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横浜市大物理'07年[3]

横浜市大物理'07[3]

平行な線路上を、上り列車Aと下り列車Bが静止、または逆向きに一定の速さで移動している。列車Bの先頭にある警笛が鳴らす警笛音を、列車Aに乗っている観測者が聞いている場合について以下の問い(1)(3)に答えよ。ただし、列車Bの発する警笛音の振動数を,音速をcとする。列車Aの進行方向と列車Aから見た列車Bの方向とのなす角をqとする。また、音速は列車の速さよりも十分大きく、上下線の線路間の距離は警笛音の波長よりも十分長いとする。
(1) 1のように列車Aが点で静止し、列車Bが速さで走っている場合を考える。
(a) 列車が点Yを通過したときにある波面が出され、点を通過したときに次の波面が出されたとする。このときの距離を求めよ。
(b) とする。点Yより発せられた音波が点に到達してから、点より発せられた音波が点に到達するまでの時間を求めよ。
(c) に比べて十分大きいときには、としてよいことを利用して、観測者が聞く警笛音の振動数cq を用いて表せ。
(2) 2にように、列車Aが速さで走っていて、列車Bが静止している場合について考える。
(a) 列車Aの速度の方向成分を求めよ。
(b) ある短い時間に、列車Aの観測者が横切る波面の数を計算することにより、観測者が聞く警笛音の振動数を求めよ。ただし、短い時間では、(a)で求めた速さは変化しないとしてよい。
(3) 3のように、列車Aと列車Bが同じ速さで走っている場合を考える。
(a) 列車Aの観測者が聞く警笛音の振動数cqを用いて表せ。
(b) で十分離れていた列車Bと列車Aが、ともに振動数の警笛を鳴らしながら近づき、ある時刻ですれ違い、再び遠方に離れる場合を考える。列車Aの観測者と列車B先頭との水平方向の距離をL,平行な線路間の距離をとする。におけるLとし、より十分大きいとする。
このとき観測者にはうなりが聞こえ、1秒間あたりのうなりの回数は時間とともに変化した。を縦軸、t を横軸とするグラフの概形として正しいものを図4(i)(vi)より選べ。さらにct を用いて表せ。

解答 斜め方向のドップラー効果について考える問題です。

(1)(a) ある波面が出されてから次の波面が出されるまでの時間周期です(波動現象波の公式を参照)。この間に列車B速さ距離進みます。
......[]
(b) 求める時間は、AYで波面を発した時刻からAで発した波面が点に到達する時刻までの時間から、AYで波面を発してからその波面がに到達するまでの時間を引いた時間になります(右図)
......[]
(c) (b)で求めた時間は観測者が聞く警笛音の周期に相当します。(a)(b)の結果を使って、
より、
......[]

(2)(a) 列車A速度方向成分は、 ......[]
(b) t秒間にAXからまで進むときのAの動きを方向に投影して考えると、t秒間に進み、個の波面とすれ違います。XAとすれ違った波面t秒間にまで進みますが、距離の中に個の波面があります。
Aまで進み、方向の投影が進んで波面とすれ違う瞬間に、の間には個の波面があるので、
=

......[]

(3)(a) (2)(b)の結果において音源の振動数と書き換えて、
......[]
(b) 1秒間あたりのうなりの回数です。
に注意して、1秒間あたりのうなりの回数は、
 ・・・①
とすると、
とすると、
においては、
従って、は、はじめにで、となる
時刻0となり、やがてに近づいていきます。より、グラフの概形は(vi) ......[]
また①式で、として、
......[]


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(C)2005,2006,2007,2008,2009
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  1. 2009/02/21(土) 07:29:46|
  2. '08年入試(物理)
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上智大理工物理'00年[2]

上智大理工物理'00[2]

図のように、同じばね定数kをもつばねに、同じ質量mの物体ABが結ばれてなめらかな床の上に置かれ、左右のばねの端は壁に固定されている。
1.物体Aを固定し、物体Bだけを振動させるとき、周期は[ 1 ]である。
2.次に物体Aが静止している位置からx軸方向にaだけずれたとき、物体Bも静止している位置から同じくaだけずれている運動を考える。このとき周期は[ 2 ]である。
3.今度は物体Aが静止している位置からx軸方向にaだけずれたとき、物体Bは静止している位置からだけずれている運動を考える。このときの周期は[ 3 ]である。
4.物体Bにだけ電荷を与え、電界をゆっくりとx軸方向にかけた。つりあったときの、物体Aの変位は[ 4 ]で物体Bの変位は[ 5 ]である。
5.前問の状態から物体Aを固定して突然電界を切ったとき、物体Bは振動し始めた。物体Bが物体Aに一番接近したときの距離は、一番遠く離れたときよりも[ 6 ]だけ短い。
前問の状態から物体Aを固定しないで突然電界を切ったときは、物体ABともに振動する。この場合、物体Bが物体Aに一番接近したときの距離は、一番遠く離れたときよりも[ 7 ]だけ短い。
[ 1 ][ 2 ][ 3 ]の選択肢 a)  b)  c)  d)  e)  f)  g)  h)  i)
[ 4 ][ 5 ][ 6 ][ 7 ]の選択肢 a) 0 b)  c)  d)  e)  f)  g)  h)  i)

 複数個の物体と複数個のばねからなる系に関する問題です。一見複雑に見える、こうした問題では、一つずつ基本に忠実に考えていくことが大切です。

[1] 物体Bが右にx変位すると、左のばねから弾性力 (マイナスは力の向きが変位と逆向きであることを示します),右のばねから弾性力を受け、物体Bが受けるです。物体B加速度aとして、物体B運動方程式

これは、角振動数単振動を表します。周期は、

c) ......[]

[2] このときは、AB間のばねはつねに自然長で物体ABを及ぼしません。物体Bが右にx変位すると、右のばねから弾性力を受けます。物体B運動方程式

これは、角振動数の単振動を表します。周期は、

e) ......[]

[3] このとき、物体Aと物体Bの運動はABの中間点に関して対称になります。物体Bが右にx変位すると、右のばねから弾性力,左のばね(伸びている)から弾性力を受け、物体Bが受けるです。物体B運動方程式

これは、角振動数の単振動を表します。周期は、

b) ......[]

[4] 物体Aが右に変位し、物体Bが右に変位しているとします。AB間のばねはだけ伸びています(なら縮んでいる)
物体Aが受けるは、左のばねから弾性力,右のばねから弾性力力のつり合いより、
 ・・・①
物体
Bが受けるは、右のばねから弾性力,左のばねから弾性力,電界から受ける (右向き)力のつり合いより、

①より、
c) ......[]

[5] ①より、
e) ......[]

[6] 物体Bにはたらくからがなくなり、物体B加速度として物体B運動方程式は、
 ・・・②
Aを固定するので、に固定されます。
これは、振動中心(力のつり合いの位置)とする単振動を表します。
物体
Bと物体Aが一番接近したときの距離と一番離れたときの距離の差は、振幅2倍で、

g) ......[]

[7] 物体A加速度として、運動方程式は、
 ・・・③
②-③

これは、 (AB間のばねが自然長)振動中心とする単振動を表します。
最初に、
で、このとき、物体Aも物体Bも静止していたので、振幅です。
一番接近したときの
距離と一番離れたときの距離の差は、

e) ......[]


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(C)2005, 2006,2007, 2008 (有)りるらるNewton e-Learning
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  1. 2009/02/16(月) 09:53:38|
  2. '08年入試(物理)
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早大教育物理'05年[2]

早大教育物理'05[2]

(A) オシロスコープの原理
図Ⅱ
-1のように、速度の電子(電荷は,質量はm)z軸上を入射してくる。以下では重力や地磁気は無視できるものとする。
間隔
Lの極板には電圧がかかっている。極板はにわたっているので電子はこの間で力を受け、その結果生じる加速度のy成分は (1) である。電子のz座標がdであるとき、速度のy成分は (2) であり、z成分はのままである。また、このときのy座標は[ (3) ]である。さらにこのとき電子の進行方向がz軸と角度fをなしているとすると、を用いて[ (4) ]と書ける。電圧を上げすぎると電子は極板に衝突してしまう。衝突しない条件は[ (5)  ]である。ただし、における極板間では電場(電界)は一様であり、その外ではゼロとみなしてよい。

(B) 位相差の測定
2組の極板を用いて図Ⅱ-2のように電子ビームの角度をx方向にも制御できるようにした。電子は極板の領域を抜けた後その速度を保って進み、極板の大きさに比べて極めて遠方の蛍光板(ブラウン管)に当たってその点(スポット)を光らせる。極板の大きさLおよびdは蛍光板までの距離に比べて無視できるほど小さいので、以下では電子は原点Oから飛び出すという近似を用いる。極板にかける電圧をのように時間的に変化させると、蛍光板のスポットの座標ものように時間の関数となる。(A)よりは電圧に比例するので、電子が極板から蛍光板に到達する時間を無視すればに比例し、またに比例するとしてよい。
1 原点Oから蛍光板までの距離をDとする。を用いて表せ。
2 極板に角振動数(角周波数)w の電圧をかけたとき、となったとする。を消去し、蛍光面に表示されるXYで表現される図形の方程式を求めよ。
3 同様にとなった場合に、表示される図形の方程式を求め、以下の空欄をd の関数で埋めよ。d は位相差と呼ばれる。
4 図Ⅱ-3のような座標回転によって問3で得た方程式をで表し、積の係数が0となるようにq を求めよ。そのようなq のうち、となるq [  ]である。
このときで表した図形の方程式は
である。これは楕円の方程式であり、
が位相差d の関数となるので、この比を測定することにより位相差を求めることができる。
5 位相差d を求めるもう一つの方法がある。問3から直接
を計算すると右辺はd のみの関数となる。上記の空欄を埋めよ。ただし<...>は、1周期についての時間平均を表す。

解答 問2以降は、物理の入試問題なのか?と思ってしまいます。

(1) 極板間にはy軸負方向に大きさ電場(電界)ができています。負電荷をもつ電子にはy軸正方向に大きさが働いています。加速度y成分をとしてy軸方向の運動方程式
......[] (一定 なので、y軸方向の運動は等加速度運動です)
(2) z軸方向に速さ距離dの極板間を通過するのに時間を要します。のとき、電子の速度y成分は、
......[]
(3) のときのy座標は、等加速度運動の公式より、
......[]
(4) 電子の速度z成分がy成分がなので、
......[]
(5) 電子が極板に衝突しない条件は、
......[]

1 極板間を通り抜けた後、電子はzx平面となす角fの方向に等速直線運動します。電子が原点Oから飛び出す近似を用いると、y方向の変位は、
......[]
追記.2組の極板とも、z軸方向のdで、極板間距離Lだとします。電子の進行方向がyz平面となす角度をjとすれば(4)と同様にとなります。問1と同様にして、x方向の変位についても、
となり、ともにを比例係数としてに比例します。

2 より、
図形の方程式は、

3  (加法定理を参照)
 ( )
より、



......[]

4 右図より、
 (1次変換を参照)
3の結果に代入して


 ・・・①
の係数を0とすると、
題意より位相差d は、いろいろな値をとり得るので、

より、 ......[]
このとき①より、
より、
......[]
......[
] (楕円を参照)
注.上記では、とします。のときはのときはとなり楕円にはなりません。のときは円になります。

5 周期Tで変化する量があって、時刻tにおける値をとするとき、周期Tn等分して時刻,・・・,におけるn個の値の平均値を考え、の極限値を1周期にわたる時間平均と考えることができます。つまり、
として計算できます。
のとき、
 (半角の公式を参照)


......[]


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  1. 2009/02/14(土) 10:50:55|
  2. '08年入試(物理)
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阪大物理'07年前期[1]

阪大物理'07年前期[1]

図のように、長さ,質量Mの細く一様な剛体棒が、水平な床の上に床と角度となるように置かれ、上端からの位置で台のカドと接するように立てかけてある。台のカドは滑らかで、棒との間に摩擦力は働かない。床面はあらく、棒との間に摩擦力が働く。棒が床面に接する点をAとし、Aにおいて棒が床から受ける垂直抗力の大きさを,摩擦力をとする。また、棒が台のカドと接する点をBとし、棒に垂直な方向に働くBにおける抗力の大きさをとする。の正の方向は図に示す矢印の向きとする。また、棒と床面の間の静止摩擦係数をm,重力加速度をgとする。棒の中心には重力が働く。
Ⅰ.水平な外力を棒の中心に加えたところ、棒は静止したままであった。ただし、水平外力の大きさは棒の重さのp()とし、右向きに働くときにとする。
1 棒に働く力の、点Aのまわりのモーメントのつりあいより、を、MLgpのうちの必要なものを用いて表せ。
2 棒に働く力のつりあいより、を、MLgpのうちの必要なものを用いて表せ。
3 棒に働く力のつりあいより、を、MLgpのうちの必要なものを用いて表せ。
4 のときに棒が静止しているためのmの範囲を求めよ。
Ⅱ.次に、棒が動かないように手で支えてから、棒の中心に水平外力を加えた。手を棒から放すと、水平外力()と静止摩擦係数(m)の大きさに応じて、棒は静止したままか運動を始めるかのいずれかである。棒が静止したままであるためには、次の3つの条件が同時に満たされなければならない。
(条件a) 台のカド(B)から棒が離れない。
(条件b) 床から棒が離れない。
(条件c) 床に接する棒の端部が左にも右にもすべらない。
今の場合、条件bは、条件cが満たされているときには、必ず満たされている。
5 左向きの大きな水平外力()を加えたときに、条件aが破れてしまう。条件aが満たされるための、pの範囲を求めよ。
6 床の静止摩擦係数が小さいときに条件cが破れてしまう。棒の下端が左にすべらないためにmが満たすべき条件式を適当に式変形すると、pmの間の関係式として次のように表せる。(1)(2)(3)に適当な数を入れよ。
7 同様にして、棒の下端が右にすべらないためにpmが満たすべき条件は次式で表せる。(4)(5)(6)に適当な数を入れよ。
8 条件abcが同時に満たされて棒が静止したままであるためにpmが満たすべき領域を、右図のグラフに斜線で示せ。ただし、グラフに記した直線や曲線のうち、必要なものを使うこと。さらに、グラフの中のの値も答えよ。なお、なる式は、と変形される。この式はを漸近線とする双曲線を表す。グラフ中の曲線はいずれも問6,問7の条件に対応する双曲線の一部になっている。

解答 力のモーメントの問題です。誘導が親切で、指示通りにやっていけば解答できますが、誘導がなくても解答できるようにしておきたいところです。
条件
a)b)c)が与えられているのは、受験技巧など暗記してこなくても良い、というメッセージなのでしょうけれども、これくらいは知識としてもっているべきだと思います。

Ⅰ.問1 点Aのまわりの力のモーメントを考えるので、うでの長さ(Aからの作用線に下ろした垂線の長さ)0で考える必要はありません。
重力 (時計回り)うでの長さ水平外力 (時計回り)うでの長さ,抗力 (反時計回り)うでの長さ,よって、点Aのまわりののモーメントのつり合いは(反時計回りを正として)
......[]

2 を求めるためには鉛直方向ののつり合いを考えます。鉛直方向に働く垂直抗力(上向き)のほかに、重力(下向き)抗力の鉛直方向成分 (上向き),よって、鉛直方向の力のつり合いは、
1の結果を用いて、
......[]

3 を求めるためには水平方向ののつり合いを考えます。水平方向に働く静止摩擦力 (向きはわからない、正負ともありうる)のほかに、水平外力 (右向き)抗力の水平方向成分 (左向き),よって、水平方向の力のつり合いは、
1の結果を用いて、
......[]

4 水平外力がなく、点Aで棒の下端は左側にすべろうとしているので、棒が静止しているためには、点Aで右向きの静止摩擦力最大静止摩擦力以下であることが必要十分(摩擦力を参照)です。のとき、

Ⅱ.問5 台のカド(B)から棒が離れない条件は、
......[]

6 棒の下端が左側にすべらない条件は、右向きの静止摩擦力最大静止摩擦力以下であることです。

で割り整理すると、
 ・・・①
(1) (2) (3) 1 ......[]

7 棒の下端が右側にすべらない条件は、左向きの静止摩擦力最大静止摩擦力以下であることです。

で割り整理すると、
 ・・・②
(4) (5) (6) ......[]

8 領域を図示する際にであることに注意します。と問5の結果,問6の結果①,問7の結果②をすべて満たせば、棒が静止したままになります。
①の境界線 ・・・③ に対して、問題文に指定されているような変形を行うと、として、
これは、を漸近線とする双曲線です。
①は、のとき、 ・・・④
のとき、 ・・・⑤
②の境界線に対して、問題文に指定されているような変形を行うと、として、
これは、を漸近線とする双曲線です(③とp軸に関して対称)
②は、のとき、 ・・・⑥
のとき、 ・・・⑦
上記で、のとき、④かつ⑥を満たす必要がありますが、⑥よりになってしまうので、のときには条件をみたす
mは存在しません。
結局、求める領域は、かつ⑤かつ⑦の部分となり、図示すると右図斜線部
(境界線を含む)
図中のは、③と
p軸との交点で、③でとすることにより、 (5の結果の符号を変えたものに一致)
......[]


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  1. 2009/02/11(水) 14:16:27|
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鳥取大物理'00年[4]

鳥取大物理'00[4]

図Ⅳ-1に示す配置の光の干渉実験において、スリットの位置Aに図Ⅳ-2に示す形状のスリット(a)(b)および(c)を置いた場合、それぞれスクリーン上にどのような干渉縞が生じるか、図Ⅳ-3(1)(10)に示す図形より最も近いと思われるものを選べ。また、選んだ図形のx軸上の位置の近似値をld等を用いて表せ。
ただし、入射光は平行な単色光であり、スリットおよびスクリーンは入射光に対して垂直に置かれているものとする。また、装置全体は中心線に対して上下対称である。ここでは、目安として波長,スリットとスクリーンとの間の距離,図Ⅳ
-2におけるdは長さを示しており程度を考えよ。なお、図Ⅳ-3の図形は中心線より片側の中心付近の光の強さを示しており、高さは最高強度を1としている。また、x軸は必ずしも同一の尺度とは限らない。
必要なら次の近似式を用いよ。
z1に比べて充分に小さいとき、が十分小さいとき、および

解答 回折格子の単スリット効果(中央部分の明線が最も明るく、両側に行くに従って明線が暗くなる)の問題です。

(a) 単スリットの場合、スリット上半分を通過する光と下半分を通過する光に分け、2光の干渉を考えます。単スリットでは干渉の効果は弱いので1次の暗線の方向のみを考えます。
スリット上半分の中間の点と下半分の中間の点の間の距離は、右図より、スリット間隔です。
スリットを通過した後、角
q の方向に進む2光の経路差は、右図より
スリットとスクリーンの
距離はスクリーン上で中心線からの距離xに比べて十分に大きいので、q は十分に小さく、,よって、2光が弱め合うのは2光の経路差半波長の場合だとして、

従って、においては、2光が干渉して弱め合い、光の強さは0になります。xを越えると、弱め合う条件が緩和されて若干明るくなりますが、強め合うわけではなく明線ができるわけではありません。また、スリットを通過した後直進する光は、スクリーン中央に明るい部分を作ります。この状況を表すグラフは(1) ......[] です。また、
......[]

(b) 二重スリットの場合、上のスリットを通過した光と下のスリットを通過した2光の干渉を考えます。
隣接スリットの間隔dです。スリットを通過した後、角q の方向に進む2光の経路差は、(a)と同様の近似を行い、右図より
2光が強め合うのは2光の経路差波長の整数倍だとして、
 (m:整数)

従って、においては、2光が干渉して強め合い、明線ができます。二重スリットの干渉では、明線がぼやけていて幅が広くなります。また、は明線です。
ですが、各スリットにスリット自体の
があるために、(a)で考えた単スリットの効果を考慮する必要があります。(a)dとして、においては、各スリットの上半分と下半分を通過した光が強め合って強度が0になります。従って、この効果のために、二重スリットによってできる明線は、mと変化すると次第に強度が落ちてきます。
以上の状況を表すグラフは
(3) ......[] です。
また、は最もに近い暗線の位置で、弱め合う条件:
 (m:整数)
においてとして、 ......[]

(c) スリットの数が10個になると、隣接する2つのスリットを通過する光が強め合う条件は二重スリットと同じで、mを整数として、
 ・・・①
に明線ができます。
ですが、隣接していないスリットを通過する光も干渉します。
kを整数として間隔2つのスリットを通過する2光が強め合う条件は、
 (m:整数)

m
kの倍数になるときには、①の位置と重なり、明線は隣接スリット以外のスリット同士でも強め合って強度を増します。
弱め合う条件は、
 (m:整数)

暗線条件では、分子の奇数は分母の偶数の倍数にはならないので、①の位置に重なりません。①以外の位置の光の強度を弱める効果をもっています。
結果的に、スリットの数を増やすと、明線の位置の強度を上げ、明線位置以外の光の強度を弱めることになり、明線が鋭くなります
(多重スリットを参照。これが回折格子を使って波長測定を行う意味です)
以上の状況だけであれば、
(10)のグラフになるはずですが、各スリットにがあるので、(b)と同様に、単スリットの効果で、明線は、mと変化すると次第に強度が落ちてきます。この状況を表すグラフは(9) ......[] です。
は、①のの位置になり、
......[]


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  1. 2009/02/08(日) 04:51:48|
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