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慶大理工数学'02年[B1]

慶大理工数学'02[B1]

球面を輪切りにし、それぞれの部分を円錐の側面の一部で近似することによって、球の表面積を求めることを考える。
(1) 半径r ()の半円Sと直線 ()2つの交点をもつ。それぞれの交点における半円S2本の接線は点で交わる。この2本の接線と直線で囲まれた三角形をy軸のまわりに1回転してできる円錐の側面積はである。さらに、この円錐から平面 ()より上にある部分を取り除いた立体図形の側面積はである。
(2) nを自然数とし、とする。(1)で定義された立体図形で、のときの側面積をと表すと、
となる。
(3) を証明しなさい。

解答 ボリューム満点の問題なので、相当に急がないと解答しきれません。

(1)() のとき、
におけるS接線は、
 
(ここまで複号同順)
複号でプラスとした式とマイナスとした式を連立して解くと、
2本の接線は点で交わります。
......[]
() 円錐の底面の半径は,底面の円周の長さは
円錐の稜線の長さR
円錐の側面を展開してできる扇形(中心角をq とします)の弧の長さと底面の円周の長さは等しく、
 (一般角を参照)

円錐の側面積は、

......[]
() この円錐の平面から上にある部分の稜線の長さは、
R =
より、
円錐から平面より上にある部分を取り除いた立体図形の側面積は、




 ( ())
......[]

(2)() ()の結果にを代入すると、側面積は、



......[]

(3)

 ・・・①
ここで、区分求積法の技巧を使って第2項を、
としてしまうと、
としたときに、x1を代入できなくて困ります。
①で、既に、の形は見えているので、を示せば良いわけですが、の形にしてしまうと、分母,分子となってうまくないのです。
そこで、をもう少し変形することにします。
ここで、Σの中についてより、
 ・・・②

となるので、階段型グラフの面積の技巧を使います。右図において、は黄色着色部分の面積で、階段型グラフが曲線と曲線にはさまれることから、
 (とはできないことに注意)

各辺をnで割って、
ここで、のとき、より、左辺→0,右辺→0
はさみうちの原理より、
②の各辺にをかけて、
のとき、右辺→0なので、はさみうちの原理より、
結局、①の第
2項の極限について、
①より、 (証明終)
注.途中に出てきた、“のとき、”については、以下のようにして示します。

においては、より、
単調増加
()においては、
において、の各辺を
xで割り、
xnに代えて、
のとき、

はさみうちの原理より、


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(C)2005, 2006,2007, 2008 (有)りるらるNewton e-Learning
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  1. 2009/02/07(土) 12:05:01|
  2. '08年入試(数学)
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早大理工数学'03年[5]

早大理工数学'03[5]

放物線のうち、の部分をCとする。C上の点Pに対し、原点OからPまでのCの部分の長さをsで表す。xysの関数とみなしてとおくとき、以下の問いに答えよ。
(1) の値を求めよ。
(2) 次の等式を示せ。
(3) PにおけるCの法線上にあり、Pとの距離が正の定数aである2点のうち、Cの下側にあるものをQとする。vwを用いて表せ。
(4) Cの長さをLとし、PC全体を動くときの、Qの描く曲線の長さをMとする。を求めよ。ただし、を用いてもよい。

解答 曲線の長さは、現行学習指導要領の範囲外(「ゆとり教育」見直しにより復活することになっています)なのですが、本問では、結局最後まで、曲線の長さの積分を計算しないですんでしまうので、以下では、「曲線の長さ」を、
曲線の部分の長さであれば、

媒介変数表示された曲線の部分の長さであれば、
という定積分に読み替えてください。

放物線の部分の長さ
sは、より、
 ・・・①
で与えられます。
注.①の定積分の計算は、
京大理系'02年前期[4]置換積分(その3)の例3を参照してください。本問では、結局最後まで計算しません。ただし、早大理工'98[5]では、計算する必要のある問題が出題されています。

(1)  (逆関数の微分法を参照)
①の両辺をxで微分する(定積分と微分を参照)と、
 ・・・②
ではより、
 ・・・③
......[]

(2) ですが、②ではxの式で表されているので、合成関数の微分法を利用して、をまずxで微分し、をかけることにします。
 

 ( )
同様にして、
 (商の微分法を参照)

(3) 放物線Pにおける接線の傾きは、 (媒介変数表示された関数の微分法を参照)
Pが原点の場合()を除いて、法線の傾きは、 (,つまり、)
右図で直角三角形PQRについて、QRPQ = (1)の結果より、
QCの下側に来るので、
......[]
Pが原点の場合()Qですが、(1)の結果よりのときなので、このOKです。

(4) 曲線Cの長さLは、①の定積分の上端を1として、
 ・・・④
(3)の結果をQの描く曲線の媒介変数表示と見て、の部分の曲線の長さMは、
 ・・・⑤
(2)(3)の結果を用いて、
 (符号に注意)
これらより、⑤の根号内は、
 ( (1))
よって、⑤は、
被積分関数がxの関数の形をしているので、sに関する積分をxに関する積分とするために、①を用いて置換積分します。より、sのとき、x
......[]


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  1. 2009/02/06(金) 13:20:52|
  2. '08年入試(数学)
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旭川医大数学'08年[2]

旭川医大数学'08[2]

n2以上の自然数とする。で割った商を,余りをとする。次の問いに答えよ。
(1) を求めよ。
(2) が成り立つことを示せ。
(3)  (mは自然数)であることを用いて、 ()の係数を求めよ。

解答 多項式の除算等比数列の融合問題です。
多項式を多項式で割り、商が,余りがになるとき、

また、余りの次数はの次数より小さくなります。
これが試験会場で思いつけないときは、

のとき、
となることを考えましょう。

(1) 2次式で割るので余り1次式または定数で、
とおけます。これより、
 ・・・①
①において、とすると、
 ・・・②
①において、とすると、
 ・・・③
②,③を連立すると、
......[]

(2) で割って商が,余りが定数sになるとします。
とすると、
 ・・・④
より、
で割って商がになるとして、余りは、剰余の定理より、
 ・・・⑤
を、④に代入すると、

これは、で割ると、商が,余りがになることを意味します。つまり、です。
⑤より、

別解.(1)の結果より、

を用いると、

(3) 問題文の等式より、

・・・・・・

辺々加え合わせると、
 (等比数列を参照)
(2)で示した等式を用いると、
これより、 ()の係数は、 ......[]


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  1. 2009/01/16(金) 14:26:23|
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阪府大経済数学'08年[6]

大阪府大経済数学'08[6]

関数
で定める。
(1) のグラフで囲まれた部分の面積を求めよ。
(2) k0以上の数とするとき、xの方程式の解の個数を求めよ。

解答 センター試験向けの面倒な計算問題です。なお、2次関数微分法の方程式への応用を参照してください。

(1)
絶対値記号の内側の正負で場合分けをするために、
と場合分けします。
においては、
 ・・・①
においては、
 ・・・②
においては、
 ・・・③
においては、
 ・・・④


と①を連立すると、

においては、
と②を連立すると、

においては、 (接点)
と③を連立すると、

においては、 (接点)
と④を連立すると、

においては、
以上より、のグラフとで囲まれた部分は、右図黄色着色部分。
右図のように、のグラフとで囲まれた部分のうち、の部分の
面積の部分の面積をの部分の面積をとして、





求める面積は、
......[]

(2) xの方程式の解の個数は、を連立したときの解の個数に一致し、曲線と原点を通る直線の共有点の個数に一致します。
直線が、点を通過するのは、より、のときです。このとき(1)より、は、の部分とはにおいて、の部分とはにおいて接します。
直線が、点を通過するのは、より、のときです。
直線が、点を通過するのは、より、のときです。
の各々について、曲線と直線の位置関係は右図のようになります。各場合で両者の共有点の数を数えることにより、
xの方程式の解の個数は、
のとき
0個,のとき1個,のとき2個,のとき3個,のとき4個,のとき3個,のとき2 ......[]


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  1. 2009/01/14(水) 14:58:06|
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帯広畜産大数学'08年[2]

帯広畜産大数学'08[2]

頂点がで、点を通る2次関数があり、とする。
(1) 関数を求めよ。
(2) の増減表を作り、そのグラフを書け。
(3) 曲線における接線の方程式を求めよ。
(4) 曲線x軸とで囲まれた部分で、一辺がx軸と平行でかつ2つの頂点が曲線上にある長方形を作るとき、面積が最大となる長方形の4つの頂点の座標とその面積を求めよ。
(5) から曲線に異なる3本の接線が引けるとき、点の存在する範囲を不等式で表し、またその範囲を図示せよ。

解答 2次関数、3次関数のグラフあり、接線あり、最大値あり、2次方程式、3次方程式の解の条件あり、存在範囲あり、で、てんこ盛りのセンター試験用練習問題です。

(1) の頂点がであることから、
とおくことができます(2次関数を参照)
を通るので、

......[]

(2)
とすると、
増減表は(3次関数の増減を参照)
x

1
00
0

グラフは右図。

(3) 曲線における接線は、
整理して、
......[] ・・・①

(4) 曲線y軸に関して対称なので、長方形も対称になり、x軸と平行な辺の両端にくる曲線上の2点は、として、 ()です。ただし、この2点は、曲線の部分に存在するので、
より、です。
長方形の横が,縦がより、長方形の面積は、


p0

1

0



増減表より、長方形の面積はのとき最大値 ......[] をとり(3次関数の最大・最小を参照)より、このとき、長方形の4頂点の座標は、 ......[]

(5) から曲線に異なる3本の接線が引けるとき、この点のx座標をay座標をbを書くことにします(xyのままだと、曲線上の点、接線上の点と混同しやすくなるので、別の文字にします)。接線①が点を通るので、
これをtに関する3次方程式と見て整理すると、
この左辺をとおくと、点から曲線3本の接線が引ける、ということは、接点が3個できて、接点のx座標を解にもつ3次方程式が相異なる3実数解をもつ、ということです。
このための条件は、関数が極大と極小をもち、
(極大値)×(極小値)が負になることです(微分法の方程式への応用を参照)
であれば、極大、極小が存在します(2次方程式の判別式が正、としてもOK)
このとき、のいずれか一方が極大値で他方が極小値です。よって、
ここで、に戻すと、点から曲線に異なる3本の接線が引ける条件は、
かつ
となりますが、不等式においてとしても、となって成り立たないので、点の存在する範囲は、
......[]
図示する(不等式と領域を参照)と、境界線は、 ()で、境界線はにおいて接しており、求める範囲は、より下側であってかつより上側、または、より上側であってかつより下側、より、右図斜線部。


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