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京大物理'05年前期[3]

京大物理'05年前期[3]

次の文を読んで、  に適した式をそれぞれ記せ。文末の問1では指示された条件のグラフを、問2では{  }から正しいものを選んでその番号を、問3では適切な文章を、それぞれ記せ。
1のように、鉛直軸方向に滑らかに動く質量Mのピストン板と固定された底板からなるシリンダーの中に、誘電率がeの理想気体がnモル(mol)封入されている。両板はともに熱の伝導性がよいため、シリンダー内の気体は常に外気と同じ絶対温度Tに保たれるとする。また、両板はともに面積Aの円盤状の導体で、回路につないでスイッチSを閉じることにより、両板間に電圧Vをかけることができる。ただし、シリンダーの側面とハンドルは絶縁体でできているとする。ハンドルの質量とeの気体密度依存性は無視できるものとし、重力加速度をg,外気の圧力をP,気体定数をRとする。また、両極板間の距離をzとし、力や電界の向きに関しては、鉛直上向きを正の方向とする。
(1) まず、スイッチSが開いた状態で、ピストン板と底板はそれぞれQ ()の電荷を帯びているものとする。これらの電荷は両板の互いに向かい合っている面のみに、それぞれ一様な面密度で分布している。また両板の面積はともにじゅうぶんに大きいため、これらの電荷により両板間につくられる電界は、場所によらず一定の値 あ である。このときピストン板は、底板上の電荷がつくる電界が及ぼす引力を受ける。 あ が、ピストン板上の電荷がつくる電界と底板上の電荷がつくる電界との和であることを注意すると、ピストン板にはたらく静電気力が い であることがわかる。
(2) 次に、ピストン板を静止させたままスイッチSを閉じて、両極板間に一定の直流電圧Vをかけた。そして、ピストン板を手で支えながらゆっくり移動させ、両板間の体積がの位置で静止させたとする。時間が経過して電荷の移動がなくなった状態において、ピストン板を静止させておくのに必要な力をとする。このは、Vを用いて う と表される。 う の式から、Vがある閾値(しきいち) え より小さければ、 ()2か所でゼロになる。つまり、これらの2か所においては、支えていた手を離してもピストン板はその場に静止したままである。両板が全く帯電していないときにがゼロとなる位置を お とすると、を用いてそれぞれ か  き と表される。
1 の場合のの概形を描け。ただし、の位置、及びよりじゅうぶんに大きいzにおけるの漸近線を図中において明示せよ。
2 の場合に、,あるいはからずれたところでピストン板を支えていた手を離したとする。手を離した位置が(A) (B) (C) ,という3つの場合において、離した直後のピストン板のふるまいは{① 鉛直下向きに移動する,② 静止したまま,③ 鉛直上向きに移動する}のいずれであるのか、それぞれ該当する番号を選択して答えよ。
3 一方、の場合にはピストン板から手を離すと、ピストン板はどのようにふるまうか、簡潔に説明せよ。

解答 2次方程式コンデンサーと気体の融合問題です。極板間電圧よりも大きくなるとクーロン力が支配的になり、よりも小さいと気体の圧力の影響が出てくる、という違いを意識しながら考えましょう。

(1)() 電界は両板間にのみ存在し、ピストン板の上側には電界は存在しません。ガウスの法則を適用するために、ピストン板をぴったり覆う閉曲面を考えると、ピストン板の上側からの寄与はなく、両板間の電界の大きさをEだとして、ガウスの法則より、

電界の向きは鉛直下向きで、両板間の電界は、 ......[]
注.ピストン板の電荷から上下方向に電気力線が延びると考えると、ピストン板の電荷が周囲に作る電界として、ピストン板をぴったり覆う閉曲面の面積は上下でなので、ガウスの法則は、となり、です。極板間には、底板の電荷Qもピストン板が作る電界と同じ向きに同じ大きさ電界を作るので、両電界を合わせて、大きさ電界ができることになります。ピストン板の上側では、ピストン板の電荷が作る電界と底板の電荷の作る電界が、等大逆向きとなるため、打ち消し合って、電界0になります。
() 底板の電荷がピストン位置に作る電界が、ピストン板の電荷Qに及ぼすを考えることにより、ピストン板に働く静電気力は、 ......[] (両板には異符号の電荷がいるので、この間に引力が働きます)

(2)() ピストン板と底板で形成されるコンデンサーの静電容量は、,両板に蓄えられる電荷は、です。ピストン板に働くは、手で支える電気力,鉛直下向きの外気による,ピストン板に働く重力,シリンダー内の気体が鉛直上向きに及ぼすです。
これらの力のつり合いより、
・・・①
シリンダー内の気体の状態方程式
を①に代入することにより、
......[] ・・・②
() のとき、となる位置が2カ所存在するために、に関する2次方程式と見て、この2次方程式が相異なる2実数解を持てばよいから、
判別式:


よって、求める閾値は、 ......[] ・・・③
() ,つまり、両板が帯電していないとき、②より、
とすると、
......[]
()() で割り、をかけると、
・・・④
zの係数は、
・・・⑤
です。⑤÷③として、nRTを消去すると、

⑤とこれを④に代入すると、

より、
......[]

1 
などとして、などとしてを計算してみるとよいでしょう。グラフは右図のようになります。

2 (A) のとき、ピストンを支えるだから、手を離してこのがなくなれば鉛直下向きに移動します。よって① ......[]
(B) のとき、だから、手を離せば鉛直上向きに移動します。よって③ ......[]
(C) のとき、だから、手を離せば鉛直下向きに移動します。よって① ......[]

3 の場合には、2次方程式:の判別式:となり、2次方程式が実数解を持たなくなります。
このときは、すべてのに対して、となり、どこで手を離しても鉛直下向きに移動します。


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  1. 2008/07/29(火) 12:29:15|
  2. 京大物理'05年
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京大物理'05年前期[2]

京大物理'05年前期[2]

次の文を読んで、  に適した式をそれぞれ記せ。また、文中に挿入された問1についてはグラフを描け。
1のように、水平に間隔lで平行に置かれた2本のじゅうぶんに長いレールの上に質量mの導体棒が乗っている。レールは導体でできており、その太さはlに比べてじゅうぶん小さいとする。2本のレールにはそれぞれ端子1a1bが取り付けられている。導体棒は常にレールと直交し、レールと平行な方向にのみ滑らかに動くことができ、摩擦は無視できるものとする。導体棒の速度vは右向きを正とする。2本のレール間には、常に鉛直上向きに一様な磁束密度Bの磁界がかけられているとし、レールや導体棒を流れる電流によって生じる磁界は無視するものとする。導体棒上に示した→は、導体棒を流れる電流の正の向きを表す。以下では抵抗と明示したもの以外の電気抵抗は無視できるものとする。
(1) この系を、端子1a1bをもつ回路素子と見たときのはたらきについて調べよう。まず、この回路素子に電流が流れる様子を微視的な視点から考察する。レール上に置かれた導体棒中に電荷qを持った1つの荷電粒子が一定の速度uで手前から奥に向かって移動する状況を仮想的に考える。ただし、導体棒の速度vuに比べて無視できるものとする。このとき電荷は磁場からレールと平行右向きに イ の力を受ける。電荷が手前側のレールとの接点から出発してもう一方のレールとの接点に到達する間に、導体棒がこの荷電粒子を通じて受ける力積は ロ である。この答えからわかるように、導体棒が受ける力積は電荷の移動速度によらない。したがって、他の外力がはたらかない状況で、静止している導体棒が速度vまで加速されたならば、その間に導体棒を流れた電荷の総量は、 ハ で与えられる。また、このとき導体棒が磁界中を運動していることによって生じる起電力、すなわち、端子1aに対する端子1bの電圧Vvをもちいない表式で
と与えられる。
(2) 次に、図2に示した電気容量Cのコンデンサー、電気抵抗Rの抵抗、起電力がEの直流電源と2つのスイッチabからなる回路の端子2a2bを、図1の端子1a1bにそれぞれつないだ。各スイッチは最初、左側に倒されており、導体棒は静止していた。この状態から、時刻においてスイッチaを右に倒し、直流電源側につないだところ、導体棒の速度vは図3に示すように、次第に増加し、一定値 ホ に近づいた。ここで図3中のは、v0からになるのに要した時間である。導体棒の速度がvのとき、導体棒を流れる電流は、vを用いて ヘ と表される。
1 右図に、このときの、直流電源の仕事率、抵抗における消費電力、および導体棒にはたらく力の仕事率の時間変化のグラフを、それぞれ実線(――),破線(---),点線(・・・・・・)で描け。なお、横軸の目盛は図3と同じものを用い、縦軸の目盛りは、スイッチaを右に倒した直後の直流電源の仕事率が1となるように選べ。また、記号や式など、3つの曲線以外のものは記入しないこと。
(3) 今度は、スイッチbを右側に倒して回路をコンデンサー側につないだ場合を考える。前と同様に、スイッチaは左に倒しておき、導体棒は静止させておく。スイッチaを右に倒すと、導体棒は動き始め、じゅうぶん時間が経過した後に導体棒は等速運動をした。等速運動になった後にコンデンサーに蓄えられている電荷は ト ,導体棒の速度は チ である。
(原問題文は「磁界」と「磁場」が両方とも出てきますが同じものを指すと考えてください)

解答 (1)() 電荷q磁束密度B磁界中を速さuで移動するときに受けるの大きさは、ローレンツ力の公式より、
......[] (の向きは電荷qの移動方向を電流の向きとしてフレミング左手の法則で考えます)
() 電荷が手前のレールとの接点からもう一方のレールとの接点まで移動する時間は、距離l速度uで進むので
導体棒が受ける力積は、
......[] (原問題文に、この力積の値が電荷移動速度uに依存しないことに対して注意するように書かれています)
() 導体棒が静止した状態から速度vになるまでに、導体棒を通過した電荷の総量をQとして、導体棒が受ける力積,一方、導体棒の運動量の変化は、
・・・①
......[]
() 電磁誘導の法則より、磁束密度B磁界中を長さlの導体棒が速さvで通過するときに、導体棒に発生する起電力の大きさは、
①より、 ・・・②
フレミング右手の法則によれば、導体棒の移動方向(右手親指)が右向き、磁界の方向(右手人差し指)が鉛直上向きで、起電力の方向(右手中指)は、導体棒に奥から手前に向かって電流を流す向きです。
レンツの法則によれば、導体棒を右に動かしているので、これを妨げる向き(左向き)が働くような向き、つまり導体棒に奥から手前に向かって電流を流す向きに起電力が生じます。
このとき、端子1aの方が1bよりも高電位になります。
「端子1aに対する端子1b電圧」と問題文にあるときは、端子1bの方が端子1aよりも電位が高いときに正の電圧です。つまりです。よって、

......[]

(2)() 導体棒の速度vだとして、導体棒には端子1a高電位1b低電位になるような起電力が発生します。回路全体での起電力
抵抗Rを流れる電流は、オームの法則よりvを用いて表すと、
......[] ・・・③
() だとして、この電流には右向きのが働くので、導体棒の速度vは増加します。
導体棒の速度が一定値になるとき、導体棒にはが働かず、導体棒には電流が流れません。のときに③を0として、
......[]
1 直流電源の仕事率は、電源電圧E電流より、
 (電力を参照)
抵抗の消費電力は、
導体棒に働く仕事率は、
の間にはという関係があります。つまり、直流電源のする仕事は、抵抗で消費されるジュール熱と導体棒に対する仕事の和に等しくなります。
においては、で、 (これが縦軸の目盛り1になる)
3において、において、になるところがあります。このとき、
において、,このとき、
において、,このとき、
のとき、
よって、右図。実線()が直流電源の仕事率,破線()が抵抗における消費電力,点線()が導体棒に働く力の仕事率です。

(3)() コンデンサーが蓄えている電荷Qとして、充分時間が経過して導体棒が等速運動になったときの速さvとすれば、回路全体の起電力は、②を用いて、
このとき、抵抗Rには電流が流れないので、この起電力は全てコンデンサー両端にかかります。コンデンサーが蓄える電荷Qは、
......[]
() ②に代入して、
......[]


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  1. 2008/07/28(月) 11:31:27|
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京大物理'05年前期[1]

京大物理'05年前期[1]

次の文を読んで、  には適した式を、  には適した数値を、それぞれ記せ。
1のように、水平な地表面上に敷かれたレールを電車が一定の速さVで動いているとする。このレールは、点Qの手前で点Oを中心とした半径Rの円弧状であり、点Qの先では点Qで円弧に接する直線状となっている。レールの幅、電車の幅、長さ、高さはいずれも、Rに比べて非常に小さいとする。以下の(1)(3)では電車は円弧状のレール上を動いているときについて、(4)では電車が直線状のレールを動いているときについて、車内での小物体の運動を考える。ここで、重力加速度の大きさをgとし、小物体の大きさと小物体に対する空気の抵抗はいずれも無視する。
(1) 電車が点Qの手前の円弧状のレール上を走っているとき、図2のように、電車の天井の点Sから、質量の無視できる長さdの糸でつるされた質量mの小物体は、車内の観測者から見て静止していた。なお、図2はこの電車を進行方向から見たところであり、図の左方向が中心Oの方向である。また、点Aは電車が動いていないときの小物体の静止位置である。このとき、車内の観測者には、車内の小物体に大きさ ア の遠心力が働いているように見えるので、糸が鉛直線SAとなす角度q  イ を満たす。また、糸の張力Tと重力との比はq のみを用いて、 ウ と表される。
(2) 小物体が車内の観測者から見て動いているときでも、その速さがVに比べてじゅうぶんに小さければ、短い間に電車の加速度運動が小物体へ及ぼす影響は、大きさ ア の遠心力のみに現れると近似的に考えることができる。以下、この近似を使って考えることにする。この場合、車内の観測者から見て小物体には常に重力と大きさ ア の遠心力の合力が働くので、あたかも重力加速度の方向と大きさが変化したように見える。この見かけの重力加速度の大きさをとすると、gの比はq のみを用いて表すことができて、 エ となる。
(3) 小物体を点Aから、車内の観測者から見て速さuで電車の進行方向に押し出した。この後、小物体は車内の観測者から見て円運動をした。この円運動の半径はdq を用いて表すと オ である。また、速さudq を用いて表すと カ であり、円運動の周期はdq を用いて表すと キ となる。
(4) この小物体が(3)のように円運動をしていて、ちょうど点Aを通過したときに、電車は図1のレール上の点Qを通過し、直線状のレールに速さVのまま移った。この直線状のレール上を走っているとき、車内の観測者が見ると、図3のように、小物体は点Aを中心とする振動をした。この振動において、点Aから測った小物体の最高位置の高さhugを用いて、 ク と表される。したがって、この振動において糸が鉛直線となす最大の角度をqとして、 エ  カ の結果を使って、のみを用いて表すと、 ケ となる。ここで、aq も小さいとしておよびと近似すると、 コ となる。

解答 難問なのですが、誘導に従って考えてゆけばゴールにたどりつけます。(3)u(4)uが結びつけばよいのです。

(1)() 等速円運動している電車の加速度です。電車内の観測者から見て小物体に働く遠心力は、 ......[]
() 右図より、 ......[]
() 張力Tと見かけの重力がつりあうから、 ......[]

(2)() ......[]

(3)() 電車内の観測者から見て、小物体は、Aを通り図2の糸の方向(つりあいのときの方向)と垂直な面内で等速円運動する。
円運動の半径は、 ......[]
() 2の糸の方向での力のつり合いより、
......[]
() 円運動の周期とし、円周の長さを考えて、
......[]

(4)() A位置エネルギーの基準として、Aでは運動エネルギーのみ、最高点では、位置エネルギーのみ。
.......[]
() (2)の結果(3)の結果より、
一方、図3より、
よって、
......[]
() 問題文の近似を行うと、

1 ......[] 

(3)は、「見かけの重力」を重力のように考えて、糸に角度をつけて小物体に速度を与えると考えれば、円錐振り子になっていることがわかると思います。
(4)は、円錐振り子の円の接線方向の速度(等速円運動の速さ)振動中心での速さになることに気づけばよいでしょう。振動を考える必要もなく、力学的エネルギー保存則の式を立てるのみで解決します。


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  1. 2008/07/27(日) 08:48:58|
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