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一橋大数学'05年前期[5]

一橋大数学'05年前期[5]

AB2人があるゲームを繰り返し行う。1回ごとのゲームでABに勝つ確率はpBAに勝つ確率はであるとする。n回目のゲームで初めてABの双方が4勝以上になる確率をとする。
(1) pnで表せ。
(2) のとき、を最大にするnを求めよ。

解答 n回目のゲームで「初めて」ABの双方が4勝以上、という問題文の「初めて」という言葉に注意しましょう。

(1) n回目のゲームで初めてABの双方が4勝以上になるのは、回目までのゲームでA3勝しB ()勝していてn回目にAが勝つか、B3勝しA ()勝していてn回目にBが勝つ場合です。
,つまり、の場合、その確率は反復試行の公式より、

の場合は、ABの双方が4勝以上することはあり得ないので、
......[]

(2) として、のとき、
としてみると、

従って、においては、,つまり、です。

のときにはなので、を最大にするnは、
......[]


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  1. 2009/01/31(土) 16:45:07|
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一橋大数学'05年前期[4]

一橋大数学'05年前期[4]

aを定数とし、x2次関数を次のように定める。
(1) 2つの放物線2つの共有点をもつようなaの範囲を求めよ。
(2) (1)で求めた範囲に属するaの値に対して、2つの放物線によって囲まれる図形をとする。の面積をaで表せ。
(3) a(1)で求めた範囲を動くとき、少なくとも1つのに属する点全体からなる図形の面積を求めよ。

解答 定番の頻出問題です。(3)xを固定しaの関数とみて最大値を考え、領域を求めます。

(1) を連立して、
整理すると、
 ・・・①
2つの放物線2つの共有点をもつとき、2次方程式①は、相異なる2実数解をもち、判別式Dは、
 ・・・②
......[]

(2) であるときに、①の2解をab ()として、においてはより、面積は、
 (2解がab であることに注意)
 ・・・③ (定積分の公式を参照)
ところで、と②より、
③に代入して、
......[]

(3) のグラフは、aが動くとあちこち動き回って考えにくいので、あるx座標のところでだけ考えることにします。このx座標のところでは、aが変わるとグラフが動くのに伴い、y座標が変化します。このy座標のとり得る範囲が、「少なくとも1つのに属する点全体からなる」図形Kをこのx座標のところで切断したときのy座標の範囲になります。
そこで、xを固定してaを動かしたときのyの範囲を考えることにします(2次関数の最大最小を参照)
yの最大値については、軸位置が、範囲の右側にあるのか(,つまり)、含まれるのか()、左側にあるのか()で場合分けし、yの最小値については、軸位置が範囲の中間位置の左側か()右側か()で場合分けして考えることにします。

(i) のとき、軸位置は範囲の右側に来ます。右図より、yの最大値は、のとき、
(ii) のとき、軸位置は範囲の中にあります。右図より、yの最大値は、のとき、
(iii) のとき、軸位置は範囲の左側に来ます。右図より、yの最大値は、のとき、
(iv) のとき、軸位置は範囲の中間位置よりも右に来ます。右図より、yの最小値は、のとき、
(v) のとき、軸位置は範囲の中間位置よりも左に来ます。右図より、yの最小値は、のとき、
境界線の ・・・④ と、 ・・・⑤ を連立すると、


④と⑤はにおいて接します。
境界線の ・・・⑥ と、⑤を連立すると、

⑥と⑤はにおいて接します。
境界線の ・・・⑦ と、⑤を連立すると、


⑦と⑤はにおいて交わります。
以上より、図形
Kは、から上側でから下側の部分になります(右図黄緑色着色部分)。その面積は、
......[]
注.図形Kを不等式で表すと以下のようになります。
かつ
に注意してください。


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  1. 2009/01/27(火) 14:25:24|
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一橋大数学'05年前期[3]

一橋大数学'05年前期[3]

をみたすq と正の整数mに対して、を次のように定める。
(1) を求めよ。
(2) q の範囲を動くとき、の最大値を求めよ。
(3) mがすべての正の整数を動き、q の範囲を動くとき、の最大値を求めよ。

解答 ,従って、です。
なお、
三角関数を参照してください。

(1)
より、
......[]

(2) と同様に、
のとき、より、は、,つまり、のときに最大値1 ......[]

(3) と全く同様に、として、
また、
よって、として、
従って、の最大値は、q の範囲を動くときのの最大値を考えれば十分です。
の最大値は、のときに
1
について、
 (加法定理を参照)
 (三角関数の合成を参照)
の最大値は、のときに
について、

の最大値は、のときに2
について、
の最大値は、のときに
(2)より、の最大値は、のときに1
の最大値は0
以上より、mがすべての正の整数を動き、q の範囲を動くときのの最大値は、 ()のとき2 ......[]


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  1. 2009/01/17(土) 14:17:26|
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一橋大数学'05年前期[2]

一橋大数学'05年前期[2]

原点を中心とする半径1の円をCとし、とする。
ANを通る直線がCと交わる点のうちNと異なるものをPとおく。また、BNを通る直線がCと交わる点のうちNと異なるものをQとおく。
(1) Pの座標をaで表せ。
(2) AQ // PBのとき、となることを示せ。
(3) AQ // PBのとき、aの値を求めよ。

解答 図形と方程式の計算問題です。
(3)は力尽くでやってもよいのですが、ここでは少し工夫してみます。

(1) ANを通る直線は、
 (直線の方程式を参照)
 ・・・①
C ・・・②
①,②を連立して、
整理すると、
直線ANと円Cとの交点のうちNと異なるものがPなので、として、
①より、
よって、
Pの座標は、 ......[]

(2) BNを通る直線は、①のabと入れ替えて、
これと②を連立してQの座標を求めると、(1)の答のabと入れ替えて、
直線
AQの傾きは、 (直線の方程式を参照)
直線BNの傾きは、
AQ // BNより、両直線の傾きは等しく(2直線の平行・垂直を参照)
 ・・・③
分母を払って整理すると、③は、abを入れ替えても成り立つ式(交代式と言います)なので、という因数をもちます。これに注意して、
より、で割ると、
整理して、
 ・・・④

(3) 三角形ANB面積S2通りに表すことができます。(2)の結果を利用すると、
底辺,高さの三角形と見ると、
 ・・・⑤
を④に代入してもよいのですが、4次方程式になってしまうので、④が対称式であることを利用して、ちょっと工夫します。
 ・・・⑥
これを④に代入すると、
()
⑥を用いて、
() ・・・⑦
⑦-⑤より、
......[]
別解.余弦定理正弦定理を使うこともできます。
三角形
ANBに余弦定理を用いると、


これと④とからを求めれば、2次方程式の解と係数の関係を用いてaを求めることができます。
三角形
ANBに正弦定理を用いると、より、

(2)の結果を用いると、
これで⑤が得られます。


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  1. 2009/01/13(火) 11:28:25|
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一橋大数学'05年前期[1]

一橋大数学'05年前期[1]

kは整数であり、3次方程式3つの異なる整数解をもつ。kとこれらの整数解をすべて求めよ。

解答 シラミつぶしで調べて行く範囲を、いかに絞るか、ということで解決できる整数問題です。なお、のグラフを考えていくこともできます。

 ・・・①
①の3解をpqr ()とすると、3次方程式の解と係数の関係より、
 ・・・②
 ・・・③
 ・・・④
②より、
③に代入すると、
整理して、
ここでどうするかですが、

より、 ・・・⑤
なので、が出てくるように平方完成し、
4倍すると、
 ・・・⑥
より、

これをみたすような整数は、4通りしかありません。
また、②や⑤から考えると、
3解のうち最も小さなpです。
(i) ,つまり、のとき、
⑤より、
これを満たす整数
qは、
これは、⑥を満たさず不適。
(ii) ,つまり、のとき、
⑤より、
これを満たす整数
qは、
どちらも⑥を満たさず不適。
(iii) ,つまり、のとき、
⑤より、
これを満たす整数
qは、
このうち⑥を満たすのは、
このとき、②より、
④より、
(iv) ,つまり、のとき、
⑤より、
これを満たす整数
qは、
このうち⑥を満たすのは、
このとき、②より、
④より、
以上より、
のとき、
3解は4
のとき、
3解は13 ......[]

別解 ①~④のあと、①で、とすると、

となり題意を満たさないので、であり、は①の解にはなりません。
①で、とすると、

なので、

②より、prは異符号で、であって、
従って、であり、に限られます。

(i) のとき、
のとき、②より、
のとき、②より、
(ii) のとき、
なので②より、
prは、2解で、より不適。
(iii) のとき、
のとき、②より、
のとき、②より、

(i)と同じ解の組が出てきます。
以上より、
のとき、
3解は4
のとき、
3解は13 ......[]


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  1. 2009/01/08(木) 13:59:39|
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