FC2ブログ

CHALLENGE from the VOID

大学入試問題を考える - 数学・物理 -

CFV21 ご入会のおすすめ
理工系受験生の方は
こちらをご覧ください
当会の活動にご支援頂ける方は
こちらをご覧ください

センター試験「数学」の必勝法はこちら
センター試験「物理」の必勝法はこちら

理工系受験生必見!! 2010-2007入試問題検討ページ(東大・東工大・京大・早慶) 
CFV21での学習の進め方

スポンサーサイト

上記の広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。
新しい記事を書く事で広告が消せます。
  1. --/--/--(--) --:--:--|
  2. スポンサー広告

慶大理工数学'05年[B2]

慶大理工数学'05[B2]

実数tに対して空間の点Pを定め、Pと点Aを結ぶ線分PAxy平面と交わる点をQとする。
(1) このときabtで表し、を求めなさい。
(2) tが実数全体を動くとき、Qの軌跡を求めなさい。また軌跡の概形をxy平面上に描きなさい。

解答 (1)
2PAを結ぶ直線上の点をとして、直線PAベクトル方程式は、
直線PAxy平面との交点では、として、

.......[] (これよりtが全実数をとるときに、)
......[]
.......[]

(2) Qx座標,y座標をxyと書くと、(1)より、
()
のとき、
のとき、
(も満たしている)
以上より、軌跡は、円: ただし、を除く。 ......[]
図示すると右図(白マルを除く)


TOPに戻る   CFV21 メイン・ページ   考察のぺージ

(C)2005, 2006,2007, 2008 (有)りるらるNewton e-Learning
 雑誌「大学への数学」購入
スポンサーサイト

テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2008/08/16(土) 11:20:16|
  2. 慶大理工数学'05年
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:0

慶大理工数学'05年[B1]

慶大理工数学'05[B1]

22列の行列を考える。Aにおいて、bcを入れかえた行列をで表す。すなわち、である。同様に、とおく。以下で、Bはつねにをみたすものとする。
(1) となるための必要十分条件はであることを証明しなさい。
(2) のとき、すべてのBに対してとなることを証明しなさい。
(3) すべてのBに対してが成り立つならば、であることを証明しなさい。

解答 Aに対してAの転置行列と言います。なお、行列を参照してください。

(1) のとき、
よって、

逆に、のとき、
 (証明終)

(2)  (行列の積を参照)
 (証明終)

(3) の両辺の左からをかける(逆行列を参照)と、より、
成分を比べて、 ・・・①
成分を比べて、より、 ・・・②
①より、
b は任意の実数をとるから、 (恒等式の条件)

②より、b g も任意の実数をとるから、
 (証明終)


TOPに戻る   CFV21 メイン・ページ   考察のぺージ

(C)2005, 2006,2007, 2008 (有)りるらるNewton e-Learning
 雑誌「大学への数学」購入

テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2008/08/16(土) 11:19:20|
  2. 慶大理工数学'05年
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:0

慶大理工数学'05年[A3]

慶大理工数学'05[A3]

平面上に4KEIOがある。Kは動点で、その座標が時刻t ()の関数としてで与えられている(aは正の実数)EIOは定点である。2EIを通り、直線に第1象限で接する円の中心の座標は( サ  シ )である。円周角の性質から、が最大となるのはt ス のときである。そのときの線分OKの長さをとするとき、 セ  ソ である。

解答 ()() 2EIを通る円の中心Cは線分EIの垂直2等分線:上にあります。Cの座標はと表せます。
円と直線が接するので、円の中心Cとの距離は、半径、即ち、に等しく(円と直線の位置関係参照)
分母を払い両辺を2乗すると、
整理して、
 ()

2解のうち、第1象限で接するのは±が+の方で、
・・・①
求める円の中心の座標は、 ......[]

() 線分EK(1)の円との交点をDとすると、Kは円周上または円の外側の点なので、
ここで、同一弧EIの上に立つ円周角は一定で、等号が成立する(が最大)のは、Kが円周上の点のときで、そうなるのは、Kが直線と円との接点になるときです。
従って、円の中心Cを通り直線と垂直な直線mと、との交点を求めればよく、
直線m (2直線の平行・垂直を参照)
と連立して、

(①を使ってcを消去)
このときのtの値も、 .......[]

() このとき、Kからx軸に下ろした垂線の足をHとすると、KHOHa1より、
OHOK1
......[]
これより、の最大値を与える点Kは、原点を中心とする半径の円周上にあることがわかります。 ・・・②

() のとき、直線y軸に近づきます。
このとき、②より、の最大値を与える点Ky軸ととの接点Fに近づきます(右図参照)
......[]


TOPに戻る   CFV21 メイン・ページ   考察のぺージ

(C)2005, 2006,2007, 2008 (有)りるらるNewton e-Learning
 雑誌「大学への数学」購入

テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2008/08/16(土) 11:18:17|
  2. 慶大理工数学'05年
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:0

慶大理工数学'05年[A2]

慶大理工数学'05[A2]

Pが数直線上の整数点(座標が整数である点)を次の規則にしたがって正の方向に移動していく。
(i) 最初の時点でのPの座標は0である(Pは原点Oの上にある)
(ii) ある時点でのPの座標がkのとき、次の時点でPは座標の点か、または座標の点のどちらかに、それぞれの確率で移動する。
正の整数nに対して、ある時点でPの座標がnとなる確率(すなわち、Pが座標nの点を飛びこえてしまわない確率)で表す。たとえば、 カ  キ である。すると、は漸化式 ク をみたす。したがって、nの式で表すと ケ となり、 コ である。

解答 () 右の樹形図は、枝1本の確率はすべて
樹形図より、 ......[] (独立試行の確率を参照)

() ......[]

() 座標nの点に来るのは、座標の点から直接nに来るか、座標の点からnに来るかのいずれかで、この両者は排反です。座標の点,座標の点に来る確率はそれぞれであり、そこから各々の確率でnに来るので、座標nに来る確率は、
......[] ・・・①
これは3項間漸化式です。

別解 座標nの点を飛び越える(確率)事象は、座標の点にいる(確率)ときに確率で起こります。よって、
......[] ・・・④
とすることもできます。これは2項間漸化式です。

() ①の特性方程式は、



これより、数列は、初項,公比等比数列
よって、 ・・・②

よって、 ・・・③

③-②より、
......[]

別解 ()で④の方を解答とした場合には、aで置き換えた1次方程式、
 ・・・⑤
より、
④-⑤より、
は、初項:,公比:の等比数列で、
......[]
となります。

() のときより、 ......[] (数列の極限を参照)


TOPに戻る   CFV21 メイン・ページ   考察のぺージ

(C)2005, 2006,2007, 2008 (有)りるらるNewton e-Learning
 雑誌「大学への数学」購入

テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2008/08/15(金) 10:24:55|
  2. 慶大理工数学'05年
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:0

慶大理工数学'05年[A1]

慶大理工数学'05[A1]

空間内のxy平面上において ()で表される曲線をCとする。C上の点Pをとり、原点からPまでの曲線の長さをsとする。空間内でPの真上に点Qをとる。
(1) 曲線の長さsxの関数としてで表す。 ア であり、またとおくと、 イ であるから、 ウ となる。したがって、線分PQの長さはxの関数となり、特に エ である。
(2) Pからx軸へおろした垂線の足をRとし、PQPR2辺とする長方形をの範囲で動かして立体をつくる。このとき、この立体の体積は オ である。

解答 この問題の曲線の長さは、現行課程では範囲外です。

() ......[] (微分の公式合成関数の微分法を参照)

()
......[]

においては、より、
()の結果を使って、
()より、
.......[]

() ()の結果より、
これより、線分PQの長さは、

......[]

() 長方形の面積は、
とおいて置換積分します。
xのとき、u
.......[]


TOPに戻る   CFV21 メイン・ページ   考察のぺージ

(C)2005, 2006,2007, 2008 (有)りるらるNewton e-Learning
 雑誌「大学への数学」購入

テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2008/08/15(金) 10:24:14|
  2. 慶大理工数学'05年
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:0
上記広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。新しい記事を書くことで広告を消せます。