FC2ブログ

CHALLENGE from the VOID

大学入試問題を考える - 数学・物理 -

CFV21 ご入会のおすすめ
理工系受験生の方は
こちらをご覧ください
当会の活動にご支援頂ける方は
こちらをご覧ください

センター試験「数学」の必勝法はこちら
センター試験「物理」の必勝法はこちら

理工系受験生必見!! 2010-2007入試問題検討ページ(東大・東工大・京大・早慶) 
CFV21での学習の進め方

東大文系数学'09年前期[4]

東大文系数学'09[4]

2次以下の整式に対し
を考える。
(1) のときSaの関数として表せ。
(2) をみたしながらfが変化するとき、Sの最小値を求めよ。

解答 微積の計算問題ですが、微積の計算すら必要としないかも知れません。なお、定積分と面積を参照してください。

(1) ,よって、

 (微分を参照)
のとき、
Sは縦1,横2の長方形の面積で、
のとき、
の範囲に入るかどうかで場合分けをします。
(i) のとき、ですが、
において
Sは上底,下底,高さ2の台形の面積で、
(ii) のとき、

つまり、のとき、
のときと同様に、
Sは上底,下底,高さ2の台形の面積で、
(iii) のとき、つまり、 または のとき、
定積分を三角形の面積と考えることができて、
とすると、
のとき、


のとき、

以上より、
......[]

のとき、
 (等号成立は、,即ち、のとき)
のとき、
 (等号成立は、,即ち、のとき)
のときにであることを考慮して、Sの最小値は、2 ......[]


TOPに戻る   CFV21 メイン・ページ   考察のぺージ

(C)2005,2006,2007,2008,2009
(有)りるらる
CFV21 随時入会受付中!
CFV21ご入会は、まず、
こちらまでメールをお送りください。
 雑誌「大学への数学」購入
スポンサーサイト



テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2009/04/04(土) 12:31:20|
  2. 東大文系数学
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:0

東大文系数学'09年前期[3]

東大文系数学'09[3]

スイッチを1回押すごとに、赤、青、黄、白のいずれかの色の玉が1個、等確率で出てくる機械がある。2つの箱LRを用意する。次の3種類の操作を考える。
(A) 1回スイッチを押し、出てきた玉をLに入れる。
(B) 1回スイッチを押し、出てきた玉をRに入れる。
(C) 1回スイッチを押し、出てきた玉と同じ色の玉が、Lになければその玉をLに入れ、Lにあればその玉をRに入れる。
(1) LRは空であるとする。操作(A)5回おこない、さらに操作(B)5回おこなう。このときLにもRにも4色すべての玉が入っている確率を求めよ。
(2) LRは空であるとする。操作(C)5回おこなう。このときL4色すべての玉が入っている確率を求めよ。
(3) LRは空であるとする。操作(C)10回行う。このときLにもRにも4色すべての玉が入っている確率をとする。を求めよ。

解答 理系[3]と同じ問題です。東大理系'09年前期[3]を参照してください。


TOPに戻る   CFV21 メイン・ページ   考察のぺージ

(C)2005,2006,2007,2008,2009
(有)りるらる
CFV21 随時入会受付中!
CFV21ご入会は、まず、
こちらまでメールをお送りください。
 雑誌「大学への数学」購入

テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2009/04/04(土) 12:30:29|
  2. 東大文系数学
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:0

東大文系数学'09年前期[2]

東大文系数学'09[2]

自然数に対し、個の二項係数
,・・・,
を考え、これらすべての最大公約数をとする。すなわちはこれらすべてを割り切る最大の自然数である。
(1) mが素数ならば、であることを示せ。
(2) すべての自然数kに対し、で割り切れることを、kに関する数学的帰納法によって示せ。

解答 理系[1](3)を省略した問題です。東大理系'09年前期[1]を参照してください。


TOPに戻る   CFV21 メイン・ページ   考察のぺージ

(C)2005,2006,2007,2008,2009
(有)りるらる
CFV21 随時入会受付中!
CFV21ご入会は、まず、
こちらまでメールをお送りください。
 雑誌「大学への数学」購入

テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2009/04/04(土) 12:29:31|
  2. 東大文系数学
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:0

東大文系数学'09年[1]

東大文系数学'09[1]

座標平面において原点を中心とする半径2の円をとし、点を中心とする半径1の円をとする。また、点を中心とする半径t の円が、に内接し、かつに外接すると仮定する。ただし、bは正の定数とする。
(1) abt を用いて表せ。また、t がとり得る値の範囲を求めよ。
(2) t(1)で求めた範囲を動くとき、bの最大値を求めよ。

解答 (1)は、2円の位置関係に関する問題です。図形的意味を考えるようにしましょう。(2)2次関数の最大最小の問題です。

(1) 2円が接するとき、2円の中心は接点と一直線上にあります。
PQとすると、
に内接するので、
2円の中心間距離OQは半径の差に等しく、
 ・・・①
に外接するので、2円の中心間距離PQは半径の和に等しく、
 ・・・②
①-②より、
......[]
①より、
 ・・・③
より、 ......[]
また、
......[]
注.円の中心がx軸よりも上にある()とき、円の半径tは、Qに近づくといくらでも0に近づき、Qに近づくといくらでも1に近づくので、です。

(2) ③より、
において、のとき最大値2をとるので、bの最大値は ......[]


TOPに戻る   CFV21 メイン・ページ   考察のぺージ

(C)2005,2006,2007,2008,2009
(有)りるらる
CFV21 随時入会受付中!
CFV21ご入会は、まず、
こちらまでメールをお送りください。
 雑誌「大学への数学」購入
  1. 2009/04/03(金) 10:49:26|
  2. 東大文系数学
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:0

東大文系数学'98年[3]

東大文系数学'98年前期[3]

(1) xをみたす角とする。
となるyxで表し、そのグラフをxy平面上に図示せよ。
(2) aをみたす角とする。をみたす角
で定める。k2以上の整数として、となるaの個数をkで表せ。

解答 (1)からして混乱しそうですが、(1)のグラフが描ければ、(2)では,・・・ とやって行けば答えは分かります。文系志望者の場合は、n1つ増えるごとに何が起きるかを説明しておけば十分だと思いますが、理系の場合には、論証しておきたいところです。なお、三角関数を参照してください。
以下では、として書きます。


(1) ですが、sincosの右がになっていてsincosの符号が変化するので、で場合分けします。
(i) のとき、です。
より、
(ii) のとき、です。
右図より、
(iii) のとき、です。
右図より、
(iv) のとき、です。
右図より、
以上より、
......[]
図示すると、右図黒色実線。

(2) (1)yxの関係をを表すことにします。
の関係は、となっています。,・・・ となりますが、
と書くことにします。,・・・ です。
(1)のグラフより、となるのは、のときです。となるa3個あり、の範囲を2つに等分するときの端点になっています。
となるのはのときです。となるのはのときで、となるのはのときで、となるのはのときです。結局、となるのはのときで、となる
a9個あり、の範囲を8つに等分するときの端点になっています。
これより、のとき、となるのは
()のときで、となるa個あり、の範囲を個の範囲に分けるときの端点になっていると仮定 ・・・() します(のときは上記より成り立っています)
となるのは、のときです。仮定
()より、となるとき、 ()です。
()ですが、からまで変化するとき、は、右図のように、0からまで直線的に増加して、から0まで直線的に減少します。この間に、の範囲を4つに等分する端点において、となり、となります。
これより、となるのは、
()のときで、となるa個あり、の範囲を個の範囲に分けるときの端点になっていて、仮定()nとしても成り立ちます。
よって、
数学的帰納法により、仮定()は、2以上のすべての自然数nについて成り立ちます。
ゆえに、
k2以上の整数として、となるaの個数は、 ......[]


TOPに戻る   CFV21 メイン・ページ   考察のぺージ

(C)2005,2006,2007,2008,2009
(有)りるらる
CFV21ご入会は、まず、
メールをお送りください。
 Newton e-Learning
 雑誌「大学への数学」購入

テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2009/02/20(金) 09:59:46|
  2. 東大文系数学
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:0
次のページ