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大学入試問題を考える - 数学・物理 -

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CFV21での学習の進め方

早大理工数学'05年[5]

早大理工数学'05[5]

媒介変数tにより
と表されるxy平面上の曲線Cについて以下の問に答えよ。
(1) 曲線Cと座標軸が接する点の座標を求めよ。
(2) 曲線Cx軸,y軸で囲まれた部分をx軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を求めよ。
(3) (2)で求めた体積をVとするとき、Vを小さい順に並べよ。ただし、およびは既知とする。

解答 (1) のとき、 ・・・①
のとき、 ・・・②

のとき、 (微分の公式を参照)
のとき、
増減表は以下の通り。また曲線Cのグラフは右図。
t()01()
0×
x()02()
t()01()
×0
y()20()

増減表より、となるのは、のときのみで、このとき、 (媒介変数表示された関数の微分法を参照)
より、曲線Cにおいてy軸と接します。
となるのは、のみで、このとき、より、曲線Cにおいてx軸と接します。
よって、座標軸との接点は、 ......[]
なお、増減表より、のときのとき

(2) グラフより、回転体の体積Vは、
・・・③
1項は②,第2項は①により置換積分します。
1()では、xのときt
2()では、xのときt

③の第1項は、
とおくと、tのときs
さらに、stに戻して、

③の第2項は、


被積分関数は、とおくと、





......[]

(3) より、
まず、を比較します。
より、です。
次に、Vを比較します。

より、


Vを比較します。
より、

よって、 ......[]

うなってしまう問題ですが、私はこういう入試問題には賛成できません。
恐らく、正答率は限りなく
0に近く、正答した受験生は他の問題がほとんできていないでしょう。
合格者の大半がこの問題を途中で捨てていると思いますが、捨て問題にせよ、ということで、こういう問題を出題しているのなら考えものです。
忍耐力などを見たいのなら、場合分けの複雑な問題などを工夫すべきだと考えます。


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  1. 2008/08/13(水) 19:49:27|
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早大理工数学'05年[4]

早大理工数学'05[4]

複素数zを満たしながら動くとき、次の式で定まるwについて以下の問に答えよ。
(1) wの虚部の取る値の範囲を求めよ。
(2) wが複素数平面上に描く曲線の長さを求めよ。(複素数平面上の長さは座標平面上の長さと同じとする。)

解答 (1)は現行課程では範囲外の問題です。

(1) をみたす複素数は、 ()と表せます。


(xyは実数)とおくと、
・・・①
この曲線は、カージオイド(右図)です。
・・・②
とすると、

のとき、のとき、
q0p
000
y000
増減表より、wの虚部yのとる範囲は(関数の増減を参照)
......[]

(2)
②より、 (2倍角の公式を利用した)

 (半角の公式を利用した)

においてにおいて
求める曲線の長さは、(1)yの変化のしかたより、


........[]


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  1. 2008/08/13(水) 19:48:47|
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早大理工数学'05年[3]

早大理工数学'05[3]

袋の中に1からnまでの番号のついたn個の玉が入っている。この袋から玉を1個取り出し、番号を調べてもとに戻すことをr回行うとき、取り出された玉の番号の最大値をXとする。以下の問に答えよ。
(1) に対して、Xがちょうどkとなる確率を求めよ。
(2) のとき、Xの期待値を求めよ。
(3) 一般のrに対してXの期待値をとおくとき、極限値を求めよ。

解答 (1) r回試行を行って、最大値がkになるということは、r回すべて玉の番号が1kのどれかであって、かつ、「r回すべて玉の番号が1のどれか」ではない(つまり、r回のうち少なくとも1回はkが出ている)、ということです。

r回すべて玉の番号が1kのどれかになる確率は、です(独立試行の確率を参照)
r回すべて玉の番号が1のどれかになる確率は、です。

......[]

(2) Σの公式を使って期待値を計算するだけです。


......[]

(3) rが任意の自然数のとき、
ここで、
より、
従って、
この右辺は、に近い形をしているので、区分求積法にするのだろうと思うのですが、中カッコの中では、kが混在しているので、このままでは、区分求積法に持ち込むことができません。
そこでkだけ、だけ、という形をひねり出すために、はさみうちの原理を使います。
jをみたす整数だとして、 ()より、

左辺のは、k1からnまで動かすときに、0からまで変わるので、という具合に直せば、の中の中カッコ内は、r項の和になっているので、
ここで、左辺、右辺ともに、のとき、
よって、はさみうちの原理より、
......[]


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  1. 2008/08/13(水) 19:48:03|
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早大理工数学'05年[2]

早大理工数学'05[2]

円周上にm個の点,・・・,がこの順に配置され、各点に一つの実数が与えられている()。ただし、とする。さらに、は条件
() 各点の値は、隣接する2点の値の和に等しい
を満たす。このとき、以下の問に答えよ。
(1) のとき、の値を求めよ。
(2) とおくとき、abで表せ。ただし、とする。
(3) 条件()をみたし、かつとなるが存在するのはmがどのような自然数のときか。mが満たすべき必要十分条件を求め、その理由を簡単に述べよ。

解答 6項ごとに繰り返される数列であることを見破ればよい、という問題です。

(1)
これらを連立して解くと、
......[]

(2) 条件()は、以下のように立式できます。
() ・・・①

これより、のときには、
() ・・・②

②においてとして、
②においてとして、 ......[]

この設問の解答としては、これで終わりですが、(3)のためにもう少し調べます。


より、
上記のように、
②においてとして、
②においてとして、

これで、数列は、
ab
6個の数が繰り返されつつ、最後の1組が、ちょうど末尾のところか、あるいは途中で切れるような数列だとわかります。

(3) 数列6個の数が繰り返される数列だということは、項数m6の倍数であれば、にできそうです。
(k:自然数)のとき、となりますが、
例えば、としてみると、
1周回ってきた最後の部分では、
であって、条件()は満たされています。

項数m6の倍数でないとき、は、以外であって、abのどれかです。
以下、k0以上の整数だとして、m6で割った余りで場合分けし、各場合について、①の、
がみたされるようなabはどんな数か、調べます。
のとき、
より、
のとき、
より、
のとき、
より、
のとき、
より、
のよき、
より、

以上より、条件()をみたし、かつとなるが存在するのはm6の倍数のときに限られることがわかります。

求める必要十分条件は、自然数mが「6の倍数であること」 ......[]


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  1. 2008/08/13(水) 19:47:07|
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早大理工数学'05年[1]

早大理工数学'05[1]

4OABCを頂点とする四面体を考える。ただし、とする。以下の問に答えよ。
(1) の面積を求めよ。
(2) の内接円の中心の座標を求めよ。
(3) 四面体OABCの各面に接する球の中心の座標を求めよ。

解答 (1)  (空間ベクトルを参照)
よって、の面積Sは、
......[] (三角形の面積の公式を参照)

(2) に内接する円は、OAOBAB3辺に接するので、求める円の中心をD,半径をrとすると、DOAOBABとの距離はいずれもrです。Dの座標はです。このとき、の面積はの面積の和です。
の面積は
の面積は、それぞれ、,よって、

円の中心の座標は、 ......[]

[
別解] DからOAOBABに下ろした垂線の足を、HIJとすると、です。とおくと、
・・・①, ・・・②, ・・・③
①+②を作り、③を代入すると、

(3) 四面体OABCの各面に接する球は、yz平面,zx平面,xy平面のいずれとも接するので、球の中心をE,半径をrとすると、Eyz平面,zx平面,xy平面との距離はいずれもrです。Eの座標はです。このとき、四面体OABCの体積の和は、四面体EOAB,四面体EOBC,四面体EOAC,四面体EABCの体積の和です。
四面体OABCの体積は、底面のの面積が,高さcの三角錐の体積で、
四面体EOABの体積は、底面のの面積が,高さrの三角錐の体積で、
四面体EOBCの体積は、底面のの面積が,高さrの三角錐の体積で、
四面体EOACの体積は、底面のの面積が,高さrの三角錐の体積で、
四面体EABCの体積は、底面のの面積が(1)より,高さrの三角錐の体積で、
よって、


球の中心の座標は、
......[]

(2)を次のように考えることもできます。
xy平面上において、2ABを通る直線は、と表せます。abをかけて、
円の中心と直線ABとの距離はrです。点と直線の距離の公式を利用して、
・・・④
④の絶対値記号の内側は負です。なぜなら、なので、点と原点はともに、直線ABの下側にあって、同じ側にあるからです。よって、

同様にして(3)も次のように考えることができます。
xyz空間において、3ABCを通過する平面pは、と表せます。abcをかけて、
球の中心と平面pとの距離は、点と平面との距離の公式(点と直線の距離の公式を参照)を利用して、
なので、点と原点が平面pに関して同じ側にあることを考えると、絶対値記号内は負です。よって、

追記:(2)(3)は半径を聞けばいいだろうにね!解答が1行に入りきらないので乞了承。


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