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東工大数学'90年前期[1]

東工大数学'90年前期[1]

xyzwを正数とする。任意の正の整数mnに対して、
が成り立つための必要十分条件を求めよ。

解答 問題を見た瞬間、いったい何をすれば、と、頭を抱え込んでしまいそうな問題です。試験会場でも、最初の数分、呆然と立ち尽くすだけ、あるいは、即座に次の問題に飛んでしまうかも知れません。ですが、入学試験は競争です。何としても、この問題に食い下がろう、と、思うのであれば、まずは、1点でも良いから、得点を上乗せしようという発想に立つべきです。
もちろん、この問題をさておいて無意味なことを書いても、得点できるわけではありません。
この問題を考えるのにつながるようなことで手がかりをつかむ必要があります。

この問題が、なぜ、即座に手がつかないかと言うと、
n乗されているところがあり、展開して二項定理などを使うのでは、話が膨大になってしまうからです。
であれば、まずは、手がつきやすいように、
mnにわかりやすい小さな自然数を代入するところから始めることにします。

mnを代入してみると、与式は両辺ともとなるので成立します。
そうしたら、答案用紙には、この事実だけでも書いておくようにしましょう。当たり前のようなことですが、この問題の正答率が低ければ、もしかすると、
1点くらいはもらえるかも知れません。この1点で当落が分かれてしまうのだとしたら、たかがこれだけのことで大きな1点です。

を代入してみると、与式は、



整理すると、
両辺を2乗すると、

となり、
 ・・・①
という必要条件が出てきます。
ここまで答案に書いておけば、
23点、運が良ければ5点くらい期待できるかも知れません。但し、これだけでは、必要条件というだけで十分性の確認ができていません。つまり、,あるいは、の場合にも成り立つかどうか、確認されていません。一般的な場合についても成り立つのかどうか確認することにします。

逆に、のとき、

のときは、与式は、左辺、右辺とも、となり、与式は成立します。
かつのときは、①よりです。このとき、与式は、左辺、右辺とも、となり、与式は成立します。
かつのときは、①をで割り、とおくと、与式左辺は、
与式右辺は、


となり、与式は成立します。
以上より、求める必要十分条件は、 ......[]

難攻不落の堅牢な城だと思われていた問題が、mnにちょっと数値代入するだけであっけなく解けてしまう、という要領を頭に入れておいて頂きたいと思います。


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  1. 2009/02/24(火) 08:00:19|
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東工大数学'96年前期[4]

東工大数学'96年前期[4]

関数は微分可能で次の()()()をみたすものとする。
() のとき
()  (ただし、)
() 曲線上の点P ()における接線とx軸との交点をQ,法線とx軸との交点をRとしたとき、線分QRの長さは関係式
をみたす。
このとき次の問いに答えよ。
(1) は単調増加で、に対しをみたすことを示せ。
(2) Pが曲線 ()上を動くときの最小値を求めよ。

解答 最近、あまり見かけなくなったのまま考えてゆける問題です。こうした抽象的な雰囲気を毛嫌いする受験生が多いのですが、具体的なの形が与えられているよりも、面倒な計算をしなくてすむ分だけラクな問題と思って頂きたいものです。

(1) Pにおける接線は、
x軸との交点Qとして、

()より、 ・・・①
Pにおける法線は、
 ()
x軸との交点Rとして、

 ・・・②
条件()よりにおいて単調増加で、条件()より
よって、①の
Qx座標について、
②の
Rx座標について、
従って線分
QRの長さは、
条件()より、
よって、
tx ()に書き直して、
 ・・・③
両辺をxで微分すると、
より、 ・・・④
これより、において
単調増加です。・・・⑤
③より、
注.ここで、④より、となり、の具体的な形が求まってしまいます。

は微分可能な関数なので、平均値の定理より、
を満たす実数cが存在します。⑤より、

(2) 条件()より、において、
 (商の微分法を参照)
③,④を用いると、
 ・・・⑥
において単調増加で
ですが、となる
xの範囲に存在するかどうかはわかりません。
であれば、より、となるxの範囲に存在するので、このxaとします。は単調増加なので、においてはにおいては
また、③より、
()
よって、
x0


0


増減表より、において最小値をとります(関数の増減を参照)
のときには、においてとなるので、となるxは存在しません。⑥において、よりとなり、において単調増加。
以上より、の最小値は、のときのとき ......[]


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  1. 2009/02/04(水) 10:45:28|
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東工大数学'95年前期[3]

東工大数学'95年前期[3]

nを自然数とする。
(1) の増減を調べ、グラフの概形を描け。
(2) 楕円と曲線の交点のうちでない方の座標をとおく。このとき、であることを示せ。

解答 (2)では、はさみうちすることは察しがつきますが、はさむものがなかなか見つからないので苦労します。

(1)  ・・・①

よって、単調増加で、より、方程式にただ1つの解aをもちます。即ち、
 ・・・②
また、
増減表は以下のようになります(関数の増減を参照)
x

0


これより、グラフの概形は右図。

(2) 楕円 ・・・③
曲線: ・・・④
③,④を連立して、
即ち、 ・・・⑤
(1)のグラフより、方程式⑤は、の範囲にただ1つの解をもちます。即ち、
 ・・・⑥
ここで、
nの式で表せれば、を考えることができますが、⑥をについて解くことはできません。そこで、の各辺をnで割り、
として、はさみうちにすることを考えます。ですが、②を利用してもanで表すことができません。aよりも大きなものを探しても、を考えることができません。これで暗礁に乗り上げます。そこで、の利用を諦め、⑥に出てくるを使うことを考えます。なので、
 ・・・⑦
これも、このままではにつながりません。なので、⑦よりも大きくなるものを探すことになります。⑦の右辺にはマイナスがついているので、よりも小さなもの、よりも大きなものを探します。より、
が使えそうですが、この右辺がaを含むままではの極限操作が行えないので、さらに②を利用します。

さらに、,つまりを用いて(ここではaよりも小さくなるものを考えていることに注意)


結局、⑦より、
ここで、とすると、右辺は、
よって、はさみうちの原理により、


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  1. 2009/01/30(金) 19:46:29|
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東工大数学'02年前期[4]

東工大数学'02年前期[4]

nを自然数とする。
(1) 次の極限を求めよ。
(2) 関数の極値を与えるxの最小値をとする。このとき
およびを示せ。
(3) (2)に対して、極限
を求めよ。

解答 (1)の②式は階段型関数の技巧を用いて、右図で、
緑線から内側の面積≦赤線から内側の面積≦青線から内側の面積
を考えれば、すぐに得られます。
(2)は、n次方程式については、高次方程式、背理法については証明の技巧を参照してください。

(1) において、より、
・・・①
のとき、において、より、

各辺をについて加え合わせて、
①より、左辺にを加え、中辺と右辺に1を加えても不等式は成り立ちます。
 ・・・② (定積分と面積を参照)
 (不定積分の公式を参照)
より、
各辺をで割って、
のとき、
 (不定形の極限を参照)
従って、はさみうちの原理により、
......[]

(2) 次関数です。次方程式:は、を解にもちます。
また、n次関数で、のグラフを考えると、は、,・・・,の各範囲に極値を1個ずつもつので、n次方程式:は、,・・・,の各範囲に解を1個ずつ、全部でn個もちます。これ以外には、の解はありません。
ということは、関数の極値を与えるxの最小値は、における解であって、
 ・・・⑦
が成り立ちます。

のとき、

⑦より、は、であるような解をもっていて、より、
・・・⑧

ここで、と仮定すると、⑧の左辺について、ですが、⑧の右辺について、であり、,・・・,ですから、⑧の右辺が、
となり、等式⑧が成立し得なくなります。ということは、とした仮定は誤りです。⑦と合わせて、
・・・⑨

(3) ⑨より、
,・・・,
よって、
,・・・,
従って、辺々加えあわせると、
右辺については、

各辺をで割ると、
ここでとすると、(1)より、

よって、はさみうちの原理より、
......[]

東工大は、はさみうちの原理をうまく使うことで極限を求める問題が多いのですが、ちょっと見ると手のつきにくい極限の問題を、より簡単な極限に置き換えて考えてゆく、というのがテーマになっています。難問を難問のまま向き合わないで、より解きやすい形に直して考えようという発想が問われます。本問も雄大な構想を立てるようになっていますが、適宜ヒントに乗ってうまく解ければ、爽快な感じがする問題です。


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  1. 2008/07/17(木) 14:40:06|
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東工大数学'02年前期[3]

東工大数学'02年前期[3]

空間内にある一辺の長さが1の正三角形ABCで、Aの座標がであり、BCz座標が等しいものを考える。点Lにある光源がxy平面上に作るこの正三角形の影の部分の面積の最大値を求めよ。

解答 正三角形ABCz軸のまわりに回転させても、xy平面上にできる影の部分の面積は変わりません。従って、正三角形ABCを回転させて、BCy軸と平行になる位置まで回転させて考えることにします。このとき、BCx座標は一致します。また、BCx座標が正になる位置で考えることにします。
何を変数にとって解くかということを考えなければなりませんが、この問題では、
BCの中点をMとして、
a) BCx座標をtとおく。
b) BCz座標をとおく。とするのは、BCz座標とAz座標との差異をtとおくという意味です。
c) 直線BMxy平面のなす角をq とおく。
などが考えられます。
この問題では、
a)b)c)どれで計算しても微分の計算はかなり大変です。変数の選び方で大きく計算時間に開きが出てしまうということもあるのですが、とりあえず、どれか一つの方針でさっと計算してみて、他の場合で計算するのとどれくらい違いが出るのかを推測してみるしかないでしょう。
実際に計算してみると、
c)は極値を出すのに苦労するので、この問題では不可です。
a)b)では、b)の方が若干ラクです。でも、これは実際に面積を立式してみないとわかりません。イチかバチかの勘がものを言います。
ただし、試験場で
a)b)c)のどれにするかに迷って時間を浪費するのは無意味です。ある程度の遠回りには目をつぶって力づくでやり遂げてしまうという感覚も必要です。
この問題では、
b)でやっても微分計算はかなり面倒なので、もっとよい計算法があるのではと思いたくなるかも知れません。不安ならa)b)c)全ての方法で面積を立式して、最良のものを選ぶのでもよいかも知れません。これくらいのムダを試験場でやるためには、計算速度の向上が必須です。理系諸氏は、展開・因数分解から微積まで、計算練習も綿密に行って頂く必要があります。
どの方法でも、計算の面倒さが違うだけなので、ここでは
b)でやっておきます。

BCの中点Mzx平面上の点で、y座標は0
より、BCy座標はです。
BCz座標をとおくと、正三角形ABCの高さなので、
三平方の定理より、BCx座標は、
よって、BCとして考えます。
直線
LBの方向ベクトル: (直線のベクトル方程式を参照)
直線LB上の点Pについて、より、と書けるので、Pとして、
直線
LBのベクトル方程式:
直線LBxy平面との交点Dにおいては、
 (より)
直線LAz軸に一致するので、xy平面上にできるAの影は原点になります。
Dx座標、y座標をとして、正三角形の影の部分の面積Sは、
とおきます。
です。

増減表は(関数の増減を参照)
t
0
1

影の部分の面積の最大値は、 ......[]

個人的には、こういう問題は、その場の運不運(微分計算の途中でマイナスをつけようと思った瞬間に誰かがクシャミをしてマイナスをつけ忘れた、とか)が点数に大きな影響を与え、点数が実力を反映しなくなるので、入試問題としては不適切ではないかと考えます。恐らく試験結果は計算ミスだらけの惨憺たるもので、正答者もほとんどいなかっただろうと推察します。


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  1. 2008/07/17(木) 14:39:12|
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