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京大理系数学'99年後期[6]

京大理系数学'99年後期[6]

(1) で連続な関数とする。このとき、
 
となるcが存在することを示せ。
(2) の部分とおよびy軸が囲む図形を、y軸のまわりに回転して得られる立体を考える。この立体をy軸に垂直な個の平面によって各部分の体積が等しくなるようにn個に分割するとき、に最も近い平面のy座標をとする。このとき、を求めよ。

解答 (1)は積分の平均値の定理です。(2)は、一筋縄ではいきません。解答に幾重にも工夫が必要です。

(1) ()とおきます。
において連続であって、において微分可能で、
となるcが存在します。
よって、
となるcが存在します。

(2) の部分とおよびy軸が囲む図形を、y軸のまわりに回転して得られる立体の体積Vは、
ではxyで表すことができないので、により置換積分を行います。
より、
yのときx

 (円筒分割の考え方を用いて直接この式を書くこともできます。y軸のまわりの回転体を参照)

 ・・・①
題意より、
 ・・・②
ここで、として(1)を用い、
 ・・・③
としたいのですが、の具体的な形が書けないので困ります。ですが、なので、
と書くことはできます。
()とおけば、
となります。
こうして③を、
と書き直すことができます。②を用いて、
 ・・・④
このままでは、のときにq がどうなるかわからないので、を用いてはさみうちの形を作ります。④をq について解き、
 ()
ここでとすると、はさみうちの原理より、
より、


......[]


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  1. 2009/02/13(金) 10:06:45|
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京大理系数学'99年前期[5]

京大理系数学'99年前期[5]

以下の問いに答えよ。ただし、が無理数であることは使ってよい。
(1) 有理数pqrについて、ならば、であることを示せ。
(2) 実数係数の2次式
について、のいずれかは無理数であることを示せ。

解答 難関大学でよく見かける、背理法を用いる論証の問題です。
(2)では、abが「実数」となっていることに注意しましょう。ABが実数の場合には、
とは言えないので注意してください。

まず、命題
()
が無理数のとき、有理数ABが、
を満たすとき、
が成り立つことを証明しておきます。
と仮定すると、

となり、右辺は有理数で、無理数と有理数が等しいという不合理が起きます。よって、であり、ならです。

(1)  ・・・①
2乗して、

は有理数なので、命題()により、
よって、pqのどちらかは0です。
(i) のとき、
①より、
をかけて、
rは有理数なので、命題()により、
つまり、です。
(ii) のとき、
①より、
qrは有理数なので、命題()により、
以上より、有理数pqrについて、ならば、

(2) がすべて有理数であると仮定します。cdeを有理数として、
 ・・・②

 ・・・③
 ・・・④
実数abを残していると、命題(),あるいは、(1)の結果が利用できないので、abcdeで表すことを考えます。そのために、②と④をabに関する連立方程式と見て解きます。
④-②より、
 (分母を有理化した)
②より、
これらを③に代入すると、


をかけて、
(1)の結果を使うと、は有理数なので、
これより、
かつ
という矛盾が起きます。
よって、がすべて有理数である、とした仮定は誤りで、
のいずれかは無理数です。


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  1. 2009/02/10(火) 12:32:33|
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京大理系数学'01年後期[5]

京大理系数学'01年後期[5]

行列および実数xに対し、行列を用いて表されたxyに関する2つの連立1次方程式
(i) (ii)
について、次の条件()を考える。
() 方程式(i)には解が存在して、方程式(ii)には解が存在しない。
このとき、次の問いに答えよ。
(1) 条件()が成り立つとき、は、いずれもの実数倍であることを示せ。
(2) 条件()をみたす2つの連立方程式を作ることができるためのsの条件を求めよ。

解答 xyを未知数,pqを与えられた定数として、2次の正方行列を用いて表される連立方程式
 ・・・①
即ち、
を考えます。
であればが存在するので、①両辺の左からをかけて、

これが連立方程式①の解を与えます。即ち、であれば連立方程式①は解をもちます。
のときには、

・②の表す直線と③の表す直線が同一の直線であるか、または、どちらか一方のみが直線を表す場合、即ち、,または、となる実数kが存在する場合には、abのいずれか一方が0でなければ直線上のすべての点、または、であれば直線上のすべての点の座標が連立方程式の解になりますが、いずれにしても解が無数にあって1つに決まらないので、「不定」と言います。
・②の表す直線と③の表す直線が平行で異なる直線である場合、連立方程式は解をもちません。この場合を、「不能」と言います。
本問は、方程式(ii)に解がない、不能である、と言っているので、ですが、方程式(i)には解が存在するので、方程式(i)は不定であることになります。

(1) 方程式(ii)に解が存在しないのでは存在せず、
 ・・・④
④にもかかわらず、連立方程式(i)
が解をもつので、⑤と⑥は同一の直線を表す方程式になるか、または、どちらか一方のみが直線を表します。
(i) ⑤が直線を表さないとき、

(ii) ⑥が直線を表さないとき、

(iii) ⑤と⑥が同一の直線を表すとき、
のとき、④よりですが、⑤と⑥が同一の直線を表すために、
ここでとするとになってしまうのでより、,よって、

のとき、⑤と⑥が同一の直線を表すために、
また、を満たす実数kが存在します。よって、

以上より、は、いずれもの実数倍です。

(2) (1)より、khを実数として、
とおけます。のときには、連立方程式を作ることができないので、khのどちらか一方は0ではありません。
連立方程式
(i)は、
このとき、(i)は、(⑦が直線を表さない)(⑧が直線を表さない)の場合も含めて、
を満たすを解にもちます。
連立方程式
(ii)は、
これが解をもたないということは、⑨のあらわす直線と⑩の表す直線が平行で異なる直線だということです。⑨より、ということはありえません。⑨にをかけた式と⑩が異なる直線を表すための条件は、
よって、条件()をみたす2つの連立方程式を作ることができるためのsの条件は、
......[]


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  1. 2009/01/28(水) 18:48:41|
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京大理系数学'96年前期[5]

京大理系数学'96年前期[5]

xy平面上の正三角形△ABCを考える。△ABCの重心は原点Oにあり、ベクトルの長さは1とする。△ABCの内部または辺上の点に対し、3頂点ABCから1点を等確率で選び、この頂点との中点をとする。次に点に対して同様の操作を行い得られた点をとし、以下この操作を繰り返して、点,・・・,を作る。ベクトルの長さの2の期待値をとおく。
(1) をベクトルの長さを用いて表せ。
(2) 選んだ頂点が,・・・,のとき、ベクトルをベクトルを用いて表せ。
(3) が原点Oのときを求めよ。

解答 現行数学Aの確率では範囲外になっていますが、「和の期待値は期待値の和」という技巧が功を奏する問題です。

まず、「和の期待値は期待値の和」を証明しておきます。
変数
Xn通りの値 ()をとり、変数Ym通りの値 ()をとるとします。
また、事象が起こる確率,事象が起こる確率とします。

XY期待値は、
です。ここで、abを定数として、の期待値を考えてみます。のとりうる値は、 ()です。
事象となる確率は、となる
ijのすべての組み合わせについて、を加え合わせたものです。この和を
と書くことにします。ijが、を動くとき、がとり得る値を,・・・, (互いに相異なる)とします。
()として、事象と,事象とは、排反です。従って、の期待値を求めるために、のとりうる値すべてについての和をとると、
 (がとりうる値すべてにわたって和をとると、Xのとりうる値、Yのとりうる値のすべてにわたって和をとることになります。しかも、排反なので、重複はできません)


 (です)

これを繰り返し使えば、n個の変数がある場合でも、,・・・,を定数として、
 ・・・()

本問に戻ります。

題意より、

 ・・・① (ベクトルの内分・外分を参照)
 ・・・②
(1) 3頂点ABCから1点を選ぶとき、
(i) Aを選ぶと、
 (内積を参照)
 ( )
(ii) Bを選ぶと、
 ( )
(iii) Cを選ぶと、
 ( )
よって、

......[] ( )

(2)

・・・・・・
として、
よって、帰納的に、
......[]

(3) (2)の結果において、が原点Oのとき、より、

 (ここで、は、kを、jを除いて1からnまで動かしたときの和を表すことにします)
ここで、上記の()を使います。「和の期待値は期待値の和」より、
の期待値をの期待値をとして、
 ・・・③
ここで、は、の確率でをとることから、
 ( )
は、の確率でをとり、これと独立に、の確率でをとることから、
 ( ①,)
よって、③より、
 (等比数列を参照)
......[]


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  1. 2009/01/23(金) 16:31:54|
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京大理系数学'08年前期[6]

京大理系数学'02年前期[6]

とし、aは正の数とする。複素数平面上の点,・・・ をつぎの条件(i)(ii)を満たすように定める。
(i) , 
(ii) のとき、点を原点のまわりに回転すると点に一致する。
このとき点 ()が点と一致するようなnが存在するための必要十分条件は、q が有理数であることを示せ。

解答 この問題は、複素数平面を想定しているので、現行課程では範囲外の問題です。有理数については、実数を参照してください。

とおきます(極形式を参照)
(ii)より、
これより(i)を用いて、

と一致するとき、
・・・①
よって、
ド・モアブルの定理により、

これは、mを自然数として、,つまり、のときに満たされます。
従って、
は有理数です。

逆に、
q を満たす有理数で、適当な自然数pqを用いて、と表せたとします。
このとき、
とすれば、より、
となり、①が満たされるので、となります。

よって、
となるnが存在するための必要十分条件は、“q が有理数であること”、です。


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  1. 2008/08/07(木) 10:14:53|
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