をにしたときは水であり、熱を与えて、温度や圧力を多少変えても全部が水のままである。一方、同じで、圧力にしたときはすべて水蒸気である。ただし、図31B点、C点のような境界線上の温度と圧力のときは水と水蒸気が共存できる。逆に、水と水蒸気が共存しているときの温度と圧力はこの境界線(共存線)上の値をもつ。温度を与えたときに定まる共存時の圧力を、その温度での蒸気圧という。一定の圧力で共存している水と水蒸気に熱を与えると、温度は変わらずに、熱に比例する量の水が水蒸気に変わり、全体の体積は膨張する。単位物質量の水を水蒸気に変化させるために必要なエネルギーを蒸発熱と呼ぶ。
このことを参考にして、図
32に示す装置のはたらきを調べよう。断面積で下端を閉じたシリンダーを鉛直に立てて、物質量の水を入れ、質量のピストンで密閉し、その上に質量のおもりを乗せる。シリンダーの上端を閉じてピストンの上側を真空にする。ピストンはシリンダーと密着してなめらかに動くことができるが、シリンダーの上方にはストッパーが付いていて、ピストンの下面の高さがになるところまでしか上昇しないようになっている。シリンダーの底にはヒーターが置かれていて、外部からの電流でジュール熱を発生できるようになっている。以下の過程を通じて、各瞬間の水と水蒸気の温度はシリンダー内の位置によらず等しいものとする。また、圧力の位置による違いは無視する。
Ⅰ での蒸気圧をでの蒸気圧をと記す。ピストンのみでおもりを乗せないときに内部の圧力がで、ピストンにおもりを乗せたときにになるようにしたい。を求めよ。重力加速度の大きさをとする。
Ⅱ 圧力でのの水のモル体積(当たりの体積)とする。この温度でおもりをのせた状態でのシリンダー内の水の深さを求めよ。なお、ヒーターの体積は無視できる。
Ⅲ 装置全体を断熱材で覆い、ピストンにおもりを乗せたまま、はじめであった水をヒーターでゆっくりとになるまで加熱する。このとき、水の状態は図31A点からB点に移る。からまでの水の定圧モル比熱は温度によらず、であるとする。水をにするためにヒーターで発生させるジュール熱を求めよ。なお、シリンダー、ピストン、おもり、断熱材など、水以外の物体の熱容量は無視できるものとする。
の水をさらにヒーターでゆっくりと加熱する。このときの温度と圧力はB点に留まり、水は少しずつ水蒸気に変化していく。図33のようにピストンがストッパーに達したときにも水が残っていた。B点での水のモル体積B点での水蒸気のモル体積を用いて、このときの水蒸気の物質量を求めよ。
Ⅴ の水を、その温度での蒸気圧の下で、水蒸気にするために必要となる蒸発熱をとする。問Ⅳの過程で、ピストンがストッパーに達するまでに、ヒーターで発生させるジュール熱を求めよ。
Ⅵ ピストンがストッパーに達したときにヒーターを切り、おもりを横にずらして、ストッパーに乗せる。次にまわりの断熱材を取り除き、の室内で装置全体がゆっくり冷えるのを待つ。
(1) 時間の経過(温度の低下)とともに、圧力がどのように変化するか述べよ。
(2) 時間の経過(温度の低下)とともに、ピストンはストッパーに接した位置と水面に接した位置の間でどのように動くか、動く場合にはその速さ(瞬間的か、ゆっくりか)を含めて述べよ。

解答 理系数学の第6に対応する物理の問題、ということなのだろうと思います。教科書の物質の3態をテーマにした問題でやや発展的ですが、この程度であれば、どの受験生も充分に取り組めるレベルで、私は良問だと思います。こうした問題では、問題文で想定されているモデルに即して考えることが大切です。モデルになっている状況の正当性を気にすると得点的には不利になります。

Ⅰ でピストンのみのとき、ピストンに働くは、鉛直下向きの重力と、水蒸気の圧力による鉛直上向きので、両者の力のつり合いより、
......[]
でピストン+おもりのとき、ピストン+おもりに働くは、鉛直下向きの重力と、水蒸気の圧力による鉛直上向きので、両者の力のつり合いより、
......[]

Ⅱ 圧力ということは、問題文の図のA点の状態にある、ということです。この状態においては、水は全量液体です。水の体積になるので、水の深さdは、
......[]

Ⅲ からまでは、水は全量液体の状態にあるので、蒸発に必要なを考える必要はありません。モル比熱の式により、の水をにするのに必要なは、
......[]

Ⅳ 水が水蒸気に変わるときに体積が増加するのですが、ここではストッパーがあるために、全量の水が水蒸気に変わるわけではなく、一部が水のまま残ります。水の体積と水蒸気の体積を合わせた体積がシリンダーの体積になります。
水蒸気の体積,水の物質量はなので体積
......[]

Ⅴ の水を水蒸気にするために必要なは、あたり必要なので、
......[]

Ⅵ ピストンがストッパー達して、おもりをストッパー上にずらしたときに、水が残っているので、図31でまだBの状態にあります。ピストンに働くは、重力と水蒸気の圧力によるになりますが、なので、ピストンがストッパーに押しつけられた状態になります。この状態は水蒸気の温度からになるまで続きます。この間、水蒸気と水が共存しています。水蒸気の圧力からまで減少し、問題文の図においては、共存線上をBからCまでたどることになります。になったときに、ピストンに働く力のつりあいが成立し、以後少しでも水蒸気の圧力が下がれば、ピストンはストッパーから離れます。装置全体をゆっくりと冷やすという想定になっていて、Ⅳの問題文では「水は少しずつ水蒸気に変化していく」と書かれているので、水蒸気から水への変化も少しずつ進むと考えるべきです。温度のまま、水蒸気は一気に水になったりせずに、徐々に水へと変わり、ピストンは、ゆっくりと下降し、この間、水蒸気と水が共存するので、図31C点の状態に留まることになります。水蒸気が全量水に変わり水面に接する位置に来たところで、圧力を維持して温度からまで下がりピストンは静止します。
(1) 温度がからまで下がるのに従って図31の共存線に沿って圧力はからまで減少する。水蒸気が全量水に変わるまでC点に留まり、以後は温度がに至るまでで一定になる。
(2) 温度がになるまでストッパーに接しているが、その後ゆっくりと水面に接する位置まで下がり、温度がからに至るまで静止する。 ......[]

追記.Ⅵでは、問題文に書かれているモデルのもとでは、もしストッパーがなければ、熱を加え続けると水がなくなるまでB点に留まり、この後水蒸気は定圧変化を続けることになるだろうという予測を立てます。このとき、B点の状態で、水と水蒸気が共存しつつ、ピストンに働く力のつり合いが成立したまま、ピストンは小さな速さの等速度運動を続けることになるでしょう。であれば、装置を冷やすときにも同様の考え方ができるはずです。
昨年
1226日にアップした福井大の問題で、旺文社の全国入試問題正解では、沸点未満の温度でも、水蒸気と液体の水が共存する状態にある、という選択肢を正解にしていて、確かにそうなのですが、高校物理の教科書では、1気圧で未満の温度では、全量が水であるように記述しているので、当ウェブサイトでは、それを正解としました。東大の本問も、蒸気圧を超える圧力では全量液体として考えよ、ということで教科書に即した問題になっています。
実際には、室温で湿度が
0ということはありえないので、室温でも水蒸気と液体は共存しています。ですが、空気と水蒸気の分圧などを考え出すと難しくなってしまうので、高校物理の範囲では、東大の本問のような簡易モデルで考えるべきだ、と、私は思います。
教育評論家が、大学の入試問題は机上の空論ばかりで、それゆえに小学校や中学校の教育までもが歪むのだ、と非難するのをしばしば見かけますが、実際に即した複雑な状況を入試問題にしてしまったら高校の範囲では扱えない問題になってしまいます。高校数学の範囲で扱える範囲でモデリングして入試問題にするのは当然のことであって、入試問題の状況をつぶさに把握もせずに勝手なことを気軽に発言する教育評論家の方が机上の空論と言うべきです。



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  1. 2009/03/04(水) 15:22:32|
  2. 東大物理'09年
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東大物理'09年前期[2]

東大物理'09年前期[2]

2のように、紙面内の上から下向き(x軸の正の向き)に重力(重力加速度の大きさg)がはたらき、紙面に垂直に裏から表の向きに一様な磁場(磁束密度の大きさB)が、EFGHの間の領域だけに加えられている。EFGHは水平である。抵抗R,質量mの一様な導線を一巻きにして作った高さa,幅bの長方形のコイルABCDを、磁場のある領域の上方から落下させる。その際、ABCDは紙面内にあり、BCx軸と平行となるように、常に姿勢を保つようにした。EFGHの距離はコイルの高さaに等しい。導線の太さはabに比べ十分小さく、EFbに比べ十分長いものとする。また、自己誘導や空気抵抗は無視し、地面との衝突は考えないものとする。
Ⅰ 時刻に、ABEFの距離がhとなる位置から初速度0でコイルを落下させた。
(1) ABEFに到達する時刻と、その時のコイルの速さhを用いて表せ。
(2) ABGHに到達する時刻をとする。ある時刻t ()に、コイルが速さvで落下しているとする。このとき、コイルにはたらく合力(x軸の正の向きを正とする)vを用いて表せ。
(3) ABEFに到達する時のコイルの速さの値によって、時刻からの間にコイルが加速する場合と減速する場合がある。それぞれの場合における、の条件を記せ。
Ⅱ 時刻からの間コイルが等速度で落下するように、時刻におけるコイルの位置をうまく調整してから、初速度0で落下させた。
(1) この場合の、時刻におけるABEFの距離と時間を求めよ。
(2) 時刻からの間に、コイルで消費される電力Pと熱として発生するエネルギーWを求めよ。
(3) DCGHに到達する時刻をとする。時間を求めよ。また、落下開始から、磁場のある領域を十分離脱するまでの、コイルの速さの時間変化を表すグラフを描け。グラフには、 (具体的な式は不要)と、それらの時刻における速さの式を記せ。

解答 頻出パターンで難しくはありませんが、包括的にいろいろなことを問うているので、しっかり勉強してきた受験生でなければ正解できないでしょう。

(1) コイルは自由落下するので、等加速度運動の公式より、

......[]
......[
]
(2) コイルに電流が流れるので、コイルの、磁場内に侵入している部分は磁場から力を受けます。
コイルの囲む長方形のうち磁場内に侵入している部分の面積Sは、時刻tのとき、幅b,高さで、
面積Sの部分を貫く磁束Fは、
コイルに発生する起電力Vは、電磁誘導の法則より、
 (マイナスはレンツの法則を表します)
フレミング右手の法則より、運動方向(x軸正方向)が親指の向き、磁場の方向が(コイル面の向こうからこっち向き)人差し指の向き、として、起電力の向きは中指の向き、つまり、BAの方向に電流を流す向きです。
コイルに流れる
電流の大きさIは、オームの法則により、
コイルの辺BA磁場が及ぼすの向きを調べます。フレミング左手の法則より、磁場の方向を人差し指の向き、電流の向き(BAの向き)を中指の向き、として、辺BA磁場が及ぼすの向きは親指の向き、つまり、x軸負方向になります。
長さ
bの辺BA磁場が及ぼすの大きさFは、
コイルの辺CBAD部分には、互いに逆向きで同じ大きさのが働くので打ち消し合います。
コイルに働く
合力は、x軸正方向に働く重力と、x軸負方向に働くFとの合力になり、
......[]
(3) の間にコイルが加速するのはのときで、減速するのはのときです。の符号はコイルが磁場中を通過している間には変わらず(例えば、コイルが加速してv→大のときでも、0となるだけです)ABEFに到達した時点()の符号で決まります。
従って、加速する条件は、においてより、
......[]
減速する条件は、においてより、
......[]

Ⅱ の間にコイルが等速度で落下するように調整した、と、問題文が言っているのは、のときのコイルの位置を、,つまり、となるようにした、という意味です。
(1) のとき、においてでコイルの速度のままになります。従って、ABEFに到達してからGHに到達するまでの時間は、
......[]
(2) にコイルで消費される電力Pは、
......[]
熱として発生するエネルギーWは、
......[] (EFGHの間に失われる重力の位置エネルギーに相当します)
(3) でも、のときに辺ABに働いていたのと同じ磁場がコイルの辺DCに及ぼします。従って、の間もコイルは速度等速度運動を続けます。辺DCが磁場を抜けてしまうと、では、コイルは磁場からを受けなくなって自由落下に戻り、加速度g速度は増大を続けます。コイルの速さ時間変化を表すグラフは右図。


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  1. 2009/03/03(火) 08:43:01|
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