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京大理系数学'06年前期[6](再掲)

京大理系数学'06年前期[6]

として、関数F
   
で定める。q?の範囲を動くとき、Fの最大値を求めよ。

解答 最大値を求めるために、どうせ定積分の計算が必要になります。


 (部分積分法を参照)
とすると、
または
より、
のとき、


の増減表は(関数の増減を参照)
q0
00
0
増減表より、最大値: ......[]

の計算は、
OKです(定積分の微分を参照)


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  1. 2008/07/21(月) 19:54:58|
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京大理系数学'06年前期[5](再掲)

京大理系数学'06年前期[5]

に対し、辺AB上に点Pを、辺BC上に点Qを、辺CA上に点Rを、頂点とは異なるようにとる。この3点がそれぞれの辺上を動くとき、この3点を頂点とする三角形の重心はどのような範囲を動くか図示せよ。

解答 平面ベクトルの問題です。ベクトルの内分・外分平面ベクトルの応用を参照してください。三角形の重心をGとして、2つのベクトルを使って表すことにより重心の存在範囲を考えます。
正答を求めるだけなら簡単ですが、きちんと論証するのはなかなか難しい問題です。

Pは辺AB上の頂点とは異なる点だから、として、
 ・・・①
とおくことができます。
Qは辺BC 上の頂点とは異なる点だから、として、
 ・・・②
とおくことができます。
Rは辺CA上の頂点とは異なる点だから、として、
 ・・・③
とおくことができます。
三角形PQRの重心をGとして、

 ・・・④
とおくと、
 ・・・⑤

さて、klmについて、
 ・・・⑥
という条件がありますが、④の中に登場する、については、
 ・・・⑦
という制限がつきます。
しかし、⑦を満たすようなklmをとって、例えば、としても⑦は満たされますが、
とすると、前者より,後者よりとなってしまって、⑥を満たすようなklmをとることができません(題意を満たす三角形PQRを作ることができない)
つまり、⑦だけでは、条件不足なのです。そこで、
⑦に条件を加えて、この条件が満たされれば、⑥を満たすklmの組が必ず存在するようにします
④で、
を考えるとlが消えてが出てくるので、の取り得る値を考え、⑦に、
という条件を加え、
 ・・・⑧
とします。
⑧を満たすklmをとると、第2式と、第3式から、
となりますが、mを満たすどのような値にしても、⑧の第1式と⑥をすべて満たすような、klをとることができます(⑧の条件を満たすklmの組が1組でも存在すれば題意を満たす三角形PQRを作ることができます)

より、
より、
より、

右図で、辺AB3等分する点をA側から、DHとします。
BC3等分する点をB側から、EIとします。
CA3等分する点をC側から、FJとします。

⑤式で定める点
Gについて、
を満たすのは、より、直線AC上の点。
を満たすのは、より、直線HE上の点。
よって、を満たすのは、直線ACと直線HEに挟まれた部分(両直線上を除く)
を満たすのは、直線AB上の点。
を満たすのは、直線FI上の点。
よって、
を満たすのは、直線ABと直線FIに挟まれた部分(両直線上を除く)
を満たすのは、直線BC上の点。
を満たすのは、直線DI上の点。
よって、
を満たすのは、直線BCと直線DIに挟まれた部分(両直線上を除く)

以上より、求める範囲は、右図斜線部の六角形
DHEIFJの内部(境界線は含まない) ......[]


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  1. 2008/07/20(日) 18:34:30|
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京大理系数学'06年前期[4](再掲)

京大理系数学'06年前期[4]

2以上の自然数nに対し、nがともに素数になるのはの場合に限ることを示せ。

解答 n素数となるものを、を除いて書き並べてみます。
のとき、のとき、のとき、のとき、のとき、
こう書いてみると、がいずれも3の倍数であることに気付きます。を除いて、3の倍数になることを言えば、題意が言えることになります。

のとき、3の倍数であって、素数ではありません。
のとき、は素数です。
となる素数nについて、n3倍数ではないので、kを整数として、とおくと、に限られます。
のとき、

は、3の倍数であって素数ではありません。
のとき、

は、3の倍数であって素数ではありません。

以上より、nがともに素数となるのはの場合に限られます。


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  1. 2008/07/20(日) 18:33:43|
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京大理系数学'06年前期[3](再掲)

京大理系数学'06年前期[3]

関数のグラフは、座標平面で原点に関して点対称である。さらにこのグラフのの部分は、軸がy軸に平行で、点を頂点とし、原点を通る放物線と一致している。このときにおけるこの関数のグラフの接線とこの関数のグラフによって囲まれる図形の面積を求めよ。

解答 の部分は、点を頂点とする放物線だから(2次関数を参照)
 ・・・①
原点を通るから、①において、として、

よって、の部分は、
 ・・・②
のとき、
よって、における接線は、
 ・・・③
の部分は、②と原点に関して点対称な放物線なので、②において、と書き換えて、
 ・・・④
③と④の交点は、③,④を連立して、


このうち、の部分にある交点のx座標は、

題意の図形のうち、の部分の面積は、


の部分の面積は、




よって、求める面積は、
......[]


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京大理系数学'06年前期[2](再掲)

京大理系数学'06年前期[2]

Oを原点とする座標空間の3点をABPとする。線分OPと線分ABが交点を持つような実数tが存在することを示せ。またそのとき、交点の座標を求めよ。

解答 空間ベクトルの問題です。

線分
AB上の点(両端を含めて)を示す位置ベクトルは、sを満たす実数として、
 ・・・①
と表せます。
線分OP上の点(両端を含めて)を示す位置ベクトルは、kを満たす実数として、
 ・・・②
と表されます。
線分OPと線分ABが交点を持つとして、交点は①,②いずれの形にも書けるので、

③+⑤より、 ・・・⑥
④+⑤より、
 ・・・⑦
⑦×
4-⑥×5より、

⑥に代入して、

⑤より、

のとき、③,④,⑤,を満たすskが存在します。
よって、確かに、線分
OPと線分ABが交点を持つような実数tが存在します。
のとき、①より、交点の座標、即ち、位置ベクトルは、
よって、交点の座標は、 ......[]


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  1. 2008/07/20(日) 18:31:37|
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