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大学入試問題を考える - 数学・物理 -

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センター数学ⅡB'09年第4問

 センター数学IIB '09年第4問 

Oを原点とする座標空間における5点をABCDEとする。ひし形BCDEを底面とする四角錐A-BCDEと、平面ABCに平行な平面との共通部分について考える。
(1) であり、三角形ABCの面積はである。
(2) とおく。とし、点を線分BEaに内分する点とすると、である。点
で定め、線分と線分AEが交わることを示そう。上の点Pは、を満たすbを用いて
と表される。また、AE上の点Qは、を満たすcを用いて
と表される。
PQのとき一致するから、線分AEは、AEに内分する点で交わることがわかる。この点をとする。
で定めると、同様に考えることにより、線分と線分ADも、ADに内分する点で交わることがわかる。この点をとすると
であり、三角形は三角形ABCと平行であるから、四角形の面積は
である。
また
である。

解答 第2問、第3問に続いてボリュームたっぷりの空間ベクトルの問題です。きちんと論証していたのではとても時間が足りません。()()()()()()は少々計算が必要ですが、それ以外は、実力派の受験生ならカンで埋められる、というか、カンでやっていかないと高得点は望めません。

(1)

 
(内積を参照)
() 1 () 3 () 2 ......[]

(2) とおくので、三角形ABEを含む平面上のベクトルは、Bを始点とするように考えることにします。Oを始点とするベクトルは、の形で考えます。
は線分BEaに内分するので、
() a ......[]

これを用いると、点P上の点なので、

 ・・・① (ベクトルの1次独立を参照)
問題文のの式の形から、AE上の点Qは、AEcに内分する点として、
と書けるので、
 ・・・②
() c () 1......[]
①,②は、かつ,つまり、のときに一致します。
() c () - () a ......[]
このときQは、AEaに内分する点で、線分AEは、AEaに内分する点で交わることがわかります。
() a ......[]
上記で、BCに、に、EDに読み替えることにより、線分ADは、ADaに内分する点で交わることがわかります。
() a ......[]
より、
 ・・・③
() a ......[]
と同様に、
よって、三角形
ABCと三角形は合同です。また、DE = a1で、三角形と三角形は相似な三角形であって、相似比はa1で面積の比は1です。
三角形の面積は三角形
ABCの面積に等しくで、四角形の面積は、三角形の面積から三角形の面積を引いて、
() 3 () 2 () 1 () a () 2 ......[]
また、 = aより、



() 5 () 2 () 2 ......[]


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  1. 2009/01/22(木) 20:12:57|
  2. センター数学'09年
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センター数学ⅡB'09年第3問

 センター数学IIB '09年第3問 

を初項1で公比がの等比数列とする。数列の偶数番目の項を取り出して、数列 ()で定める。とおく。
(1) も等比数列であり、その初項は,公比である。
したがって
である。また、積を求めると
となる。
(2) 次に、数列 ()で定め、とおく。
 ()
が成り立つから
 ・・・①
である。また、この左辺の和をまとめ直すと、を用いて
 ・・・②
と表される。
①と②より
となる。

解答 この問題も第2問に勝る悪問度です。等差数列等比数列の基本とΣの使い方の理解を見るのであれば、(1)に階差数列の問題を付け足すくらいで充分ではないでしょうか。制限時間内に(2)をやりきるのは無理と言うものですが、実力のある受験生であれば、()()をカンで数分で埋めたら、最後の()()は労多くして配点も少ないのでパスが賢明です。

(1) 数列は、
と続く数列です。この偶数番目の項を取り出すと、数列は、
となり、初項,公比です(等比数列を参照)
() 1 () 3 () 1 () 9 ......[]
等比数列の和の公式より、
 ・・・③
() 3 () 8 () 1 () 9 ......[]

 (指数の和については、等差数列を参照)
() 1 () 3 ......[]

(2) 数列は公比の等比数列なので、

 ・・・④
 ・・・⑤
⑤×9-④より、
() 9 () 2 ......[]
問題文中の①:
問題文中の②:


() 8 () 9 () 9 ......[]

と、①,②,③より、

() 2 () 7 () 3 () 2 () 2 () 4 () 2 () 7 () 9 ......[]


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  1. 2009/01/22(木) 09:12:39|
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センター数学ⅡB'09年第2問

 センター数学IIB '09年第2問 

放物線C,点Aとする。
Qに関して、点Aと対称な点をPとすると、
が成り立つ。QC上を動くときの点Pの軌跡をDとすると、Dは放物線
である。
二つの放物線
CDの交点をRSとする。ただし、x座標の小さい方をRとする。点RSx座標はそれぞれで、点RSにおける放物線Dの接線の方程式はそれぞれ
である。
Pを放物線D上の点とし、Px座標をaとおく。Pからx軸に引いた垂線と放物線Cとの交点をHとする。のとき、三角形PHRの面積
と表される。のとき、最大値をとる。
のとき、直線
HRと放物線Dの交点のうち、Rと異なる点のx座標はである。このとき、の範囲で、放物線Dと直線PHおよび直線HRで囲まれた図形の面積はである。

解答 全国の予備校サイトや高校の先生方の団体では、こういう問題を適切な良問と持ち上げるのでしょうけれども、こうした問題のために夢を打ち砕かれてしまう才能を思うと、当ウェブサイトは、毎年繰り返されているこうした悪問を一刻も早くやめるべきだ、と、主張致します。
計算のボリュームがあるのに、前半のミスが一生を棒に振る致命傷になってしまうので、難関国立大を目指す皆さんは、検算方法などを工夫するとともに、本番では前半をミスしないように充分に注意してください。制限時間を考えると、実戦的には最後の
()()をパスすることが賢明です。

PAの中点がQになります。
() 1 () 2 () 2 () 2 ......[]
Q
C上を動くので、より、
整理して、
D ・・・①
() 2 () 3 ......[]
と連立すると、
整理して、

(
) - () 1 () 3 ......[]
①を微分して、
のとき、
Rにおける接線は、

のとき、
Sにおける接線は、

(
) 2 () 8 () 6 ......[]
においては、
なので、DCの上に来ます。PHより、三角形PHRの底辺PHは、
三角形PHRの高さは、PRx座標の差で

(
) 2 () - () 5 () 3
a

3
00




増減表より、のとき、最大値をとります(3次関数の最大最小を参照)
() 5 () 3 ......[]
のとき、Hの座標はとなります。RHを結ぶ直線は、
これと①を連立して、
整理して、

R
と異なる交点のx座標はです。
() 1 () 3 ......[]
の範囲で、放物線Dと直線PH ()および直線HRで囲まれた図形(右図の黄色着色部分)面積は、



......[]
() 1 () 6 () 0 () 8 () 1 ......[]


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  1. 2009/01/21(水) 21:13:34|
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センター数学ⅡB'09年第1問

 センター数学IIB '09年第1問 

[1] のとき、の最大値を求めよう。
とおくと、stのとり得る値の範囲はそれぞれ
となる。また
が成り立つから、zのとき最大値をとる。したがって、zのとき最大値をとる。

解答 対数線形計画法の融合問題です。

両辺の対数を考えると、

同様に、
() 1 ......[]
各辺の対数を考えると、
() 3 () 4 ......[]
以上より、の存在範囲は右図黄色着色部分(境界線上を含む)になります。
() 1 () 2 ......[]
は右図で傾きの直線になり、zは直線のt切片になります(直線の方程式を参照)。直線が右図黄色着色部分と共有部分をもつように動くとき、zが最大となるのは、直線がを通るときで、このとき、
また、のときのとき
() 1 () 3 () 7 () 2 () 2 () 8 ......[]


[2] の範囲で
 ・・・()
を満たすq について考えよう。
方程式
()を用いて表すと
となる。したがって、より
であり、の範囲でこの等式を満たすq のうち、小さい方を,大きい方をとすると
である。
について不等式が成り立つ。に当てはまるものを、次ののうちから一つ選べ。

   
   
ただし、必要ならば、次の値
を用いてもよい。
さらに、不等式を満たす自然数
nのうち最小のものはである。

解答 前半は三角関数を含む方程式の基本問題ですが、後半は少々考える必要があります。

()より、
 (2倍角の公式を参照)
整理して、
より、
 ・・・①
() 6 () 6 () 2 () 3 ......[]
の範囲で①を満たすq は、の範囲に1つ、の範囲に1つあるので、です。となります。
() 5 () ......[]
の範囲ですが、センター試験会場では、論理的整合性を追求するよりも近似値から考えるべきです。

(
) ......[]
これより、

よって、不等式を満たす自然数nのうち最小のものは4
(
) 4 ......[]


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  1. 2009/01/21(水) 13:53:08|
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センター数学ⅠA'09年第4問

 センター数学IA '09年第4問 

さいころを繰り返し投げ、出た目の数を加えていく。その合計が4以上になったところで投げることを終了する。

(1) 1の目が出たところで終了する目の出方は通りである。
2の目が出たところで終了する目の出方は通りである。
3の目が出たところで終了する目の出方は通りである。
4の目が出たところで終了する目の出方は通りである。

(2) 投げる回数が1回で終了する確率はであり、2回で終了する確率はである。終了するまでに投げる回数が最も多いのは回であり、投げる回数が回で終了する確率はである。終了するまでに投げる回数の期待値はである。

解答 場合分けの洩れや数え違いなどのケアレスに充分注意してください。

(1) 1の目が出たところで終了するのは、1の目が出る前に合計が3になっていた、ということです。そうなる目の出方は、4通り ・・・① です。
() 4 ......[]
2
の目が出たところで終了するのは、2の目が出る前に合計が2または3になっていた、ということです。合計が3になる①の4通りに加え、合計が2となる目の出方、2通りを加えて、6通り。 ・・・②
() 6 ......[]
3
の目が出たところで終了するのは、3の目が出る前に合計が1または2または3になっていた、ということです。合計が2または3になる②の6通りに加え、合計が1となる目の出方、(1)1通りを加えて、7通り。 ・・・③
() 7 ......[]
4
の目が出たところで終了するのは、③の7通りに加え、最初に4が出た1通りを加えて、8通り。
() 8 ......[]

(2) 投げる回数が1回で終了するのは、最初に456が出た場合で確率は
() 1 () 2 ......[]
2
回で終了するのは、最初に3が出る(2回目は16の何でもよい、確率は)か、最初に2が出て2度目に26が出る(確率は)か、最初に1が出て2度目に36が出る(確率は)か、であって、その確率は、
() 5 () 1 () 2 ......[]
終了するまでに投げる回数が最も多いのは、1回目から3回目にと出る場合(4回目は16の何でもよい)で、その確率は、
() 4 () 1 () 2 () 1 () 6 ......[]
3
回で終了する確率は、
終了するまでに投げる回数の期待値は、
() 3 () 4 () 3 () 2 () 1 () 6 ......[]


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  1. 2009/01/20(火) 11:05:33|
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