FC2ブログ

CHALLENGE from the VOID

大学入試問題を考える - 数学・物理 -

CFV21 ご入会のおすすめ
理工系受験生の方は
こちらをご覧ください
当会の活動にご支援頂ける方は
こちらをご覧ください

センター試験「数学」の必勝法はこちら
センター試験「物理」の必勝法はこちら

理工系受験生必見!! 2010-2007入試問題検討ページ(東大・東工大・京大・早慶) 
CFV21での学習の進め方

京大物理'02年前期[3]

京大物理'02年前期[3]

次の文を読んで、文中の  に適した式または数値を、それぞれの解答欄に記入せよ。  はすでに  で与えられたものと同じものを表す。なお、微小量x ()および実数aに対して成り立つ近似式を用いよ。

音波と電波の両方を同時に用いると、以下のようにしていろいろな高度での音速を測定することができ、測定された音速から大気の温度の高度分布を知ることができる。ここで音速をで表し、電波の速さを真空中の光速c ()と等しいとする。音速は光速cより十分小さいのでは微小量であることに留意せよ。
大気は通常では電波を反射しない。しかし、図
1に示すように音波を発射して大気の密度の増減を引き起こすと、電波を反射する面が音波の波長に等しい間隔でいく重にもあらわれ、地上から発した電波の一部は、これらの面で反射して再び地上に戻ってくる。この反射面の間隔は音波の振動数をとすると ア である。
1に示すように、地上から垂直に上空に向け、振動数の音波を短時間発した。音波を発して時間後に、音波と同じ方向に、やはり短い時間だけ電波を発射したところ、電波を発して時間後に地上に戻ってきた電波が観測された。このことから反射が生じた高度はh イ であることがわかる。
電波に対して音波など一般の波と同じようにドップラー効果を考えることができ、観測者および波源の動く速さが光速より十分に小さいときには、ドップラー効果の関係式は音波の場合と同じになる。よって、音速
で上昇する仮想的な観測者には電波の振動数は発射した電波の振動数fからずれてみえ、と表される。ここで、振動数のずれ ウ となる。したがって、反射してきた電波を地上で測定すると、その振動数はと表すことができる。ここで、振動数のずれ エ となり、これより高度hにおける音速を知ることができる。
このような観測では地上に戻る電波が強いことが望ましい。そこで発射する電波の振動数
fを変えて繰り返し発射し、反射してくる電波の強度を観測した、その結果、電波の強度は振動数fとともに大きく変化し、のときに最大になった。その理由を考えてみよう。電波の速さは音速で上昇する観測者に対しても光速cに等しいので、振動数fで発射した電波に対して、この観測者が見る波長はl オ となる。したがって、異なった反射面で反射される波が互いに強め合う条件は、自然数nを用いてl カ となる。この関係式においてとおくと、音速は電波の振動数を用いて キ と表すことができる。ただし、は微小量なのでを含む項は無視せよ。
音速は高度とともに変化する大気圧には直接依存せず、大気を構成している分子の速さの平均
(二乗平均速度)で近似的に与えられることがわかっているので、音速は絶対温度T ク 乗に比例することになる。したがって、いろいろな高度で音速を測定すれば、それぞれの高度における大気の温度を知ることができる。例えば、ある観測の結果、であったとすると、 エ で与えられることを用いて、電波が反射された高度での音速は ケ m/s,温度は コ となる。それぞれ有効数字3桁および2桁で答えよ。ここで、音速はにおいてであるとして計算せよ。

解答 () 反射面の間隔は、音波の波長です。
よって、 ......[] (波の公式を参照)

() 電波は光速cで、時間の間に距離hを往復するから、
......[]

() 観測者が速さで遠ざかります。ドップラー効果の公式より、観測される振動数は、
......[]

() 反射面にいる振動数の波源が速さで遠ざかります。ドップラー効果の公式より、


......[]

() 速さで電波源から遠ざかる観測者の観測する振動数であって、電波の速さcだから、この観測者が観測する電波の波長は、
......[]

() 「異なった反射面」と問題文にありますが、自然数は1nしか出てこないので、「隣接した反射面」として考えます。
隣接した反射面の距離()よりで、隣接する反射面で反射する2つの電波の経路差はこの2倍になります。経路差波長の整数倍のときに強め合うので、nを整数として、
 (波の干渉を参照)
......[]

() ()()の結果より、
ここで、として、
分母を払って整理すると、
......[]

() 大気構成分子の質量m速さ2乗の平均値をとします。より、
 (気体分子運動論を参照)
従って、音速絶対温度 ......[] に比例します。

() ()の結果を用いて、
......[]

() ・・・①
のとき、絶対温度,このときの音速330m/sだから、
・・・②
①÷②として、

求める温度は、 ......[]


TOPに戻る   CFV21 メイン・ページ   考察のぺージ

(C)2005, 2006,2007, 2008 (有)りるらるNewton e-Learning
 雑誌「大学への数学」購入
スポンサーサイト



テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2008/08/09(土) 13:33:16|
  2. 京大物理
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:0

京大物理'02年前期[2]

京大物理'02年前期[2]

次の文ABを読んで、  に適した式をそれぞれの解答欄に記入せよ。なお、単位系は国際単位系(SI)を用い、すべての装置は真空中に置かれているものとして、真空の透磁率をとする。

A.図1および図2に示すように、水平面上にある十分に長い直線導体Pに直線電流Iが流れている。2本の直線導体Qおよびが導体Pを含む水平面内にあり、導体Pから距離xの位置において導体Qの間隔がxに等しくなるように配置されている。これら2本の導体の上に、質量mの直線導体Kがおかれていて、導体Pと平行のままx方向に摩擦なしに動くことができる。

(1) 1に示すように、導体Kを一定速度vx方向に運動させる。導体Kに達したとき、導体Kの位置における磁束密度の大きさは あ で与えられ、導体Kが導体Qおよび導体と接触する2つの点、cの間に発生する起電力は い となる。

(2) 2に示すように、導体Kが位置に静止した状態で、導体Qと導体の間に抵抗Rを介して起電力Eの電池を接続し、ループ回路を構成する。ただし、導体の抵抗は抵抗Rに比べて十分小さく、また、ループ回路を流れる電流が作る磁界は直線電流Iが作る磁界に比べて十分小さく、いずれも無視できるものとする。このとき、導体Kには大きさ う の力が働き、x方向に動き始める。に達したときに導体Kの速度がvであったとすると、そのとき導体Kを流れる電流は え であり、導体Kの加速度は お と表される。そして十分長い時間がたつと、導体Kの速度は一定値 か に近づいていく。

B.図3に示すように、2本の十分長い直線導体Pおよびy軸に平行におよびの位置に並んでいて、いずれにもy軸の正の方向の直線電流Iが流れている。これらの導体と同じ平面内にx軸に平行な2本の直線導体Qおよびが間隔hで並んでいて、導体Qと導体の上にはy軸に平行のまま摩擦なしにx軸に沿って動くことのできる質量mの直線導体Kがおかれている。ここでx軸,y軸は水平面内にある。導体Qと導体の間には、抵抗RとスイッチSを介して起電力Eの電池が接続されており、はじめはスイッチを開いておく。導体の抵抗は抵抗Rに比べて十分小さく、また、ループ回路を流れる電流が作る磁界は電流Iが作る磁界に比べて十分小さく、いずれも無視できるものとする。

(1) 紙面に対して上向きをz軸の正の方向とすると、位置xにおけるz方向の磁束密度は き で与えられる。導体Kが原点近傍の位置に静止した状態でスイッチSを閉じると、導体Kにはx方向の力 く が働く。距離bdに比べて十分短くが成り立つとき、導体Kに働くx方向の力は け と近似することができる。

(2) 初期位置が原点に十分近く、導体Kが磁界中を動くことによって発生する起電力は電池の起電力Eに比べて無視できると仮定する。このとき、導体Kの近傍において角振動数w こ で単振動する。

(3) 導体Kが磁界中を動くことによって発生する起電力が電池の起電力Eに比べて無視できる条件を求めてみよう。はじめに導体Kの位置で静止していて、スイッチSを閉じた後のまわりで単振動しているとき、導体Kに発生する起電力の最大値は角振動数wを用いて さ と表される。したがって、この起電力が電池の起電力Eに比べて無視できるための条件は、(2)で求めたwの表式を代入することによって、b し と表される。

解答 コの字型回路ならぬハの字型回路の問題です。

A(1)() における磁界は、磁束密度は、 ......[]
磁界の向きは、右ねじの法則により、紙面手前より向こう向きです。

() 導体Qと導体に挟まれた部分で導体K微小時間の間に通過する部分(台形)面積は、
を無視して、
を貫く磁束は、
電磁誘導の法則より、起電力の大きさは、
......[] (問題文に起電力の向きについての指定がないので、大きさを答えておく)
フレミング右手の法則より、運動の方向(親指)x方向、磁界の方向(人差し指)が紙面手前より向こう向きで、起電力の向き(中指)は、の方向です。

(2)() における磁束密度()の結果においてとして、
導体Kが受けるの大きさは、
......[]
フレミング左手の法則より、磁界の方向(人差し指)が紙面手前より向こう向き、導体K電流の方向(中指)y軸負方向で、の方向(親指の方向)x軸正方向です。

() ()の結果より、起電力の大きさは導体Kの移動中に(向きはの向き)で一定です。よって、導体Kを流れる電流は、
......[] (電流正の向きの指定がないので、起電力Eの流す電流を正として答えておく)

() 導体Kx軸方向の加速度aとして、運動方程式
......[]

() はじめなので、ですが、なので次第にvが増大して、となり、
よって、
......[]

B(1)() 位置xP位置との距離位置x位置との距離
P電流位置xに作る磁界z軸正方向を正として、電流位置xに作る磁界は、
位置xにおける磁束密度は、
......[]

() ()の結果においてとして、
導体Kの受けるの向きは、フレミング左手の法則より、磁界の向き(人差し指)z軸正方向、導体Kを通過する電流の向き(中指の向き)y軸負方向で、の向き(親指)x軸負方向なので、x軸方向のの符号を負として、導体Kの受けるは、
......[]

() ()の結果において、により、を無視すると、
......[]

(2)() 導体K位置xにいるときに働くは、()の結果でとしたものになります。
導体Kx方向の加速度b として、運動方程式

これは、角振動数 ......[] 単振動を表します。

(3)() 導体K位置xにいるときの導体K速度v,導体K位置における磁束密度Bとします。 ()の結果でとして、
導体Kに発生する起電力となりますが、ここでは、vBがともに変化するので注意が必要です。
とすると、

これより起電力の最大値は、
......[]

() 起電力の最大値がEに比べて無視できる場合、
両辺を2乗して整理すると、
......[]


TOPに戻る   CFV21 メイン・ページ   考察のぺージ

(C)2005, 2006,2007, 2008 (有)りるらるNewton e-Learning
 雑誌「大学への数学」購入

テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2008/08/09(土) 13:32:08|
  2. 京大物理
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:0

京大物理'02年前期[1]

京大物理'02年前期[1] 京大物理'02年前期[1]

次の文を読んで、  に適した式をそれぞれの解答欄に記入せよ。なお、  はすでに  で与えられたものと同じものを表す。

長さlの質量の無視できるゴムひもの両端に、2つの小球AおよびBがついている。小球AおよびBの直径は無視できるほど十分小さく、質量はいずれもmとし、重力加速度をgとする。また、このゴムひもは、引き伸ばされた状態ではフックの法則に基づく復元力が働くが、細くてやわらかいために、たるんだ状態では小球の運動を妨げないものとする。
 図
1のように、天井のO点に小球Bを固定し、小球Aを静かにつるしたとき、ゴムひもはだけ伸びた。このゴムひもが自然長からxだけ引き伸ばされたとき、ゴムひもにはの復元力が働く。

(1) 小球Aを小球Bと同じ位置Oまで持ち上げ、小球Bを固定したまま小球Aのみをそのまま自由落下させた。このとき、落下する小球Aが到達する最下端の位置は、天井から イ だけ下方となる。小球A イ の位置から、ゴムひもの復元力 ロ によって上昇運動をはじめる。その上昇運動において、小球Aは天井からlの位置を速さ ハ で通過するが、その瞬間に、天井のO点で固定していた小球Bを静かに解放した。その後、小球ABは天井から ニ の位置で衝突するが、小球Bを解放してから衝突するまでに要する時間は ホ である。この衝突が完全非弾性衝突(反発係数)であり、衝突後は完全にひとつの小球として運動する場合に、衝突してからこの小球が天井から鉛直距離でだけ下にある床に落下するまでに要する時間は ヘ である。

(2) 次に、(1)と同様の手順でO点から小球Aを自由落下させ、 ヘ の位置に小球Aが到達した瞬間に、O点で固定していた小球Bを静かに解放した。この解放した瞬間においては、小球ABはゴムひもの復元力 ロ によって、お互いに引き寄せられている。自由落下している仮想的な観測者からこの2つの小球を見ると、どちらの小球にも重力が働かず、ゴムひもの復元力のみにより運動しているように見える。したがって、小球Bを解放した瞬間からゴムひもが自然長lに戻るまでに要する時間は ト であり、その後、小球ABが衝突するまでにはさらに チ だけ時間がかかる。その衝突する位置は天井から リ の位置となる。

解答 (1)() 題意より自然長より長いときのゴムひものばね定数はと考えられます。
Aが到達する最下端の位置が天井からdだけ下方だとします。最下端を重力による位置エネルギーの基準とすると、はじめの力学的エネルギーは、A位置エネルギー,最下端でのA弾性力による位置エネルギーは、ゴムひもの伸びだから、
力学的エネルギー保存より、

題意より、なので、 ......[]
注.ゴムひもなので自然長よりも短くなるときには単振動しませんが、仮にバネだったとして、は、単振動の上側の振動端です。

() このときのゴムひもの伸びは、
ゴムひも復元力は、
......[]

() やはり重力による位置エネルギーの基準を最下端として、最下端での力学的エネルギー弾性力による位置エネルギー,天井からl位置自然長の位置で、弾性力による位置エネルギー0,求める速さvとして運動エネルギー重力による位置エネルギー
力学的エネルギー保存より、
......[]
() ゴムひもが自然長に戻った後、Aは上昇を続け、Bは落下してくるので、ゴムひもは垂んでしまいます。AB重力を受けた等加速度運動になります。衝突するまでの時間tとして、等加速度運動の公式より、At秒後に天井から位置に来ます。Bt秒後に天井から位置に来ます。衝突するときに両者は一致するので、
・・・①
よって、衝突する位置と天井との距離は、
......[]

() 衝突するまでに要する時間は、 ......[]
注,衝突する位置が単振動の振動端よりも上に来るのは不思議な気がするかも知れません。トランポリンで跳躍する状況を思い浮かべながら、右図を参照してください。

() 衝突直前のA速度は、
B速度は、
衝突直後に合体した小球の速度uとして、運動量保存より、


衝突位置と床との距離は、
この距離を自由落下して進む時間として、
......[]

(2)() まず、鉛直下向きを正方向として、AB運動方程式を立ててみます。
Bを解放した後、鉛直下向きにx軸をとり、ABの座標をとすると、ゴムひもの長さ,ゴムひもの伸び,ゴムひもの張力の大きさはです。
Aに働くは、鉛直下向きに重力,鉛直上向きにゴムひもの張力
A加速度として、A運動方程式 ・・・①
Bに働くは、鉛直下向きに重力,鉛直下向きにゴムひもの張力
B加速度として、B運動方程式 ・・・②

BからAの運動を見るとき、A相対位置A相対加速度
①-②より、


これより、BからAを見るとき、振動中心とし、角振動数単振動をすることがわかります。Bが解放されたとき、AB速度0なので、Bが解放されたときが振動端となり、振幅です。・・・()
この単振動の周期Tとすると、
ゴムひもが自然長に戻る瞬間にとなるので、この瞬間は単振動の振動中心です。
Bを解放してから、ゴムひもが自然長に戻るまでの時間周期になるので、求める時間は、
......[]

() BからAを見るとき、()のような単振動をしているので、BからAを見たときの速度の最大値,即ち、ゴムひもが自然長に戻ったときにBから見たA速さは、単振動の公式を用いて、
ゴムひもが自然長に戻った後は、BAを追いかける形になり、ゴムひもは垂んだままで、BからAを見ると、一定の速さ距離lを進んでくるように見えます。よって、ABが衝突するまでの時間は、
.......[]

() 相対運動を考えているのでAB重心に目をつけるのが有効です。ABが衝突するとき、ABと重心の位置が一致します。
Bを解放して以降、重心は自由落下しているだけです。自由落下している時間は、()()の答を加えた時間です。
重心の落下距離は、
Bを解放したとき、重心は天井から距離にあったので、ABが衝突する位置と天井との距離は、
......[]


TOPに戻る   CFV21 メイン・ページ   考察のぺージ

(C)2005, 2006,2007, 2008 (有)りるらるNewton e-Learning
 雑誌「大学への数学」購入

テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2008/08/08(金) 18:05:38|
  2. 京大物理
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:0

京大物理'03年前期[3]

京大物理'03年前期[3]

次の文を読んで、文中の  に適した式または数値を、それぞれの解答欄に記入せよ。  はすでに  で与えられたものと同じものを表す。ただし、プランク定数をh,光速をcとする。

振動数nの光子のエネルギーは ア ,運動量は イ である。真空中で、振動数nのガンマ線の光子が、原点に静止している質量mの粒子1によって散乱されて、光子の振動数はになり、粒子1は一定の速度uで動き始めた。このとき、粒子1の内部エネルギーに変化はなかった。速度uの方向をx軸の正の方向に取ると、図1に示すように、入射光子の方向と散乱光子の方向のなす角度はであり、入射光子の方向と粒子1の速度uのなす角度はjであった。ここでjより少し小さい角度とする。入射光子の方向の運動量の保存則から イ = ウ となる。また、散乱光子の方向の運動量の保存則からも同様の式が得られ、エネルギー保存則も成り立つ。その結果、粒子1の速度u,入射光子の振動数nと散乱光子の振動数は、jmchを用いて表すと、それぞれ、u エ n オ  カ と書けることがわかる。
以下の問題で粒子
1の速度が必要になったときはuのままでよい。図1に示すようにに質量mの粒子2が静止していた。時刻に粒子1は粒子2と衝突して、両粒子は合体して動き出した。合体した粒子を粒子3と呼ぶ。粒子3の速度は粒子1の速度uを使って表すと キ であり、衝突の結果、内部エネルギー ク が発生した。粒子3は時刻から一定速度で動きながら、この内部エネルギーを使って、赤外線を大量に四方八方に連続的に放射し始めた。この放射は時刻には完全に停止した。図1に示すように、地点で静止していた観測者Aが、粒子3からの放射を計測していた。時刻と時刻に粒子3からAに向けて放射された赤外線は、それぞれ時刻 ケ と時刻 コ Aに達する。したがって、観測者Aが粒子3からの赤外線の放射を受光していた時間間隔は サ となる。
なお、赤外線は電磁波の一種であり、放射体の速度によらず、真空中を光速
cで進む。また粒子3は、原点と観測者Aの間にあるとする。

解答 () 振動数nの光子のエネルギーは、 ......[]

() 振動数nの光子の運動量は、 ......[]

() 入射光子の方向の運動量保存より、
......[] ・・・①

() 散乱光子の方向の運動量保存より、
・・・②
エネルギー保存より、
・・・③
①,②より、
③に代入すると、

より、 ......[] (より)

() ①より、 ......[]

() ②より、 ......[]

() 合体後の粒子3速度wとして、運動量保存より、
......[] ・・・④

() 求める内部エネルギーUとして、エネルギー保存より、
④より、
......[]

() 時刻に出た赤外線は、距離D光速cで進むのに時間を要するから、観測者Aに到達する時刻は、
......[]

() 時間Tで粒子3進みます。時刻に出た赤外線は、距離光速cで進むのに時間を要するから、観測者Aに到達する時刻は、
......[]

() 観測者Aが粒子3からの赤外線の放射を受光していた時間間隔は、()の答から()の答を引いて、
......[]


TOPに戻る   CFV21 メイン・ページ   考察のぺージ

(C)2005, 2006,2007, 2008 (有)りるらるNewton e-Learning
 雑誌「大学への数学」購入

テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2008/08/05(火) 08:30:03|
  2. 京大物理
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:0

京大物理'03年前期[2]

京大物理'03年前期[2]

次の文をよく読んで、  に適した式または数値を、それぞれの解答欄に記入せよ。なお、を満たす任意の微小量xyに対してを用いてよい。

(1) 圧力Pの気体の体積Vが微小体積だけ増加したとき、気体がされた仕事は い である。このとき気体の内部エネルギーがだけ増加すると同時に熱量Qが気体に流れ込む。この熱量Qは熱力学第1法則を考慮すると ろ と表される。

(2) モル比熱とは1molの気体の温度を1K上昇させるのに必要な熱量である。圧力P,体積V,温度T1molの理想気体は状態方程式を満たす。ただし、Rは気体定数である。この気体を圧力を一定に保った状態で、体積、温度をそれぞれだけ変化させると、 は という関係式が成り立つ。したがって、定圧モル比熱と定積モル比熱の差は に となる。

(3) 1molの理想気体の圧力、体積、温度をそれぞれPVTからに断熱的に微小変化させてみる。このときを比熱比を用いて表すと ほ である。次に状態方程式を考慮して、PTを用いて表すと へ となるので、 と と書ける。

(4) 今までの議論を踏まえて、地表近くの空気の温度低下率について考えてみよう。地表から10km位までの空気の層は対流圏と呼ばれ、空気の塊が重力加速度gを受けながらゆっくりと上昇または下降する。今、空気を断熱変化をする理想気体とみなし上昇している空気の塊に着目する。密度r の空気の塊が高さだけ上昇すると、圧力はだけ変化する。またr 1molあたりの空気の質量Mおよび、PTRを用いて ち と表されるので、圧力の変化率は り という関係を満たす。以上のことから、温度変化率をMggRを用いて表すと、 ぬ となる。

解答 上空の温度低下率を求めるという問題ですが、後半は誘導通りに式変形するだけです。なお、理想気体を参照してください。

(1)() 圧力Pの気体の体積V微小体積だけ増加したとき、気体がされた仕事は、 ......[] (気体が「した」仕事、「された」仕事に注意してください。なお、気体のした仕事を参照)

() 熱力学第1法則より、
......[] ・・・①

(2)() 状態方程式 ・・・②
定圧変化後の状態方程式 ・・・③
③-②より、 ・・・④
......[]

() 1molの気体の定圧変化では、 (モル比熱を参照)
また、 (内部エネルギーを参照)と①より、
さらに④より、
......[] ・・・⑤

(3)() 断熱変化なので、①において、より、
②より、
⑤より、
で割ると、
より、
......[] ・・・⑥

() 断熱変化後の状態方程式 ・・・⑤
両辺をで割ると、
問題文中の近似式を用いて、
......[] ・・・⑦

() ⑥,⑦より、
 ・・・⑧
......[]

(4)() ②より、 ......[]

() より、

......[]

() ()の結果を⑧に代入して、
......[]


TOPに戻る   CFV21 メイン・ページ   考察のぺージ

(C)2005, 2006,2007, 2008 (有)りるらるNewton e-Learning
 雑誌「大学への数学」購入

テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2008/08/04(月) 11:13:46|
  2. 京大物理
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:0
次のページ