FC2ブログ

CHALLENGE from the VOID

大学入試問題を考える - 数学・物理 -

CFV21 ご入会のおすすめ
理工系受験生の方は
こちらをご覧ください
当会の活動にご支援頂ける方は
こちらをご覧ください

センター試験「数学」の必勝法はこちら
センター試験「物理」の必勝法はこちら

理工系受験生必見!! 2010-2007入試問題検討ページ(東大・東工大・京大・早慶) 
CFV21での学習の進め方

スポンサーサイト

上記の広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。
新しい記事を書く事で広告が消せます。
  1. --/--/--(--) --:--:--|
  2. スポンサー広告

早大理工数学'06年[5]

早大理工数学'06[5]

動点Px軸のの部分、動点Qy軸のの部分をを満たしながら動く。このとき線分PQが動いてできる領域をFとする。またOは原点とし、aとする。
を満たすsを固定したとき、点Fに属するようなyの最大値をtとし、線分PQが点を通るときのaの値をq とする。以下の問に答えよ。
(1) が成り立つsの範囲を求めよ。
(2) s(1)で求めた範囲に属さないときstq で表せ。
(3) Fの面積を求めよ。

解答 アステロイドになるのだろうということは予測がつきますが、問題文をぱっと見ただけでは、(1)が何を要求しているのかが読み取れないかも知れません。いきなり(1)を解答しようというのでなく、外堀を埋めることから始めます。
直線
PQの傾き(負です)の絶対値が最も大きくなるのは、PQのときです。このとき、です。
題意を満たすように線分
PQが動くとき、aは、の範囲を動きます。

であれば、なので、直線PQの方程式は、
 ・・・①
のときには、PQであって、直線PQの方程式は、
また、このとき、直線PQ上の点で、 ()に対応する点のy座標は、です。

のとき、③でとおくと、

これより、直線PQ上での点で、 ()に対応する点のy座標は、 ・・・②
②の最大値を考えます。
 (微分の公式を参照)
とすると、の範囲において、 ・・・③
このとき、
なので、,つまり、 ・・・④
sの範囲にあれば、③を満たすaが存在して、このaとすると、においては、においては、となるので、のとき、つまり③が成り立つときに、yは最大値をとります(関数の増減を参照)。 ・・・⑤

③で
とすると、で、です。このとき、で、直線PQの方程式①は、 となります。のとき、yの最大値は、直線の方程式から、となります。は直線上の点なので、このときのaq とすれば、です。 ・・・⑥
これを見ると、
になるのは、だけで、sの範囲なんて出てこない、と、思うかも知れませんが、ここで、「動点Px軸のの部分」を動く(の部分には行かない)、という問題文の条件にピンと来ないといけません。

(1) 上記で、④が満たされないとき、つまり、のとき、③を満たすaは存在せず、において、よりyaの増加関数で、yのときに最大値tをとります。は直線PQ 上の点なので、このときのaq とすると、となります。
上記の⑥も含めて、が成り立つsの範囲は、 ......[]
注.遠回りなことをやらせる誘導がついていますが、要するに、この問題では、右図のように、領域Fの部分の上側の境界線(xに対してyが最大となる点の集合)が、直線: になるということを言っています。

(2) のとき、上記の④より、yの最大値tは、②,③,より、
 ・・・⑦
yが最大値tをとるとき、は直線PQ上の点で、このとき、なので、③より、
(のときにも成り立ちます)
のとき、⑦より、
のとき、明らかに、領域Fには、となる点はしかなく、ですが、これも含めて、
.......[] (アステロイドを参照)

(3) 領域Fのうち、の部分は、下底,上底,高さの台形で、その面積は、
の部分は、曲線:x軸の間に挟まれた部分で、その面積は、
と置換すると、より、xのとき、q (置換積分を参照)

 (2倍角の公式を参照)
 (半角の公式を参照)




求める面積は、
......[]


TOPに戻る   CFV21 メイン・ページ   考察のぺージ

(C)2005, 2006,2007, 2008 (有)りるらるNewton e-Learning
 雑誌「大学への数学」購入
スポンサーサイト

テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2008/08/12(火) 08:33:02|
  2. 早大理工数学'06年
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:0

早大理工数学'06年[4]

早大理工数学'06[4]

xy平面において原点Oから出発する動点Pが確率p ()x軸の正方向との角度をなす方向に、確率x軸の正方向との角度をなす方向に進み、どちらの場合もOからの距離が1である点に到達するものとする。この到達点をAとする。さらに動点Pについて以下の2通りの移動()()を考える。
() 動点Pが点Aから出発し確率px軸の正方向との角度をなす方向に、確率x軸の正方向との角度をなす方向に進み、どちらの場合もAからの距離が1である点に到達するものとする。この到達点をBとする。
() 動点Pが点Aから出発し確率pの角度をなす方向に、確率の角度をなす方向に進み、どちらの場合もAからの距離が1である点に到達するものとする。この到達点をCとする。
以下の問に答えよ。
(1) 線分OBの長さの2乗の期待値を求めよ。
(2) 線分OCの長さの2乗の期待値を求めよ。
(3) の最大値を求めよ。

解答 OからAまで確率pで、に来ます。
確率
で、に来ます。

(1) AからBまでの変位は、確率pで、
確率で、

OからBまでは、確率で、となる点に来ます(積事象・和事象・余事象を参照)
確率で、となる点に来ます。
確率で、となる点に来ます。
確率で、となる点に来ます。
期待値は、より、

.......[]

(2) OからCまでは、確率で、となる点に来ます。
確率で、となる点に来ます。
確率で、となる点に来ます。
確率で、となる点に来ます。


......[]

(3)
とおきます。


よって、は、に各1個ずつの解をもっています。

以上より、の最大値は、 ......[] (2次関数の最大・最小を参照)


TOPに戻る   CFV21 メイン・ページ   考察のぺージ

(C)2005, 2006,2007, 2008 (有)りるらるNewton e-Learning
 雑誌「大学への数学」購入

テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2008/08/12(火) 08:32:12|
  2. 早大理工数学'06年
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:0

早大理工数学'06年[2]

早大理工数学'06[3]

数列,・・・ は条件
を満たすとする。以下の問に答えよ。
(1) 数列,・・・ を次の式で定める。
がすべて正ならばが成り立つことを示せ。
(2) を満たすnがあることを示せ。

解答 (1)は、絶対値も出てくるし、偶奇も出てくるので、どんどん場合分けしていきます。(2)は、自然数が1きざみに存在していて、実数のように、異なる2実数の間に無限に実数が存在する(実数の稠密性と言います)わけではない、というところから来ます。背理法で証明してみます。

(1) (i) のとき、
より、 ・・・①
より、
() ・・・②

のとき、①より、
のとき、②より、
いずれにしても、 ・・・③

のとき、
②より、
のとき、
③より、

(ii) のとき、
より、 ・・・④
また、より、
 ・・・⑤

のとき、
④より、
のとき、
⑤より、

以上より、 がすべて正ならばが成り立ちます。

(2) が自然数で、より、 について、は、0,または、自然数です。
ここで、 について、すべてと仮定すると、問題文中の定義より、もすべて自然数 ・・・⑥ です。
また(1)より、,即ち、
よって、
ということは、任意の自然数に対して、の小さくない方に一致しますが、となるようなnを選ぶと、となり、⑥と矛盾します。
よって、とした仮定は誤りで、を満たすnが存在します。


TOPに戻る   CFV21 メイン・ページ   考察のぺージ

(C)2005, 2006,2007, 2008 (有)りるらるNewton e-Learning
 雑誌「大学への数学」購入

テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2008/08/12(火) 08:31:29|
  2. 早大理工数学'06年
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:0

早大理工数学'06年[2]

早大理工数学'06[2]

に対してxの整式
を考える。以下の問に答えよ。
(1) 3次方程式の正の実数解はただ1つであることを示せ。
(2) tの解であるとき、を求めよ。
(3) の正の実数解をとするとき、の最小の実数解で表せ。さらに、を求めよ。

解答 3次方程式を微分をからめて考えようという問題です。微分法の方程式への応用を参照してください。

(1) とすると、
正の方をa,負の方をb とすると、においては極小、においては極大(3次関数の増減を参照)
においては単調減少で、より、この範囲において、
においては単調増加で、より、は、にただ1つの解をもちます。
以上より、3次方程式の正の実数解はただ1つです。

(2) うまく計算できないか考えあぐねている間に、どんどん計算してしまう方が早いと思います。


......[]

(3) (2)より、tの解ならば、の解です。
であれば、tに置き換えたもまたの解です。
だとすると、
また、
より、
従って、の正の実数解をとすると、の最小の実数解は、
......[]

とすると、の極大値を与える
より、
従って、 ......[]


TOPに戻る   CFV21 メイン・ページ   考察のぺージ

(C)2005, 2006,2007, 2008 (有)りるらるNewton e-Learning
 雑誌「大学への数学」購入

テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2008/08/12(火) 08:30:47|
  2. 早大理工数学'06年
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:0

早大理工数学'06年[1](再掲)

早大理工数学'06[1]

に対して、関数
によって定める。以下の問に答えよ。
(1) にたいして
を示せ。
(2) とする。に対して、不等式
を示せ。
(3) を求めよ。

解答 (1) 数学的帰納法により示します。
(I) のとき、

よって、与式は成り立ちます。

(II) のとき、与式が成り立つと仮定します。




(I)(II)より、に対して、
が成り立ちます。

(2) 数学的帰納法により示します。
(I) (1)より、のとき、
において、より、 ・・・①
また、とおくと、において、
よって、において、単調増加
 ・・・②
①,②より、において、
よって、与不等式は成り立ちます。

(II) のとき、与不等式が成立したとします。
 () ・・・③
において、
 (定積分と微分を参照)
よって、において、単調増加
において、
 ・・・④
とおくと、
において、③より、
よって、において、単調増加
において、
 ・・・⑤
④,⑤より、において、
よって、のときも、与不等式は成り立ちます。

(I)(II)より、として、に対して、不等式
が成り立ちます。

(3) (2)の不等式において、とすると、
ここで、とすると、
はさみうちの原理より、 ......[]

注.(1)(3)から、が言えます。また、マクローリン展開を参照してください。


TOPに戻る   CFV21 メイン・ページ   考察のぺージ

(C)2005, 2006,2007, 2008 (有)りるらるNewton e-Learning
 雑誌「大学への数学」購入

テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2008/08/11(月) 13:08:35|
  2. 早大理工数学'06年
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:0
上記広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。新しい記事を書くことで広告を消せます。