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東工大数学'05年前期[4]

東工大数学'05年前期[4]

実数xyを満たしながら変化するとする。
(1) とするとき、点の動く範囲をst平面上に図示せよ。
(2) 負でない定数をとるとき、の最大値、最小値をmを用いて表せ。

解答 2実数の和と積を扱う問題では注意が必要です。この問題でもそうなのですが、st2実数xyの和と積になっているというだけで明示的には現れてこない隠れた条件があります。xyが実数であるという条件は厳しい条件なのです。xyが互いに共役な複素数で虚数のとき、も実数になりますが、xyは実数ではありません。

(1) xyが実数、という条件を扱うために、xy2解とする2次方程式
・・・①
を考えます。2xyは実数なので、①の判別式:
・・・②
この②の条件は、問題文の中で、「・・・のための条件」という風に書かれているわけではないので、2実数の和と積が出てきた段階で、2次方程式の判別式をチェックする必要があることを覚えておかないといけません。

より、
・・・③

②,③の境界線は、
・・・④, ・・・⑤
④,⑤を連立して交点を求めておきます。
,このとき、
よって、④,⑤の交点は、
求める領域は、放物線④から下で、放物線⑤から上です。
図示すると、右図斜線部(境界線を含む)になります。

しつこいですが、③だけでは誤答になります。2次方程式が2実数解をもつ条件:②も満たす必要があります。

(2) とおくと、
は、st平面上で、傾き:()t切片:kの直線lを表します。
(1)で求めた領域内に存在するので、直線l(1)の領域と共有点をもちます。傾き負の直線を(1)のグラフ上でスライドさせてみてください。
(1)の領域は、の範囲に存在するので、直線l(1)の領域と共有点をもつとき、t切片kが最小になるのは、直線lが点を通るときと、放物線②に接する場合とに分けられます。

・直線lが放物線⑤のの部分で接するとき、⑤の導関数:
接線の傾きがになるのは、のときで、より、
このとき、
このkの値が最小値になります。
・直線lを通るとき、
このkの値が最小値になります。

直線l(1)の領域と共有点をもつとき、t切片kが最大になるのは、直線lを通るときです。このとき、

以上より、は、のとき、最大値: .......[]
のとき、のとき、最小値: ......[]
のとき、のとき、最小値: ......[]


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  1. 2008/05/28(水) 19:08:09|
  2. 東工大数学'05年
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東工大数学'05年前期[3]

東工大数学'05年前期[3]

Dを半径1の円盤、Cxy平面の原点を中心とする半径1の円周とする。Dがつぎの条件(a)(b)を共に満たしながらxyz空間内を動くとき、Dが通過する部分の体積を求めよ。
(a) Dの中心はC上にある。
(b) Dが乗っている平面は常にベクトルと直交する。

解答 形状がつかみにくい立体の体積を求める問題では、無理に立体の形状を追求せず、ある軸に垂直な平面で立体を切ってその断面積を考え、断面積を軸に沿って積分します。

この問題では、
z軸に垂直に立体Kを切るのが素朴で取っつきやすいでしょう。
円板の中心が
Pにあるとき、条件(b)より、円板は平面 ・・・① 上にあって、これをzx平面上までy軸と平行に平行移動させると、円: ・・・② になります。

ところで、
Dの通過する部分にできる立体Kxy平面、yz平面、zx平面に関して対称なので、の部分のKの体積を考えて、8倍することにします。

上記
q の範囲で考え、立体Kz軸に垂直な平面()で切ったときの切り口を考えます。
まず、
Pに中心がある円盤Dを平面で切ってみます。
②で
として、
・・・③
これより、切り口は、両端を
とする線分です。この線分の長さは (kにのみ依存し、q には依存しない)で、その中点は、円Cを平面上にまで平行移動させた円周上にあります。結局、円盤Dを平面で切った切り口をxy平面上まで平行移動させると、右図斜線部のようになります。
右図の円弧EIは、円Cの部分です。
③で
とすると、 ( 1象限で考えている)より、,①より、このとき、()
つまり、右図の点Dです。
①で
とすると、,③より、このとき、
つまり、右図の点A,点Jです。
①で
とすると、,③より、このとき、
つまり、右図の点B,点Fです。
斜線部の境界線の弧
ADは、xy平面上の円C上を点Pとなるように動くとき、Px軸負方向にだけ平行移動させた点の描く曲線なので、Cを中心とする半径1の円弧です。同様に、右図の弧FJは円弧EIx軸正方向にだけ平行移動させた曲線で、Hを中心とする半径1の円弧です。
また、
とおくと、
・・・④
断面積、即ち、右図斜線部の面積は、扇形HFJの面積(扇形OEIの面積)、長方形OEFHの面積の和から、xy軸円弧ADで囲まれる面積(扇形CADの面積から三角形CODの面積を除いたもの)を引いたものになります。
扇形
OEIの面積は、半径1の円の面積の,長方形OEFHの面積は,扇形CADの面積は
三角形CODの面積は
・・・⑤
求める体積
Vは、
⑤のj を含む項は、kで積分することができないので、④より、とおいて置換積分します。
kのとき、j
よって、

は、とおくと、より、半径1の円の面積のに等しく、
 (部分積分法による)
は、とおくと、j
......[]


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  1. 2008/05/27(火) 22:15:18|
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東工大数学'05年前期[2]

東工大数学'05年前期[2]

1から6までの目がの確率で出るサイコロを振り、1回目に出る目をa2回目に出る目をb とする。2次式とおきとする。
(1) sおよびtの期待値を求めよ。
(2) abcおよびdの期待値を求めよ。

解答 2回サイコロを振ると、目の出方は通りあります。どの目の出る確率も等しくなので、2回サイコロを振ったときの期待値は、全ての目の出方について和をとってからをかければよいことになります。

(1) 期待値 は、

......[]
(公式:を使っている)

期待値 は、
......[]

(2)


......[
]
......[]
(公式:を使っている)

......[]
......[]


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  1. 2008/05/27(火) 22:14:22|
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東工大数学'05年前期[1]

東工大数学'05年前期[1] 東工大数学'05年前期[1]

eを自然対数の底とし、数列を次式で定義する。
()
(1) のとき、次の漸化式を示せ。
(2) に対しなることを示せ。
(3) のとき、以下の不等式が成立することを示せ。

解答 (1) 定積分で表された数列の漸化式に関する問題です。
このタイプの問題では、普通は部分積分によって漸化式を導きます。
この問題でも部分積分することを考えます。
被積分関数は、と見て、1として部分積分を行います。のとき、


・・・① (という番号が出てくるので、という制限をつける必要があります。)
番号を1つずらして、 ・・・② (の係数がnでなく、となることに注意すること。また、という番号が出てくるので、という制限をつける必要があります)
①-②より、 ()
()

(2) 関数は、において、でのみで、においては,よって、
()

また、においてのみ ()であり、
においてより、

以上より、のとき、

(3) (1)(2)とからに関する関係を作って数学的帰納法というストーリーになるだろうと見当をつけます。
だとすると、
のようになるので、
という形の不等式を作ることを目標にします。
また、 (不定積分の公式を参照)

(1)の結果においてnに置き換えると、
() ・・・③
の関係を調べることになりますが、③のが邪魔になります。
これを消すために、(2)nに置き換えて、,従って、
③に適用すると、
・・・④

④を用いて、数学的帰納法により与不等式を示します。
() のとき、①を用いて、


の大小関係を比べればよいのですが、
1次方程式:を解くと、なので、
を満たす数として、例えば、をもってくると、であって、


よって、のとき、与不等式が成り立ちます。
() のとき、与不等式が成り立つと仮定する。このとき、
が成り立ちます。
④より、
よって、のときも、与不等式が成り立ちます。
()()より、のとき、与不等式が成り立ちます。
注.結局、④を繰り返し用いれば、
となっています。


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