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東大物理'02年前期[3]

東大物理'02年前期[3]

 図3-1に示すような円筒形の容器が断熱材におおわれ鉛直に置かれている。容器は厚さLの断熱材が詰め込まれた壁でA室,B室二つの部屋に仕切られている。円筒内部の断面積をSA室の高さをLB室の高さをとする。また、容器の上面には大きさの無視できるコックがつけられており、A室とB室の間は容積の無視できる細管でつながれている。また、B室の上方の空間にはヒーターが取り付けられている。最初、図3-1では、コックは開いており、B室に密度rの液体が、底面から高さLのところまで満たされている。A室とB室それぞれの空間には、大気圧と室温に等しい圧力と温度の単原子分子理想気体が満たされている。液体の蒸発、及び気体と液体の間での熱の出入りは無視できるものとする。重力加速度をgとして以下の問に答えよ。

Ⅰ コックは開いたまま、ヒーターのスイッチを入れると、B室内の気体は加熱されて圧力が上がり、液体が細管を伝わってA室に向かい移動をはじめた。A室の底に液面が達した時の状態を図3-2に示す。この間のB室内気体の状態変化は、定積変化として近似できるものとする。
(1) B室の液面の高さでの液体に働く力のつり合いを考えることにより、図3-2の状態でのB室内気体の圧力を、rgLを用いて表せ。
(2) 3-2の状態にいたるまでにヒーターからB室内の気体に加えられた熱量QrgLSを用いて表せ。

Ⅱ 加熱を続けると、液体はさらに移動し、ヒーターのスイッチを切った後、A室内の液面の高さを測定したところ、であった。この状態を図3-3に示す。
(1) 3-3の状態でのB室内の圧力とする。この時のB室内の気体の温度を、aを用いて表せ。
(2) 3-1から図3-3の過程における、B室内の気体の状態の変化を、縦軸を圧力、横軸を体積とするグラフで示せ。
(3) B室内の気体がした仕事Wを、SLaを用いて表せ。

Ⅲ 図3-3の状態でコックを閉じ、容器をおおっていた断熱材を取り除いた。十分時間が経って、中の気体の温度が室温と同じになったとき、A室内の液面の高さを測定したところ、図3-4のようにであった。
(1) 3-4の状態で、A室、B室それぞれにおける気体の圧力を、abを用いて表せ。
(2) aを、brgLを用いて表せ。

解答 難しそうに見えますが、親切な誘導がついているので、最後まで何とかたどりつけるでしょう。途中、Ⅱ(2)などに気づきにくい部分もありますが、バネつきピストンの問題と同じように考えて、PVの関係を求めればよいのです。密度については、浮力も参考にしてください。

(1) 細管の断面積とします。B室の液面の高さから上の部分にある細管内の液体の体積,この部分の液体の質量が受ける重力
B室の液面の高さで、液体が受けるは、A室の気体が押す鉛直下向きの,液体が受ける鉛直下向きの重力,液体下部の液面が押す鉛直上向きのです。これらの力のつり合いより、
......[] ・・・①

(2) 3-1の状態において、B室に気体がnモルあるとして、B室の気体の占有体積だから、
状態方程式 ・・・②
3-2の状態において、B室の気体の温度として、
B室の気体の状態方程式 ・・・③
③÷②より、

定積変化において気体が吸収したの公式: (モル比熱を参照)において、単原子分子理想気体なので
として、
ここで、②を使うと、
ここで、①を使うと、
......[]

(1) B室の気体の体積
3-2における状態方程式 ・・・④
④÷②より、
......[]

(2) B室の液面の高さから上の部分にある細管内の液体の体積 (右図参照),この部分の液体の質量が受ける重力
B室の液面の高さで、液体が受けるは、A室の気体が押す鉛直下向きの,液体が受ける鉛直下向きの重力,液体下部の液面が押す鉛直上向きのです。これらの力のつり合いより、
・・・⑤
B室の気体の体積Vとして、

これを⑤に代入すると、
この式から、図3-2の状態より図3-3の状態まで、B室の気体の変化のpV図は、直線になることがわかります。
よって、図3-1から図3-3の過程における、B室内の気体の状態の変化は、右図。

(3) (2)pV図で、図3-2の状態から図3-3の状態までの変化を表す線分とV軸で挟まれた台形部分の面積が、B室の気体のした仕事になります。
求める仕事 ......[]

(1) コックを閉める前に、A室の気体がモルあったとして、A室の気体の占有体積だから、
状態方程式 ・・・⑥
3-4の状態において、A室の気体の占有体積だから、
状態方程式 ・・・⑦
⑥,⑦より(結局ボイルの法則より)

......[]

3-4の状態において、B室の気体の占有体積だから、状態方程式 ・・・⑧
⑧÷②より、
......[]

(2) 3-4の状態における力のつり合いの式は、⑤式で、としたものです。


(1)の結果を代入して、
で割って、をかけると、
......[]


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  1. 2008/05/19(月) 21:09:28|
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東大物理'02年前期[2]

東大物理'02年前期[2]

 図2-1に示すように、環状の鉄心に巻き数のコイル1と巻き数のコイル2が巻かれている。これらのコイルの電気抵抗は無視できるほど小さく、コイル1は抵抗と任意の電圧Eを発生できる電源に接続され、一方コイル2は抵抗とスイッチSに接続されている。これらのコイルに電流を流したとき、磁束は鉄心内にのみ発生し、鉄心外への漏れは無視できるものとする。そのとき鉄心内の磁束Fと、コイル1の電流およびコイル2の電流との間には、以下の式()が成り立つものとする。
   式()
ここで、磁束Fと電流およびの向きは図中の矢印の向きを正とし、係数kは鉄心の形状や透磁率によって決まる定数とする。
また、微小時間
の間にこの鉄心内の磁束がだけ増加したとき、およびコイル1の電圧との間には以下の式()が成り立つ。
   式()
ここで、電源の電圧E,コイル1の電圧,コイル2の電圧は、それぞれa点、b点、c点を基準としたときの間、間、間の電位差と定義する。
時刻
では、いずれのコイルにも電流は流れていないものとして、以下の問Ⅰ,Ⅱに答えよ。

Ⅰ スイッチSが開いている状態のとき、コイルⅠの電圧が図2-2に示す電圧波形(のとき一定値をとり、その他の時刻では0をとる)となるように、電源の電圧Eを変化させた。
(1) 時刻t のとき、コイル1の電流は正負どちらの向きに増加するか。また、その理由を簡単に述べよ。
(2) 時刻における鉄心内の磁束Fを求めよ。
(3) ()を用いて、時刻におけるコイル1の電流を求めよ。
(4) 以下のそれぞれの場合について電源の電圧Eを求めよ。
(a) 時刻t の場合
(b) 時刻t の場合

Ⅱ 次にスイッチSが閉じられている場合を考える。問Ⅰと同様に、コイル1の電圧が図2-2に示す電圧波形となるように、電源の電圧Eを変化させた。
(1) 時刻における鉄心内の磁束Fを求めよ。
(2) 時刻t のとき、両コイルの両端に発生する電圧の大きさの比、を求めよ。またc点と点とでは、どちらの電位が高くなるかを答えよ。
(3) 時刻t のとき、コイル1の電流を求めよ。

解答 式()では、コイルの電圧起電力の違いに注意してください(自己誘導を参照)電流磁束の正負が指定されているので、コイルの巻き方にも注意してください(電磁誘導の法則電流の作る磁界を参照)

(1) 正の向きに増加する ......[]
[理由] コイルの電圧ということは、電流の負方向に電流を流す向きの起電力がコイル1に発生している、ということです。レンツの法則より、磁界の変化を妨げる向きに起電力が発生するので、電流は正の向きに増加していることになります。
[別解] のとき、コイル1には上向きの磁界が発生し、のとき、コイル2には下向きの磁界が発生し、ともになので、です。式()においてより、ですが、式()において、より、,従って、電流は正の向きに増加します。

(2) ()において、が一定なので、として、
においては電流が流れていないので、式()より、
における磁束は、
......[] ・・・①

(3) ()において、,①より、
......[] ・・・②

(4)(a) では②において、として、
注.こうできるのは、において、が一定で、Ft 1次関数,なので、式()より、t 1次関数になるからです。
コイル1側の回路においてキルヒホッフ第2法則より、 (コイル1電圧bよりも高いときに正で、このとき、電流の正方向にループを回って、コイル1電圧電圧降下です)
......[]

(b) において、より磁束のまま変化しません。
()を用いて、

オームの法則より、 .......[]

(1) コイルの巻き数、時間間隔に変化がなければ、式()より、電圧に影響するものは磁束の変化だけです。従って、スイッチSを閉じても、電圧がⅠと同じなら、もⅠと同じです。
......[] ・・・③

(2) コイル2についても、コイル1と同様に、
・・・④
が成り立ちます。(のとき、磁界の変化を妨げる向きにコイル2にはとなる方向に起電力が発生します。このときです)
()を④で辺々割ると、

.......[] ・・・⑤
においては、なので、点の方がc点よりも電位が高くなります。
......[
]

(3) (2)で触れたように、のとき、です。また、
電流の大きさは、オームの法則により、
より、
・・・⑥
Ⅰと同様に、③においてとして、において、 ・・・⑦
⑥,⑦と式()により、

......[]


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  1. 2008/05/17(土) 20:20:00|
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東大物理'02年前期[1]

東大物理'02年前期[1]

 長さLの不透明な細いパイプの中に、質量mの小球1と質量の小球2が埋め込まれている。パイプは直線状で曲がらず、その口径、及び小球以外の部分の質量は無視できるほど小さい。また小球は質点とみなしてよいとし、重力加速度をgとする。これらの小球の位置を調べるために次の二つの実験を行った。

Ⅰ まず、図1-1に示したように、パイプの両端ABを視点abで水平に支え、両方の支点を近づけるような力をゆっくりとかけていったところ、まずbCの位置まで滑って止まり、その直後に今度はaが滑り出してDの位置で止まった。パイプと支点の間の静止摩擦係数、及び動摩擦係数をそれぞれm(ただし)と記すことにして、以下の問に答えよ。
(1) bがCで止まる直前に支点abにかかっているパイプに垂直な方向の力をそれぞれとする。このときのパイプに沿った方向の力のつり合いを表す式を書け。
(2) ACの長さを測定したところであった。パイプの重心が左端Aから図ってlの位置にあるとするとき、重心の周りの力のモーメントのつり合いを考えることにより、lmを用いて表せ。
(3) CDの長さを測定したところであった。摩擦係数の比で表せ。
(4) 上記の測定から重心の位置lを求めることができる。lで表せ。
(5) さらに両方の支点を近づけるプロセスを続けると、どのような現象が起こり、最終的にどのような状態に行き着くか、理由も含めて簡単に述べよ。

Ⅱ 次に、パイプの端Aに小さな穴を開け、図1-2のようにそこを支点として鉛直に立てた状態から静かにはなし、パイプを回転させた。パイプが回転したときの端Bの速度の大きさを測ったところ、vであった。端Aから図った小球12の位置をそれぞれとして以下の問に答えよ。(支点での摩擦および空気抵抗は無視できるものとする。)
(1) vgLを用いて表せ。
(2) vを実験Ⅰで得られた重心の位置lの値を用いて表したところ、
 
であった。小球の位置lで表せ。ただし、とする。

解答 物差しの上に消しゴムでも置いて、2本のボールペンなどで支えながらボールペンに内向きに力をかけてみてください。この問題の実験を簡単に行うことができます。
おもりはどこに隠されているのか、探索を楽しませてくれる問題でもあります。

(1) 棒に水平方向に働くは、aから受ける右向きの静止摩擦力bから受ける左向きの動摩擦力です。aから受ける摩擦力は、aが滑り出す直前なので、最大静止摩擦力です。この2力のつり合いより、
......[] ・・・①

(2) bがCで止まる直前に、棒に鉛直方向に働くは、aから受ける垂直抗力bから受ける垂直抗力です。重心Cとの距離です。
重心の周りの力のモーメントのつり合いより、
・・・②
①,②より、
......[] ・・・③

(3) aDで止まる直前に、棒が支点abから受ける垂直抗力とします。このとき、棒に水平方向に働くは、aから受ける右向きの動摩擦力と、bから受ける左向きの最大静止摩擦力です。この2力のつり合いより、
・・・④
重心とDとの距離は、
重心の周りの力のモーメントのつり合いより、
・・・⑤
④,⑤より、
分母を払うと、
整理して③を使うと、
......[] ・・・⑥

(4) ⑥を③に代入すると、
......[]

(5) さらに実験を続けて、Bが滑り出してEで止まったとします。このとき、とすると、
重心とEとの距離は、
(1)(2)と同様に考えて、棒に働く水平方向の力のつり合いの式と、重心の周りの力のモーメントのつり合いの式を立てると、棒がabから受ける垂直抗力として、
 ・・・⑦
この式は、
 ・・・⑧
と書き直すと、⑦,⑧は、④,⑤において、abを入れ替え、としたものです。計算をしなくても、となることがわかります。つまり、2支点間の距離,・・・ は、公比等比数列になっていて、より、プロセスを何度も繰り返していくと、2支点間の距離は、0に近づいていきます。
2支点は、必ず重心の両側にあるので、最終的に2支点が重心に重なります。
支点aと支点bが代わる代わる一方が滑って他方が止まるということを繰り返し、両支点間の距離は、公比の等比数列となって小さくなり、より、0に近づいていく。最終的に、両支点は重心に来る。 ......[]

(1) 小球1位置エネルギーの変化は、,小球2位置エネルギーの変化は、
この和が、パイプが回転したときの運動エネルギーになります。
パイプが回転したときの、小球1と小球2速さはそれぞれ、です(円運動の公式より、角速度wとして、B速さ,小球1,小球2速さ,なお、等速円運動を参照)
力学的エネルギー保存より、
整理して、
......[]

(2)
両辺を2乗して整理すると、
・・・⑨
また、重心位置について、
これより、
これと、を⑨に代入すると、
整理して、

のときとなって不適。
のとき、

......[]


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  1. 2008/05/16(金) 15:11:35|
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東大物理'03年前期[3]

東大物理'03年前期[3]

 図3-1に示すように、広い水槽に水が張られており、水槽のまっすぐな縁の近くに振動数fで振動している波源Sがある。図のように座標をとり、波源Sの位置をとする。ただし、hの値は水面波の波長より大きい。また、水面波の速さをcとする。
Ⅰ 波源から水面波が同心円状に広がり、水槽の縁で反射する。このとき、直接波と反射波が干渉し、強め合うところ()と弱め合うところ()ができる。そのときの、節を連ねた曲線(節線)の形状を知りたい。
(1) まず原点Oでの水面の振動の様子を観察したところ、腹であった。そこからy軸に沿って正の方向に観測点を移して行くと、位置で初めて節が見つかった。dを求めよ。
(2) 観測点が任意の位置P (ただし)にある場合、直接波と反射波がそれぞれSからPに至るまでの経路の長さを求めよ。
(3) (2)の結果と経路に含まれる波の数を考えて、観測点Pが節になる条件式をdを用いて表せ。
(4) 反射波の波面は、水槽の外の点に存在する仮想的な波源が作る直接波の波面と同等であると考えることができる。そのときのの座標を求めよ。
(5) の場合、原点Oと波源Sの間のy軸上で、2つの節が見つかった。この場合の2本の節線の概形を図示せよ。
Ⅱ 次に図3-2に示すように、水がx軸の正の方向に速さVで一様に流れている。波源Sの位置は変わらない。この場合の、節の位置を探したい。ただし、とする。
(1) 波の速度は、水流がない場合の波の速度(大きさc)と水流の速度(大きさV)の合成速度になる。波源Sを出て原点Oに至る波の速さと波長を求めよ。また、原点で観測される波の振動数を求めよ。
(2) Ⅰ(1)と同様に、原点から出発して観測点を移して行くと、位置で初めて節が見つかった。を求めよ。

解答 Ⅱでは、水面波の進行方向によって、波の進む速さが異なっていることに注意してください。

(1) 波の基本公式より、水面波の波長です。右図のように、定常波の腹と節の距離波長に等しくなります。
よって、 ......[] ・・・①
ここで、縁上の原点が腹、ということは、縁は水面波の自由端であることに注意してください(固定端なら節になるはずです。なお、波の反射を参照)

(2) 右図より、直接波の経路の長さは、
......[]
反射波は、Sx軸に関する対称点に波源があると考えます。
右図より、その経路の長さ ......[]

(3) Pが節になるということは、Pにおいて直接波と反射波が弱め合うということです。反射波は、縁が自由端だから、縁で反射するときに位相のずれはありません。
Pが節になる条件は、①を用いて、
(m:整数)
つまり、 ......[]

(4) (2)より ......[]

(5) y軸上の点と、Sとの距離との距離,この点において、経路差
この点が節になる条件は、 (m:整数)

よって、においては、が節になります。(3)より、節線は2定点からの距離の差が一定となる点を結んだ曲線で、2を通る双曲線となり、図示すると右図。

(1)  題意より、時間t 経過後水面波がOに達し、水流のない場合に同じ時間t で点Qまで進むとして、だから、
進む距離時間で割ったものが波の速さで、波の速さ振動数で割ったものが波長です。
波の速さ:,波長: ......[]
波がSからOまで進むときに、回り道をして進んでくる分だけ余計に時間がかかるので、波は遅くなるという感じです。
波源も原点も動かないので、ドップラー効果は生じません。原点で観測される振動数はもとの振動数と同じでf ......[]

(2) y軸上で考えずに、(1)SからQに向かって速さcで進む水面波と、Qで反射してSに速さcで戻る水面波が干渉し、水流に乗ってy軸に来ると考えます。Qは自由端で腹だからQからのところに節ができます。この節の位置x軸との距離に等しいから、として、より、
......[]
y軸上で考えるなら、は、(1)で求めた波長です。


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  1. 2008/05/08(木) 22:03:40|
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東大物理'03年前期[2]

東大物理'03年前期[2]

 図2のように、直方体の導体PQが、水平なxy面上にy軸と平行に設置されている。これらの導体は十分細長く、その太さは無視できるとする。導体PおよびQの間には絶縁体がはさまれており、全体で間隔l2本の平行なレールをなしている。導体PQの右端はそれぞれ導体の左端と導線で交差して結ばれている。二つの絶縁体はx軸方向の平行移動でちょうど重なり合う位置にある。
2本のレール上には、質量が等しく、ともに抵抗Rを持つ細い棒12x軸に平行に置かれている。それらはy軸方向に摩擦なしに滑ることができ、棒2の方が棒1より右にあって接触しないものとする。系全体には磁束密度Bの一様な磁界が鉛直上向きにかけられている。
以下では棒を流れる電流は
x軸正方向、棒に働く力とその速度はy軸正方向を正とする。棒と絶縁体以外の電気抵抗は無視できるとする。また、棒を流れる電流により発生する磁界の影響も無視できるとする。
Ⅰ 棒1も棒2も導体PQ上にあるとして以下の問に答えよ。
(1) 1を導体PQに固定し、棒2だけを一定速度で動かした。この時、棒2に流れる電流を求めよ。
(2) 1の速度がu,棒2の速度がvである時、棒1に働く力,棒2に働く力を求めよ。
Ⅱ 棒1が導体PQ上、棒2が導体上にあるとして以下の問に答えよ。
(1) 1の速度がu,棒2の速度がvである時、棒2に流れる電流Iを求めよ。
(2) (1)の状況で、Pの電位はの電位よりどれだけ高いか。
Ⅲ ある時刻において棒12は同じ正の速度を持ち、棒2PQの右端,棒1はそれより左にあったとする。その後棒12は間隔を一定に保ったまま右へ進んでいった。二つの棒の間隔が絶縁体の長さより大きいとすると、次の四つの状況が順次起こる。
(a) 1PQ上で棒2は絶縁体上
(b) 棒1はPQ上で棒2
(c) 1は絶縁体上で棒2
(d) 1,棒2ともに
それぞれの場合に、棒1の速度(2の速度に等しい)はどうなるか。以下の()()()のいずれかを選んで答えよ。
() 加速する
() 減速する
() 変わらない

解答 電磁気の基本的な問題です。符号に注意しましょう。なお、キルヒホッフの法則を参照してください。

Ⅰ 回路には、棒1と棒2で合わせて抵抗があります。
(1) だとして、フレミング右手の法則より、棒2にはPQの方向に電流を流す向きの起電力が発生し、その大きさは
2にはx軸正方向に電流が流れるから電流は正で、棒2に流れる電流は、オームの法則より、
......[]
(2) 2が棒1の左側に来ないように、として考えます。
1にはPQの方向に電流を流す向きに大きさ起電力が発生します。
2にはPQの方向に電流を流す向きに大きさ起電力が発生します。

であれば、上から見て時計回りに電流が流れます。電流の大きさは、
1では負方向、棒2では正方向に電流が流れます。

よって、フレミング左手の法則により、棒1にはy軸正方向の()、棒2にはy軸負方向の()が働きます。
......[]
......[]

 回路を上から見ると右図のような接続になっています。
(1) だとして、棒1,棒2にはともにPQの方向に電流を流す向きに起電力が発生します。
このときには、棒2に流れる電流は正で、
......[]

(2) 求めるものは、棒2電圧側が高いときに正になるようにして答えたものです。
から起電力だけ電位が高くなり、棒2抵抗R電流Iが流れてだけ電位が下がるので、
P電位電位より、
......[]
だけ、電位が高いことになります。

 右図で、棒1,棒2速度v電流I,棒1,棒2に働くとしました。
(a) このとき回路を上から見ると、右図(a)のような接続になっています。
電流の流れる経路がないので、棒1にも棒2にもは働きません。棒の加速度0です。従って() ......[]

(b) このとき回路を上から見ると、右図(b)のような接続になっています。
1にも棒2にもx軸正方向に電流が流れて、y軸負方向にが働くので、棒の加速度は負です。従って() ......[]

(c) このとき回路を上から見ると、右図(c)のような接続になっています。
電流の流れる経路がないので、棒1にも棒2にもは働きません。棒の加速度0です。従って() ......[]

(d) このとき回路を上から見ると、右図(d)のような接続になっています。
1に生じる起電力と棒2に生じる起電力は同じ大きさで互いに打ち消し合って回路の起電力の和は0です。このときには電流は流れず、棒にはが働かないので、棒の加速度0です。従って() ......[]


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  1. 2008/05/07(水) 16:42:31|
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